Thông tin tài liệu
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM -TỔ TỐN Chuyên đề 11 BẤT ĐẲNG THỨC Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y = Tìm GTNN biểu thức P = x + ÷ y + ÷ y2 x Lời giải • Ta biến đổi P = ( xy ) + +2 ( xy ) x, y > nên = x + y ≥ xy ⇒ < xy ≤ x + y = 1 Đặt t = ( xy ) , điều kiện t < t ≤ 16 Khi biểu thức P = f ( t ) = + t + t 1 t −1 f ' ( t ) = ; ta thấy f ' ( t ) < với t ∈ 0; , suy hàm số f(t) nghịch biến nửa khoảng 16 t 1 0; 16 289 ( ) P = f t = f = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 16 16 t∈( 0; ] • Do • • • • 16 (Khối A 2006) Cho số thực x ≠ 0, y ≠ thỏa ( x + y ) xy = x + y − xy Tìm GTLN biểu thức Lời giải S2 • Đặt x + y = S xy = P với P ≠ , từ giả thiết ta có P = S +3 • x, y tồn S ≥ P ⇔ S ≥ ( S ≠ −3) 4S S −1 ⇔ ≤1⇔ ≥ ⇔ S < −3 ∨ S ≥ S +3 S +3 S +3 • • x + y ( x + y )( x + y − xy ) ( x + y ) xy x + y S + 3 = = = Ta biến đổi A = 3 = 3 3 x y x y x y S xy Xét hàm số với t < −3 ∨ t ≥ , ta có f / (t ) = − < t2 • BBT 34 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM -TỔ TỐN • Suy A = f (t ) ≤ 16 • Vậy GTLN P = 16 x = y = Cho số thực dương thay đổi x, y thỏa điều kiện x + y = Tìm GTNN biểu thức P = 1 + x +y xy Lời giải • P= 1 1 1 + = + = + 3 xy ( x − y ) − 3xy ( x + y ) xy − xy xy x +y x+ y • Đặt < t = xy ≤ = 1 + • Xét hàm số f (t ) = với < t ≤ − 3t t f / (t ) = − ⇒ f / (t ) = ⇔ t = ± (1 − 3t ) t • BBT 3− = 4+2 • Suy P ≥ f 1 − ; y= • Vậy GTLN P = + x = 1 ± − 1 2 (khối D 2009) Cho số thực không âm x, y thỏa điều kiện x + y = Tìm GTLN GTNN biểu thức S = (4 x + y )(4 y + x) + 25 xy Lời giải • Do x + y = nên S = (4 x + y )(4 y + 3x ) + 25 xy = 16 x y + 12( x + y ) + xy + 25 xy = 16 x y + 12 ( x + y ) − 3xy ( x + y ) + 34 xy = 16 x y − xy + 12 [ ] x+ y • Đặt ≤ t = xy ≤ = • Xét hàm số f (t ) = 16t − 2t + 12 với ≤ t ≤ 35 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG f / (t ) = 32t − ⇒ f / (t ) = ⇔ t = HĐBM -TỔ TOÁN 16 25 x = y = 2 191 2+ 2− 2− 2+ ,y= ,y = GTNN S = x = x = 16 4 4 • Vậy GTLN S = Cho số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện y ≤ x + x = y + 12 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P = xy + x + y + 17 Lời giải • Ta có x + x − 12 = y ≤ ⇔ −4 ≤ x ≤ • P = x( x + x − 12) + x + 2( x + x − 12) + 17 = x + x − x − • Xét hàm số f ( x) = x + x − x − với − ≤ x ≤ f / ( x) = x + x − ⇒ f / ( x) = ⇔ x = −3; x = • Vậy GTLN P = 20 x = −3, y = −6 x = 3, y = GTNN P = −12 x = 1, y = −10 36 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN (Khối B 2009) Cho số thực thay đổi thỏa ( x + y )3 + xy ≥ Tìm GTNN biểu thức Lời giải • • • • x2 + y2 Ta có ( xy) ≤ x2 + y2 2 − 2( x + y ) + P ≥ 3( x + y ) − ( x + y) ≥ (theo giả thiết ( x + y ) + ( x + y ) ≥ ( x + y ) + xy ≥ ) Đặt t = x + y ≥ 2 Xét hàm số với t ≥ t f / (t ) = − 2 2 • Suy P ≥ f (t ) ≥ f ( ) = • Vậy GTNN P = 16 x = y = z = 16 (Khối B 2010) Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = Tìm GTNN biểu thức Lời giải • Ta biến đổi • Đặt t = ab + bc + ca , điều kiện ≤ t = ab + bc + ca ≤ • Xét hàm số (a + b + c) = 3 , ta có f '(t ) = 2t + − f / / (t ) = − − 2t (1 − 2t )3 ≤0 11 / / Do f / (t ) hàm nghịch biến: f (t ) ≥ f ÷ = − > 3 Suy f (t ) hàm số đồng biến • BBT t 37 Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM -TỔ TỐN f / ( t) 10 + f (t ) • Suy P ≥ f (t ) ≥ f (0) = ab = bc = ca • Vậy GTNN P = ab + bc + ca = (1; 0; 0) hoán vị a +b + c =1 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Tìm GTLN biểu thức Lời giải 2 • Ta có = 3(3 − c) + 3c − 2(3 − c)ab • Giả sử < a ≤ b ≤ c ⇒ ≤ c < a+b ≥ 3(3 − c ) + 3c − 2(3 − c) 3−c = 3(3 − c ) + 3c − 2(3 − c) 27 = c3 − c + 2 • Xét hàm số 2 2 với ≤ t < f (t ) = 3c − 3c / · BBT: • Suy P ≥ f (1) = 13 • Vậy GTNN P = 13 a = b = c = Cho số dương x, y, z thỏa x + y + z ≤ Tìm GTNN biểu thức 38 Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM -TỔ TỐN Lời giải • Theo bất đẳng thức Cơsi ta có ≥ x + y + z ≥ 33 xyz 1 + + ≥ x y z xyz 3 • Suy P ≥ xyz + xyz • Xét hàm số với < t ≤ f / (t ) = − 3 − 3t = Tìm GTNN biểu thức Lời giải • Ta có dựa vào phép chứng minh tương đương • Đặt , • Đặt t = z a • Xét hàm số f (t ) = (1 − t ) + 64t với ≤ t ≤ [ ] f / (t ) = 64t − (1 − t ) ⇒ f / (t ) = ⇔ t = 44 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM -TỔ TỐN • Suy P ≥ , f ÷ = 81 1 • Vậy GTNN P = 16 16 x = y = z 81 19 (Khối B 2007) Cho số thực dương x, y, z Tìm GTNN biểu thức Lời giải • Ta có • Do x + y + z ≥ xy + yz + zx x2 y2 z2 P ≥ + + + + + x y z • Xét hàm số với t ≥ f / (t ) = t − • Vậy GTNN P = t2 x = y = z = 20 (Khối A 2011)Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1;4] x ≥ y , x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x y z + + 2x + 3y z + y z + x Lời giải 1 + ≥ với ab ≥ (chứng minh tương đương) + a + b + ab x 1 P= + + ≥ + 2x + 3y 1+ z 1+ x + 3y x Khi 1+ y z x y • Ta có • • Đặt t = x với ≤ t ≤ y 45 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN t2 + 2t + + t t2 + Xét hàm số f (t ) = với ≤ t ≤ 2t + + t − t (4t − 3) + 3t (2t − 1) + / f (t ) =
Ngày đăng: 28/09/2016, 13:41
Xem thêm:
