Đề thi chọn HSG vùng duyên hải Bắc Bộ lớp 10 năm 2015 (Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương) Thời gian: 180 phút Câu Giải hệ phương trình x( y + 1) = y ( z + 1) = z ( x + 1) x + y + 3z + = Câu Tìm số nguyên dương a, b thỏa mãn 5a − 3b = Câu Tam giác ABC nhọn có E tâm đường tròn Ơle Các đường cao AX, BY, CZ đồng qui H Gọi M giao điểm BH XZ; N giao điểm CH XY Chứng minh AE vuông góc với MN Câu Cho số thực a, b, c không âm hai số Chứng minh a + 16bc b + 16ca c + 16ab + + ≥ 10 b2 + c2 c2 + a2 a + b2 Đáp án Toán 10 chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương Câu Giải hệ phương trình x( y + 1) = y ( z + 1) = z ( x + 1) x + y + 3z + = Lời giải: Xét x(1 + y ) = y (1 + z ) = z (1 + x ) Đẳng thức thứ suy ra: y ( z + − x ) = x nên Nếu z + = x x = , suy z = −1 không thỏa mãn Nếu z + ≠ x y = x đẳng thức thứ trở thành z +1− x x( z + 1) = z ( x + 1) ↔ z + ≠ x and ( z − x)(( x + 1) z + 1) = z +1− x Từ đó: Nếu z = x x = y = z Nếu z ≠ x z + ≠ x ( x + 1) z = −1 x ≠ −1 z = − ) Ta được: ( x , y , z ) = (u , u , u ) , x ≠ ( z +1 ≠ x x +1 1 ( x, y , z ) = (u, −1 − , − ) với u ∉ {−1,0} u u +1 Thay vào phương trình x + y + 3z + = ta nghiệm cụ thể Câu Tìm số nguyên dương a, b thỏa mãn 5a − 3b = Lời giải: Xét b = suy a = Xét b ≥ ⇒ a ≥ Ta có 5a = 3b + ⇔ 5a − = 3b ≡ ( mod 9) ⇒ 5a ≡ 2( mod 9) ⇒ a = 6k + ( k ∈ ¥ ) ⇒ 5a = 56k + ≡ 55 ≡ ( mod7 ) ⇒ 3b ≡ ( mod 7) Mà cấp mod suy b = 6m, m ∈ ¥ * a b a b Có ≡ 1( mod ) , ≡ 1( mod ) ⇒ − ≡ ( mod ) ⇒ 2M4 , vô lý Vậy (a, b) = (1, 1) nghiệm nguyên dương phương trình Câu Tam giác ABC nhọn có E tâm đường tròn Ơle Các đường cao AX, BY, CZ đồng qui H Gọi M giao điểm BH XZ; N giao điểm CH XY Chứng minh AE vuông góc với MN Lời giải - Gọi (K )là đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Dễ thấy A trực tâm tam giác HBC, đường tròn ( E ) qua chân đường cao tam giác HBC Vậy suy ( E) đường tròn Ơle tam giác HBC Từ E trung điểm đoạn AK - Để chứng minh AK vuông góc với MN ta chứng minh EK vuông góc với MN Vì tứ giác BXHZ, CXHY nội tiếp nên PM /( K ) = MB.MH = MX MZ = PM /( E ) PN /( K ) = NH NC = NX NY = PN /( E ) A Y Z H N M E O B X C K Suy hai điểm M, N có phương tích đường tròn (E) (K) hay MN trục đẳng phương hai đường tròn này.Từ có MN vuông góc với đường nối hai tâm EK Câu Cho số thực a, b, c không âm hai số Chứng minh a + 16bc b + 16ca c + 16ab + + ≥ 10 b2 + c2 c2 + a2 a + b2 Lời giải: - Đặt f ( a, b, c ) = a + 16bc b + 16ca c + 16ab + + b2 + c2 c + a2 c + a2 - Do vai trò a, b, c bình đẳng nên giả sử a ≥ b ≥ c Xét f ( a , b, c ) − f ( a , b, ) = a + 16bc a b + 16ca b c2 16b3c − a 2c 16ca − b 2c c2 − 2+ − 2+ = 2 + 2 + 2 2 2 b +c b c +a a a +b a + b2 b b +c a c +a ( ) ( ) 16 ( b + bc ) Nếu a ≥ 4b ⇒ a 2+ 16bc ≥ ≥ 16 > 10 (1) 2 b +c b +c Nếu a < 4b ⇒ 16b3 − a c ≥ 16b c − a 2c > 0; 16ca − b 2c ≥ ⇒ f ( a, b, c ) ≥ f ( a, b, ) (2) Xét bất đẳng thức f ( a, b, ) ≥ 10 ⇔ a b2 16ab a2 b2 16ab + + ≥ 10 ⇔ + −2+ −8 ≥ 2 2 b a a +b b a a + b2 ( a − b) ( a + b) − 8( a − b) ≥ a − 2a 2b + b 16ab − 8a − 8b ⇔ + ≥0⇔ 2 2 ab a +b a 2b a2 + b2 2 ⇔ ( a-b ) ( a + b ) ( a + b ) − 8a 2b ≥ (3) 2 Ta có a + b ≥ 2ab; ( a + b ) ≥ 4ab ⇒ ( a + b ) ( a + b ) ≥ 8a 2b ⇒ (3) 2 Từ (1), (2) (3) suy đpcm Dấu xảy (a,b,c) hoán vị ( a,a,0)