RI Hẩ HNG VNG LN TH XII TRNG PT VNG CAO VIT BC THI XUT THI MễN: TON KHI 11 Nm hc: 2015 2016 Thi gian lm bi: 180 phỳt ( ny cú 01 trang, gm 05 cõu) Cõu (4 im) Cho dóy s ( un ) c xỏc nh nh sau u1 = * un+1 = un ( un + ) ( un + ) ( un + ) + 16, n Ơ , hóy tớnh limvn i =1 u + i n t = Cõu (4 im) Cho tam giỏc ABC cõn nh B cú ABC = 200 Trờn cỏc cnh BC v BA ln lt ly cỏc im D, E cho DAC = 600 v ECA = 500 Tớnh gúc ADE Cõu (4 im) Xỏc nh hm s f ( x) = f ( x) ; f ( x + 1) = 1+ f ( x) , " x ẻ Ă f ( x) f ữ = , x x x tha ng thi iu kin: Cõu (4 im) Mt quõn c di chuyn trờn bn c 2016 2016 theo mt ba cỏch: i lờn mt ụ, sang bờn phi mt ụ, i xung v bờn trỏi mt ụ Hi quõn c cú th i qua tt c cỏc ụ, mi ụ ỳng mt ln v quay li ụ k bờn phi ụ xut phỏt c khụng? Cõu (4 im) Cho p l mt s nguyờn t Tỡm tt c cỏc a thc f ( x) vi h s nguyờn cho vi mi s nguyờn dng n , f ( n) l c ca pn - HT Ngi Li Th Qunh Nguyờn (ST: 0915 382 047) TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII HNG DN CHM MễN: TON TRNG PT VNG CAO VIT BC KHI 11 HNG DN CHM Nm hc: 2015 2016 Cõ u Ni dung im * D thy un > 0, " n ẻ Ơ Theo bi ta cú un+1 = (u n + 6un ) ( u + 6un + ) + 16 = n (u n 1,0 + 6un + ) = u + 6un + 2 n 1 un + u n + Suy un+1 + = ( un + 1) ( un + ) Do ú n 1 1 1 = = = ữ= ui +1 + u1 + un+1 + un+1 + i =1 ui + i =1 ui + un +1 + = n 1,0 Mt khỏc, t un+1 = un + 6un + ta suy un+1 > 6un Kt hp vi u1 = ta cú un > 6n- 1, " n ẻ Ơ * ị limun = +Ơ ị lim = un+1 + 1,0 ổ 1 ữ ỗ ữ ỗ lim v = lim = T ú ta cú ữ n ỗ ữ ỗ ố2 un+1 + 1ứ 1,0 Gi F l im i xng vi D qua ng phõn giỏc ca gúc B v O l giao im ca AD v CF D thy, hai tam giỏc OFD v OAC B l hai tam giỏc u Nờn ta cú FD = OD, AC = AO Mt khỏc AEC = 1800 ECA EAC = 1800 500 800 = 500 Nờn AC = AE hay AE = AO T ú ta cú: OEA = EOA = ( 1800 EAO ) = 800 Ta li cú OFE = FCD + FBD = 400 v FOE = 1800 AOC EOA = 1800 600 800 = 400 1,0 F E A D O 1,0 C 1,0 Nờn EF = EO hay FDE = ODE 1,0 Do ú ADE = ODF = 300 x +1 x ta cú: f ữ = f + ữ = + x x Mt khỏc, vi mi x khỏc 0; ta cú: f x ữ ữ x +1 x +1 f = f ữ= f x ữ= x x ữ x + x + ữ f ( x) f ữ= + x x ( 1) 2 x x +1 x +1 = f ữ ữ ữ ữ x +1 x +1 x x 1,0 f ( x + 1) x + ( x + 1) f ( x + 1) x +1 = = ữ ữ x x ( x + 1) ( x + 1) = 2 = x2 + 2x f ( x ) x + f x ( ) ( ) x2 x2 ( 2) f ( x) = x + x f ( x ) x2 x f ( x ) = x vi mi x khỏc 0; T ( 1) v ( ) ta cú: + T cú 1,0 suy f ( ) = Ta cú f ( 1) = f ( 1) = + f ( ) = Vy 1,0 Sau mi bc, tng th t ca hng v ct cha quõn c hoc gim i hoc tng lờn Nh vy, xột theo modulo thỡ tng ny tng mi bc 1,0 Do cú 20162 - bc, nu kt thỳc ụ k bờn phi ụ xut phỏt thỡ tng ny tng n v Do ú, 20162 - chia ht cho 3, mõu thun Vy quõn c khụng th i qua tt c cỏc ụ, mi ụ ỳng mt ln v quay li ụ k bờn 1,0 1,0 1,0 1,0 phi ụ xut phỏt Gi A l cỏc c s nguyờn ca p- Nhn xột rng tt c cỏc a thc hng s, f ( x) = b,b ẻ A tha bi toỏn (vỡ " n ẻ Ơ *, pn - 1Mp - 1M b) 1,0 Gi s rng tn ti a thc f ( x) cú bc dng tha bi toỏn * Gi q l c s nguyờn t bt k ca f ( n) , n ẻ Ơ Ta cú f ( n + q) - f ( n) M ( n + q - n) = q q ị f ( n + q) M q M f ( n) M Nh vy 1,0 pn - 1Mf ( n) M q, pn+q - 1Mf ( n + q) M q ị pn+q - 1- ( pn - 1) = pn ( pq - 1) M q q q T ú suy vi p q, p 1M Mt khỏc theo nh lý Fermat pq p( modq) ị pq - 1- ( pq - p) = p - 1M q ( 1) * Xột n ẻ Ơ , n - 1M ( p - 1) S cỏc s n nh th l vụ hn, ú A l 1,0 hu hn v a thc f ( x) cú bc dng, suy cú s n nh vy m f ( n) ẽ A n Mt khỏc p - = ( p - 1) B, ( ) ( n- n- ú B = p + p + + p + n mod( p - 1) mod( p - 1) ) Suy ( p - 1, B ) = q ị p - 1M q Mõu thun vi ( 1) Do f ( n) ẽ A nờn cú c s q ca f ( n) m B M Vy tt c cỏc a thc tha bi toỏn l a thc hng s f ( x) = b,b ẻ A Ngi phn bin ỏp ỏn Nguyn Th Hng Hnh (ST: 0985 121 965) 1,0