Tuyen chon chuyen de luyen thi dai hoc

Các chuyên đề LUYỆN THI ĐẠI HỌC y B2 Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu THPT Phan Đình Phùng A1 F1 O F2 A2 x B1 c Copyright 2012 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved” Đồng Hới Tháng 08 - 2012 Nguyễn Minh Hiếu cuahocduong.vn Mục lục Chuyên đề Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số §2 Cực Trị Của Hàm Số §3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số §4 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số §5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số 5 Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số 11 §1 Phương Trình & Bất Phương Trình Khơng Chứa Căn 11 §2 Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn 12 §3 Hệ Phương Trình Đại Số 14 §4 Phương Trình & Hệ Phương Trình Chứa Tham Số 15 Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng 17 §1 Tọa Độ Trong Mặt Phẳng 17 §2 Phương Trình Đường Thẳng 18 §3 Phương Trình Đường Trịn 20 §4 Phương Trình Elip 20 Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số 23 §1 Cực Trị Của Hàm Số 23 §2 Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị 24 §3 Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số 25 §4 Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị 26 §5 Đối Xứng - Khoảng Cách & Các Bài Toán Khác 27 Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit §1 Lũy Thừa §2 Lơgarit §3 Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit §4 Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ §5 Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit §6 Hệ Phương Trình Mũ & Lơgarit 29 29 30 31 31 33 34 Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian 35 §1 Tọa Độ Trong Khơng Gian 35 §2 Phương Trình Mặt Phẳng 36 §3 Phương Trình Đường Thẳng 38 §4 Hình Chiếu 40 §5 Góc Và Khoảng Cách 41 Chuyên đề Phương Trình Lượng Giác 45 §1 Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản 45 §2 Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp 46 §3 Phương Trình Lượng Giác Đưa Về Phương Trình Tích 47 §4 Phương Trình Lượng Giác Chứa Ẩn Ở Mẫu §5 Nghiệm Thuộc Khoảng Cho Trước 48 49 Nguyễn Minh Hiếu cuahocduong.vn Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân §1 Nguyên Hàm §2 Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm §3 Tích Phân §4 Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân §5 Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác 51 51 52 52 54 56 §6 Ứng Dụng Của Tích Phân 57 Chuyên đề Số Phức §1 Dạng Đại Số Của Số Phức §2 Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức §3 Dạng Lượng Giác Của Số Phức 59 59 61 62 Chun đề 10 Hình Học Khơng Gian 63 §1 Quan Hệ Song Song 63 §2 Quan Hệ Vng Góc 64 §3 Thể Tích Khối Đa Diện 65 §4 Mặt Nón - Mặt Trụ - Mặt Cầu 68 Chuyên đề 11 Tổ Hợp - Xác Suất §1 Hốn Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp §2 Xác Suất §3 Nhị Thức Newton 69 69 70 71 Chuyên đề 12 Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất 73 §1 Bất Đẳng Thức 73 §2 Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất 75 PHỤ LỤC 77 PHỤ LỤC 78 Chuyên đề Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Định lý 1.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng I • Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ I y = f (x) đồng biến I • Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ I y = f (x) nghịch biến I • Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ I y = f (x) khơng đổi I Lưu ý • Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ I f (x) = hữu hạn điểm I y = f (x) đồng biến I • Khoảng I thay đoạn nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số y = f (x) liên tục đoạn nửa khoảng đó” B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm khoảng đơn điệu hàm số • Tìm tập xác định Tính y Tìm điểm y khơng xác định • Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên rút kết luận Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến • Tìm tập xác định Df • Tính y y ≥ 0, ∀x ∈ Df (hoặc y ≤ 0, ∀x ∈ Df ) C Bài Tập 1.1 Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau a) y = 2x3 − 3x2 + b) y = −x3 − 3x + d) y = x − 2x + e) y = −x4 + 2x3 − 2x − 2x + x+2 g) y = h) y = x+2 3x −
1.2 Tìm m để hàm số y = x3 + (m − 1) x2 + m2 − x + đồng biến c) y = √ x3 + 3x2 + 3x f) y = x2 − 2x − x2 − 4x + i) y = 1−x R 1.3 Tìm m để hàm số y = −mx3 + (3 − m) x2 − 2x + ln nghịch biến R 1.4 Tìm m để hàm số y = mx − đồng biến khoảng xác định m−x mx − nghịch biến khoảng xác định x+m−3 m 1.6 Tìm m để hàm số y = x + + đồng biến khoảng xác định x−1 1.5 Tìm m để hàm số y = 1.7 Tìm m để hàm số y = mx + nghịch biến (−∞; 1) x+m 1.8 Tìm m để hàm số y = mx − nghịch biến (1; +∞) x+m−3 cuahocduong.vn Nguyễn Minh Hiếu 1.9 Tìm a để hàm số y = x3 + 3x2 + ax + a nghịch biến đoạn có độ dài 1.10 Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + mx + đồng biến đoạn có độ dài §2 Cực Trị Của Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Định lý 1.2 Giả sử hàm số y = f (x) đạt cực trị x0 Khi đó, y = f (x) có đạo hàm x0 f (x0 ) = Định lý 1.3 Giả sử hàm số y = f (x) liên tục khoảng (a; b) chứa x0 có đạo hàm (a; x0 ), (x0 ; b) Khi • Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (a; x0 ) f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 ; b) hàm số y = f (x) đạt cực tiểu x0 • Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (a; x0 ) f (x) < 0, ∀x ∈ (x0 ; b) hàm số y = f (x) đạt cực đại x0 Định lý 1.4  0Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp (a; b) có đạo hàm cấp hai khác x0 Khi f (x0 ) = • Nếu hàm số đạt cực đại x0 f 00 (x ) <  0 f (x0 ) = • Nếu hàm số đạt cực tiểu x0 f 00 (x0 ) > Lưu ý Nếu y 00 (x0 ) = hàm số đạt cực trị không đạt cực trị x0 B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm cực trị hàm số • Tìm tập xác định Tính y Tìm điểm y khơng xác định • Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên rút kết luận Điều kiện để hàm số có cực trị, có k cực trị • Sử dụng ĐL 1.3 ĐL 1.4 Điều kiện để hàm số đạt cực trị x0 • Tính y , y 00 Hàm số đạt cực trị x0 ⇒ y (x0 ) = ⇒ m • Thay m x0 vào y 00 để kết luận Lưu ý Nếu y 00 (x0 ) = phải kiểm tra dấu y để kết luận C Bài Tập 1.11 Tìm cực trị hàm số sau a) y = 2x3 − 3x2 + d) y = x4 − 2x2 + 2x + g) y = x+2 b) y = −x3 − 3x + e) y = −x4 + 2x3 − 2x − x+2 h) y = 3x − 1.12 Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + (2m − 1) x − b) Đạt cực trị x = a) Có cực trị c) y = √ x3 + 3x2 + 3x f) y = x2 − 2x − x2 − 4x + i) y = 1−x c) Đạt cực đại x =
x − mx2 + m2 − m + x + Với giá trị m hàm số a) Đạt cực đại x = b) Có cực đại, cực tiểu c) Khơng có cực trị 1.13 Cho hàm số y = 1.14 Cho hàm số y = x4 − (m + 1) x2 + 2m + Với giá trị m hàm số c) Đạt cực trị x = a) Có ba điểm cực trị b) Đạt cực tiểu x = 1.15 Tìm m để hàm số y = −x4 + (2m − 1) x2 + có cực trị
1.16 (B-02) Tìm m để hàm số y = mx4 + m2 − x2 + 10 có ba điểm cực trị x2 + mx + x+m b) Đạt cực tiểu x = 1.17 Xác định giá trị m để hàm số y = a) Khơng có cực trị c) Đạt cực đại x = Chuyên đề Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Định nghĩa 1.5 Cho  hàm số y = f (x) xác định tập hợp D Khi  f (x) ≤ M, ∀x ∈ D f (x) ≥ m, ∀x ∈ D • M = max f (x) ⇔ • m = f (x) ⇔ ∃x0 ∈ D : M = f (x0 ) ∃x0 ∈ D : m = f (x0 ) x∈D x∈D Lưu ý • Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn • Trên khoảng nửa khoảng hàm số có khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số miền D • Tính y , y = ⇒ xi ∈ D • Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên rút kết luận Xét tính đơn điệu khoảng cho trước PP1: • Tính y y ≥ 0, ∀x ∈ D (hoặc y ≤ 0, ∀x ∈ D) • Từ y ≥ 0, ∀x ∈ D ⇒ m ≥ g(x), ∀x ∈ D • Lập bảng biến thiên g(x) D Từ bảng biến thiên rút kết luận PP2: • Tính y Tìm điểm y = khơng xác định • Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên rút kết luận Lưu ý • m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max f (x) x∈D • m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ f (x) x∈D C Bài Tập 1.18 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau: a) y = + 8x − 2x2 [−1; 3] b) y = x3 − 3x2 + [−2; 3] c) y = + 4x3 − 3x4 [−2; 1] e) y = x − + x (0; +∞) f) y = x − x1 (0; 2] d) y = x − 3x + (1; 4) √ g) y = h) y = x4 + 2x2 − i) y = x + − x2 + x2 1.19 Tìm giá √ trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau   b) y = sin x − 34 sin3 x [0; π] a) y = x + cos x 0; π2 4 e) y = sin x − 12 cos x − d) y = sin x + cos x c) y = sin4 x − 4sin2 x + f) y = sin2 x + sin 2x + 2cos2 x 1.20 Cho parabol (P ) : y = x2 điểm A (−3; 0) Tìm điểm M ∈ (P ) cho khoảng cách AM ngắn tính khoảng cách 1.21 Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 − mx − đồng biến (−∞; 0) 1.22 (BĐT-79) Tìm m để hàm số y = − 13 x3 + (m − 1) x2 + (m − 3) x − đồng biến (0; 3) 1.23 Tìm m để hàm số y = mx3 − (m − 1) x2 + (m − 2) x + đồng biến [2; +∞) 1.24 Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m + 1) x + 4m đồng biến (−∞; −2) (2; +∞) 1.25 (BĐT-50) Tìm m để hàm số y = 1.26 Tìm m để hàm số y = 1.27 Tìm a để hàm số y = mx2 + 6x − nghịch biến [1; +∞) x+2 x2 − 2mx + 2m2 − đồng biến (1; +∞) x−m x2 − 2ax + 4a2 đồng biến (2; +∞) x − 2a cuahocduong.vn Nguyễn Minh Hiếu §4 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Định nghĩa 1.6 Đường thẳng y = y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f (x) lim f (x) = y0 lim f (x) = y0 x→+∞ x→−∞ Định nghĩa 1.7 Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f (x) lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞; lim f (x) = +∞ lim f (x) = −∞ x→x+ x→x− x→x+ x→x− Định nghĩa 1.8 Đường thẳng y = ax + b, (a 6= 0) gọi đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f (x) lim [f (x) − (ax + b)] = lim [f (x) − (ax + b)] = x→+∞ x→−∞ B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm tiệm cận ngang tiệm cận đứng • Tìm lim f (x) ⇒TCN x→±∞ • Tìm lim± f (x) ⇒TCĐ x→x0 Lưu ý x0 thường nghiệm mẫu Tìm tiệm cận xiên C1: Viết lại hàm số dạng y = ax + b + g(x) Chỉ lim [y − (ax + b)] = ⇒TCX x→±∞ f (x) C2: Tính a = lim b = lim [f (x) − ax] ⇒TCX x→±∞ x x→∞ C Bài Tập 1.28 Tìm tiệm cận (nếu có) hàm số sau 2x − x−3 b) y = a) y = x−2 −x + √ √ x+3 x2 + x e) y = d) y = x+1 x−1 p x − 4x + g) y = h) y = x2 + x − 1−x 1.29 Tìm m để đồ thị hàm số y = c) y = − 4x x+1 f) y = 2x − + i) y = x + x p x2 + 2x mx2 − 2m (m − 1) x − 3m2 + m − có tiệm cận xiên qua A (−1; −3) x+2 2x2 + (m + 1) x − có giao hai tiệm cận nằm parabol (P ) : y = x2 + 2x − x+m
mx2 + 3m2 − x − 1.31 (A-08) Tìm m để góc hai tiệm cận hàm số y = 450 x + 3m 1.30 Tìm m để hàm số y = 1.32 Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 + mx − có tiệm cận xiên tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích x−1 1.33 Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x2 − (5m − 1) x + 4m2 − m − có tiệm cận xiên tạo với trục toạ độ x−m tam giác có diện tích 1.34 Cho hàm số y = 3x − Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M nằm đồ thị hàm số đến hai tiệm x−2 cận không đổi −x2 + 4x − Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M nằm đồ thị hàm số x−2 đến hai tiệm cận số 1.35 (A-07) Cho hàm số y = 1.36 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = 3x − để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ x−2 1.37 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x2 + 2x − để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ x−1 Chuyên đề Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Sơ đồ khảo sát tổng quát Tập xác định Sự biến thiên • Giới hạn, tiệm cận (nếu có) • Bảng biến thiên (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tính đơn điệu, cực trị) Đồ thị • Tương giao với trục • Tính đối xứng (nếu có) • Điểm đặc biệt (nếu cần) Điểm uốn Định nghĩa 1.9 Điểm U (x0 ; f (x0 )) gọi điểm uốn đồ thị hàm số y = f (x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho hai khoảng (a; x0 ) (x0 ; b) tiếp tuyến đồ thị điểm U nằm phía đồ thị khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị Mệnh đề 1.10 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai khoảng chứa x0 , f 00 (x0 ) = f 00 (x) đổi dấu qua điểm x0 U (x0 ; f (x0 )) điểm uốn đồ thị hàm số y = f (x) B Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát • Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d y U (a 6= 0) y U x O • Hàm số y = ax4 + bx2 + c y (a 6= 0) y ax + b • Hàm số y = cx + d y x O (c 6= 0, ad − bc 6= 0) y I x O • Hàm số y = ax2 + bx + c dx + e (a 6= 0, d 6= 0) y y I I O x O x O x O I x O x C Bài Tập 1.38 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau a) y = x3 + 3x2 − b) y = −x3 + 3x − c) y = −x3 + 3 e) y = x + x − f) y = −2x − x − g) y = −x3 + 3x2 − d) y = x3 + 3x2 + 3x + h) y = 31 x3 − x2 − 3x − 53 1.39 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau c) y = 12 x4 + x2 − 32 a) y = x4 − 2x2 − b) y = x4 + 2x2 − 4 e) y = −x + 2x − f) y = 2x − 4x + g) y = −2x4 − 4x2 + d) y = − 2x2 − x4 h) y = x4 − 4x2 + 1.40 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau x−3 a) y = b) y = c) y = 2−x 2−x x−2 x+2 e) y = f) y = g) y = x+1 x−1 −x + 2x + x+3 h) y = x−2 x+3 x−1 2−x x+1 d) y = Nguyễn Minh Hiếu cuahocduong.vn 1.41 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau x2 + 2x + x2 − 2x − 2x2 + 5x + a) y = b) y = c) y = x+1 x−2 x+2 2 x − 2x 2x − x + g) y = −x + + e) y = f) y = x−1 x−1 1−x 10 −x2 − 2x x+1 h) y = x − + x+1 d) y = cuahocduong.vn Nguyễn Minh Hiếu §3 Phương Trình Đường Trịn A Kiến Thức Cần Nhớ Phương trình đường trịn √ 2 • Dạng 1: (x − a) + (y − b) = R2 (R > 0) Có tâm I (a; b) bán kính R = √R2
• Dạng 2: x2 + y − 2ax − 2by + c = a2 + b2 > c Có tâm I (a; b) bán kính R = a2 + b2 − c Tiếp tuyến với đường trịn −−→ • Tiếp tuyến M qua điểm M có vectơ pháp tuyến IM • Phương trình tiếp tuyến M là: (x0 − a) (x − x0 ) + (y0 − b) (y − y0 ) = Bán kính đường trịn • Điểm M thuộc đường trịn R = IM • Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn R = d (I; ∆) B Bài Tập 3.43 (B-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y − 2x − 6y + = điểm M (−3; 1) Gọi T1 , T2 tiếp điểm vẽ từ M đến (C) Lập phương trình đường thẳng T1 T2 3.44 (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (1; 0) đường tròn (C) : x2 + y − 2x + 4y − = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) hai điểm M, N cho tam giác AM N vuông cân A 3.45 (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y − 2x − 4y + = đường thẳng d : [ = 1200 , với I tâm (C) 4x − 3y + m = Tìm m để d cắt (C) hai điểm A, B cho AIB 3.46 (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1) + y = Gọi I tâm (C) Xác định toạ độ \ điểm M ∈ (C) cho IM O = 300 3.47 (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 +y +4x+4y+6 = đường thẳng ∆ : x+my−2m+3 = 0, với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm M để ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn 3.48 (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + = đường tròn (C) : x2 + y − 4x − 2y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến M A M B đến (C), (A, B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác M AIB có diện tích 10 3.49 (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 2) + y = 45 hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0, ∆2 : x − 7y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường trịn (C1 ), biết đường tròn (C1 ) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 , ∆2 tâm K thuộc đường tròn (C) 3.50 (A-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 2) , B (−2; −2) , C (4; −2) Gọi H chân đường cao vẽ từ B M, N trung điểm AB, BC Viết phương trình đường trịn qua H, M, N 3.51 (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = 3.52 (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C1 ) : x2 + y = 4, (C2 ) : x2 + y − 12x + 18 = đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc (C2 ) tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai điểm phân biệt A B cho AB vng góc với d √ √ 3.53 (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = d2 : 3x − y = Gọi (T ) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T ), √ biết tam giác ABC có diện tích 23 điểm A có hồnh độ dương §4 Phương Trình Elip A Kiến Thức Cần Nhớ y B2 A1 F1 O B1 20 F2 A2 x Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng • Phương trình tắc elip: • Trong đó: Các đỉnh: Các tiêu điểm: Trục lớn: Trục nhỏ: Tiêu cự: Tâm sai: Bán kính qua tiêu: y2 x2 + =1 a b
b2 = a2 − c2 A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; −b), B2 (0; b) F1 (−c; 0), F2 (c; 0) A1 A2 = 2a B1 B2 = 2b F1 F2 = 2c c e= a cx cx M F1 = a + , M F2 = a − a a B Bài Tập 3.54 Tìm tọa độ tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé elip có phương trình sau x2 y2 x2 y2 c) x2 + 4y = a) + = b) + = 25 3.55 Viết phương trình tắc đường elip (E) trường hợp sau √ a) (E) có độ dài trục lớn tâm sai e = 23 b) (E) có độ dài trục bé tiêu cự  √  √
c) (E) có tiêu điểm F 3; qua điểm M 1; 23 √ 3.56 (A-08) Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình tắc elip có tâm sai sở có chu vi 20 3.57 (D-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm C(2; 0) elip (E) : hình chữ nhật x2 y + = Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng qua trục hoành tam giác ABC √
x2 y elip (E) : + = Gọi F1 F2 tiêu điểm (E) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (T ); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AN F2 3.58 (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 2; 3.59 (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường trịn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x2 + y = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox x2 y2 + = Tìm tọa độ điểm A B thuộc (E), có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn 3.60 (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho (E) : 3.61 (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vng 21 Nguyễn Minh Hiếu cuahocduong.vn 22 Chun đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §1 Cực Trị Của Hàm Số A Kiến Thức Bổ Sung Cách tính tung độ cực trị: • Nếu y = f (x).g(x) + r(x) y0 = r(x0 ) u(x) u0 (x0 ) • Nếu y = y0 = v(x) v (x0 ) B Bài Tập 4.1 Tìm m để hàm số y = x3 − (m + 1) x2 + 9x − m đạt cực trị x1 , x2 thỏa |x1 − x2 | ≤
4.2 Tìm m để hàm số y = x3 + (m − 1) x2 + m2 − 4m + x + đạt cực trị x1 , x2 thỏa x11 + x12 = 12 (x1 + x2 )
4.3 (D-2012) Tìm m để hàm số y = 23 x3 − mx2 − 3m2 − x + 23 có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1 x2 + (x1 + x2 ) =
4.4 Tìm m để hàm số y = −x3 + (2m + 1) x2 − m2 − 3m + x − có hai cực trị nằm hai phía trục tung 4.5 (DB-05) Tìm m để hàm số y = x2 + 2mx + − 3m2 có hai cực trị nằm hai phía trục tung x−m 4.6 (DB-04) Tìm m để hàm số y = x3 − (m + 1) x2 + 3m (m + 2) x + đạt cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ dương mx2 + 3mx + 2m + có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Ox x−1
4.8 (A-02) Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + − m2 x + m3 − m2 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số 4.7 Tìm m để hàm số y = 4.9 Tìm m để hàm số y = x3 − 32 mx2 + 12 m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x
4.10 (B-07) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + m2 − x − 3m2 − có cực đại, cực tiểu điểm cực trị cách gốc toạ độ 4.11 Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx − 3m + có cực trị đồng thời chúng cách đường thẳng d : x − y = 4.12 (D-2011) Tìm m để hàm số y = x4 − (m + 1) x2 + m có ba cực trị A, B, C cho OA = BC, O gốc tọa độ A thuộc trục tung 4.13 Tìm m để hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác 4.14 (A-2012) Tìm m để hàm số y = x4 − (m + 1) x2 + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông x2 + (m + 1) x + m2 + 4m có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực trị x+2 với gốc toạ độ tạo thành tam giác vng 4.15 (A-07) Tìm m để hàm số y = 23 cuahocduong.vn Nguyễn Minh Hiếu 4.16 (B-2012) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m3 có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 4.17 (A-05) Tìm m để hàm số y = mx + cận xiên √12 x có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm 4.18 (B-05) Chứng minh với m bất kỳ, hàm số y = √ cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 x2 + (m + 1) x + m + ln có điểm cực đại, điểm x+1 4.19 Tìm m để hàm số y = 13 x3 − mx2 − x + m + có khoảng cách cực đại, cực tiểu nhỏ §2 Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị A Kiến Thức Cần Nhớ Giao điểm hai đồ thị • Hồnh độ giao điểm (C1 ) : y = f (x) (C2 ) : y = g(x) nghiệm phương trình f (x) = g(x) • Số giao điểm (C1 ) (C2 ) số nghiệm phương trình f (x) = g(x) Lưu ý Phương trình f (x) = g(x) gọi phương trình hồnh độ giao điểm Sự tiếp xúc hai đồ thị  • Đồ thị hai hàm số y = f (x) y = g(x) tiếp xúc M (x0 ; y0 ) ⇔ f (x0 ) = g(x0 ) f (x0 ) = g (x0 ) B Bài Tập 4.20 Tìm giao điểm đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x − parabol y = x2 − 4x + 4.21 Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 − 2x + 8m cắt trục hoành ba điểm phân biệt 4.22 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 − cắt trục Ox ba điểm phân biệt 4.23 Tìm a để đồ thị hàm số y = x3 + ax + cắt đường thẳng y = điểm 4.24 (D-06) Gọi d đường thẳng qua A (3; 20) có hệ số góc m Tìm m để d cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x + ba điểm phân biệt 4.25 (A-2010) Tìm m để hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m) x + m có đồ thị cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện x21 + x22 + x23 < 4.26 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + 4x + 4m − 16 cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn 4.27 Chứng minh đồ thị hàm số y = x−1 cắt đường thẳng y = m − x với giá trị m x+1 4.28 Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y = 2x − hai điểm thuộc hai x+1 nhánh phân biệt 4.29 (D-2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị hàm số y = 2x + hai điểm phân biệt A, B x+1 cho khoảng cách từ A B đến trục hoành 4.30 Chứng minh với giá trị m đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = x+3 hai điểm x+1 phân biệt M, N Xác định m cho độ dài M N nhỏ 4.31 (B-09) Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = AB = 4.32 Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 − hai điểm phân biệt A, B cho x x2 − 2x + hai điểm A, B đối xứng qua x−1 đường thẳng y = x + 4.33 Tìm m để đồ thị hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + cắt trục hoành hai điểm phân biệt 24 Chuyên đề Các Bài Tốn Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số 4.34 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − (3m + 4) x2 + m2 cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng 4.35 (D-09) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x4 − (3m + 2) x2 + 3m bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ 4.36 (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 4.37 (D-02) Tìm m để đồ thị hàm số y = (2m − 1) x − m2 tiếp xúc với đường thẳng y = x x−1 4.38 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m3 − m2 tiếp xúc với trục hoành hai điểm phân biệt §3 Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ • Hệ số góc tiếp tuyến M (x0 ; y0 ) k = y (x0 ) • Phương trình tiếp tuyến M (x0 ; y0 ) y = y (x0 ) (x − x0 ) + y0 B Bài Tập 4.39 (B-04) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị hàm số y = 31 x3 − 2x2 + 3x (C) tâm đối xứng chứng minh ∆ tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ 4.40 (DB-08) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1) x + Tìm m để tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = −1 qua điểm A (1; 2) 4.41 (TN-08) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 3x − điểm có tung độ −2 x+1 x+3 Tiếp tuyến điểm (S) (C) cắt hai tiệm cận (C) P x+1 Q Chứng minh S trung điểm P Q 4.42 (DB-06) Cho hàm số y = 4.43 Cho hàm số (Cm) : y = x3 + − m (x + 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (Cm) giao điểm (Cm) với Oy Tìm m để tiếp tuyến nói chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích 4.44 (TN-09) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 4.45 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 2x + , biết hệ số góc tiếp tuyến −5 x−2 −x + biết tiếp tuyến song song với đường phân giác 2x − góc phần tư thứ hai mặt phẳng toạ độ 4.46 (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số y = y = x + 2x + , biết d vng góc với đường thẳng x+1 4.47 (D-05) Cho hàm số y = 13 x3 − m x + có đồ thị (Cm) Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ −1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 4.48 (B-06) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x2 + x − (C) Biết tiếp tuyến vng x+2 góc với tiệm cận xiên (C) 4.49 (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x cho tiếp tuyến hai tiệm cận cắt x−1 tạo thành tam giác cân 4.50 Tìm m để (Cm) : y = x3 + 3x2 + mx + cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C (0; 1) , D, E cho tiếp tuyến với (Cm) D E vng góc với −x + Chứng minh với m đường thẳng y = x + m cắt đồ thị 2x − (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn 4.51 (A-2011) Cho hàm số (C) : y = 4.52 (B-08) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1, biết tiếp tuyến qua M (−1; −9) 25 ... Biến Thi? ?n Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §5 Khảo Sát Sự Biến Thi? ?n Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Sơ đồ khảo sát tổng quát Tập xác định Sự biến thi? ?n • Giới hạn, tiệm cận (nếu có) • Bảng biến thi? ?n... ∀x ∈ D • Lập bảng biến thi? ?n g(x) D Từ bảng biến thi? ?n rút kết luận PP2: • Tính y Tìm điểm y = khơng xác định • Lập bảng biến thi? ?n Từ bảng biến thi? ?n rút kết luận Lưu ý • m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔... bảng biến thi? ?n Từ bảng biến thi? ?n rút kết luận Xét tính đơn điệu khoảng cho trước PP1: • Tính y y ≥ 0, ∀x ∈ D (hoặc y ≤ 0, ∀x ∈ D) • Từ y ≥ 0, ∀x ∈ D ⇒ m ≥ g(x), ∀x ∈ D • Lập bảng biến thi? ?n g(x)