Toan 10_HDC_Bac Ninh Đề thi (đề xuất) kỳ thi HSG các trường THPT Chuyên khu vực DH&ĐBBB lần thứ VIII, năm 2015

TRNG THPT CHUYấN BC NINH T TON TIN P N NGH DHBB 2015 MễN TON 10 Cõu + K: x ; y + Bin i (1) c: ( xy y ) + xy y + = ( x + y ) ( ) 2 xy y + = ( x + y ) y = x 2x + x = + Th vo (2) ta c: 3x p dng BT Cauchy ta c: 2x = x3 = Suy ( x ) ( x 3) 2x + x 2x + 2x = 2 x +1 x = 2 3x Du ' = ' xy v ch x = Vy nghim ( x; y ) cn tỡm l ( 4;2 ) Cõu a) Gi I, G l im chớnh gia cung ln v cung nh cung AB ca ng trũn(O) D thy t giỏc CEHK ni tip Do ú KH luụn i qua G suy ng thng vuụng gúc vi HK ti K luụn qua I c nh (PCM) b) Bng cng gúc ta cú HFG + HQG = 180 suy t giỏc HFGQ ni tip Xột ng trũn: ng trũn ngoi tip t giỏc HFGQ, ng trũn (O) v ng trũn ngoi tip t giỏc CKHF, ta thy trc ng phng l CK, AB v GQ ng quy ti tõm ng phng l P Do ú PQ luụn i qua im c nh l G (PCM) I C D K O P F A B H Q E G Cõu - Chứng minh có nghiệm Nếu P(x) có bậc chẵn lim x ( P ( x).P ( x)) = + > P (0) , tức (*) sai Do P(x) có bậc lẻ, dẫn đến P(x) có nghiệm - Chứng minh có nghiệm Giả sử P(x) có nghiệm a < b nghiệm bé Không giảm tổng quát, coi P( x) > 0, x (a; b) , P(x) thoả mãn (*) -P(x) thoả mãn (*) Khi tồn số c > b cho P(c) < P ( x) < 0, x (; a ) Vì 2a c < a P(c) < P(2a - c).P(c) > = P ( 2a - c + c ) , tức (*) sai Vậy giả sử sai, hay P(x) có nghiệm Cõu Trc ht khng nh b s cn tỡm khụng cú mt s - Nu b s cú s a thỡ bng cỏch thay a bi s v a v gi nguyờn cỏc s cũn li ta c b s mi cú tng khụng i m tớch ln hn - Nu b s cú t s tr lờn thỡ bng cỏch thay s (2, 2, 2) bi s (3, 3) v gi nguyờn cỏc s cũn li ta cng c b s mi cú tng khụng i m tớch ln hn - Li thy rng, nu b s cú mt ng thi s v hay cú t s tr lờn thỡ ta cng thay th c thnh b s mi tt hn Vy nờn bõy gi ta ch xột cỏc b s cú tng l 2015 m hoc gm ton s 3, hoc ch cú s v cỏc s 3, hoc cú s v cỏc s 3, hoc cú s v cỏc s ý rng 2015 chia cho d nờn b s cú c ch cú th l s v ton s Do ú b s cn tỡm chớnh l v 671 s Cõu Gi s nh phộp chuyn s theo quy tc ca bi, t bng ta cú th nhn c bng 2.(*) Ta coi ụ trng ca mi bng l ụ c in s Vi mi bng s nhn c quỏ trỡnh chuyn s, ta lit kờ tt c cỏc s bng theo th t t trỏi qua phi, t trờn xung di Khi ú, ng vi mi bng s ta s cú mt hoỏn v ca 30 s t nhiờn u tiờn V ú, t gi thit (*) cho thy, t hoỏn v (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 0, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 ) (gi l hoỏn v I) ta cú th nhn c hoỏn v (29, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 0, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, ) (gi l hoỏn v 2) nh vic thc hin liờn tip mụụt s hu hn ln phộp i ch cỏc s hng hoỏn v theo quy tc : Mi ln, ly mt s khỏc ca hoỏn v ri i v trớ ca s hng ú v cho (1) Gi s (a1, a2, , a30) l mt hoỏn v ca 30 s t nhiờn u tiờn Ta gi cp s (ai, aj) l cp s ngc ca hoỏn v va nờu nu > aj v i < j D thy, sau mi ln thc hin phộp i ch cỏc s hng theo quy tc (1) i vi hoỏn v (a1, a2, , a30) thỡ s cp s ngc ca hoỏn v s tng hoc gim mt s l n v.(2) Ta cú s cp s ngc ca hoỏn v I l 12, s cp s ngc ca hoỏn v II l 67 T ú kt hp vi (2) suy t hoỏn v I ta ch cú th nhn c hoỏn v II sau s l ln thc hin phộp i ch cỏc s hng iu ny cho thy, nu t bng ta nhn c bng thỡ s ln chuyn s phi l s l (3) Tụ mu tt c cỏc ụ vuụng ca bng x bi mu xanh, cho ụ k cú mu khỏc Th thỡ, sau mi ln chuyn s, s s c chuyn t ụ cú mu ny sang ụ cú mu V vỡ th, s bng v s bng nm hai ụ cú mu ging nờn t bng ch cú th nhn c bng sau mt s chn ln chuyn s iu ny mõu thun vi (3) Vy t bng (1) ta khụng th nhn c bng nh phộp chuyn s theo quy tc ca bi