Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Kính gửi quý thầy cô em học sinh yêu quý trích đoạn nhỏ “Chinh phục hình học giải tích mặt phẳng Oxy” Đội ngũ tác giả LOVEBOOK GSTT GROUP Ngày phát hành: 22/11/2014 Chinh phục hình học giải tích mặt phẳng Oxy - 22/11/2014 Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Ví dụ 1: [ Tĩnh Gia 1- Lần 2014] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm 𝐼(1,2), bán kính 𝑅 = Chân đường cao kẻ từ B C 𝐻(3,3) 𝐾(0, −1) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết A có tung độ dương Phân tích: Đọc qua lượt toán, thử vẽ phác nháp, ta xâu chuỗi kiện với Trước hết viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đọc tiếp, ta thấy điểm A có tung độ dương, hướng ta tìm điểm A Rất phải tìm phương trình IA, cho giao với đường tròn để tìm điểm A sau loại nghiệm sau, có lẽ hướng khả thi Biết tọa độ điểm I rồi, yếu tố véc tơ phương pháp tuyến đường thẳng Dựa vào hình vẽ phác nháp, ta dự đoán AI vuông góc với KH- ngẫu nhiên mà ta nghĩ vậy, tọa độ điểm K điểm H ta biết Dự đoán được, hướng có, ta bắt tay vào chứng minh AI vuông góc với KH Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, hướng thông thường chứng minh hai góc lại tam giác chứa góc phụ Với giả thiết BH CK đường cao, ta thấy tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp đường kính BC- muốn viết phương trình đường tròn cần tìm tọa độ B C Tứ giác BCHK nội tiếp nên ta có AKH ACB ( bù với góc HKB ) Một bước làm quen thuộc kéo dài IA, cắt đường tròn điểm D ta hoàn toàn tận dụng điểm Nếu ta chứng minh BAD AKH góc với KH Nhưng điều lại đúng, ta có ACB 90O ta hoàn thành chứng minh AI vuông ADB (cùng chắn cung AB ) nên ta suy “chuỗi liên hoàn”: BAD AKH BAD ACB BAD ADB 90O Ta hoàn thành chứng minh AI KH Các điểm B, C thuộc đường tròn tâm I Phương trình đường thẳng AB, AC ta hoàn toàn viết biết tọa độ điểm A, K, H Cho đường thẳng giao với đường tròn, dựa vào IB=IC=5, ta tìm tọa độ điểm B, C, cuối hoàn thành toán phương trình đường tròn đường kính BC Lời giải: Gọi D điểm đối xứng với A qua I, suy D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do đó: BAD ADB 90O (1) Chinh phục hình học giải tích mặt phẳng Oxy - 22/11/2014 Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp nên AKH Lại có: ACB ACB (2) ADB (cùng chắn cung AB ) (3) Từ (1), (2) (3) ta có BAD AKH 90O hay AD KH Ta có KH 3;4 , suy phương trình đường thẳng AD Lại có: IA R 4a Suy A 5; A Ta có: AK 3a 5a 3;5 Do A có tung độ dương nên A 3; , suy phương trình đường thẳng AB là: Do IB=5 nên B(1;-3) Lại có AH 4t 3t A 4a;2 3a a x y 3;5 x y t 2t B b; 2b 6; , suy phương trình đường thẳng AC x y 3t t C 3c;3 c Vì IC=5 nên C(6;2) Ta lại có BC dễ dàng tìm trung điểm J BC có tọa độ J ; 2 Đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK nhận BC làm đường kính nên có phương trình là: x 2 y 2 25 Ví dụ 2: [ Thầy Lê Đình Mẫn] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A(-1;3) Gọi D điểm nằm cạnh AB cho AB=3AD H hình chiếu vuông góc B CD Điểm M ; trung điểm 2 đoạn HC Xác định tọa độ điểm C, biết điểm B nằm đường thẳng x+y+7=0 Phân tích: Bài toán “hiểm”, hiểm chỗ kiện để khai thác gần kiện không liên quan đến Muốn giải toán phải có chìa khóa làm “lẫy” “bẩy” hết toán Yêu cầu toán tìm điểm C, ta lại biết tọa độ trung điểm M đoạn HC, ta suy ngược lên phải tìm tọa độ điểm H Muốn tìm tọa độ điểm H, ta lại phải tìm phương trình đường thẳng DC BH Tận dụng kiện hai đường thẳng vuông góc với H, ta nhận thấy cần biết tọa độ điểm B xong, từ điểm B suy tọa độ điểm D suy phương trình đường thẳng DC BH Vậy mấu chốt điểm B, tìm nó? Câu trả lời phải “mạnh dạn” dự đoán: AM BM Bởi gần hướng khả thi nhất: dựa vào hình vẽ, dựa vào kiện đề bài- ta có AM BM , ta viết phương trình đường thẳng BM, cho giao với đường thẳng x+y+7=0, ta tìm tọa độ điểm B Vậy nút thắt toán phải chứng minh AM BM Ta dùng công cụ vecto để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với dựa vào tích vô hướng- phần trình bày phần bình luận Còn bây giờ, bạn ý phép dựng hình để tận dụng ráp nối kiện với nhau, là: Lập đường tròn với đường kính AB, với dự đoán điểm M thuộc đường tròn Tam giác ABC cân A nên trung điểm K BC thuộc đường tròn Tiếp tục dựng hình chữ nhật AKBF nội tiếp đường tròn, dựa vào định lý Ta-lét dựa vào tam giác đồng dạng, ta nhận thấy F, D, C thẳng hàng M trung điểm HC, ta lại liên tưởng tới đường trung bình tam giác hoàn toàn tạo cách gọi trung điểm BC BH N Khi MN//BC MN nên ta thấy AMNF hình bình hành có cặp cạnh đối song song Từ ta có AM//FN Vậy ta chứng minh FN vuông góc với BM toán giải xong Nhưng theo cách dựng, FN vuông với BM thật, dễ dàng chứng minh N trực tâm tam giác FBM Lời giải: Chinh phục hình học giải tích mặt phẳng Oxy - 22/11/2014 Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Gọi K trung điểm BC, ta suy AK vuông góc với BC Gọi I trung điểm AB dựng đường tròn (C) tâm I đường kính AB Dễ thấy K thuộc đường tròn (C) BC Dựng hình chữ nhật AKBF nội tiếp đường tròn (C) Theo cách dựng ta có AF BH FA//BC( vuông góc với AK) AD AF Xét tam giác FAD tam giác DBC, ta có: FAD DBC ( so le trong- FA//BC) BD BC FAD ~ DBC (c.g.c) FDA ADC BDC ADC 180O hay F, D, C thẳng hàng Gọi N trung điểm BH Do M trung điểm HC, N trung điểm BH nên MN đường trung bình BC tam giác BHC, suy MN//BC MN Mặt khác BC BF nên kết hợp lại ta có MN BF BC Có MN AF AF//MN(//BC) nên AMNF hình bình hành, suy FN//AM Mặt khác, ta có: MN BF ( chứng minh trên) BH DC ( giả thiết) N giao điểm BH ME, F, D, M thẳng hàng nên tam giác FBM nhận N làm trực tâm Suy FN BM Vậy ta suy tiếp AM BM FN//AM- chứng minh Phương trình đường thẳng AM 𝑦 = −3𝑥 Ta chứng minh AM vuông góc với BM, phương trình đường thẳng BM y x 3 x x y Tọa độ điểm B nghiệm phương trình: B 4; y x y D nằm đoạn AB, mặt khác AB=3AD, ta có tọa độ điểm D D 2;1 Phương trình đường thẳng DM 𝑦 = −𝑥 − Từ dễ suy phương trình đường thẳng BH qua điểm B(−4; −3) vuông góc với DM 𝑦 = 𝑥 + x y x H 1;0 Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình: x y y Chinh phục hình học giải tích mặt phẳng Oxy - 22/11/2014 Nhà sách giáo dục LOVEBOOK M trung điểm H ; 2 1;0 C, suy tọa độ điểm C C 2; Vậy C 2; điểm cần tìm Bình luận: Thực hướng dựng thực khó khăn chưa gặp phải Những toán đòi hỏi dựng hình làm thường khó xơi, đọc lời giải ta không thấy “tự nhiên” cho bước chứng minh AM vuông góc với BM Một hướng khác không cần dựng hình mà chứng minh AM vuông góc với BM, sử dụng công cụ lớp 10- dùng véc tơ Ta biết hai đường thẳng vuông góc với tích vô hướng hai véc tơ phương hai đường thẳng Vậy mấu chốt ta chứng minh AM.BM cạnh AB AB=3AD nên ta suy được: AB 3AD Trước tiên ta có giả thiết D nằm AC CB 3AC 3CD 3DC 2AC BC Xem lại hình vẽ, ta thấy BH vuông góc với DC, tích vô hướng hai véc tơ BH DC Vậy ta cố gắng “lái” AM.BM véc tơ BH , DC cố gắng tận dụng kiện 3DC 2AC BC Ta có: 1 AM.BM AH AC BH BC AH.BH AH.BC AC.BH AC.BC 2 AC.BH CH.BH AB.BC BH.BC AC.BH AC.BC AC.BH BH.BC CH.BH AB.BC AC.BC 0 0 Phần sau toán phần tính toán với tọa độ, tương tự lời giải trình bày Một mẹo nhỏ làm toán viết phương trình đường thẳng qua hai điểm, khai thác sức mạnh CASIO Lấy thẳng ví dụ này, đến bước phải viết phương trình đường thẳng qua hai điểm biết tọa độ M ; 𝐴(−1; 3), ta làm bước sau: 2 Nhấn nút ON để mở máy tính vào MENU- Nhấn 3( STAT)- Nhấn 2( A+BX).( Đó chế độ nhập vào điểm phương trình đường thẳng xuất có dạng 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥, bạn nên ý vào kí tự máy tính suy đoán chức để tận dụng ) Nhập tọa độ điểm vào tương ứng với X Y Nhập đến đâu nhấn = đến đó, ý nhập xác tọa độ X, Y Ví dụ nhập, hình phải có dạng sau: X Y 0,5 -1,5 -1 Tiếp theo, nhấn AC Nhấn SHIFT- nhấn phím 1( gọi menu STAT)- nhấn phím 5( Reg)- nhấn phím 1( giá trị A) Sau nhấn phím =, hình kết Ghi nhớ số Làm tương tự bước trên, khác thay phím số phím số 2( gọi giá trị B), hình kết -3 Vậy, phương trình đường thẳng qua hai điểm có dạng 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥, theo máy tính 𝑦 = −3𝑥 Nói dài dòng bạn ấn nhanh xác kết chuẩn, không nhiều thời gian kiểm tra lại Bài thi đại học không khắt khe chuyện chấm bước rườm rà, biết tọa độ điểm bạn hoàn toàn viết phương trình đường thẳng qua hai điểm đó, không cần cầu kì viết vecto phương hay pháp tuyến Và nhiều thủ thuật với máy tính hay nữa, mong bạn tự khám phá thêm Chinh phục hình học giải tích mặt phẳng Oxy - 22/11/2014 Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Ví dụ 3: [ Đề thi thử lần 3- 2013 K2pi.net] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : 2x y , đỉnh C thuộc đường thẳng d2 : x y Gọi H hình chiếu vuông góc B xuống AC Biết M ; , K(9;2) trung điểm AH CD Tìm toạ độ đỉnh hình 5 chữ nhật biết hoành độ đỉnh C lớn Phân tích: Sau vẽ hình ra, ta thấy toán tương đối khó kiện rời rạc Cần có “siêu keo” để kết dính kiện lại- điều có nhờ tưởng tượng mạnh mẽ phán đoán xác Một tư quen thuộc cố tìm hai đường vuông góc với nhau, dựa vào liệu toán cho để tìm điểm cần thiết Hai điểm M K biết tọa độ, nên ta dự đoán có đường thẳng vuông góc với MK Vẽ vài hình ra, ta có phán đoán BM MK - phán đoán phải xác đến 90% ta viết phương trình đường thẳng BM, cho BM giao với d1 ta tìm B Thừa thắng xông lên, dựa vào tích vô hướng BC.CK điều kiện hoành độ đỉnh C lớn 4, ta tìm tọa độ điểm C Suy nốt điểm D dựa vào trung điểm K CD, suy nốt điểm A dựa vào hai véc tơ BC AD Tóm lại, nút thắt toán chứng minh BM MK Các bước chứng minh trình bày tiếp sau Gọi E trung điểm AB, F trung điểm BK Dễ thấy hình chữ nhật BEKC nội tiếp đường tròn (C) tâm F đường kính BK EC Lại có EM đường trung bình tam giác ABH, BH vuông góc với AC nên ta có EM vuông góc với AC Vậy điểm M thuộc đường tròn đường kính EC, điểm M thuộc đường tròn (C) Mặt khác, BK lại đường kính đường tròn này, dễ thấy BM MK Nút thắt toán gỡ bỏ Lời giải: Gọi E trung điểm AB Ta có EM đường trung bình tam giác ABH nên EM//BH Mặt khác có BH AC nên ta có EM AC Gọi F trung điểm BK Dễ thấy hình chữ nhật BEKC nội tiếp đường tròn (C) tâm F đường kính BK EC Mà EM AC nên M thuộc đường tròn (C) Vậy BM MK Phương trình đường thẳng MK 2x 9y Có BM MK , nên ta suy phương trình đường thẳng BM 9x 2y Chinh phục hình học giải tích mặt phẳng Oxy - 22/11/2014 17 Nhà sách giáo dục LOVEBOOK 9x 2y 17 x Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: 2x y y Điểm C thuộc đường thẳng d2 : x y BC vuông góc với CK nên ta có: BC.KC Có BC c 1;c KC B 1;4 nên tọa độ điểm C có dạng C c;c c 9;c Vậy nên: BC.KC c 2c 0 c c c (do hoành độ điểm C lớn 4) Suy ra: C 9;4 K(9;2) trung điểm CD nên tọa độ điểm D D 9;0 Dựa vào BC AD ta suy tọa độ điểm A A 1;0 Tóm lại tọa độ đỉnh hình chữ nhật cần tìm A 1;0 , B 1;4 , C 9;4 , D 9;0 Bình luận: Tính chất toán trường hợp hình chữ nhật, chắn tính chất hình vuông Và hoàn toàn khai thác tính chất đề toán khối A-2014 Câu hình giải tích phẳng câu khó, hướng thật rõ ràng bạn làm qua toán nhớ cách chứng minh hai đường vuông góc với Tất nhiên hướng rõ ràng chuyện, làm dài hay không lại chuyện khác Mình làm câu hình phẳng tiếng, theo hướng dài trang giấy Rất may trọn vẹn điểm câu ^,^ Ngoài cách làm ra, bạn tham số hóa tọa độ điểm B, C sau giải hệ phương trình: CK.BC BH.MC Lời giải cụ thể xin nhường lại bạn, cách làm nhanh hơn, xin nhấn mạnh lại độ ứng dụng tính chất hình học cách lớn, bạn nên ý ghi nhớ để vận dụng tốt với biến thể Ví dụ 4:[ HSG tỉnh Nghệ An 2012] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x điểm A(7;9), B(0;8) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho biểu thức P y 25 , MA 2MB đạt giá trị nhỏ Phân tích: Ta nhớ lại toán:” Đặt nhà máy D gần bờ sông vị trí để từ điểm B qua sông, đến nhà máy, qua đến điểm A qua quãng đường ngắn nhất?” Cách làm toán không khó Lấy điểm C đối xứng với điểm B qua sông, tìm giao điểm CA bờ sông- vị trí đặt nhà máy Cơ sở cách làm sử dụng bất đẳng thức tam giác Ta có CD AD AC , dấu xảy C, D, A thẳng hàng Vậy toán này, ta làm theo cách lấy đối xứng hay không? Câu trả lời không, nhiên sở để làm toán sử dụng bất đẳng thức tam giác Ta phải tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA 2MB Hệ số MA khác MB nên khó áp dụng bất đẳng thức tam giác, nên ta phải tìm điểm J “lái” cho MA=2MJ- cần lưu ý điểm M chạy lung tung đường tròn, không cố định, mà điểm J cố định phải đảm bảo thỏa mãn MA=2MJ Cách tìm điểm J trình bày phần Ta có MA 2MJ Chú ý MI 2MI IA 4IJ IA 4IJ kiện 3R MA 2 3R 3R 4IJ2 IA 4MJ2 MI IA 2 MI IJ ( thao tác chen điểm I- điểm cố định) R Khai triển biến đổi để cô lập vecto chứa điểm M vế , ta 4IJ IA Đẳng thức với M xảy đồng thời hai điều kiện: 4IJ2 IA Ta giải điều kiện IA , thấy thỏa mãn Vậy J 4IJ , tìm J ;3 Thay ngược trở lại điều ;3 điểm cần tìm Từ ta xử lí toán hướng dùng bất đẳng thức tam giác toán bên trên: MA 2MB Chinh phục hình học giải tích mặt phẳng Oxy - 22/11/2014 MJ MB 2BJ Mặt khác, Nhà sách giáo dục LOVEBOOK dễ nhận thấy A, B nằm đường tròn, nên điểm M giao điểm đường thẳng BJ với đường tròn Cần có thao tác thử lại để hoàn thiện toán Lời giải: (C) có tâm I(1;1) bán kính R = 5 Gọi J ;3 Ta chứng minh với điểm M thuộc (C) ta có MA = 2MJ Thật vậy: MA 2MJ MA Đẳng thức IA 4MJ2 4IJ MI IA 0; 3R 2 MI IJ 4IJ2 IA2 Vì với điểm M thuộc (C) ta có: MA 2MB 2MI IA 4IJ 3R 4IJ IA MJ MB 2BJ Dấu xảy M thuộc đoạn thẳng BJ (Vì B nằm đường tròn (C); J nằm đường tròn (C) Do MA + 2MB nhỏ M giao điểm đường tròn (C) đường thẳng BJ Đường thẳng BJ có phương trình 2x y Tọa độ giao điểm BJ (C) nghiệm hệ 2x y x y 25 x y x y Thử lại ta có điểm M(1;6) thuộc đoạn JB thỏa mãn toán Bình luận: Thực toán cách xử lí thô sơ hơn, gọi tọa độ điểm M hai ẩn a, b, sau viết khoảng cách cần tính tìm cực trị hàm số đó, với giả thiết M thuộc đường tròn Cách làm khó chưa biết điểm rơi, nhiên biết bạn nên luyện tập cách làm Dẫu cách làm mặt tư tưởng đơn giản, bắt tay vào thực khó để làm nuột nà cách Bài toán hình học, dùng kiến thức hình học để giải lúc đẹp nhất! Ví dụ: [ HSG Thanh Hóa 2012] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x y , đường thẳng :y x 3 điểm A(3, 0) Gọi M điểm thay đổi (C) B điểm cho tứ giác ABMO hình bình hành Tính diện tích tam giác ABM, biết trọng tâm G tam giác ABM thuộc dương Phân tích: Chinh phục hình học giải tích mặt phẳng Oxy - 22/11/2014 G có tung độ Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Nhận thấy điểm A thuộc đường tròn M thuộc đường tròn, suy hình bình hành ABMO hình thoi, AM vuông góc với OB Bài toán “đơn sơ” lẽ tất yếu ta phải dựng thêm hình để có thêm kiện để giải toán Gọi I giao điểm MA OB, AM vuông góc với OB I Lại có G trọng tâm tam giác ABM, ABMO hình thoi nên dễ suy OG OI Để tận dụng kiện vừa tìm được, ta dựng GK / /AM nhiều lợi ích Ta có OK OA , từ suy điểm K có tọa độ K(4; 0) Mặt khác lại suy GK OB , nên điểm G thuộc đường tròn đường kính OK Vậy cho đường thẳng :y giao với đường tròn đường kính OK, ta tìm điểm G loại nghiệm nhờ vào x kiện G có tung độ dương Sau tìm điểm G ta tính diện tích tam giác ABM Khó tìm diện tích tam giác ABM cách trực tiếp, nên ta phải tính gián tiếp dựa vào tỉ lệ diện tích Diện tích tam giác AOM diện tích tam giác BMA, mặt khác diện tích AOM gấp đôi diện tích tam giác OIA Lại có diện tích tam giác OAI tỉ lệ với diện tích tam giác OGK- cụ thể Diện tích tam giác OGK ta lại hoàn toàn tính công thức OK.d(G, Ox) Bài toán giải Lời giải: (C) có tâm O(0; 0), bán kính R Nhận xét: A (C) OA OM Gọi I AM OB OG ABMO hình thoi OI OA Kẻ GK / /AM , K OA , ta có: OK GK / /AM GK AM OB K(4; 0) OB Suy G thuộc đường tròn đường kính OK Toạ độ G(x; y), y thoả mãn: y x ( x 2) y Chinh phục hình học giải tích mặt phẳng Oxy - 22/11/2014 Nhà sách giáo dục LOVEBOOK x y y Diện tích: S( 3 AMB ) x y2 S( OAM ) 2y 2S( y 3 2(1 OAI ) )y S( 16 OKG ) G(3; 3) (do y 0) OK.d(G ,Ox ) Chinh phục hình học giải tích mặt phẳng Oxy - 22/11/2014 9.4 16