chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình
Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9-10 MÔN TOÁN – Phần Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN PHẦN : ĐỀ BÀI Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M (5;7) nằm cạnh BC Đường tròn đường kinh AM cắt BC B, cắt BD N (6; 2) , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x − y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên hoành độ đỉnh A bé ( ) x2 x + y − x2 = y + ( x + y ) y − x2 Câu 2: Giải hệ phương trình x − x − y − x − = y − x ( x − 3) Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + ( y − 2) = đường thẳng ( ) d : x + y + = Từ điểm A thuộc d kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với (C) B C Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC 6 ( x3 − x + ) x + x + ( y − 1)2 y + = 12 Câu 4: Giải hệ phương trình x5 + = 1997 y − y + + − x + Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-2; 1), điểm A thuộc trục tung, điểm C thuộc tia Ox góc BAC 30 độ Bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Xác định tọa độ điểm A C y + = x − xy + x − y Câu 6: Giải hệ phương trình 2 ( x + x ) x + y + + ( x + 1) x − y + = x + x + Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC M(3; –1) Tọa độ điểm E(–1; –3) thuộc đường thẳng chứa đường cao qua đỉnh B Đường thẳng AC qua F(1; 3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kinh AD với D(4; –2) x x − y − + y ( x − y ) = x − y Câu 8: Giải hệ phương trình x2 − y + − y 2y −3 = x−2 Câu 9: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = x x + 2z 2z 4x2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = + − x + y + y + x + xy − z Câu 10: Cho a, b, c số thực không âm Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( a (b + c ) a (b + c ) 2a + 2b + c + + 2 a +c a+b b +c ) Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M (5;7) nằm cạnh BC Đường tròn đường kinh AM cắt BC B, cắt BD N (6; 2) , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x − y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên hoành độ đỉnh A bé Lời giải: Ta có tứ giác ABMN tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM vây ANM = 900 Mặt khác AMN = ABN = 450 (cùng chắn AN ) Do ∆ANM vuông cân N Ta có: AN : x − y + = Gọi A ( 5t − 4; t ) Khi đó: AN = MN ⇔ ( 5t − 10 ) + ( t − ) = 16 2 ⇔ t = ∨ t = ⇒ A (1;1) ( xA < 3) Gọi C ( u; 2u − ) u = 2 Lại có: NA = NC ⇔ ( u − ) + ( 2u − ) = 26 ⇔ 13 u = ( loai ) Do C ( 7; ) ⇒ K ( 4; ) ⇒ AC : x − y = 0; BD : x + y − = Lại có: BC : x = ⇒ B ( 7;1) ⇒ D (1; ) Vậy A (1;1) ; B ( 7;1) ; C ( 7;7 ) ; D (1;7 ) ( ) x2 x + y − x2 = y + ( x + y ) y − x2 Câu 2: Giải hệ phương trình x − x − y − x − = y − x ( x − 3) Lời giải: ( ) y − x2 ≥ y − x ≥ Điều kiện: ⇔ 2x −1 ≥ x ≥ Phương trình (1) hệ phương trình tương đương x3 + x y − x = y + x y − x + y y − x ⇔ x3 − ( y − x ) y − x = y + x y − x ⇔ x3 − Đặt ( y − x2 ) = x + ( y − x ) + x y − x (*) y − x = t phương trình (*) trở thành x3 − t = x + t + tx ⇔ ( x − t ) ( x + tx + t ) = x + tx + t ⇔ x − t = ⇔ t = x −1 ⇒ y − x2 = x − Điều kiện có nghiệm x ≥ Với y − x = x − thay vào phương trình (2) ta có Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn x − x − ( x − 1) − 3 = ( x − 1)( x − 3) ⇔ x − ( x − x + 1) = ( x − 1)( x − 3) ⇔ x − ( x − 1) − 1 = ( x − 1) ( 2x − ) − 1 (**) Đặt a = x − 1, b = x − phương trình (**) trở thành a ( 2b − 1) = b ( 2a − 1) ⇔ 2ab − a = 2a b − b ⇔ ( a − b )( 2ab + 1) = x ≥ x ≥ +) Với a = b ⇒ x − = x − ⇔ ⇔ ⇔ ( x − 1) = x − x − 4x + = x = + ⇒ y = + x = − (loai) +) Với 2ab + = ⇒ ( x − 1) x − + = ⇔ (1 − x ) x − = (***) Phương trình có nghiệm ≤ x ≤1 0, ∀x ∈ 0; ⇒ + > 0, ∀x ∈ 0; 1+ − 2x 2 2 3x5 + + 3 Do từ (1) thu x − ≥ ⇔ x ≥ ⇒ x ∈ 1; Xét đồng thời hàm số 2 3 3 f ( x ) = x3 − x + 2; x ∈ 1; ⇒ f ′ ( x ) = x − > 0, ∀x ∈ 1; 2 2 3 g ( x ) = x3 + x; x ∈ 1; ⇒ g ′ ( x ) = x + > 0, ∀x ∈ ℝ 2 Hai hàm số liên tục đồng biến miền tương ứng Trong h ( x ) = ( x3 − x + ) x + x = f ( x ) g ( x ) tổ hợp hai hàm đồng biến nên đồng 3 biến, ta có x ∈ 1; ⇒ h ( x ) ≥ Min h ( x ) = f (1) g (1) = 6.2 = 12 2 3 x∈ 1; 2 Thêm ( y − 1) y + ≥ 0, ∀y ≥ −4 ⇒ ( x − x + ) x3 + x + ( y − 1) y + ≥ 12 Phương trình thứ hệ có nghiệm dấu đẳng thức đồng thời xảy ra, tức x = 1; y = Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-2; 1), điểm A thuộc trục tung, điểm C thuộc tia Ox góc BAC 30 độ Bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Xác định tọa độ điểm A C Lời giải: Theo định lý hàm sin ∆ABC → BC sinBAC = R → BC = C ( 0; ) c = Gọi C ( c; ) → = BC = ( c + ) + ↔ → c = −4 C ( −4;0 ) AB = ( −2;1 − a ) Gọi A ( 0; a ) , với C ( 0; ) → Ta có: AC a = 0; − ( ) ( ( ) A 0; 12 + a = 12 + ↔ ↔ 2 a = − 12 + A 0; − 12 + ( a − 1) + a a ( a − 1) = cos BAC = ) AB = ( −2;1 − a ) Với C ( −4;0 ) → AC = ( −4; − a ) a ( a − 1) + = cos BAC = ↔ a − 2a3 + 5a + 32a + 16 = Ta có: 2 ( a − 1) + a + 16 ( ( )( ( ) ↔ a2 + 12 − a + − 12 a − ) ) 12 + a + + 12 = − 12 + 12 − 19 A 0; − 12 + 12 − 19 a = ↔ ↔ − 12 − 12 − 19 a = − 12 − 12 − 19 A 0; − 12 + 12 − 19 − 12 − 12 − 19 ; C ( −4;0 ) ∨ A 0; ; C ( −4;0 ) Vậy A 0; 2 A 12 + ; C ( 0; ) ∨ A 12 − ; C ( 0;0 ) điểm cần tìm ( ) ( ) y + = x − xy + x − y Câu 6: Giải hệ phương trình 2 ( x + x ) x + y + + ( x + 1) x − y + = x + x + Lời giải: x + y + ≥ x + y + ≥ x + y + ≥ ĐK: 3 x − y + (*) ⇔ 3 x − y + ⇔ 3 x − y + x + 3x − y ≥ )( ) 3 x − xy + x − y ≥ 3 x ( x + 1) − y ( x + 1) ≥ ( ⇒ ( x + y + ) + ( 3x − y + ) ≥ ⇔ ( x + 1) ≥ ⇔ x + ≥ Khi (1) ⇔ y + = ( x + 1)( 3x − y ) ⇔ y + = x + 3x − y Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn Đặt x − y = b ≥ ⇒ 3a − b = ( x + 1) − ( x − y ) = y + x + = a ≥ 0; a = b ⇒ phương trình 3a − b = 2ab ⇔ ( a − b )( 3a + b ) = ⇔ 3a + b = • x = −1 TH1 3a + b = ⇒ x + + x − y = ⇔ x + = x − y = ⇔ y = −3 ⇒ x + y + = −1 − + = −2 < ⇒ không thỏa mãn (*) ⇒ Loại • x +1 ≥ x ≥ −1 TH2 Khi a − b = ⇔ a = b ⇒ x + = x − y ⇔ ⇔ x + = 3x − y y = 2x −1 Thế y = x − vào (2) ta (x + x ) x + x − + + ( x + 1) x − x + + = x + x + ⇔ ( x + x ) x + + ( x + 1) x + = x + x + ⇔ ( x2 + x ) ( ) x + − + ( x + 1) ( ) x + − + ( x − 1) = ⇔ ( x2 + x ) 3x + − x +3− + ( x + 1) + ( x − 1) = 3x + + x+3+2 ⇔ ( x2 + x ) 3x + − x +3− + ( x + 1) + ( x − 1) = 3x + + x+3+2 ⇔ ( x − 1) ( x + x ) + 3x + + ( x − 1) ( x + 1) 2+ x+3 + ( x − 1) = x2 + x x2 + 1 ⇔ ( x − 1) + + =0 + 3x + + x + 3 (3) 1 x + + + 3x + 2 x +x 3x + 3x + + 3x + 2 Ta có + = = >0 + 3x + 3 + 3x + + 3x + ( ) ( ) x2 + x x2 + 1 ⇒ + + > Do ( 3) ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y = 2.1 − = + 3x + + x + 3 Thử lại x = y = thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = (1;1) Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC M(3; –1) Tọa độ điểm E(–1; –3) thuộc đường thẳng chứa đường cao qua đỉnh B Đường thẳng AC qua F(1; 3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kinh AD với D(4; –2) Lời giải: Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn Gọi H trực tâm tam giác ABC ta có: CH / / BD ⊥ AB BH / / CD BHCD hình bình hành suy M trung điểm BC đồng thời trung điểm HD Khi H ( 2; ) suy PT đường cao BH là: x − y − = Do AC : x + y − = CD: x − y − = Suy C = CD ∩ AC ⇒ C ( 5; −1) ⇒ B (1; −1) ⇒ BC : y = −1 Khi AH : x = ⇒ A ( 2; ) Vậy A ( 2; ) ; B (1; −1) ; C ( 5; −1) x x − y − + y ( x − y ) = x − y Câu 8: Giải hệ phương trình x2 − y + − y 2y −3 = x−2 Lời giải: 2 x − y − ≥ x− y≥ Điều kiện: x − y > ⇔ 2 y − ≥ y ≥ Phương trình (1) hệ phương trình tương đương x− y+ y 2x − y − + y ( x − y ) = ⇔ 2x − y − + y ( x − y ) = x − y + x− y ⇔ ⇔ ( y x− y y 2x − y − − x − y + y − + y ( x − y ) − y = − x y x − y −1 x − y −1 +y + y ( x − y − 1) = 2x − y −1 + x − y x − y 1+ x − y ) ( ) y ⇔ ( x − y − 1) + + y = 2x − y − + x − y x − y 1+ x − y ⇔ y = x −1 y Vì y ≥ nên + +y>0 2x − y − + x − y x − y 1+ x − y ( ( ) ) Với y = x − thay vào phương trình (2) ta có x −1 x −1 x − ( x − 1) + − x − = ⇔ x2 − x + − 2x − = x−2 x−2 x −1 x −1 ⇔ x2 − x + + x − − x − = ⇔ x2 − x + + x − − 2x − = x−2 x−2 x − x2 − x + ⇔ x2 − 6x + + =0 x − x − + 2x − x −1 ⇔ ( x − x + ) 1 + = ⇔ x =3⇒ y = x − x − + 2x − ( ) Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn x −1 nên + >0 x − x − + 2x − Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 3; ) Vì x ≥ Câu 9: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = x x + 2z 2z 4x2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = + − x + y + y + x + xy − z Lời giải Chúng ta có: 2z ( x + y ) Từ đánh giá ( x + 2y) ≤ + 4z2 x + y + z + xy x + xy x 2z = = = x ( y + 1) ⇔ ≤ 2 2y +1 x + 2y z ( x + y ) ≤ x ( y + 1) ⇔ z ( x + y ) + x ( x + y ) ≤ x ( y + 1) + x ( x + y ) ⇔ ( x + y )( x + z ) ≤ x ( x + y + 1) ⇔ x + 2z x ≤ x + 4y +1 x + 2y Do suy P= ≤ x + 2z 2z x2 + − x + y + y + x + xy − z x x x2 + − x + y x + y x + y + z + xy − x 2 2x 2x 1 2x = − = − − ≤ x + 2y x + 2y x + 2y Vậy giá trị nhỏ P 4 x = x + y 1 Dấu đẳng thức xảy 2 z = x + y ⇔x= y= z= 13 2 x + y + 4z = 2x Câu 10: Cho a, b, c số thực không âm a (b + c ) a (b + c ) 2a + 2b + c + + 2 a +c a+b b +c Lời giải Không giảm tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c ≥ suy ab ≥ c Do xét hiệu sau ta có: a (b + c ) a (b + c ) b ( a − b) + c ( a − c ) a (b − a ) + c (b − c ) + −2= + 2 b +c a +c b2 + c2 a2 + c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( ) a ( a − b ) ( ab − c ) b ≥ (a − b) − ≥0 = a + c ( a + c )( b + c ) b +c Từ kết hợp với đánh giá quen thuộc 2a + 2b2 ≥ a + b , suy a (b + c ) a (b + c ) 2a + 2b + c + ≥ 2a + 2b + c ≥ ( a + b + c ) ≥ ( a + b ) 2 a +c b +c Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM có: 2 2 P ≥ 2(a + b) + = 2(a + b) + + ≥ 3 ( a + b ) =6 a+b a+b a+b a+b a+b Vậy giá trị nhỏ biểu thức cho Dấu đẳng thức xảy a = b = 1; c = ( ) ( ) Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn PHẦN 3: THÔNG BÁO QUAN TRỌNG GIẢM HỌC PHÍ MÔN TOÁN TRÊN MOON.VN TRONG NGÀY 17/02/2016 STT Tên khóa học Luyện thi (Pro-S, Pro-E) Luyện đề Tổng ôn Chinh phục PT vô tỉ Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải hệ phương trình Kĩ thuật sử dụng Casio TOÁN 10 TOÁN 11 Học phí gốc 500.000 đồng 400.000 đồng 400.000 đồng 200.000 đồng 200.000 đồng 200.000 đồng 100.000 đồng 200.000 đồng 200.000 đồng Học phí ưu đãi 350.000 đồng 250.000 đồng 250.000 đồng 100.000 đồng 100.000 đồng 100.000 đồng 50.000 đồng 100.000 đồng 100.000 đồng Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 ... 17/02/2016 STT Tên khóa học Luyện thi (Pro-S, Pro-E) Luyện đề Tổng ôn Chinh phục PT vô tỉ Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải hệ phương trình Kĩ thuật sử dụng Casio TOÁN 10 TOÁN 11 Học phí gốc 500.000...Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD,... thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn x −1 nên + >0 x − x − + 2x − Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (