TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII THI MễN TON TRNG THPT CHUYấN TNH H GIANG THI XUT LP 11 ( ny cú 01 trang, gm 05 cõu) Cõu (04 im): Cho dóy s (un) tha : u = 2016; u n + = u n + u n2 u n3 n đ+ Ơ n Cõu (04 im): Cho tam giỏc ABC cõn ti A Mt ng trũn tip xỳc vi cỏc cnh AB, AC v ct cnh BC ln lt ti K v L on AK ct ng trũn ti M Gi P v Q ln lt l im i xng ca K qua B v C Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc MPQ Chng minh rng cỏc im M, O v tõm ng trũn thng hng Cõu (04 im): Cho ba s thc khụng õm x , y , z Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc Tớnh lim P = x2 + y2 + z2 + - (x + y ) (x + 2z )(y + 2z ) - (y + z ) (y + 2x )(z + 2x ) Cõu (04 im): Cho , bi , ci ,1 i N l cỏc s nguyờn Gi s rng vi mi i ba s , bi , ci cú ớt nht mt s l Chng minh rng tn ti cỏc s nguyờn r , s, t cho rai + sbi + tci l l vi ớt nht 4N giỏ tr ca i,1 i N Cõu (04 im): Gi s phng trỡnh x 2017 + ax + bx + c = (vi a, b, c l cỏc s nguyờn) cú nghim nguyờn x1 , x2 , x3 Chng minh rng ( a + b + c + 1) ( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x3 x1 ) chia ht cho 2017 .HT Ngi T Toỏn-Tin HNG DN CHM MễN: TON, LP11 Lu ý: Cỏc cỏch gii khỏc hng dn chm, nu ỳng cho im ti a theo thang im ó nh Cõu Ni dung i m ổ 1ữ 3 ữ ỗ (u n + )3 = ỗ u + = u + + + ữ n n ỗ ỗ u n2 ữ u n3 u n6 ố ứ 3 Do u n > " n => (u n + ) = u n + + 1,00 + > u n3 + , " n un un 3 suy (u n ) > u + 3n = 2016 + 3n , " n ẻ Ơ (1) Li cú ổ 1ử ữ ỗ 3 ữ (u n + ) = ỗ u + = u + + + ữ n n ỗ ữ ỗ u n2 ứ u n3 u n6 ố 1 < u n3 + + + < u n3 + + + n ( 3n ) 2016 + 3n 20163 + 3n ( 3 => (u n + ) < u n + + 1,00 ) 1 + "n ẻ Ơ n ( 3n ) Suy n n- 1 (u n ) < u + 3(n - 1) + + < u + 3n + + k =1 k k =1 9k k =1 k n 1 1 < 1+ + + + = 2< Do 1.2 2.3 (n - 1)n n k =1 k v n- ổn ỗ ỗ ỗ ốk =1 k n ữ ữ Ê n < 2n ữ ữ ứ k =1 k suy (u n )3 < u 13 + 3n + + (Bt ng thc Bunhiacopxki) 2n (2) n k =1 9k 1,00 T (1) v (2) suy + 2n , " n ẻ Ơ (u n )3 u 13 20163 2 ị + 3< < + 3+ + , "n ẻ Ơ n n n 9n n u3 Do ú lim n = n đ+ Ơ n 20163 + 3n < (u n )3 < u 13 + 3n + 1,00 A M E D I P B K L C Q O Gi I l tõm ca ; D, E theo th t l tip im ca v AB, AC ; ( O) l ng trũn ngoi tip tam giỏc MPQ D thy t giỏc MDKE iu hũa Do ú D( MKBE) = D( MKDE) = -1 1,00 D thy DE // PK, m BP = BK nờn D( PKBE) = -1 Vy D( MKBE) = D( PKBE) T ú DM DP hay M, D, P thng hng Chng minh tng t M, E, Q thng hng 1,00 Kt hp vi DE // PK suy MP MQ = =k MD ME Do ú qua phộp v t tõm M t s k cỏc im M, D, E theo th t bin thnh cỏc im M, P, Q Vy qua phộp v t tõm M ng trũn bin thnh ng trũn (O) Do ú M, I, O thng hng 1,00 1,00 Vi moi sụ thc khụng õm x, y, z Ta co: x + y + 4z x + y + 4z (x + y ) (x + 2z )(y + 2z ) (x + y ) 2 2 x + y + 4z x + y + 2xy + 4yz + 4zx = 2(x + y + z )(1) Mt khỏc ta cú: (x + y ) 2 2 2 2 (Vi 2xy x + y ; 4yz 2(y + z ); 4zx 2(z + x ) (x + 2z )(y + 2z ) 1,00 y + z + 4x 2(x + y + z ) (2) 4 2 2 2 x + y + z + 2(x + y + z ) 2(x + y + z ) Tng t ta co (y + z ) (y + 2x )(z + 2x ) (y + z ) T (1) va (2) ta suy P Hay P x2 + y2 + z2 + Khi o P t t = x + y + z + , t > 2(x + y + z ) 9 ,t>2 Xet ham sụ f (t ) = t 2(t 4) t 2(t 4) 9t (4 t )(4t + 7t 4t 16) f '(t ) = + = ; f '(t ) = t = t (t 4)2 t (t 4)2 1,00 1,00 (do t > nờn 4t + 7t 4t 16 = 4(t 4) + t (7t 4) > ) Lõp bang biờn thiờn cua ham sụ f(t) Da vao bang biờn thiờn ta co MaxP = 1,00 x = y = z = Ta xột cỏc s trờn theo mod Ta thy cú cỏch chn b (r , s, t ) vi 1,00 r , s, t khụng ng thi bng ( (r , s, t ) ng d vi (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1),(1,1,0),(1,1,1) theo mod ) Vi mi b , bi , ci tha bi cú ỳng b cho rai + sbi + tci ( mod ) 1,00 Suy vi mi b (ai , bi , ci ) ó cho nu ta chn ngu nhiờn (r , s, t ) (0,0,0) thỡ giỏ tr kỡ vng ca cỏc biu thc l l 4N 1,00 Nhng õy l giỏ tr trung bỡnh nờn phi tn ti b (r , s, t ) vi ớt nht giỏ tr ca i cho tng rai + sbi + tci l s l 4N 2017 Phng trỡnh ó cho tng ng ( x x ) + ax + ( b + 1) x + c = ( 1) 1,00 1,00 t f ( x ) = ax + ( b + 1) x + c T gi thit x1 , x2 , x3 l nghim nguyờn ca PT(1), ỏp dng nh lớ Fecma ta 2017 cú xi xi ( mod 2017 ) hay xi2017 xi M2017 2017 T ( 1) axi + ( b + 1) xi + c = ( xi xi ) M2017 hay f ( xi ) M2017 ( i = 1, 2,3) ( 2) Nu ( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x3 x1 ) M2017 thỡ ta cú pcm Gi s trỏi li, cỏc hiu x1 x2 ; x2 x3 ; x3 x1 khụng cú hiu no chia ht cho 2017 1,00 1,00 Ta cú f ( x1 ) f ( x2 ) = ( x1 x2 ) a ( x1 + x2 ) + b + M2017 (do (2)) a ( x1 + x2 ) + b + 1M2017 (3) Tng t, ta cú a ( x2 + x3 ) + b + 1M2017 (4) T (3) v (4), ta cú a ( x3 x1 ) M2017 aM2017 Khi ú t (4) ta cú b + 1M2017 Vỡ aM2017 v b + 1M2017 nờn suy cM2017 Do ú a + b + c + 1M2017 v ta cú pcm 1,00