Phương pháp toán tử cho momen góc và cho dao động điều hòa
Phương pháp toán tử cho mô-men góc vàcho dao động điều hòaLý lêNgày 9 tháng 9 năm 2009Tóm tắt nội dungCác đặc trị của những toán tử năng lượng cho dao động điều hòavà toán tử mô-men góc của hạt chuyển động trên một mặt cầu đã đượcxác định bằng cách giải phương trình vi phân. Sau đây, chúng ta sẽsử dụng một phương pháp khác để tìm các đặc trị này, được gọi làphương pháp toán tử bậc thang. Theo đó, các đặc trị được xác định chỉcần dựa vào các mối liên hệ giao hoán của các toán tử.1 Phương pháp toán tử bậc thang cho mô-men gócChúng ta đã dùng chữ cái L để chỉ mô-men góc orbital. Sau đây, chúng tasẽ dùng chữ cái M để chỉ mô-men góc nói chung. Có ba toán tử mô-men góclàMx,My,Mz. Tính tất của chúng cũng giống nhưLx,Ly,Lzmà chúng tađã biết. Các mối liên hệ giao hoán của chúng như sau[Mx,My] = iMz; [My,Mz] = iMx; [Mz,Mx] = iMy(1)Toán tửM2được xác định bởiM2=M2x+M2y+M2z(2)Chúng ta có[M2,Mx] = [M2,My] = [M2,Mz] = 0 (3)Nhiệm vụ của chúng ta là sẽ xác định các đặc trị củaM2vàMzdựa vàonhững mối liên hệ trên. Trước hết, chúng ta định nghĩa hai toán tử mới làtoán tử tăngM+và toán tử giảmM−như sauM+=Mx+ iMy(4)M−=Mx− iMy(5)M+vàM−là những ví dụ về toán tử bậc thang (ladder operators). Sauđây, chúng ta khảo sát tính giao hoán của chúng với toán tửMz.1 Ta cóM+M−= (Mx+ iMy)(Mx− iMy)=M2x+ iMyMx− iMxMy+M2y=M2−M2z+ i[My,Mx]Vì[My,Mx] = −[Mx,My] = −iMznênM+M−=M2−M2z+ i[My,Mx] =M2−M2z+ Mz(6)Tương tự, ta tìm đượcM−M+=M2−M2z− Mz(7)Ta có[M+,Mz] = [Mx+ iMy,Mz] = [Mx,Mz] + i[My,Mz]với[Mx,Mz] = −[Mz,Mx] = −iMyvà[My,Mz] = iMxSuy ra[M+,Mz] = −iMy− Mx= −(Mx+ iMy) = −M+(8)Như vậy, chúng ta thấy[M+,Mz] =M+Mz−MzM+= −M+(9)Do đóM+Mz=MzM+− M+(10)Tương tự, ta tìm đượcM−Mz=MzM−+ M−(11)Gọi Y là những đặc hàm chung củaM2vàMz, ta cóMzY = bY (12)M2Y = cY (13)với b và c là những đặc trị cần xác định. Áp dụng toán tửM+lên (12), tanhận đượcM+MzY = bM+Y (14)2 vớiM+Mz=MzM+− M+, (14) trở thành(MzM+− M+)Y = bM+YhayMz(M+Y ) = (b + )(M+Y ) (15)Phương trình trên có nghĩa là hàm (M+Y ) là một đặc hàm của toán tửMzvới đặc trị là (b + ). Tiếp tục, áp dụng toán tửM+lên (15) và sử dụngphương trìnhM+Mz=MzM+− M+, ta sẽ thu đượcMz(M2+Y ) = (b + 2)(M2+Y ) (16)Cứ tiếp tục như trên nhiều lần với toán tử tăngM+ta sẽ thu đượcMz(Mk+Y ) = (b + k)(Mk+Y ) (k = 0, 1, 2, 3 . . .) (17)Tương tự, nếu ta áp dụng toán tử giảmM−lên (12) và lưu ýM−Mz=MzM−+ M−ta sẽ thu đượcMz(M−Y ) = (b − )(M−Y ) (18)Mz(Mk−Y ) = (b − k)(Mk−Y ) (19)Tóm lại, bằng cách sử dụng các toán tử tăng và toán tử giảm lên đặchàm với đặc trị b, chúng ta tạo ra từng nấc các giá trị đặc trị khác nhau làb ± k.b − bb + b + 2b − 2Như vậy, những hàmMk±Y là những đặc hàm củaMzvới những đặc trịlà b ± k:Mz(Mk±Y ) = (b ± k)(Mk±Y ) (20)Sau đây chúng ta sẽ chứng minh những hàm này cũng là những đặc hàmcủaM2với cùng những đặc trị là c; nghĩa là ta chứng minhM2(Mk±Y ) = c(Mk±Y ) (21)3 Ta thấyM2giao hoán vớiM+vàM−. Thật vậy[M2,M±] = [M2,Mx± iMy] = [M2,Mx] ± i[M2,My] = 0 (22)Tương tự, ta có[M2,M2±] = [M2,M±]M±+M±[M2,M±] = 0 (23)Do đó[M2,Mk±] = 0 hayM2Mk±=Mk±M2(24)Từ (13), ta cóMk±M2Y =Mk±cY = cMk±YÁp dụng (24), ta đượcM2(Mk±Y ) = c(Mk±Y ) (25)Đây là điều chúng ta cần chứng minh.Đặt Yk=Mk±Y và bk= b ± k, từ (20) ta cóMzYk= bkYk(26)suy raMzMzYk=MzbkYk= bkMzYkhayM2zYk= b2kYk(27)Lấy (25) trừ (27), ta đượcM2(Mk±Y ) −M2zYk= c(Mk±Y ) − b2kYk(28)ThếMk±Y = Yk, ta cóM2Yk−M2zYk= cYk− b2kYk(29)hay(M2x+M2y)Yk= (c − b2k)Yk(30)Toán tửM2x+M2ytương ứng với một thuộc tính vật lí không âm, do đónó sẽ có những đặc trị cũng không âm. Từ đó, ta suy rac − b2k≥ 0 hay√c ≥ |bk|Vì vậy−√c ≤ |bk| ≤√c (31)(k = 0,±1,±2,±3, . . .)4 Vì c là hằng số, trong khi đó k thì thay đổi, nên các đặc trị bksẽ bị chặntrên và chặn dưới. Chúng ta đặt bminvà bmaxlà những giá trị nhỏ nhất vàlớn nhất của bk. Yminvà Ymaxlà những đặc hàm tương ứngMzYmin= bminYmin(32)MzYmax= bmaxYmax(33)Từ (33), ta cóM+MzYmax= bmaxM+Ymax(34)hayMz(M+Ymax) = (bmax+ )(M+Ymax) (35)(VìM+Mz=MzM+− M+)Phương trình (35) cho ta thấyM+Ymaxlà một đặc hàm củaMzvới đặc trịlà (bmax+ ). Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng bmaxlà đặc trị lớn nhấtcủaMz. Để loại bỏ mâu thuẫn này và để (35) đúng thì hàmM+Ymaxphảibị triệt tiêu; nghĩa làM+Ymax= 0 (36)Áp dụng toán tử giảm lên (36) và kết hợp với (7), ta đượcM−M+Ymax= 0(M2−M2z− Mz)Ymax= 0(c − b2max− bmax)Ymax= 0(c − b2max− bmax) = 0Như vậyc = b2max+ bmax(37)Lý luận tương tự, ta cóM−Ymin= 0 (38)c = b2min− bmin(39)Từ (39) và (37), ta đượcb2max+ bmax+ bmin− b2min= 0 (40)Giải phương trình trên cho ta kết quảbmax= −bmin; bmax= bmin− (41)Chúng ta loại nghiệm thứ hai vì bmaxkhông thể nhỏ hơn bmin. Vậy nênbmin= −bmax(42)5 Mặt khác vì các giá trị bkkhác nhau từng nấc với giá trị là , nênbmax− bmin= n (n = 0, 1, 2, . . .) (43)Thế (42) vào (43), ta đượcbmax=12n = j (j =n2= 0,12, 1,32, 2, . . .) (44)Ta cóbmin= −bmax= −j (45)Như vậy, các đặc trị b của toán tửMznhận những giá trị từ −j đến jnhư saub = −j, (−j + 1), (−j + 2), . . . , (j − 2), (j − 1), j (46)(j = 0,12, 1,32, 2, . . .)và từ (37), ta tìm được các đặc trị c của toán tửM2c = j(j + 1)2(j = 0,12, 1,32, 2, . . .) (47)Tóm lại, chỉ bằng cách sử dụng mối liên hệ hoán vị giữa các toán tử,chúng ta đã tìm được các đặc trị củaM2và củaMzM2Y = j(j + 1)2Y (j = 0,12, 1,32, 2, . . .) (48)MzY = mjY (mj= −j,−j + 1, . . . , j − 1, j) (49)Bên cạnh những giá trị j nguyên, chúng ta còn thấy xuất hiện những giá trịj bán nguyên. Điều này được dự đoán là có thể có thêm một loại mô-mengóc khác nữa bên cạnh mô-men góc orbital. Thật vậy, trong những phầnsau, chúng ta sẽ thấy mô-men góc spin có thể nhận những giá trị nguyêncũng như bán nguyên.2 Phương pháp toán tử bậc thang cho dao độngđiều hòaToán tử năng lượng cho dao động điều hòa trong không gian một chiều đượcviết như sauH = −22md2dx2+12kx2=12m(i22d2dx2+ m2ω2x2) (50)với ω2=km.6 Các toán tử tăngA+và toán tử giảmA−trong trường hợp này đượcđịnh nghĩa như sauA±=1√2m− iddx± imωx=1√2mpx± imωx(51)Ta cóA+A−=1√2mpx+ imωx1√2mpx− imωx=12m(px+ imωx)(px− imωx)=12m(p2x− imωpxx + imωxpx+ m2ω2x2)=12m(p2x+ m2ω2x2− imωpxx + imωxpx)=12mp2x+ m2ω2x2+ imω(xpx−pxx)với12m(p2x+ m2ω2x2) =H; (xpx−pxx) = [x,px] = iTa suy raA+A−=H −12ω =H −12hν (52)hayH =A+A−+12hν (53)Trong đóν =ω2πTương tự, ta cóA−A+=H +12ω =H +12hν (54)hayH =A−A+−12hν (55)Từ (52) và (54) ta được[A+,A−] =A+A−−A−A−= (H −12hν) − (H −12hν) = −hν (56)Mặt khác, ta có[A+,H] = [A+, (A+A−+12hν)]7 Xét[A+, (A+A−+12hν)]Áp dụng các công thức[A,B +C] = [A,B] + [A,C][A,BC] = [A,B]C +B[A,C]Ta có[A+, (A+A−+12hν)] = [A+,A+A−] + [A+,12hν]= [A+,A+]A−+A+[A+,A−] + 0= 0 +A+[A+,A−]với [A+,A−] = −hν, ta thu được[A+,H] = −hνA+(57)Tương tự, ta có[A−,H] = hνA−(58)Chúng ta có phương trình Schr¨odingerHψ = Eψ (59)Áp dụngA+lênHψ, ta đượcA+(Hψ) =A+Eψ = EA+ψ (60)Từ (57) ta cóA+H −HA+= −hνA+⇒A+H =HA+− hνA+Do đó, (60) trở thành(HA+− hνA+)ψ = EA+ψ⇒H(A+ψ) = (E + hν)(A+ψ) (61)Phương trình trên cho thấyA+ψ cũng là đặc hàm củaH với đặc trị E + hνnếu ψ là đặc hàm củaH. Điểm khác biệt là năng lượng tăng lên một bậcbằng +hν so với năng lượng ở trạng thái ψ.Tương tự, ta cóH(A−ψ) = (E − hν)(A−ψ) (62)Như vậy,A−ψ cũng là đặc hàm củaH với đặc trị E− hν. So với năng lượngở trạng thái ψ, năng lượng ở trạng thái này giảm một bậc là −hν. Bởi vì8 c tr nng lng ca toỏn t Hamiltonian ch nhn giỏ tr dng nờn sgim ny phi c dng li ti mt im c th no ú. im ny cgi l nng lng im khụng, tc nng lng thp nht ca h. Ti ú, stỏc dng ca toỏn t gimAkhụng lm cho nng lng ca h gim thờmc naA0= 0 (63)Ta cú phng trỡnh Schrăodinger cho trng thỏi 0H0= E00(64)viH =A+A+12hDo ú(A+A+12h)0= E00A+A0+12h0= E00VỡA0= 0 nờn12h0= E00Suy raE0=12h (65)Mc nng lng tip theo E1cao hn nng lng im khụng E0mtbc l hE1= E0+ h = (1 +12)hTng t, mc nng lng E2cao hn mc nng lng E1mt bc l hE2= E1+ h = (2 +12)hMt cỏch tng quỏt, nng lng ca dao ng iu hũa c tớnh biEn= (n +12)h (n = 0, 1, 2, . . .) (66)Nh vy, da vo s hoỏn v ca cỏc toỏn t, chỳng ta cng xỏc nh ccỏc c tr ca dao ng iu hũa. Kt qu hon ton phự hp vi vic giiphng trỡnh Schrăodinger.9 Bài tập1. Toán tử tăng và toán tử giảm của mô-men góc được định nghĩa như sauM+=Mx+ iMyM−=Mx− iMyChứng minhM−M+=M2−M2z− Mz2. Toán tử tăng và toán tử giảm của dao động điều hòa được định nghĩanhư sauA±=1√2mpx± imωxChứng minhA−A+=H +12ω3. Cho biết các đặc trị được phép củaM2và củaMz. Nếu số lượng tử j =12thì số lượng tử mjnhận những giá trị nào? Gọi Y là đặc hàm chung củaM2vàMz. Chứng minhMk±Y (k = 0, 1, 2, . . .)cũng là những đặc hàm chungM2vàMz.4. Thực hiện phép giao hoán sau[A−, (A−A+−12hν)]10 [...]... )( M + Y max ) (35) (Vì M + M z = M z M + − M + ) Phương trình (35) cho ta thấy M + Y max là một đặc hàm của M z với đặc trị là (b max + ). Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng b max là đặc trị lớn nhất của M z . Để loại bỏ mâu thuẫn này và để (35) đúng thì hàm M + Y max phải bị triệt tiêu; nghĩa là M + Y max = 0 (36) Áp dụng tốn tử giảm lên (36) và kết hợp với (7), ta được M − M + Y max =... b 2 max − b max ) = 0 Như vậy c = b 2 max + b max (37) Lý luận tương tự, ta có M − Y min = 0 (38) c = b 2 min − b min (39) Từ (39) và (37), ta được b 2 max + b max + b min − b 2 min = 0 (40) Giải phương trình trên cho ta kết quả b max = −b min ; b max = b min − (41) Chúng ta loại nghiệm thứ hai vì b max khơng thể nhỏ hơn b min . Vậy nên b min = −b max (42) 5 . gọi l phương pháp toán tử bậc thang. Theo đó, các đặc trị được xác định chỉcần dựa vào các mối liên hệ giao hoán của các toán tử. 1 Phương pháp toán tử bậc. ta định nghĩa hai toán tử mới l toán tử tăngM+và toán tử giảmM−như sauM+=Mx+ iMy(4)M−=Mx− iMy(5)M+vàM−là những ví dụ về toán tử bậc thang (ladder