Toán 11 học sinh giỏi trại hè hùng vương lần thứ 12 các trường chuyên THÁI NGUYÊN mới nhất

ĐỀ THI MÔN TOÁN TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Đề có 01 trang, gồm câu) Câu (4 điểm) : Cho dãy số ( un ) xác định u1 = 1, u2 = 2, un + = un + 2un+1 , n ≥ un+1 n →+∞ u n Tìm lim Câu (4 điểm) : Kí hiệu A1, B1, C1 trung điểm cạnh BC, CA, AB tam giác nhọn ABC A2, B2, C2 hình chiếu A, B, C B1C1, C1A1, A1B1 Trung điểm đoạn A2B2, C2A2, A2B2 A3, B3, C3 Chứng minh đường thẳng A1 A3 , B1B3 , C1C3 đồng quy Câu (4 điểm) : Tìm hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn hai điều kiện ( i ) : f ( x + f ( y ) ) = y + xf ( x ) ( ii ) : f ( ( f ( x ) ) ∀x, y ∈ ¡ , ) + f ( y ) = y + xf ( x ) ∀x, y ∈ ¡ Câu (4 điểm) : Trên bàn cờ 10 x 10 người ta viết số từ đến 100 Mỗi hàng chọn số lớn thứ ba Chứng minh tồn hàng có tổng số hàng nhỏ tổng số lớn thứ ba chọn Câu (4 điểm) : Cho a, b hai số nguyên dương với b ≤ a Biết tồn cặp số nguyên dương ( u, v ) 2 cho u + v − auv = b Chứng minh b số phương HẾT Người đề Ngô Lan Hương (ĐT : 0914 935 908) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 10 Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, cho điểm tối da theo thang điểm định Câu Nội dung Điểm Dễ thấy dãy cho dãy số dương, số hạng 1,0 un + u = + n , n ≥ un+1 dãy Từ công thức truy hồi dãy ta có un+1 un+1 ,n ≥1 v1 = 2, vn+1 = + , n ≥ un Đặt , ta dãy số 1,0 ) ( v ≥ 2, ∀ n ≥ Dễ thấy dãy dãy số dương n Do 1 5 ≤ ⇒ + ≤ ⇒ vn+1 ≤ , ∀n ≥ ≤ ≤ vn 2 Vậy ta có  5 f ( x ) = + , x ∈  2;  f ' ( x ) = − < 0, ∀x x x   Ta có Xét hàm số Do v có hai dãy đơn điệu dãy ( n ) hai dãy bị chặn 1,0 a = lim v2 n b = lim v2 n+1 n →+∞ n →+∞ nên chúng có giới hạn Giả sử ta có hệ a = b = +   a = + b a = b ⇔ ⇔   ab =  a = b = −   ab = b = +   a 1,0 Ta thấy có a = b = + thỏa mãn giới hạn cần tìm = Cách 1: Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 · · µ · · · Ta có: B1C1 A1 = BA1C1 = C = A1OC2 ⇒ BA1C1 + OA1C2 = 90 1,0 Dựng hình bình hành OEA1F có: · · B sin EOA · A1E A1E sin EOA A1B2 A1B.cos BA 1 = = = = · O A1C2 A C.cos CA · C · O A1F OE sin EA sin EA 1 , Do EF / / B2C2 1,5 Vì A1O qua trung điểm EF nên qua trung điểm B2C2 ⇒ A1 A3 qua O Tương tự B1B3 , C1C3 qua O 1,5 Cách 2: Dùng định lí Ceva dạng sin · · Đặt α1 = B2 A1 A3 , α = C2 A1 A3 , 1 A1B2 A1 A3 sin α1; S A1C2 A3 = A1C2 A1 A3 sin α 2 A B sin α1 sin α1 A1C2 1= ⇒ = A C sin α sin α A1B2 2 Lâp tỉ số: S A1B2 A3 = a a AC cos B A1B2 = cos C , A1C2 = cos B ⇒ = 2 A1 B2 cos C sin β1 B1 A2 cos C sin γ1 C1B2 cos A = = ; = = sin β B C cos A sin γ C A cos B 2 2 Tương tự: ⇒ sin α1 sin β1 sin γ1 = ⇒ A1 A3 , B1B3 , C1C3 sin α sin β2 sin γ đồng quy Ta tìm hàm f thỏa mãn (ii) Đối với (i) ta làm tương tự Ngoài thấy hai điều kiện biến đổi 1,0 f = 0, f ( f ( y ) ) = y ∀y ∈ ¡ Ta dễ thấy f đơn ánh ( ) f ( x) Trong (ii) thay x ta có ( ) f  f ( f ( x ) )  + f ( y ) = y + f ( x ) f ( f ( x ) ) Mặt khác f ( f ( y ) ) = y, ∀y ∈ ¡ ( ) ) f x + ( y ) = y + xf ( x ) , ∀x , y ∈ ¡ nên f x2 + f ( y) = f Kết hợp (ii) x2 + f ( y ) = ( f ( x ) ) + f ( y ) ( 1,0 ( ( f ( x) ) + f ( y) ) mà f đơn ánh nên 1,0 = x , ∀x ∈ ¡ f ( x) ) Suy ( Ta không tồn đồng thời a ≠ 0, b ≠ thỏa mãn f ( a ) = a, f ( b ) = −b Thật vậy, giả sử tồn a, b Trong (ii) 1,0 f a2 − b = a + b x = a , y = b lấy ta có ( ( f ( x) ) = x , ∀x ∈ ¡ ) (a ) ( Do nên thuẫn f ( x ) = x ∀x ∈ ¡ f ( x ) = − x ∀x ∈ ¡ Vậy Thử lại thấy hai hàm thỏa mãn ) − b = a2 + b ⇒ a2 b = , mâu Sắp xếp thứ tự 10 số lớn thứ ba hàng a1 > a2 > > a10 Ta thấy tối đa 20 số lớn a1 (là số lớn thứ thứ hai 1,0 hàng) Vì a1 ≥ 80 Tương tự có tối đa 28 số lớn a2 Vì a2 ≥ 72 Từ 1,0 a1 + a2 + + a10 ≥ 80 + 72 + ( a10 + ) + ( a10 + ) + + a10 = 8a10 + 180 Trong đó, tổng số hàng chứa a10 không lớn 100 + 99 + a10 + ( a10 − 1) + + ( a10 − ) = 8a10 + 171 1,0 Do 8a10 + 171 < 8a10 + 180 nên hàng chứa a10 hàng thỏa mãn yêu 1,0 cầu u, v ) Chọn cặp ( cặp thỏa mãn yêu cầu cho u + v nhỏ u − a.v.u + ( v − b ) = u ≥ v với Coi phương trình bậc hai ẩn u Vì 1,0 tồn u nên phương trình có nghiệm thứ hai u ' Theo định lý Vi – ét ta có u + u ' = a.v ⇒ u ' ∈¢ 2 1,0 Vì u ' + v ≤ a ( u ' v + 1) nên u ' ≥ 2 u ' + v = avu '+ b ≤ avu '+ a = a ( vu '+ 1) ) (Do Nếu u ' = v = b số phương 1,0 Nếu u ' > u.u ' = v − b ⇒ u ' < v ≤ u ⇒ u '+ v ≤ u + v ( vô lý tổng 1,0 u + v nhỏ nhất) Vậy ta có điều phải chứng minh