TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG ĐỀ THI ĐỀ XUẤT - ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Bài (4,0 điểm) Cho dãy (un) xác định bởi: u1 = 2; un +1 = un2 − un + 1, ∀n ∈ ¥ * Tìm M nhỏ thỏa mãn 1 + + + < M , ∀n ∈ ¥ * u1 u2 un Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường tròn (I) Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) N khác B, đường thẳng CI cắt đường tròn (O) M khác C Trên cung BC không chứa A đường tròn (O) lấy điểm G tùy ý (G khác B, C) Gọi J, K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABG, ACG Đường tròn ngoại tiếp tam giác GJK cắt đường tròn (O) điểm P khác G Hai tiếp tuyến đường tròn (O) M, N cắt Q Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng Bài (4,0 điểm) Cho số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = 2 x3 − x + + y − y + + z − z + 3 Bài (4,0 điểm) Tô số từ đến 2017 màu khác cho hai số màu chia hết cho Cần màu ? Bài (4,0 điểm) Tìm chữ số a, b, c, d cho abcd 2016 chia hết cho 2017 -HếtNgười đề: Đoàn Phú Như 0916 776 986 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm có 03 trang) Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, cho điểm tối đa theo thang điểm định Bài Hướng dẫn giải Điểm Ta có u1 = > un +1 = (un − 1) + un Chứng minh quy nạp ta un > 2, ∀n ∈ ¥ , n ≥ (*) 1,0 Ta lại có: ui +1 = ui2 − ui + ⇒ ui +1 − = ui (ui − 1) ⇒ n Do đó: ∑u ui +1 − = i =1 i = 1 1 − ⇒ = − ui − ui ui ui − ui +1 − 1,0 (*) 1 − = 1− < 1, ∀n ∈ ¥ * u1 − un +1 − un +1 − Suy M ≤ Mặt khác, chứng minh quy nạp ta dãy (un ) tăng Do dãy (un ) có giới hạn hữu hạn L L > Vì phương trình L = L2 − L + có nghiệm L = , dãy (un ) giới hạn hữu hạn Suy 1 lim un = +∞ ⇒ lim ∑ ÷ = (**) u ÷ i =1 i 1,0 n n lim Với a < từ ∑ i =1 ui M ≥1 ⇒ M =1 = suy tồn n0 cho ÷ ÷ n0 ∑u > a Do i =1 i 1,0 0,5 Ta có G, J, M G, K, N thẳng hàng Hai tam giác PJM PKN có · · · · · · ; PJM PMJ = PNK = 1800 − PJG = 1800 − PKG = PKN PM MJ = Suy hai tam giác PJM PKN đồng dạng Do đó: PN NK Vì J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABG M điểm cung AB đường tròn ngoại tiếp tam giác ABG nên MJ = MA 1,5 1,5 Bài Hướng dẫn giải Tương tự NK = NA Suy PM AM = Do PMAN tứ giác điều hòa PN AN Vì PMAN tứ giác điều hòa nội tiếp đường tròn (O) nên tiếp tuyến (O) M, N cắt điểm Q PA hay ba điểm P, A, Q thẳng hàng Ta chứng minh: Điểm 0,5 x3 − x + ≤ x + 2; ∀x ∈ [ 0;3] (1) Thật 4 (1) ⇔ x3 − x + ≤ x + x + ⇔ x( x − 3) x + ÷ ≤ , 3 với x ∈ [0;3] Đẳng thức xảy x = x = y3 − Tương tự ta có: 2 y + ≤ y + 2; ∀y ∈ [ 0;3] (2); 2,0 z − z + ≤ z + 2; ∀z ∈ [ 0;3] (3) Cộng (1), (2), (3) ta 2 x3 − x + + y − y + + z − z + ≤ x + y + z + = 3 Suy ra: Max P = đạt ( x; y; z ) = (0;0;3) hoán vị Ta chứng minh: 39 39 x3 − x + ≥ x+ ; ∀x ∈ [ 0;3] (4) Thật 78 26 39 39 61 2 (4) ⇔ x − x + ≥ x+ ÷ ⇔ ( x − 1) x + ÷ ≥ , 26 52 78 với x ∈ [0;3] Đẳng thức xảy x = Tương tự: y3 − 2 39 39 y +4 ≥ y+ ; ∀y ∈ [ 0;3] (5); 78 26 2,0 39 39 z3 − z + ≥ z+ ; ∀z ∈ [ 0;3] (6) 78 26 Cộng (4), (5), (6) ta 2 x3 − x + + y − y + + z − z + ≥ 39 3 Suy ra: Min P = 39 đạt x = y = z = Các số 1, 2, 22 , , 210 phải tô 11 màu khác Ta chứng minh cần 11 màu để tô 2017 số thoả mãn toán 1,0 Bài Hướng dẫn giải Thật vậy, với 11 màu khác mà ta gọi màu 1, màu 2,…, màu 11, xét cách tô màu sau: Số tô màu Các số tô màu Các số từ đến tô màu Các số từ đến 15 tô màu Các số từ 16 đến 31 tô màu Các số từ 32 đến 63 tô màu Các số từ 64 đến 127 tô màu Các số từ 128 đến 255 tô màu Các số từ 256 đến 511 tô màu Các số từ 512 đến 1023 tô màu 10 Các số từ 1024 đến 2017 tô màu 11 Dễ thấy cách tô màu thỏa mãn hai số màu chia hết cho Vậy cần 11 màu Điểm 3,0 Đặt abcd = A,1000 ≤ A ≤ 9999 Ta có abcd 2016M2017 ⇔ (10000 A + 2016)M2017 ⇔ (4.2017 A + 1932 A + 2017 − 1)M2017 ⇔ (1932 A − 1)M2017 ⇔ 1139(1932 A − 1)M2017 (*) 2,0 Vì (1139, 2017) = nên (*) ⇔ (1091.2017 A + A − 1139)M2017 ⇔ ( A − 1139)M2017 Vì 1000 ≤ A ≤ 9999 nên −139 ≤ A − 1139 ≤ 8806 Do A − 1139 = A = 1139 A − 1139 = 2017 A = 3156 ( A − 1139)M2017 ⇔ A − 1139 = 4034 ⇔ A = 5173 A − 1139 = 6051 A = 7190 A − 1139 = 8068 A = 9207 Từ suy chữ số a, b, c, d -Hết- 2,0