TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ TỈNH HÒA BÌNH ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 11 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Thời gian:180 phút (Không kể thời gian giao đề) 17 ; xn +1 = xn xn2−1 − xn − 4 Tìm n chẵn thỏa mãn n ∈ N * [ xn ] + lập phương số tự nhiên Câu (4 điểm): Cho dãy số xn xác định bởi: x1 = 5; x2 = Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC , đường tròn tâm O bàng tiếp góc A tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB T, F, E Hai đường thẳng BE, CF cắt I a) Chứng minh A, I, T thẳng hàng b) Vẽ đường tròn tâm O khác đường tròn bàng tiếp góc A cắt đoạn AB,AC M, N; cắt đường thẳng BC A1 , A với A1 thuộc tia đối BC, A thuộc tia đối CB A1 M cắt A N K Chứng minh K nằm đường thẳng AI Câu (4 điểm): Tìm tất hàm số f(x) thỏa mãn : f ( x) − f ( y ) ≤ ( x − y ) ∀x, y ∈ ¤ Câu (4 điểm): Trên mặt phẳng có tất điểm tô màu đỏ, trắng, vàng Chứng minh tồn tam giác cân có đỉnh màu Câu (4điểm): Xác định tất tập S Thỏa mãn: ……………………… HẾT …………………… HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung 17 Cho dãy số xn xác định bởi: x1 = 5; x2 = ; xn +1 = xn xn2−1 − xn − 4 TÌm n chẵn thỏa mãn n ∈ N * [ xn ] + lập phương số tự nhiên Đáp án: Điểm 2,0 Nhận xét thấy : 1−1 −1 4 x1 = 22 +1 + 21−1 +1 ; x2 = 22 +1 + 22−1 +1 ; 2 n −1 +1 + 2n −1 +1 ∀n ≤ k ; k ∈ N * Khi , giả sử : xn = 2 k +1 Cần chứng minh: xk +1 = + xk +1 = 2k +1 (1) ta có k −2 k −1 1 k −1 4 xk xk −12 − xk − = (22 +1 + 2k −1 +1 )(22 +1 + 2k −2 +1 ) − 2(2 +1 + 2k −1 +1 ) − 4 2 2 =2 ⇒ xn = 22 n −1 +1 + k +1 + 22 k +1 suy (1) ∀n ∈ N * 22 +1 n −1 Khi [ xn ] + = 22 +1 + , giả sử tồn n chẵn để [ xn ] + lập phương số tự nhiên: n −1 Khi 22 +1 + = c Mặt khác n chẵn suy n − lẻ suy 2n−1 + 1M đặt 3k k k 2k k 2k k 22 +1 = 23k ⇒ +3=c ⇒ (c-2 )(c +c.2 +2 )=3 mà c +c.2 +2 > c-2 nên: c-2k=1; c2+c.2k+22k=3(2) Giải hệ (2) ta hệ nghiệm nguyên với k>0 suy không tồn n chẵn Vậy không tồn n chẵn để [xn]+3 lập phương số tự nhiên n −1 n −1 Cho tam giác ABC , đường tròn tâm O bàng tiếp góc A tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB T, F, E Hai đường thẳng BE, CF cắt I c) Chứng minh A, I, T thẳng hàng d) Vẽ đường tròn tâm O khác đường tròn bàng tiếp góc A cắt đoạn AB,AC M, N; cắt đường thẳng BC A1 , A với A1 thuộc tia đối BC, A thuộc tia đối CB A1 M cắt A N K Chứng minh K nằm đường thẳng AI Đáp án: 2,0 a) Cần chứng minh AT, BF ,CE đồng quy Áp dụng định lí Ceva với tam giác ABC TB FC EA = suy A,I,T thẳng hàng TC FA EB b) A1 B = BM , A2C = CN AK1 AN A2 N ∩ AI = K1 ⇒ = AT AF + + A1M ∩ AI = K ⇒ 2đ 2đ AK AM = AT AE Cần chứng minh AM=AN Ta có AO vuông góc với MN suy tam giác AMN cân dẫn đến AM=AN ⇒ K1 ≡ K Tìm tất hàm số f(x) thỏa mãn : f ( x) − f ( y ) ≤ ( x − y ) ∀x, y ∈ ¤ Đáp án Thay x 4đ x+ y ( x − y) x+ y ) − f(y) ≤ : ta f ( 2 x+ y ( x − y)2 x+ y f ( x ) − f ( ) ≤ Thay y :ta 2 Khi f ( x) − f ( y ) ≤ f ( x) − f ( x+ y x+ y ( x − y)2 ) + f( ) − f(y) ≤ 2 Khi phương pháp quy nap ta chứng minh ( x − y)2 → n → +∞ ∀x, y ∈¤ 2n Suy f ( x) − f ( y) = ⇒ f ( x) = f ( y )∀x, y ∈ ¤ ⇒ f ( x) = C (C=const) f ( x) − f ( y ) ≤ Thử lại thấy hàm f(x)=C thỏa mãn Vậy hàm số f(x) cần tìm f(x)=C Trên mặt phẳng có tất điểm tô màu đỏ, trắng, vàng Chứng minh tồn tam giác cân có đỉnh màu Đáp án: Nhận xét: Trong ngũ giác đều, tam giác có đỉnh thuôc điểm gồm đỉnh ngũ giác tâm ngũ giác tam giác cân Trở lại toán: Xét ngũ giác ABCDE có tâm O : TH1: tồn điểm A,B,C,D,E,O màu ví dụ A,B,C ta tam giác A,B,C có đỉnh màu ⇒ đpcm TH2:không có điểm điểm A,B,C,D,E,O màu Khi màu tô cho điểm Giả sử A O màu xét đường tròn (O;OA) : + tồn điểm F thuộc (O) mà F màu với O A ta có tam giác AOF cân ⇒ đpcm +không tồn điểm (O) màu với A O, xét ngũ giác A’B’C’D’E’ (A ≠ A’,B’,C’,D’,E’) đỉnh ngũ giác tô màu nên theo nguyên lí Đirich lê tồn đỉnh màu, ví dụ A’,B’,C’ ta tam giác cân có đỉnh màu ⇒ đpcm Vậy tồn tam giác cân mặt phẳng có đỉnh màu(đpcm) Xác định tất tập S 4đ Thỏa mãn: 4đ CM ⇒ r1 ∈ S Xét (b; r1 ) ∈ S ⇒ r2 = b − r1q2 ∈ S Theo quy nạp suy rk +1 ∈ S Giả sử Xét an +1 = f (an ) = an + 1001an + 5; a0 = 2015 ⇒ an → +∞ n → +∞ mà ∈ S nên ⇒ S = Z Vậy S = Z ⇒ Nếu không tồn x ∈ S ;( x;5) = Xét an ∈ S ⇒ an − ∈ S ⇒ an − 2.5 ∈ S ⇒ ⇒ ∀k M5; k ≤ an ⇒ k ∈ S xét hàm f(an) ta được: ∀d = 5k ⇒ d ∈ S ⇒ S = 5k (k ∈ Z ) Vậy S=Z S=5k( k ∈ Z ) tập S cần tìm(đpcm) Mọi cách giải khác kết lập luận chặt chẽ cho điểm tương đương Người đề thi Nguyễn Ngọc Xuân Số ĐT: 0978119118