Toán 11 học sinh giỏi trại hè hùng vương lần thứ 12 các trường chuyên VÙNG CAO VIỆT bắcmới nhất

RI Hẩ HNG VNG LN TH XII TRNG PT VNG CAO VIT BC THI XUT THI MễN: TON KHI 11 Nm hc: 2015 2016 Thi gian lm bi: 180 phỳt ( ny cú 01 trang, gm 05 cõu) Cõu (4 im) Cho dóy s ( un ) c xỏc nh nh sau u1 = * un+1 = un ( un + ) ( un + ) ( un + ) + 16, n Ơ , hóy tớnh limvn i =1 u + i n t = Cõu (4 im) Cho tam giỏc ABC cõn nh B cú ABC = 200 Trờn cỏc cnh BC v BA ln lt ly cỏc im D, E cho DAC = 600 v ECA = 500 Tớnh gúc ADE Cõu (4 im) Xỏc nh hm s f ( x) = f ( x) ; f ( x + 1) = 1+ f ( x) , " x ẻ Ă f ( x) f ữ = , x x x tha ng thi iu kin: Cõu (4 im) Mt quõn c di chuyn trờn bn c 2016 2016 theo mt ba cỏch: i lờn mt ụ, sang bờn phi mt ụ, i xung v bờn trỏi mt ụ Hi quõn c cú th i qua tt c cỏc ụ, mi ụ ỳng mt ln v quay li ụ k bờn phi ụ xut phỏt c khụng? Cõu (4 im) Cho p l mt s nguyờn t Tỡm tt c cỏc a thc f ( x) vi h s nguyờn cho vi mi s nguyờn dng n , f ( n) l c ca pn - HT Ngi Li Th Qunh Nguyờn (ST: 0915 382 047) TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII HNG DN CHM MễN: TON TRNG PT VNG CAO VIT BC KHI 11 HNG DN CHM Nm hc: 2015 2016 Cõ u Ni dung im * D thy un > 0, " n ẻ Ơ Theo bi ta cú un+1 = (u n + 6un ) ( u + 6un + ) + 16 = n (u n 1,0 + 6un + ) = u + 6un + 2 n 1 un + u n + Suy un+1 + = ( un + 1) ( un + ) Do ú n 1 1 1 = = = ữ= ui +1 + u1 + un+1 + un+1 + i =1 ui + i =1 ui + un +1 + = n 1,0 Mt khỏc, t un+1 = un + 6un + ta suy un+1 > 6un Kt hp vi u1 = ta cú un > 6n- 1, " n ẻ Ơ * ị limun = +Ơ ị lim = un+1 + 1,0 ổ 1 ữ ỗ ữ ỗ lim v = lim = T ú ta cú ữ n ỗ ữ ỗ ố2 un+1 + 1ứ 1,0 Gi F l im i xng vi D qua ng phõn giỏc ca gúc B v O l giao im ca AD v CF D thy, hai tam giỏc OFD v OAC B l hai tam giỏc u Nờn ta cú FD = OD, AC = AO Mt khỏc AEC = 1800 ECA EAC = 1800 500 800 = 500 Nờn AC = AE hay AE = AO T ú ta cú: OEA = EOA = ( 1800 EAO ) = 800 Ta li cú OFE = FCD + FBD = 400 v FOE = 1800 AOC EOA = 1800 600 800 = 400 1,0 F E A D O 1,0 C 1,0 Nờn EF = EO hay FDE = ODE 1,0 Do ú ADE = ODF = 300 x +1 x ta cú: f ữ = f + ữ = + x x Mt khỏc, vi mi x khỏc 0; ta cú: f x ữ ữ x +1 x +1 f = f ữ= f x ữ= x x ữ x + x + ữ f ( x) f ữ= + x x ( 1) 2 x x +1 x +1 = f ữ ữ ữ ữ x +1 x +1 x x 1,0 f ( x + 1) x + ( x + 1) f ( x + 1) x +1 = = ữ ữ x x ( x + 1) ( x + 1) = 2 = x2 + 2x f ( x ) x + f x ( ) ( ) x2 x2 ( 2) f ( x) = x + x f ( x ) x2 x f ( x ) = x vi mi x khỏc 0; T ( 1) v ( ) ta cú: + T cú 1,0 suy f ( ) = Ta cú f ( 1) = f ( 1) = + f ( ) = Vy 1,0 Sau mi bc, tng th t ca hng v ct cha quõn c hoc gim i hoc tng lờn Nh vy, xột theo modulo thỡ tng ny tng mi bc 1,0 Do cú 20162 - bc, nu kt thỳc ụ k bờn phi ụ xut phỏt thỡ tng ny tng n v Do ú, 20162 - chia ht cho 3, mõu thun Vy quõn c khụng th i qua tt c cỏc ụ, mi ụ ỳng mt ln v quay li ụ k bờn 1,0 1,0 1,0 1,0 phi ụ xut phỏt Gi A l cỏc c s nguyờn ca p- Nhn xột rng tt c cỏc a thc hng s, f ( x) = b,b ẻ A tha bi toỏn (vỡ " n ẻ Ơ *, pn - 1Mp - 1M b) 1,0 Gi s rng tn ti a thc f ( x) cú bc dng tha bi toỏn * Gi q l c s nguyờn t bt k ca f ( n) , n ẻ Ơ Ta cú f ( n + q) - f ( n) M ( n + q - n) = q q ị f ( n + q) M q M f ( n) M Nh vy 1,0 pn - 1Mf ( n) M q, pn+q - 1Mf ( n + q) M q ị pn+q - 1- ( pn - 1) = pn ( pq - 1) M q q q T ú suy vi p q, p 1M Mt khỏc theo nh lý Fermat pq p( modq) ị pq - 1- ( pq - p) = p - 1M q ( 1) * Xột n ẻ Ơ , n - 1M ( p - 1) S cỏc s n nh th l vụ hn, ú A l 1,0 hu hn v a thc f ( x) cú bc dng, suy cú s n nh vy m f ( n) ẽ A n Mt khỏc p - = ( p - 1) B, ( ) ( n- n- ú B = p + p + + p + n mod( p - 1) mod( p - 1) ) Suy ( p - 1, B ) = q ị p - 1M q Mõu thun vi ( 1) Do f ( n) ẽ A nờn cú c s q ca f ( n) m B M Vy tt c cỏc a thc tha bi toỏn l a thc hng s f ( x) = b,b ẻ A Ngi phn bin ỏp ỏn Nguyn Th Hng Hnh (ST: 0985 121 965) 1,0