TS NGUYEN CAM (Chủ biên)
ThS NGUYÊN VĂN PHƯỚC
TUYEN CHON 4AOO ea TAP
DAI SO V4 GIAI TICH
Il
TU LUAN VA TRAC NGHIEM
Trang 3LỜI NÓI Đầu
Cuốn “Tuyển chọn 400 Đề Toứn Đại Số uà Giải Tích lớp 11” được biên soạn theo chương trình mới nhất do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành Nội dung bao gồm 5 chương:
- Chương I: Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác với
nội dung chi tiết gồm: với hàm lượng giác sẽ có định nghĩa,
tính tuần hoàn (chu kỳ) và đồ thị Với phương trình lượng
giác sẽ có phương trình cơ bản, và một số phương trình
thường gặp
- Chương II: TỔ hợp và xác suất Trong chương này có các nội
dung sau: Quy tắc cộng và quy tắc nhân; chỉnh hợp; hoán vị và tổ hợp; nhị thức Newton; xác suất của biến cố và các tính chất
~ Chuong III: Day số và cấp số Trong chương này có phương pháp quy nạp Toán học; dãy số đơn điệu; dãy số bị chặn và sau đó là bàn về cấp số cộng và cấp số nhân
~ Chương IV: Giới hạn Chi tiết gồm giới hạn của dãy số; giới hạn
của hàm số và hàm số liên tục
~ Chương V: Đạo hàm: định nghĩa, công thức tính, quy tắc tính, ý
nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm, tiếp tuyến của đồ thị Cấu trúc trình bày mỗi chương là như sau: đầu tiên là phần tóm
tắt các kiến thức trong phần lý thuyết và sau đó là một số để toán để nghị dành cho học sinh luyện tập giải Các đề toán được xếp theo thứ tự có độ khó tăng dần để học sinh đọc một cách dé dàng và tùy theo
trình độ cũng như mục đích theo đuổi khác nhau (theo học ban cơ bản
hoặc ban nâng cao, hoặc chỉ nâng cao mơn Tốn) đều có thể sử dụng
một cách hợp lý Ở cuối mỗi chương, chúng tôi giới thiệu các đề toán
dưới dạng trắc nghiệm để học sinh thực hành Đây là cách giúp học
sinh làm quen với phương cách thi mới mà thí sinh sẽ gặp trong các
kỳ thi tốt nghiệm cũng như tuyển sinh vào các trường đại học Cuối
Trang 4thức là để dạng tự luận và dạng trắc nghiệm nhằm giúp các em họọc
sinh ôn tập thi cuối năm học
Dù đã nổ lực rất nhiều khi biên soạn cuốn sách này nhưng chắắc rằng không tránh khỏi những sai sót Chúng tôi rất mong nhận đượợc các góp ý của quý độc giả để có thể hoàn thiện cuốn sách nhằm phuục
vụ tốt hơn nữa việc học tập các em học sinh
TP.HCM, tháng 5 năm 2007
Thay mặt các tác giả
Trang 5Chương 1 HAM SO LUGNG GIAC VA
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC * Hàm số lượng giác
* Phương trình lượng giác cơ bản
* Một số phương trình lượng giác đơn giản §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC /A/ TÓM TẮT LÍ THUYẾT I Định nghĩa 1 Ham số sỉn uà hàm số eosin a) Hàm số sin
Một qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực
y = sinx được gọi là hàm sé sin sin: RoR x > y = sinx * Tập xác dinh: D = R * y = sinx là hàm số lẻ b) Hàm số cosin
Một qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực
Trang 62 Hàm số tang uà hàm số cotang a) Ham sé tang ‘ Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức: sinx y = tanx = —— cosx (cosx # 0) * Tập xác định: D = R \ 5 +kx |ke Z * y = tanx là hàn số lẻ b) Hòm số cotang Hàm số cotang là hàm số được xác định bởi công thức: COSX , y = cotx = —— (sinx + 0) sinx * Tập xác định: D = R \ {kn|k e Z} * y = cotx 1a hàm số lẻ Il Tinh tuần hoàn của hàm số lượng giác Định nghĩa:
Ham s6 f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu
tồn tại một số T z 0 sao cho với mọi x e D, ta có:
ax-TeDvax+TeD b) fz + T) = fx)
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn ftx)
* Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2m * Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu ki T = 2x
* Hàm số y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = m * Hàm số y = cotx là hàm số tuần hoàn véi chu ki T = 72
IH Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác 1 Ham số y = sinx
d) Tập xác định: D = R
Trang 7
b) y = sinx la hàm số lò uà tuần hoàn uới chu ki T = 22
e) Bảng biến thiên trên đoạn |—z; zÌ x —Tm —= 0 y =sinx 0 1 Na _ d) Đồ thị trên đoạn [~z, 7 t9 Thia TU = ae 0 2 * 3 20 Ợ y = sinx 0 -1 0 1 0 > x Chú ý: Nhờ tính tuần hoàn, ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y =sinx trên R 2 Ham số y = cosx a) Tập xác định: D = 8
b) y = cosx là hàm số chẵn uà tuần hoàn uới chu ki T = 22
Trang 8d) Đồ thị trên đoạn [—z 7) yÿ Chú ý: Nhờ tính tuần hoàn, ta có thể suy ra đô thị của hàm ssố y = cosx trên lR 3 Hàm số y = tanx a) Tép xéc dinh: D = R\ tệ +kzÌk e2
Trang 9
4, Ham s6 y = cotx
a) Tập xde dinh: D= 2\ tka \|k © A
b) y = cotx la hàm ló uà tuần hoàn véi chu ki T = 2
Trang 10=— xác định khi và chỉ khi cosx z 0 cosx Hàm số y = hay: x #5 + kx Vậy tập xác định; D = R \ bộ + km /k e Z] Đề 2: Tìm tập xác định của các hàm số: Vv1+sinx b}y # v1-sinx 1-cosx cos?x a)y= Hướng dẫn giải 1+ sinx 1- cosx
a) Vi 1 + sinx > 0; 1 — cosx > 0 với mọi x nên: > 0 vớii
moi x thỏa điều kiện 1 — cosx + 0
Vậy hàm số xác định khi và chỉ khi 1 — cox # 0 hay cosx #1 © x # k2m (k e Z)
Vậy tập xác dinh: D = R \ {k2x/k e Z}
v1-sinx = > 0 véi moi xx
cos?x b) Vì 1 — sinx > 0, eos”x > 0 với mọi x nên
thỏa điều kiện cosx #0 hay x# 5 + km Vậy tập xác định: D = R \ lệ +kn |k Z} Dé 3: Tìm tập xác định của các hàm số: a) y = tanx + cotx b) y = tan (2x + 2) Hướng dẫn giải
a) * tanx xác định khi và chỉ khi x + : + kn (k € Z)
* cotx xác định khi và chỉ khi x # kn (k € Z) Vậy y = tanx + cotx xác định khi và chỉ khi
xo gt kr (k eZ) hay xe kez)
eke
Trang 12Tacó: *xeD>-xeD * Yx © D; f(—x) = cos(—x).sin(—2x) = —cosx.sin2x = —f(x) Vậy: y = cosx.sin2x là hàm số lẻ b) y = flx) = 1+sin’x —- Tập xác dinh: D = R \ {kn /k € Z} Tacó: *xeD>-xeD ‘ cot(—x) *WxeD,Ñ-x)= ———— =D,-z) 1+sin?(—x) _ cotx ~ 14sin?x = —flx) Vậy: y= —°°E — là hàm số lẻ 1+sin?x Đề 6: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, vẽ đồ thị của hàm số y = | sinx | Hướng dẫn giải * Đồ thị của hàm số y = sinx: i 2 ' 2 —t T 3m 2 nk \ ' -1 * Đồ thị hàm số y =|sinx|
Theo định nghĩa trị tuyệt đối, ta có: sinx néu sinx > 0
| sinx| = -sinx nếu sinx > 0
Như vậy, đồ thị hàm số y = | sinx | trên toàn trục số được suy ra
bằng cách như sau:
Trang 13— Giit nguyén phan đồ thị y = sinx nằm trên trục hoành
— Bỏ đi phần đỏ thị y = sinx nằm dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị vừa bỏ đi
Đô thị hàm y = | sinxÌ được vẽ như sau: A a % a * ‘ Z [F -† - `®| Đề 7: Chứng minh hàm số y = fx) = sin2x tuần hoàn với chu kì T =, tức là: fx + x) = fx), V x (1) và T = x là số dương nhỏ nhất thỏa điều kiện (1) Hướng dẫn giải y = x) = sin2x có tập xác định D = 3%
*Wxe D, ta có: fx + m) = sin2(x + m) = sin(2x + 2m) = sin2x = Ẩ(x) * Giả sử có số Tụ sao cho 0 < Tp < 1 va: fix + To) = fx), Vx Cho x = 7 ta được: ¬-: 1 sin2(—+ Ty) = sin2 4 °° 4 => sin( 3 + 2T>) = sin 5 =3 =a +#Tụ = 2 + kên (k e Z) => Tọ :: kx (k e 2)
Điều này trái với giả thiết 0 < To < x
Nghĩa là T = z là số dương nhỏ nhất thỏa điều kiện f{x + T)
= f(x), Vx
Vậy y = sin2x là hàm số tuần hoàn v6i chu ki T=7
Trang 16Đề 13: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số: a) y = sinx.cos3x b) y = tanx.sin?x Đáp số: a) lẻ b) lẻ Đề 14: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số: a)y= oh + sin2x " b) y = sinx + cosx Đáp số: a) Không chắn, không lẻ b) Không chắn, không lẻ
Đề 15: Dựa vào đồ thị của hàm số y = cosx, vẽ dé thị của hàm số y = Ì cosx Ì Đề 16: Chứng minh hàm số y = tan(x + a) tuân hoàn với chu kì T = ø.: Đề 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)y=1+ 5 sinx C08X b) y = 2cos’x — 2 Đáp số: a) giá trị lớn nhất 2, giá trị nhỏ nhất ì b) giá trị lớn nhất 0, giá trị nhỏ nhất — 2 Đề 18: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: a) y =V2 + cos?x b) y = sin*x + cos*x Dap sé: a) GTLNV3; GTNN v2 b) GTLN 1; GTNN 5
Dé 19: Tim cdc khodng déng bién va nghich bién cua ham sơố
y =ÌsinxÌ trên đoạn [0; 2z]
Đáp số: Dựa vào đồ thị của hàm số y = | sinxÌ trên đoạn [0; 2x] tea
có kết quả:
Trang 17Dé 20: Tim cdc khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
y = Ì tanx trên khoảng (- J 3): 22 Đáp số: Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 3 0), déng bién trén xhoả K cảng | 05) 3 §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A/ TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1 Phương trình lượng giác cơ ban
Phương trình lượng giác cơ bản là các phương trình có dạng:
sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx =a
1 Phương trình sinx = œ
a) Nếu ÍaÍ > 1: Phương trình nghiệm
b) Nếu (qÍ < 1: Đưa phương trình uề dạng sinx = sinơ = k2 Ta có: |Sinx = sinơ Rea een (k € Z) x=n-a+k2n Các phương trình đặc biệt: # sinx = Ư ©x = kn, ke Z # sinx =1 œxe= 2 + kêm, k€ Z # sinx = =1 © x==Ở + k2n, ke Z Chú ý: Nếu số đo của œ được tính bằng độ thì: = 360° sinx = sina & sea+k (k € Z) x = 180° —-a + k360° 2 Phương trình cosx = œ
a) Néu /a/ > 1: Phuong trinh v6é-mghi@m—— _— _—
DATHOT GUOC GIA HA NỔI
Trang 18b) Néu /a/ <1: Dua phuong trinh vé dang cosx = cosa Ta có: | cosx = cosơ <> x = + œ + k2n (k c Z) Các phương trình đặc biệt: * cosx =0 œ x= 2 + km, kcZ * cosx = 1 © x = k2n, k e Z * cosx = —l © x = m + k2n, k e Z Chú ý: Nếu số đo của œơ được tính bang độ thì: cosx = cosœ © x =+ œ + k360° (k e Z) 3 Phương trình tanx =a Điều kiện: x # + kn (k € Z) Dua phuong trinh vé dang tanx = tana Ta có: tanx = tana @ x=a+kn(k e Z) Chú ý: Nếu số do cia œ được cho bằng độ thì tanx = tana © x = a + k180° (k € Z) 4 Phuong trinh cotx =a Diéu kién: x # kx (k € Z) Dua phuong trinh vé dang cotx = cota Ta có: | cotx = cota > x=a+kn(k € Z) Chú ý: Nếu số đo của œ được cho bằng độ thì cotx = cota ©> x = œ + k180° (k e Z)
II Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác trêm
đường tròn lượng giác
Trang 19Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác ta được 4 cung lượng giác — ⁄.x „ ÁMb; ẤMh, ÁN,, AN, Ứng với k=0,1,9,3 Cụ thể: “™é ot 8 Me = 7 thea ke 2 Sd AM, = 3 + ken, ke Z Sd AMS = + kan, k € Z Sd AMS = + kan, k eZ
Biểu diễn nghiệm của phương trình cos2x = 0 giúp ta hình dung
Trang 20Dé 22: Giải các phương trình a) tanx = V3 b) cotx = sce v3 Hướng dẫn giải
a) Ta có: tanx = V3 © tanx = tạng exe Ÿ + km,ke Z
b) Ta có: cotx = whe cotx = — cots
v3
o cotx = cot(-F)eox= tka ke Z
Trang 23Hướng dẫn giải Ta có: cos(3x— Bry = sin(x + ¬ 6 3 = cos(3x — Se = cos| E(x 3) 6 2 3 5a T 3x_- ”)= x = cos(3x 6 ) = cos( x) dx—— =Š~x+ k2m c3 s 6 3x-22 =- =+x+k2m 6 6 4x=n+k2n zat Ee o Qn ° 4 2 (k € Z) 2x =—+k2n 3 xen + kết 1 Đề 26: Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau? Hướng dẫn giải Giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau khi và chỉ khi: sin3x = sinx 3x =x+k2m 2x = k2m ° 8x =n-x+k2n 4x =n+k2m x =kn © x =-+— n kn (k € Z) 4 2 Dé 27: Gidi cdc phuong trinh: a) sinx + sin2x + sin3x = 0 b) 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0 Hướng dẫn giải a) Ta có: sinx + sin2x + sin3x = 0
© (sin3x + sinx) + sin2x = 0
© 2sin2x.cosx + sin2x = 0
Trang 24sin2x = 0 sin2x = 0 © 1 ° 2m cosx = — = cosx = cos — 2 3 2x=kn x-= keZ «=a 3 4 kin © 4E tấu 2m eee
b) Ta có: 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0
Trang 25Hướng dẫn giải
Ta có: sin”3x - eos”4x = sinf5x — cos”6x
= 1-cos6x 1+cos8x _ 1-cosl0x 1+cos12x
2 5 2 2
Trang 26Đề 31: Giải phương trình: a) cosx = ¬ b) tanx = 2 Hướng dẫn giải a) Dat: cosa = 7 Ta có: cosx =~ © cosx = cosa > x=+a+k2n,keZ b) Đặt: tanB = 2 Ta có:
tanx = 2 © tanx = tanB © x = B + km, k e Z
Chú ý: Để giải các phương trình trên, ta có thể sử dụng máy
Trang 27Đề 33: Giải các phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác v3 a) sin2x = 5 b) tan3x + tanx = 0 Hướng dẫn giải a) Ta có: sin2x = ~ © sin2x = sing 2x=^+ k?n x= 4k o 3 Ầ (k € Z) ee = 4 tee x=T+km 3 3
Biểu diễn nghiệm trên đường tròn
lượng giác ta được 4 cung lượng giác ay
Trang 28So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là: x=km x= kn (k € Z) 4 3x x=—+kn 4
Biểu diễn nghiệm trên
đường tròn lượng giác ta
được 6 cung lượng giác 0; ứng với k = 0; 1 Cụ thể: ÁNỀ = k9n, k € Z ÁN = 7 + k2m, ke Z 4 AM = = + kaa, k € Z AM, =n +k2n,keZ AM = 94 kon, ke Z Ants = + ken, ke Z
Đề 34: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số
y= tant — x) va y = tan2x bang nhau? Hướng dẫn giải —-x#c+kịm x# TT — kụ Điều kiện 4 a © : (ki, ke € Z) T n kn 2x #—+k,n x#—+->— 2 4 2
Khi đó giá trị của các hàm số y = tan(T ~ x) va y = tan2x bằng
Trang 30Dap sé: a) x= =5 + kê hose x= 9 + kan (k € Z) b)x=# 2 +km,kcZ ©x= 2 +km,kcZ d)x=— +km,keZ 4 dì ke TP LÊ 24 4 ke f) x =—15° + k900, k e Z Đề 37: Giải các phương trình: v3 a) tan(x — 15°) = = b) cot(3x — 1) =—V3 c) cos2x tanx = 0 d) sin3x cotx = 0 Đáp số: a) x = 45° + k180° kote 2, EH 3 18 3 dee © + Shwe ke five an tain 4 2 3 2 Đề 38: Giải các phương trình: a) sin (x — 7 = cos*(3x +5) b) sin(x + 60°).cosx = 1+3 Đáp số: a) x= -— + i o=! È kn 16 4 8 2
b) Phương trình vô nghiệm
Hướng dẫn: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng
Đề 39: Giải các phương trình lượng giác
a) 2sin4x + ðcos2x = 0 b) 3cosx = 2sin2x km Đáp số: a) x= P 4° 2 = + b)x= 5 + kn; x = œ + k2n; x = m — œ + k2m Véi sina = = 4
Đề 40: Tìm tập nghiệm x e Gs 3n) của phương trình:
Trang 31lồn, St, 17rì
Đáp SP ee s6: (1x; 2n; — eg gg |
Hướng dẫn: * sin(2x ee) = sin(2x + 2n tạ) = sin(2x +— 7 = cos2x
# cos(x — a ) = cos(x — 4m +5) = cos(x +5) Tm, _ my Ty age sinx
§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN A/ TOM TAT LÍ THUYET I Phwong trinh bac hai đối với một hàm số lượng giác 1 Định nghia Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là các phương trình có dạng: * asin2x + bsinx + e =0 (1) * acos’x + beosx + ¢ = 0 (2) * atan2x + btanx + e= 0 (3) * acot?x + beotx +c = 0 (4) trong đó a z 0
Chú ý: Tương tự như trên ta có thể định nghĩa phương trình bậc
ba đối với một hàm số lượng giác
32 Cách giải
* giải (1): Đặt t = sìnx, điều kiện t e [—1; 1]
* giải (2): Đặt t = cosx, điều kiện t e [—1; 1]
Trang 32b) acos2x + bsinx + c = 0
* Đổi cos2x = 1 —2sin®x
c) acos3x + bcos2x + ccosx + d = 0
* Đổi cos3x = 4cos” x - 3cosx cos2x = 2cos? x— 1 d) asin3x + bcos2x + csinx + d = 0 _ qei _Acin? * Đổi sin 3x = 3sin x Asin x cos 2x = 1-2sin* x
II Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1 Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là
phương trình có dạng:
asinx + beosx = c (*)
Chú ý: Trong đó a, b,c e R và az0;bz0
Trang 33b) Cách 9: Phương pháp đặt an phu t = tan? Ta xét hai trường hợp: * Với a= a + kn©>x =1 + k2n,k c Z a Thế trực tiếp vào (*) để xem có là nghiệm không # Với Š #2 +kncsx#x + k?n kcZ Đặt t= tan 2 Khi đó: 2t sinx = ——; 1+t° 1-t? c0sx =—— 1+t? — 2at b(1-t?) và: (*“) © + — > =C Tat? 1+t?
©(b+e)£ - 2at +ce—b=0
Trang 34b) tan’x + (1— V3 )tanx — /3= 0 (2) Điều kiện: x z š + km, ke Z Đặt t= tanx, ta có: (2) #2 +(1-— V3) t— 3 =0 t=-1 ° t= 3 tan x = tan(-~) x= 4kn = 4 (k € Z) tan x = tan — x= +kn 3 3 Đề 42: Giải các phương trình: a) J3tanx - 6cotx + 2/3 - 3= 0 b) 2sin?x — 5sinx cosx — cos°x = —9 Hướng dẫn giải a) V3tanx — 6cotx + 2V3 - 3 = 0 (1) Điều kiện lv ao cosx + 0 Dat t = tanx Ta có: (1) © VBtanx- —& 42V3-3=0 tanx co Vat- +23 ~3=0 © V3t? +(2V3 — 3)t-6=0 t=-2 _= t=⁄3 * Với t = -2 c› tanx = —-2 = tanx = tang (véi tan = —2) ©x=o+kn,keZ
* Với t= V8 © tanx = V8 cox= 2 + km, ke Z
Trang 35b) 2sin’x — 5sinx cosx — cos*x = -2 (2)
* Với cosx = 0 hay x = : + kn, thay trực tiếp vào phương trình
(2) ta được:
2—5.0-0=-2 (sai)
Vậy cosx = 0 không thỏa phương trình (2)
* Với cosx # 0 hay x # s† kn, chia hai vế của phương trình (2)
cho cos*x ta được: 2 cos?x 9tan?x - 5tanx - 1 =— <> 2tan”x — 5tanx — 1 = —2 (1 + tan x) © 4tan”x - 5tanx + 1 = 0 tanx =1 tanx =— 4 II
Với tanx = 1 xs T tke, (ke Z)
Với tanx z © tanx = tang (vdi tang = ) ml ôâđx=0+kxn(ke Z) Các nghiệm này thỏa điều kiện cosx + 0 Đề 43: Giải phương trình: 3sin?x — 4sinx cosx + eos”x = 0 Hướng dẫn giải
3sin?x — 4sinx cosx + cos”x = 0 (1)
* Với cosx = 0 hay x = 5 + kn, thay vao phuong trinh (1), ta duge
3 - 4.0 + 0 = 0 (sai)
Vay cosx = 0 không thỏa phương trình (1)
* Với cosx # 0 hay x # 5 + kn, chia hai vế phương trình (1) cho
cos2x, ta được: =
Trang 37Đề 45: Giải phương trình: Qsin’x + (1 — V3) sinx cosx + (1 — v3)cos?x = 1
Hướng dẫn giải
Qsin’x + (1 — V3)sinx cosx + (1 -— V3) cos*x = 1 (1)
* V6i cosx = 0 hay x = 5 + kx, thay vào phương trình (1) ta được:
2+(1- v8).0 +(1- V8).0 = 1 (sai)
Vậy cosx = 0 không thỏa phương trình (1)
* Với cosx z 0 hay x # + kn, chia hai vế của phương trình (1) cho cos?x, ta được: 1 cos?x © 2tan?x + (1 — V3 )tanx + (1 - V3) = 1+ tan’x © tan’x + (1— V3)tanx - V3 =0 tanx=-1 tan x = v3 2tan?x + (1— V3)tanx +(1- X3) = T x=-—+kn Các nghiệm này thỏa điều kiện cosx z 0 Đề 46: Giải phương trình: 2cos’x — 3V3 sin2x ~ 4sin?x = ~4 Hướng dẫn giải 'Ta có: 2cos*x — 3V3sin2x — 4sin’x = —4
© cos*x — 3V3sinx cosx — 2sin’x = —2 (1)
* Với cosx = 0 hay x = ; + kn, k © Z, thay truc tiép vao phuong
trinh (1) ta duge:
0 - 3V3.0 - 2 = -2 (dung)
Vay Ke 5 + km, k e Z là nghiệm của phương trình đã cho
Trang 38* Với cosx + 0, chia hai vé phuong trinh cho cos’x, ta dude 2 cos?x 2 1- 3V3tanx — 2tan’x = —2(1 + tanx) 1— 3V3tanx — 2tanx = —
© —3V3tanx = —3 © tanx = Š Sxe=a + ke Z
Trang 39Đề 48: Giải phương trình: cosäx — 4cos2x + 3cosx — 4 = 0 Hướng dẫn giải Ta có: cos3x — 4cos2x + 3cosx — 4 =0
Trang 40Hướng dẫn giải a) Phương trình có dạng asinx + bcosx = c a=v5 Với Jb=2 c=4 2 2 ¬ Ta có: a’ +b* =5+4=9 c? = 16 ° a +b? <c?
Vậy phương trình vô nghiệm
Nhắc lại: Điều kiện có nghiệm của phương trình là: aŸ + bŸ > c?
b) sinx + (V3— 2)cosx = 1 ()
"Ta xét hai trường hợp:
+ Trường hợp 1: 5 = © + kx hay x = x + k2x Thay vao (1) ta được: 0 + (V3— 24-1) = 1 (sai) Vay x = 1+ k2x,k © Z khong Ia nghiệm của phương trình (1) * Trường hợp 2: 5 + 5+ kx hay x#x + k2n a Bette tan kad a: sims vd cose 2 t 2 1+t? 1+t? = 1-t? | Ta có: (1) <> 5 +(V3 -2) #1 © 2t + (V3- 2X1 - t?) =1 +t2 < (V3 — DB -— 2t+3- V3 =0 t=1 e t= 3-v3 = V3 v3-—1 M x= kx x= 4k2n 2 2 2 2 4 2 (k € Z) x kx apt kon
Chú ý: Nếu giải bài toán trên bằng cách chia hai vế của phương trình cho va? + b? ta sẽ gặp nhiều phức tạp