MATHSCOPE.ORG Seeking the Unification of Math Phan Đức Minh – Trương Tấn Sang Nguyễn Thị Nguyên Khoa – Lê Tuấn Linh – Phạm Huy Hoàng – Nguyễn Hiền Trang Tuyển tập toán HÌNH HỌC PHẲNG Các toán ôn tập tuyển sinh lớp 10 Các toán ôn tập Olympiad Tháng 10/2011 Quyển sách kiểm duyệt đồng ý ban quản trị diễn đàn MathScope.org tài sản diễn đàn MathScope.org Cấm hình thức chép dán logo không hợp lệ Các hình thức upload file sách lên mạng xã hội, trang cộng đồng, diễn đàn khác, phải ghi rõ nguồn diễn đàn MathScope.org Sách tổng hợp phi lợi nhuận Cấm hình thức thu lợi nhuận từ việc bán, photo sách loại hình khác Sách tổng hợp từ nguồn tài nguyên diễn đàn MathScope.org Do sách có quyền không nêu tên tác giả lời giải toán người biên soạn chỉnh sửa nội dung hình thức diễn đạt cho hợp lý Mọi thắc mắc quyền xin liên hệ với ban quản trị diễn đàn MathScope.org gửi trực tiếp lên diễn đàn Nếu bạn không đồng ý với điều khoản nêu trên, xin vui lòng không sử dụng sách Việc sử dụng sách chứng tỏ bạn chấp nhận điều khoản 3 Mục lục Lời nói đầu Các thành viên tham gia biên soạn Phần Các kiến thức Phần hai Tuyển tập toán I Đề Các toán ôn tập tuyển sinh lớp Các toán ôn tập Olympiad II Hướng dẫn gợi ý Các toán ôn tập tuyển sinh lớp Các toán ôn tập Olympiad III Lời giải chi tiết Các toán ôn tập tuyển sinh lớp Các toán ôn tập Olympiad 10 10 10 9 14 21 21 26 38 38 74 Lời nói đầu Từ buổi sơ khai xã hội loài người, toán học gắn liền với lĩnh vực đời sống kiến trúc, hội họa, khoa học, Và hầu hết lĩnh vực toán học, hình học phẳng giữ vị trí đứng đầu tảng xây dựng nên hình học không gian, sở ngành kiến trúc, nghệ thuật toán học ứng dụng Cũng lịch sử phát triển, tiếp xúc với hình học phẳng từ sớm Các khái niệm điểm, đường thẳng, đoạn thẳng đề cập đến tiểu học Hình học trải dài đến tận năm cuối cấp THPT theo đến năm đại học, điều khẳng định vai trò quan trọng hình học nói chung hình học phẳng nói riêng Đồng thời với phát triển toán học, hình học phẳng phát triển không ngừng Liên tiếp kết phát kỹ thuật khám phá Chính thế, việc bắt kịp kiến thức hình học phẳng cần thiết quan trọng Đây lý sách “Tuyển tập toán hình học phẳng” đời Quyển sách tổng hợp từ tài nguyên diễn đàn MathScope.org tài sản MathScope.org, tác giả toán lời giải, nhóm tổng hợp thành viên diễn đàn MathScope.org với mong muốn cung cấp cho bạn học sinh, sinh viên thầy cô giáo toàn quốc tài liệu phong phú hình học phẳng, hỗ trợ cho trình học tập giảng dạy “Tuyển tập toán hình học phẳng” không nhắm vào đối tượng dự thi Olympic mà nguồn tài liệu cho em học sinh cấp chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh lớp 10 Do đó, toán chia thành phần : dành cho em ôn thi lớp 10 bạn thi Olympic để phù hợp với bạn đọc Mỗi toán có hướng dẫn, gợi ý trước nêu lời giải chi tiết để giúp bạn đọc suy luận tiếp tục giải toán với gợi ý Xin lưu ý lời nhận xét phần hướng dẫn gợi ý ý kiến chủ quan người biên soạn Xin cảm ơn ban quản trị thành viên diễn đàn MathScope.org đóng góp, ủng hộ giúp đỡ hoàn thành sách Và xin cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng giáo viên trường THPT Ninh Hải, Ninh Thuận hỗ trợ LATEX để hoàn thiện sách Tuy nhiên, chắn sách hạn chế định, hoan nghênh ý kiến đóng góp, chia sẻ bạn đọc để sách hoàn thiện Bạn đọc góp ý cách gửi email riêng tới hòm thư alephvn@gmail.com gửi trực tiếp lên diễn đàn MathScope.org (http://forum.mathscope.org/index.php) Thay mặt nhóm biên soạn, xin chân thành cảm ơn quan tâm bạn đọc! Hà Nội, ngày 31 tháng 10 năm 2011 Đại diện nhóm biên soạn Chủ biên Phan Đức Minh Các thành viên tham gia biên soạn Nội dung • Phan Đức Minh (novae) - ĐHKHTN, ĐHQGHN • Trương Tấn Sang (sang89) - Westminster High School, California, USA • Nguyễn Thị Nguyên Khoa (liverpool29) - THCS Nguyễn Tri Phương, Thành phố Huế • Lê Tuấn Linh (conami) - THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa • Phạm Huy Hoàng (hoangkhtn) - THPT chuyên, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội • Nguyễn Hiền Trang (tranghieu95) - THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An Hỗ trợ kĩ thuật LATEX • Châu Ngọc Hùng (hungchng) - Giáo viên trường THPT Ninh Hải, Ninh Thuận Trình bày bìa • Võ Anh Khoa (anhkhoavo1210) - ĐHKHTN, ĐHQGTPHCM • Phan Đức Minh 6 Phần Các kiến thức Định lý Menelaus Cho tam giác ABC, điểm D, E, F theo thứ tự nằm đường thẳng BC, CA, AB Khi D, E, F thẳng hàng F A DB EC · · =1 F B DC EA Chú ý : Định lý Menelaus mở rộng cho đa giác lồi n cạnh Định lý Ceva Cho tam giác ABC, điểm D, E, F theo thứ tự nằm đường thẳng BC, CA, AB Khi AD, BE, CF đồng quy F A DB EC · · = −1 F B DC EA Đường thẳng Euler Cho tam giác ABC; O, G, H theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm trực tâm tam giác Khi O, G, H thẳng hàng OH = OG Đường thẳng qua O, G, H gọi đường thẳng Euler tam giác ABC Đường tròn Euler Với tam giác ABC bất kì, điểm : trung điểm cạnh, chân đường cao, trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm tam giác với đỉnh nằm đường tròn, gọi đường tròn Euler tam giác ABC Đường tròn Euler có bán kính nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Định lý bướm Cho đường tròn (O) I trung điểm dây cung AB Qua I dựng hai dây cung tùy ý M N, P Q cho M P, N Q cắt AB E, F theo thứ tự Khi I trung điểm EF Định lý Ptolemy Với tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn, ta có đẳng thức AB · CD + AD · BC = AC · BD Tổng quát : (bất đẳng thức Ptolemy) Với tứ giác ABCD bất kì, ta có bất đẳng thức AB · CD + AD · BC AC · BD Đẳng thức xảy ABCD tứ giác lồi nội tiếp 7 Định lý Stewart Với ba điểm A, B, C thẳng hàng điểm M bất kì, ta có M A2 · BC + M B · CA + M C · AB + AB · BC · CA = Hai hệ quen thuộc định lý Stewart công thức độ dài đường trung tuyến độ dài đường phân giác : Cho tam giác ABC Đặt BC = a, CA = b, AB = c; ma , la độ dài đường trung tuyến độ dài đường phân giác ứng với đỉnh A tam giác Khi ta có b + c a2 − m2a = la2 = bc − a2 (b + c)2 Đường thẳng Simson Cho tam giác ABC điểm M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi X, Y, Z hình chiếu vuông góc M đường thẳng BC, CA, AB Khi X, Y, Z thẳng hàng đường thẳng qua chúng gọi đường thẳng Simson điểm M tam giác ABC Tổng quát : Cho tam giác ABC điểm M mặt phẳng tam giác Gọi X, Y, Z hình chiếu vuông góc M đường thẳng BC, CA, AB Khi điều kiện cần đủ để M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC X, Y, Z thẳng hàng Đường thẳng Steiner Cho tam giác ABC điểm M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi X, Y, Z điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB Khi X, Y, Z thẳng hàng đường thẳng qua chúng gọi đường thẳng Steiner điểm M tam giác ABC Đường thẳng Steiner qua trực tâm tam giác 10 Điểm Miquel tam giác, tứ giác toàn phần Cho tam giác ABC ba điểm M, N, P tương ứng nằm đường thẳng BC, CA, AB Khi đường tròn ngoại tiếp tam giác AN P, BP M, CM N đồng quy điểm Miquel X M, N, P tam giác ABC Khi M, N, P thẳng hàng, ta có X điểm Miquel tứ giác toàn phần ABCM N P Khi X nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 11 Đường tròn Miquel tứ giác toàn phần Cho tứ giác toàn phần ABCDEF , điểm Miquel M tứ giác tâm ngoại tiếp tam giác AEF, CDE, BDF, ABC nằm đường tròn Miquel tứ giác 8 12 Định lý Pascal Cho điểm A, B, C, D, E, F nằm conic Gọi G, H, K theo thứ tự giao điểm cặp đường thẳng (AB, DE), (BC, EF ), (CD, F A) Khi G, H, K thẳng hàng 13 Định lý Pappus Cho hai đường thẳng a, b Trên a lấy điểm A, B, C; b lấy điểm D, E, F Gọi G, H, K giao điểm cặp đường thẳng (AE, DB), (AF, CD), (BF, CE) Khi G, H, K thẳng hàng Định lý Pappus trường hợp suy biến định lý Pascal conic suy biến thành cặp đường thẳng 14 Bất đẳng thức AM - GM Với a1 , a2 , , an số thực không âm a1 + a2 + · · · + an n √ n a1 a2 · · · an Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an 15 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Với a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn số thực a21 + a22 + · · · + a2n Đẳng thức xảy b21 + b22 + · · · + b2n (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 a2 an a1 = = · · · = Trong quy ước mẫu tử b1 b2 bn ngược lại 16 Bất đẳng thức Nesbitt Với a, b, c số thực dương a b c + + b+c c+a a+b Đẳng thức xảy a = b = c Phần hai Tuyển tập toán I Đề Các toán ôn tập tuyển sinh lớp 10 Bài 1.1 Tam giác ABC vuông A có BC = 2AB Lấy D, E nằm AC, AB cho 1 ABD = ABC ACE = ACB F giao điểm BD, CE H, K điểm đối xứng 3 F qua AC, BC (a) Chứng minh H, D, K thẳng hàng (b) Chứng minh tam giác DEF cân Bài 1.2 Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC(AB > AC) tiếp xúc với AB, AC P, Q Gọi R, S trung điểm BC, AC Giao điểm P Q, RS K Chứng minh B, O, K thẳng hàng Bài 1.3 Cho tam giác ABC nhọn nhận H làm trực tâm Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức : HA + HB + HC < (AB + BC + CA) Bài 1.4 Gọi AB dây cung cố định cùa đường tròn (O) P điểm di động dây cung AB không trùng với hai đầu mút Vẽ đường tròn (C) qua A, P tiếp xúc với (O) đường tròn (D) qua B, P tiếp xúc với (O) Lấy N giao điểm thứ (C), (D) (a) Chứng minh AN B CP D Từ N di động đường (b) Chứng minh N P qua điểm cố định Bài 1.5 Cho tam giác ABC có BAC = 120◦ đường phân giác AA , BB , CC Tính BAC Bài 1.6 Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt E Một đường thẳng qua A cắt cạnh BC M cắt đường thẳng CD N Gọi K giao điểm EM BN Chứng minh CK ⊥ BN Bài 1.7 Cho ABC có BAC = 90◦ (AB < AC) Đường tròn (O; r) đường kính AB đường tròn (P ; R) đường kính AC cắt D A (a) Gọi M điểm cung nhỏ DC, AM cắt (O) N , cắt BC E Chứng minh ABE cân điểm O, N, P thẳng hàng (b) Dựng đường kính N Q (O) Chứng minh Q, D, M thẳng hàng (c) Gọi K trung điểm M N Chứng minh P K ⊥ OK Bài 1.8 Tam giác ABC nhọn có đường cao AA1 , BB1 , CC1 cắt trực tâm H Gọi Ha , Hb , Hc trực tâm tam giác AB1 C1 , BC1 A1 , CA1 B1 , chứng minh 10 A1 B1 C1 = Ha Hb Hc Bài 1.9 Cho dây cung AB cố định (O) AOB = 120◦ M điểm di động cung lớn AB, đường tròn nội tiếp tam giác M AB tiếp xúc với M A, M B E, F Chứng minh EF tiếp xúc với đường tròn cố định Bài 1.10 Cho đường tròn (O) đường thẳng d nằm đường tròn Gọi S hình chiếu vuông góc O lên d Vẽ cát tuyến SAB, SEF AF, BE cắt d C, D Chứng minh S trung điểm CD Bài 1.11 Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH đường phân giác BE tam giác ABC (H ∈ BC, E ∈ AC) Đường thẳng qua A vuông góc với BE cắt BC, BE M, N (a) Chứng minh tứ giác AN HB nội tiếp đường tròn Gọi đường tròn (O) (b) Đường thẳng CN cắt (O) T (T = N ) Chứng minh : CH · BC = CN · CT (c) Gọi I giao điểm ON AH Chứng minh : 1 = + 4HI AB AC Bài 1.12 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có đường cao AD Gọi E hình chiếu B AO, K trung điểm BC, I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE Chứng minh IK đường trung trực DE Bài 1.13 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H (a) Kẻ đường kính AA (O), I trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, I, A thẳng hàng (b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh SAHG = 2SAOG Bài 1.14 Cho M điểm nằm bên hình bình hành ABCD Khi đó, chứng minh bất đẳng thức M A · M C + M B · M D AC · BC Bài 1.15 Cho đường tròn (O; R), đường kính BC A điểm di động nửa đường tròn (A = B, C) Trên nửa đường tròn lấy I điểm cung BC Dựng AH ⊥ BC H Gọi (O1 ; R1 ); (O2 ; R2 ); (O3 ; R3 ) đường tròn nội tiếp tam giác ABH, ACH, ABC (a) Chứng minh AI ⊥ O1 O2 (b) HO1 cắt AB E, HO2 cắt AC F Chứng minh O1 O2 H ABC (c) Tìm vị trí điểm A để R1 + R2 + R3 lớn Bài 1.16 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C điểm nửa đường tròn (C = A, B) Dựng CH ⊥ AB H E, F hình chiếu H CA, CB (a) Chứng minh EF song song với tiếp tuyến C (O) (b) Chứng minh tứ giác ABF E nội tiếp