kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CÔNG PHÁ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN PHẦN : ĐỀ BÀI (Cố gắng vận hết công lực trước xem giải em) x3 − x − y + 20 + = y+2 x y + Câu Giải hệ phương trình 13 x − + + y + = 16 y + 3x + x + 3y +1 = y − y + x +1 Câu Giải hệ phương trình y − + 7x + y + = y + Câu Giải phương trình ( x − 1) = Câu Giải hệ phương trình Câu Giải hệ phương trình Câu Giải bất phương trình ( (x − x − 2) + − x2 + x + 2 ( x ∈ ℝ) x2 + y + + x + = y + + y + 3x3 + y − + 2x − y −1 2x x + 3y + =3 2 x − xy + y x − xy + y 2 x − + y3 − = x − 2y − x ) +( x+y ) =4 x + + 2 x + ≤ ( x − 1) ( x − ) x + y + + x − y = y + Câu Giải hệ phương trình 2 12 xy + x = x + y + 15 5 x − y + x + y − = + ( x + y )( x − y ) + x − Câu Giải hệ phương trình y + − x = x + y + y − x + = Câu Giải hệ phương trình ( x, y ∈ R ) 5 x − x y − x y = xy − x + y Câu 10 Giải phương trình 3x − + x − x − x x + = (7x 2 − x + 4) PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT (Nếu có nhầm lẫn, sai sót mong hạ lượng thứ) x3 − x − y + 20 + = y+2 x y + Câu Giải hệ phương trình 13 x − + + y + = 16 y + Lời giải Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Điều kiện x ≥ 1, y > −2 Phương trình thứ hệ tương đương với ( y + 2) + x3 − x − 8 = y +2− ⇔ x2 − 6x − = y + − y + − x x y+2 y+2 ( ∗) t − 3t + ( t − ) ( t + 1) Xét hàm số f ( t ) = t − 6t − ; t > ⇒ f ′ ( t ) = t − + = = ≥ 0, ∀t > t t t2 t2 Rõ ràng hàm số liên tục đồng biến toàn tia Ox thực nên thu ( ∗) ⇔ f ( x ) = f ( ) y+2 ⇔ x = y+2 Phương trình thứ hai hệ trở thành 13 x − + x + = 16 x ⇔ 16 x − 13 x − − x + = 1 9 ⇔ 13 x − − x − + + x + − x + + = 4 4 x −1 = 2 1 3 ⇔ 13 x − − + x + − = ⇔ ⇔x= 2 2 x +1 = 7 5 Kết luận hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ; − 16 3x + x + 3y +1 = y − y + x +1 Câu Giải hệ phương trình y − + 7x + y + = y + Lời giải Điều kiện y ≥ ; x > −1 Phương trình thứ hệ cho tương đương với ( x + 1) + 3x + 1 x +1− = y2 − 3y − ⇔ x +1− = y2 − 3y − y y x +1 x +1 1 ⇔ x +1− x +1 − = y2 − y − ( ∗) y x +1 Vì y ≥ ; x > −1 nên ta xét hàm số 1 2t − 3t + ( 2t + 1)( t − 1) f ( t ) = t − 3t − ; t > ⇒ f ′ ( t ) = 2t − + = = ≥ 0, ∀t > t t t2 t2 Hàm số liên tục đồng biến miền t dương nên thu 2 ( ∗) ⇔ f ( ) x + = f ( y ) ⇔ x + = y ⇔ x = y − Phương trình thứ hai hệ trở thành y − + y + y − = y + ⇔ y − − ( y + ) + y + y − − ( y + 1) = Đặt (1) ⇔ (1) y + y − = a; y + = b ⇒ a + ab + b > a = b = ⇔ y ∈∅ Cho nên y − − ( y2 + y + 4) 9y − + y + + y + y − − ( y + y + y + 1) a + ab + b =0 ( y + 1) ( y − y + ) y2 − y + ⇔ + =0 a + ab + b 9y − + y + y +1 ⇔ ( y − y + 6) + =0 2 y − + y + a + ab + b ( 2) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Vì Facebook: Lyhung95 y +1 + > 0, ∀y ≥ nên 9 y − + y + a + ab + b ( ) ⇔ ( y − )( y − 3) = ⇔ y ∈ {2;3} ⇒ ( x; y ) = ( 8;3) , ( 3; ) Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm kể Câu Giải phương trình ( x − 1) = (x − x − 2) + − x2 + x + 2 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ Phương trình tương đương x − x − − ( x − x − ) + = − x + x Ta có Đặt ( − x2 + x ) = + x − x2 ≥ ⇒ − x2 + x ≥ t = x − x − = t thu t − t + ≥ ⇔ t ( t − 1) ≥ ⇔ t ≥ t = ⇔ x − x − = ⇔ x ∈ + 3;1 − { } x ≥ t ≥ ⇒ t ≥ ⇔ x − x − ≥ ⇔ ( x − 3)( x + 1) ≥ ⇔ ⇒ x = −1 x ≤ −1 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm x = −1 x2 + y + + x + = y + + y + Câu Giải hệ phương trình 3x3 + y − x − + y − = + 2x − y −1 Lời giải Điều kiện x ≥ ; y ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với x + − y + + x2 + y + − y + = ⇔ ( x − y )( x + y ) x− y + x+2 + y+2 x2 + y2 + + y2 + ( x + y) ⇔ ( x − y) + =0⇒ x= y x + + y + x + y + + y + 3x3 + x − Phương trình thứ hai hệ trở thành x − + x3 − = + x −1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x − + 3x − + 3x + x − 3x3 + x − x − + 3x − ≤ + = ≤ + x −1 2 2 Do phương trình ẩn x có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức x − = x − = ⇔ x = 2x x + 3y + =3 2 2 x − xy + y x − xy + y Câu Giải hệ phương trình 2 x − y − x + x + y =4 Lời giải ( ) ( ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x ≥ x ≥ Điều kiện ⇒ 2 y ≥ x 2 y ≥ x y ≥ 2 2 2 5 x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y ) x − xy + y ≥ x + y = x + y Nhận xét ⇒ 2 2 6 x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y ) x − xy + y ≥ x + y = x + y x + 3y x + y 3( x + y ) 2x 2x Dẫn đến + ≤ + = = x+ y x − xy + y x − xy + y x + y x + y Đẳng thức xảy x = y Phương trình thứ hai trở thành ( )( x + x = x − =4⇔ ⇔ x ≥ x ≥ Kết luận hệ phương trình có nghiệm x = y = ( x+x ) ) x +2 =0 ⇔ x = ⇔ x = Câu Giải bất phương trình x + + 2 x + ≤ ( x − 1) ( x − ) Lời giải: ĐK: x ≥ −1 (*) Khi (1) ⇔ x + + 2 x + ≤ x3 − x − x + ⇔4 ⇔ ⇔ ( ) ( x +1 − + ( x + − 4) x +1 + ( x − 3) + x +1 + + ) x + − ≤ x3 − x − x − 12 ( x + − 9) 2x + + ( x − 3) + 2x + ≤ ( x − 3) ( x + x + ) − ( x − 3) ( x + x + ) ≤ 4 ⇔ ( x − 3) + − ( x + 1) − ≤ + x +1 + 2x + (2) Nhận thấy x = −1 thỏa mãn bất phương trình cho Xét với x ≥ −1 ⇒ 4 4 + − ( x + 1) − < + − − = + + −2 + + x + + 2x + Khi (2) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp với (*) ta x ≥ thỏa mãn Đ/s: x = −1 x ≥ x + y + + x − y = y + Câu Giải hệ phương trình 2 12 xy + x = x + y + 15 Lời giải x + y + ≥ 0; x − y ≥ x ≥ Điều kiện ⇔ x ≥ y 2 y + ≥ 0; xy + x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x + y +1 − y +1 + x − y = ⇔ x− y + x− y =0 x + y +1 + y +1 x− y + x− y =0⇔ x− y + 1 = x + y +1 + y +1 x + y +1 + y +1 x− y +1 > ⇒ x − y = ⇔ x = y x + y +1 + y +1 ⇔ x − y Ta có Facebook: Lyhung95 x− y Phương trình thứ hai hệ tương đương 12 x3 + x = x + x + 15 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số thực không âm ta có + x + x + x + x + 15 x ( x + ) = 8.8 x ( x + ) ≤ = ⇒ 12 x3 + x ≤ x + x + 15 3 Do phương trình ẩn x có nghiệm x = x + = ⇔ x = Kết luận hệ có nghiệm x = y = 5 x − y + x + y − = + ( x + y )( x − y ) + x − Câu Giải hệ phương trình y + − x = Lời giải y ≥ 0; − x ≥ Điều kiện x + y − ≥ 0;3x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với ( x + y )( x − y ) − x + y + + 3x − − x + y − = ⇔ ( x + y − )( x − y − 1) + 2x − y −1 =0 3x − + x + y − ⇔ ( x − y − 1) x + y − + =0 x − + x + y − Vì x + y − + > ⇒ y = x − Phương trình thứ hai hệ trở thành 3x − + x + y − Khi phương trình thứ hai hệ trở thành x − + − x = (1) Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có + x −1 + − x2 + x − x2 x − + − x = 1( x − 1) + 1( − x ) ≤ + = 2 + x − x − ( x − 1) = ≤ = ⇒ x − + − x2 ≤ 2 2 2 x − = Do phương trình (1) có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức ⇔ x =1 2 − x = Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ vô nghiệm x + y + y − x + = Câu Giải hệ phương trình 3 5 x − x y − x y = xy − x + y ( x, y ∈ R ) Lời giải: Ta có (2) ⇔ ( x + x ) − ( x y + xy ) − ( x y + y ) = ⇔ x ( x + 1) − xy ( x + 1) − y ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x − xy − y ) = Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇔ x − xy − y = ⇔ y − x = −4 xy Thế vào (1) ta x + y − xy + = ⇔ x + y + = xy Áp dụng BĐT Côsi ta có x + y + = x + y + + ≥ 4 x y 1.1 = xy ≥ xy x4 = y = x = y = Dấu " = " xảy ⇔ ⇔ x = y = −1 xy ≥ Thử lại ta x = y = thỏa mãn Đ/s: ( x; y ) = (1;1) 3x − + x − x − x x + = Câu 10 Giải phương trình (7x 2 − x + 4) Lời giải: x ≥1 3 x ≥ ĐK: ⇔ x ≤ − x ≥ x • (*) Xét với x ≥ ⇒ ( x − x ) − x ( x + 1) = − x − x < ⇒ x ( x + 1) > x − x ≥ ⇒ x x + > x − x ⇒ x − x − x x + < ⇒ VT (1) < 3x − (2) Áp dụng BĐT Côsi ta có 2 x − ≤ + ( x − 1) = x + Mặt khác x − x + − ( x + 1) = x − x + = x + x ( x − 1) + > 0, ∀x ≥ ⇒ x + < x − x + ⇒ 2 x − < x − x + ⇒ x − < (7 x 2 − x + ) = VP (1) Kết hợp với (2) ⇒ VT (1) < VP (1) ⇒ ∀x ≥ không thỏa mãn (1) • Xét với x ≤ − 1 ta đặt x = −t ⇒ −t ≤ − ⇒t≥ 3 Phương trình (1) trở thành 3t − + t + t + t t + = ( 7t 2 + t + 4) ⇔ 6t − + 2t + 2t + 2t 2t + = 7t + t + ⇔ 2t ( ) ( ) ( 2t + − t − + 2t + 2t − 3t − + ) 6t − − 3t + = 5t − 10t + 2 2t 2t + − ( t + 1) ( 2t + 2t ) − ( 3t + 1) 2 6t − − ( 3t − 1) + = t −1 ⇔ + ( ) 2t + + t + 2t + 2t + 3t + 6t − + 3t − ⇔ 2t ( t − 2t + 1) t + + 2t + 2 + −t + 2t − 3t + + 2t + 2t + ( −3t + 6t − 3) 3t − + 6t − 2 = ( t − 1) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2t 2 ⇔ ( t − 1) − − − 5 = 2 t + + 2t + 3t + + 2t + 2t 3t − + 6t − Đặt T = Với t ≥ 2t t + + 2t + − 3t + + 2t + 2t − 3t − + 6t − (2) − 1 2t −5 − 3t − 2t + > ⇒T < +0+0−5 = < 3 t + + 2t + t + + 2t + Khi (2) ⇔ ( t − 1) = ⇔ t = ⇒ − x = ⇒ x = −1 thỏa mãn (*) Đ/s: x = −1 Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! ... Kết luận hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ; − 16 3x + x + 3y +1 = y − y + x +1 Câu Giải hệ phương trình y − + 7x + y + = y + Lời giải Điều kiện y ≥ ; x > −1 Phương trình thứ hệ cho... xảy x = y Phương trình thứ hai trở thành ( )( x + x = x − =4⇔ ⇔ x ≥ x ≥ Kết luận hệ phương trình có nghiệm x = y = ( x+x ) ) x +2 =0 ⇔ x = ⇔ x = Câu Giải bất phương trình x + +... Vì x + y − + > ⇒ y = x − Phương trình thứ hai hệ trở thành 3x − + x + y − Khi phương trình thứ hai hệ trở thành x − + − x = (1) Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình