TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THPT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII NĂM 2016 Môn: TOÁN - LỚP 11 Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ ĐỀ XUẤT Câu (4,0 điểm) Cho dãy số thực ( xn ) xác định x1 = xn +1 = 21 + xn + với n = 1, 2, Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn Tính giới hạn Câu (4,0 điểm) Cho x, y, z là số thực dương thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = Chứng minh rằng : x + x2 + y 1+ y2 + z 1+ z2 + 1 21 + 2+ 2≥ x y z Câu (4,0 điểm) Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn: b3 − chia hết cho a a − chia hết cho a Chứng minh : a = b b + a = b + b + Câu (4,0 điểm) Xét điểm M, N (M, N không trùng với A) tương ứng thay đổi đường thẳng chứa cạnh AB, AC tam giác ABC cho MN song song với BC đường thẳng BN, CM cắt P Gọi Q giao điểm thứ hai (khác điểm P) đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP CNP Chứng minh Q nằm đường thẳng cố định Gọi A′ , B′ , C ′ điểm đối xứng với Q qua đường thẳng BC , CA , AB Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A′B′C ′ nằm đường thẳng cố định Câu (4,0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n lớn ta loại bỏ hai số thuộc tập hợp S n = { 1,2, , n} cho tổng số lại số phương ……… Hết……… - Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi không giải thích thêm - Họ tên thí sinh ………………………………………….Số báo danh………………… TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THPT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII NĂM 2016 ĐỀ ĐỀ XUẤT Môn: TOÁN - LỚP 11 Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước không cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai không điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải câu học sinh không vẽ hình không cho điểm - Điểm toàn tính đến 0,50 không làm tròn Câu (4,0 điểm) Nội dung Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh xn ≥ ∀n = 1, 2, Điểm 0,5 Ta có x1 = 3, x2 = 21 + x1 + ≤ 21 + = Giả sử xn ≤ Khi xn +1 = 21 + xn + ≤ 21 + = theo nguyên lý quy nạp suy xn ≤ 5, ∀n ∈ Z+ Tóm lại ta chứng minh ≤ xn ≤ 5, ∀n = 1, 2, Ta có x1 < x2 Giả sử xn −1 < xn ( ) ( 0,5 ( 1) ) 21 + xn + − 21 + xn −1 + xn + − xn −1 + xn2+1 − xn2 xn +1 − xn = = = >0 xn +1 + xn xn +1 + xn xn +1 + xn Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học suy dãy số cho dãy số tăng Dãy ( xn ) tăng bị chặn dãy có giới hạn hữu hạn Đặt lim = L n →+∞ 0, 0,5 ≤ L ≤ Từ xn +1 = 21 + xn + , ∀n = 1, 2, cho n → +∞ ta ( 2) L = 21 + L + Với điều kiện ≤ L ≤ ta có ( ) ⇔ L2 = 21 + ( ) 2l + ⇔ ( L2 − 25 ) + − 2l + = 10 − L = ⇔ ( L − 5) L + − ( 3) =0 + 2L + + 2L + > ∀3 ≤ L ≤ Vậy phương trình ( 3) có nghiệm Dễ thấy L + − + 2L + L = Từ lim xn = 1,0 ⇔ ( L2 − 25 ) + n →+∞ 1,0 xn = Kết luận: dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn và nlim →+∞ Câu (4,0 điểm) Nội dung x Đặt : M = + y + z Điểm 1 + 2+ 2 x y z + 1+ x 1+ y 1+ z 1 1 1 = + + + 2+ 2+ x y z 1 +1 +1 +1 2 x y z 2 0,5 1 1 1 ; b = ; c = , ( a, b, c > ) , = xy + yz + xz = + + x y z ab bc ca 1 + + ≥3 ⇒ abc ≥ 27 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có = ab bc ca abc 1,0 1 + + +a+b+c a +1 b +1 c +1 a +1 1 b +1 = + + + + + ÷ ÷+ a + a + 16 b + b + 16 c + 15 + + + ( a + b + c) − ÷ 16 c + c + 16 16 1,0 Đặt a = Khi M = Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta M ≥ 33 = a +1 b +1 c +1 15 + 33 + 33 + ×3 abc − 64 ( a + 1) 64 ( b + 1) 64 ( c + 1) 16 16 1,0 3 15 21 + + + ×3 ×3 − = 4 16 16 3 Dấu xẩy a = b = c = hay x = y = z = 0,5 Câu (4,0 điểm) ( Nội dung Giả thiết : b − Ma ⇒ b − = ka , k ∈ N 3 * ) ( *) Điểm a − Mb Từ suy k ≡ −1( mod b ) ⇒ k = −1 + lb , l ∈ N , l < b , * Từ ( *) ( **) b3 − ( **) ⇒ b − = ( −1 + lb ) a ⇒ a = ⇒ ( b3 − 1) Mlb − lb − 1,0 0, ⇒ lb3 − l + b − b Mlb − ⇔ b ( lb − 1) + b − l Mlb − ⇒ b − l Mlb − Mặt khác l 2b3 − l + b − b Mlb − ⇔ b ( l 2b − 1) + ( b − l ) Mlb − ⇒ l − b Mlb − l6 −1 Trường hợp l = b ⇒ a = = l +1 = b b +1 l −1 Trường hợp l ≠ b ⇒ l ≠ b 0,5 0,5 • 2 Xét < l < b Do b − l M lb − ⇒ b − l > lb − mà b − l M lb − l > ⇒ b < lb ⇒ b − l < lb − , mâu thuẫn (loại ) 2 • Xét 0,5 2 b < l < b Do l − b M lb − ⇒ l − b > lb − mà l < lb , q > l − b < lb − , mâu thuẫn (loại ) 1,0 Vậy l = ⇒ a = b + b + Kết luận a = b b + a = b + b + Câu (4,0 điểm) Nội dung Điểm 1) (2,0 điểm) Do B, Q, P, M nằm đường tròn C , Q, P, N nằm đường tròn, nên ( BQ ; BM ) ≡ ( PQ ; PM ) ≡ ( PQ ; PC ) ≡ ( NQ ; NC ) ( mod π ) ( MQ ; MB) ≡ ( PQ ; PB) ≡ ( PQ ; PN ) ≡ (CQ ; CN ) ( mod π ) Từ suy ∆BQM ~ ∆NQC (2) Gọi I J theo thứ tự hình chiếu Q đường thẳng BM CN Khi đó, QI MB AB = = (2) nên (do MN || BC ) QJ NC AC 1,0 1,0 Từ đó, theo tính chất đường đối trung, Q nằm đường đối trung kẻ từ A tam giác ABC 2) (2,0 điểm) Gọi L giao điểm AP với BC Áp dụng định lý Céva cho tam giác ABC ta có MA LB NC × × = −1 (1) MB LC NA MA NA LB = = −1 hay L trung điểm BC Do MN || BC nên từ (1) suy MB NC LC 0,5 Do AQ đường đối trung nên ∠BAQ = ∠CAP kết hợp với tứ giác AIQJ nội tiếp nên ∠AQI = ∠AJ I suy ∠CAP + ∠AJI = ∠AQI + ∠BAQ = 900 ⇒ AP ⊥ IJ (3) 0,5 Do cách xác định điểm B′ , C ′ nên AB′ = AC ′ = AQ hay tam giác AB′C ′ cân A , kết hợp với IJ đường trung bình tam giác QB′C ′ ⇒ IJ || B ' C ', AB ' = AC ' (4) Từ (3), (4) suy AP đường trung trực đoạn B’C’ suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A′B′C ′ nằm đường thẳng AP hay nằm trung tuyến AL tam giác ABC 0,5 0,5 Câu (1,0 điểm) Nội dung Xét tập S n = { 1, 2, , n} loại hai số thuộc S n gọi S tổng số lại n ( n + 1) n ( n + 1) n − 3n + n2 + n − − ( n − + n) ≤ S ≤ − ( + 2) ⇔ ≤S≤ 2 2 n ( n + 1) n ( n + 1) − ( n −1 + n) ; − ( + ) tồn Hơn với a ∈ cách xóa hai số từ S n để S = a n − 3n + n + n − ; Cuối cần chứng minh đoạn có số 2 Điểm 1,0 1,0 phương Phản chứng: Thật giả sử không tồn số phương thuộc đoạn nói nghĩa với m ∈ N* ta có : m < n − 3n + n + n − < < ( m + 1) 2 n − 3n + n2 + n − n2 + n − n − 3n + m< < < m +1 ⇔ −