ĐỀ ĐỀ NGHỊ HAI PHONG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DUYÊN HẢI BẮC BỘ NĂM HỌC 2014-2015 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN – LỚP 10 Ngày thi: /4/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề (Đề thi có 01 trang) Chú ý: - Thí sinh không sử dụng tài liệu - Giám thị không giải thích thêm Bài 1: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), M điểm cạnh BC Đường tròn tâm (J) tiếp xúc MA MC tại E F, đồng thời tiếp xúc đường tròn (O) P Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC nằm đường thẳng EF Giải: Đường thẳng PF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Đường tròn (J) tiếp xúc với đường tròn (O) P Suy P, J, O thẳng hàng ∆PJF , ∆POD cân ODP =JFP ⇒ OD // JF , JF ⊥ BC ⇒ OD ⊥ BC ⇒ DC = DB Suy AD phân giác BAC I giao điểm AD EF ⇒ IAP = FPx FEP = FPx ⇒ IEP = IAP ⇒ IEAP nội tiếp ⇒ AEP = AIP, EFP = AEP ⇒ ∆EFD, ∆IAD đồng dạng (g.g) ⇒ EPA = DPI = DIF ⇒ ∆DIF , ∆DPI đồng dạng (g.g) ⇒ DI DF = ⇒ DI = DP.DF DP DI Theo cmt suy tam giác CDF đồng dạng với tam giác PDC ⇒ DC = DF DP ⇒ DI = DC ⇒ I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 2: Giải: = 2( x + y ) + P≤ 1 ≥ + 2.2 xy ⇔ x y − xy + ≤ ⇔ ( xy − 1)(4 xy − 1) ≤ ⇔ ≤ xy ≤ xy xy − + xy + xy 1 Đặt t=xy, t ∈ ,1 4 − + t + 2t −6 − 8t − 4t + f ' (t ) = + = ≤0 (1 + t ) (1 + 2t ) (1 + t ) (1 + 2t ) P ≤ f (t ) = Bài 3: Giải: Đặt f k ( x ) = f ( f ( f ( x) )) với f có mặt k lần vế phải Giả sử k ≥ số tự nhiên p ước f k +1 ( n) ≡ f ( f k (n)) ≡ f (0) ≡ 1(mod p ) nguyên tố f k (n) Ta có: f k + (n) ≡ f ( f k +1 (n)) ≡ f (1) ≡ 1(mod p ) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh f m (n) ≡ 1(mod p ) với m>k Tức f k (n) f m (n) nguyên tố với m>k Do k số nguyên tùy ý nên suy f (n), f ( f (n)), f ( f ( f (n))), đôi nguyên tố Bài 4: Giải: Điều kiện ra: P ( x) = Q( x) + R ( x ) P ( x) ≥ 0, Q( x ) ≥ 0, Q( x) + R( x), ∀x ∈ R ⇔ P ( x) = Q( x) + ( R ( x )) + R ( x) Q( x) , ∀x ∈ R Từ R ( x) Q( x) hàm đa thức Vậy R ( x ) ≡ Q( x) ≡ ( M ( x)) với M(x) đa thức • Trường hợp R ( x ) ≡ , từ đk P ( x) = Q( x) + R( x) suy P ( x) ≡ Q( x) , ta thu ( P ( x), Q( x), Q( x)) = (0, T ( x), T ( x)) , với T(x) đa thức tùy ý, nghiệm toán • Trường hợp Q( x) ≡ ( M ( x)) Thế vào đk P ( x) = Q( x) + R ( x ) , ta thu P ( x ) = M ( x) + R ( x) hay P ( x) = ( M ( x ) + ( R ( x)) , ∀x ∈ R Vậy P ( x ) ≡ ( N ( x)) , N(x) đa thức Từ đk Q( x) ≡ ( M ( x)) , P ( x) ≡ ( N ( x)) , ta thu R( x) = N ( x ) − M ( x) tức ( P ( x), Q( x ), R ( x )) = (( N ( x)) , ( M ( x)) , N ( x) − M ( x )) , với M(x), N(x) đa thức tùy ý thỏa mãn đk