SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI OLYMPIC 24–3 LẦN THỨ NHẤT Mơn thi: TỐN 10 Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình 3x − − x + = x − 3x ( 2y − 1) = 4y − 4y + 21 b) Giải hệ phương trình 2 3x ( 2y − 1) = x + 20 Câu (3,0 điểm) a) Tìm tập xác định của hàm số : y = x + 3x − b) Cho hai hàm số y = x + 2x − y = 4x + m (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng AB đến trục tọa độ Câu (3,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x + y + z =3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P= ( 2x + 3y + z ) + ( 2y + 3z + x ) + ( 2z + 3x + y ) 3 z2 x + 33 x y + 33 y 2z + Câu (2,0 điểm) Trên đường trịn có bán kính ta lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có ba điểm tạo thành ba đỉnh tam giác có diện tích nhỏ 20 Câu (4,0 điểm) a) Cho tam giác ABC vng B có ¶A = 600 Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm uuur uuur thỏa mãn AN = AC Chứng minh AM ⊥ BN b) Cho hai đường tròn (O1; r) (O2; R) tiếp xúc A ( r < R ) Qua điểm A vẽ cát tuyến cắt (O1) B cắt (O2) C (B; C khác A) Một đường trịn (T) thay đổi ln qua B C cắt (O2) D (D khác C) cắt (O1) E (E khác B) Gọi M giao điểm CD BE Chứng minh điểm M di động đường thẳng cố định Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (T) có đường chéo AC đường kính C(4; –2), đường chéo BD có trung điểm M(3 ; –1) Một đường thẳng qua D điểm E(–1; –3) cho DE song song BC Biết đường thẳng AB qua F(1 ; 3) Tìm tọa độ điểm A; B; D -Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM LẦN THỨ NHẤT QUẢNG NAM Mơn thi: TỐN 10 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Câu a) Giải phương trình 3x − − x + = x − (1) 5,0 ĐK: x ≥ 4/3 (*) Điểm 2,0 0,25 2x − = x −3 3x − + x + x = (thoa (*)) ⇔ 3x − + x + = (2) Khi đó: (1) ⇔ 0,5 0,5 (2) ⇔ (3x − 4)(x + 2) = − 2x ⇔ x2 – 14x + 17 = x ≤ 3/2 ⇔ x = − (thỏa (*)) Vậy (1) có nghiệm: x = x = − 0,25 0,25 0,25 3x ( 2y − 1) = 4y − 4y + 21 b) Giải hệ phương trình 2 3x ( 2y − 1) = x + 20 3,0 3x ( 2y − 1) = ( 2y − 1) + 20 3x ( 2y − 1) = 4y − 4y + 21 ⇔ 2 3x ( 2y − 1) = x + 20 3x ( 2y − 1) = x + 20 (I) 0,5 Đặt t = 2y – hệ (I) trở thành: 3x t = t + 20 2 3xt = x + 20 (1) (2) Nếu (x ; t) nghiệm hệ x > t > Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: 3xt(x − t) = t − x ⇔ (x − t)(3xt + x + t) = (1) ⇔ x = t (vì x > 0, t > nên 3xt + x+t > 0) Thay t = x vào (1) ta được: 3x3 = x2 + 20 ⇔ 3x − x − 20 = ⇔ (x − 2)(3x + 5x + 10) = ⇔x=2 3 Vậy, hệ cho có nghiệm ( x; y ) = 2; ÷ 2 x = ⇒ 2y – = ⇔ y = 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung Câu a) Tìm tập xác định của hàm số : y = x + 3x − 3,0 Hàm số cho xác định : x + 3x − ≥ Điểm 1,0 0,25 0,25 ⇔ (x + 2) (x − 1) ≥ x = −2 x = −2 ⇔ ⇔ x −1 ≥ x ≥1 0,25 Vậy tập xác định hàm số cho D = {–2} ∪ [1 ; +∞) b) Tìm m … Gọi (P) parabol y = x + 2x − d đường thẳng y = 4x + m PT hoành độ g/đ (P) d là: x + 2x − = 4x + m ⇔ x − 2x − m − = (1) (P) d cắt điểm phân biệt khi: PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ m > −4 Gọi x A ; x B nghiệm (1), I trung điểm AB nên: xA + xB = ; y I = 4x I + m = m + d(I;Ox) = d(I;Oy) ⇔ y I = x I Kết hợp với m > – ta m = –3 Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3,0 Ta có 2x + 3y + z = x + 2y + = ( x + 1) + ( y + 1) + ( y + 1) ≥ 3 ( x + 1) ( y + 1) 2 Khi ( 2x + 3y + z ) ≥ 27 ( x + 1) ( y + 1) Tương tự cho hai hạng tử lại Do xz + x + z ≥ 33 x 2z , ∀x > 0, z > (bất đẳng thức Côsi) nên: y + 1) ( = 27 ( z + 1) 2 0,25 = x+ y+z+3= 0,5 Suy P ≥ 27.6 = 162 Vậy Pmin = 162 x = y =z =1 π Câu Chia hình trịn thành hình quạt Mỗi hình quạt có diện tích 2,0 Khi đường trịn chia thành cung tròn Do 17 = 2.8 + nên theo nguyên lý Dirichlet có cung, (giả sử cung AB) chứa điểm, giả sử điểm M,N, P ( với lAB » = CV(O) ) Ta có S∆MNP < Svp ( Svp diện tích viên phân) Mà Svp = Sq − S∆OAB π π−2 = − = 8 Vậy có điểm 17 điểm cho lập thành tam giác có diện tích nhỏ 0,25 0,25 0,25 ( z + 1) + ( x + 1) P ( y + 1) ≥ + 27 ( z + 1) ( x + 1) ( y + 1) x + y + z + 3) ( ≥ ( x + y + z + 3) 0,5 0,5 Tương tự cho hai hạng tử lại 0,5 0,25 0,25 0,25 ⇔ m + = ⇔ m = −3 hoac m = −5 ( 2x + 3y + z ) ≥ 27 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) ( x + 1) z2x + 0,25 0,5 xI = 0,25 2,0 π − 2 3, − 2.1, < = 8 20 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 Câu Nội dung Câu a) Chứng minh AM ⊥ BN 40 Giả sử AB = BC = C Điểm 2,0 0,25 uuur uuur uuur uuur uuur uuur AN = AC => BN − BA = (BC − BA) uuu5r uuur uuur => 5BN = 3BA + 2BC uuuur uuur uuuur uuur uuur AM = AB + BM = AB + BC uuuur uuur uuur ⇒ 2AM = 2AB + BC uuuur uuur uuur uuur uuur uuur 10AM.BN = 3BA + 2BC −2BA + BC M N ( )( ) = −6AB2 + 2BC2 (do BA ⊥ BC) B = –6 + = Vậy: AM ⊥ BN A b) Chứng minh M di động đường cố định M Ta có: PM/(T) =MD.MC= MB.ME PM/(O2 ) = MD.MC PM/(O1) = MB.ME D O1 Suy ra: PM/(O2 ) = PM/(O1) => M nằm trục đẳng phương (O1), (O2) nên MA tiếp tuyến chung hai đường tròn (O1)(O2) ⇒ M di động đường thẳng cố định tiếp tuyến A C B A E O2 Câu Tìm tọa độ điểm A; B; D 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 3,0 A E F B H D M C + Gọi H trực tâm tam giác ABD, ta có AB ⊥ BC ⇒ DH qua E + Chứng minh tứ giác BHDC hình bình hành + C H đối xứng qua M, tìm H(2;0) + Viết PT đường thẳng DH: x –y –2=0 + Viết PT đường thẳng AB : x + y – = + Gọi B(b; – b ) thuộc AB Vì M trung điểm BD nên D(6 – b; b – ) + D nằm DH nên: (6 – b ) – (b – ) – = hay b = + Suy : D(1 ; – ) B(5 ; – ) +Đường cao (AH) qua H(2; 0) vng góc BD nên có PT : x – =0 + A giao điểm AH AB nên A(2;2) 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25