Phuong trinh bac cao

Hướng dẫn giải phương trình bậc cao Tác giả: Lê Văn Huy Phương trình bậc ax + b = với a = Cách Giải: Sử dụng quy tắc chuyển vế quy tắc nhân với số: ax + b = ⇔ ax = −b −b ⇔x= a Ví Dụ: Giải phương trình sau: a.3x − = ⇔ 3x = ⇔ x = b (1 + 2i) x = (3 + i) 3+i + 2i (3 + i) (1 − 2i) ⇔x= (1 + 2i) (1 − 2i) + 7i ⇔x= ⇔x= phương trình bậc hai ax2 +bx+c = với (a = 0) 2.1 Cách Giải: Chia vế cho a : ax2 + bx + c = b c ⇔ x2 + x + = a a b c ⇔ x2 + x = − a a b b b ⇔x + x+ = a 2a 2a 2 b − 4ac b = ⇔ x+ 2a 4a2 * Đặt ∆ = b2 − 4ac − c a Khi đó: + Nếu ∆ = ta có: b b =0⇔x=− x+ 2a 2a + Nếu ∆ > ta có: b ∆ x+ = 2a 4a √  b ∆  x + 2a = 2a √ ⇔ b ∆ x+ =− 2a √ 2a  −b + −∆ x = 2a √ ⇔ −b − −∆ x= 2a + Nếu ∆ < Phương trình Vô Nghiệm tập số thực R Đối với tập số phức C với ∆ < ta có: b ∆ x+ =− 2a 4a b −∆ ⇔ x+ − =0 2a √ 4a √ −∆i b −∆i b ⇔ x+ + x+ − =0 2a √ 2a 2a 2a  −b + −∆i x = 2a √ ⇔ −b − −∆i x= 2a 2.2 Hệ Thức Viet Định Lý: Nếu x1 ; x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a = 0) : −b c S = x1 + x2 = ; P = x1 ∗ x2 = a a Hệ quả: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0(a = 0) có a + b + c = phương trình c có nghiệm: x1 = ; x2 = a Nếu phương trình ax + bx + c = 0(a = 0) có a − b + c = phương trình c có nghiệm: x1 = −1; x2 = − a 2.3 Một Số Ví Dụ Bài 1: Giải phương trình sau : a.x2 − 49x − 50 = C 1:dùng công thức nghiệm: ∆ = (−49)2 − 4.1 − 50 = 2601 ⇒ √ ∆= √ 2601 = 51 Do ∆ > nên phương trình có nghiệm phân biệt: − (−49) − 51 − (−49) + 51 x1 = = −1; x2 = = 50 2 C 2: Ứng dụng định lý viet; Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50 ) = Nên phương trình có nghiệm: x1 = −1; x2 = − b x2 − 2x + = −50 = 50 C 1: Dùng công thức nghiệm Ta xét ∆ = 22 − 4.1 = − = phương trình có nghiệm kép là: x=1 C 2: Dùng đẳng thức x2 − 2x + = ⇔ (x − 1) = ⇔ x = c.x2 + 2x + = Ta có: ∆ = 22 − 4.3 = −8 Phương trình vô nghiệm tập số thực Đối với số phức ta áp dụng công thức nghiệm nêu lý thuyết Nghiệm của√phương trình  + 8i x =  2√  − 8i x1 =  √ x1 = + 2i ⇔ √ x2 = − 2i Phương trình bậc Ba 3.1 Phương pháp cardano Xét phương trình bậc : x3 + ax2 + bx + c = (1) Đặt y = x + a a ⇔ x = y − phương trình trở thành 3 y + py + q = (2) Để giải phương trình (2) ta đặt y = u + v thay vào (2) ta có: (u + v) + p (u + v) + q = ⇔ u3 + v + (u + v) (3 + p) + q = (3) Nếu tìm u v thỏa mãn hệ  u3 + v = −q  3uv = −p (4) (5) u,v thỏa mãn (3) y = u + v nghiệm (2) Hệ (4),(5) tương đương với hệ  u3 + v = −q  (uv)3 = −p 27 (6) (7) Theo định lý viet ta có: u3 v nghiệm phương trình bậc hai: p3 t + qt − =0 27 Ta có: −q ± u3 = q2 4p3 −q ∓ + 27 , v = q2 4p3 + 27 Hay −q ± u= q2 + 4p3 27 , v = q2 + −q ∓ 4p3 27 Vì y = u + v nên ta công thức nghiêm của (1) là: y= −q ± q2 4p3 + 27 + −q ∓ q2 4p3 + 27 Công thức cardano Nhận xét 1: Trên trường số phức bậc có ba giá trị nhiên chọn u, v cách tùy ý mà phải chọn u, v thỏa mãn (5) Ký hiệu: √ ε=− +i 2 √ 3 Khi ε = − − i , ε = Nêu u,v cặp thỏa mãn (5) ta có 2 cặp thỏa mãn (5) là:  u = u v = v   u = εu ; v = ε v  u = ε2 u ;  v = εv ; Từ có nghiệm phương trình (2) là: yk = uk + vk với k=1,2,3 Nhận xét : + Nếu ∆ > Thì phương trình (1) có phân biệt nghiệm thuộc tập số thực R, nghiệm thuộc tập số phức C + Nếu ∆ = Thì phương trình (1) có nghiệm, nghiệm kép thuộc tập số thực R + Nếu ∆ < Thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt thuộc tập số thực R 4p3 * Với ∆ = q + 27 3.2 Một số trường hợp đặc biệt: Xét phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = (a = 0) + Nếu a + b + c + d = (1) có nghiệm x = Nếu a − b + c − d = (1) có nghiệm x = −1 + Nếu a, b, c, d ∈ Z (1) có nghiệm hữu tỉ m m,n theo thứ tự ước n d a + Nếu ac3 = db3 (a, b = 0)thì (1) có nghiệm x = − c b 3.3 Định lý viet cho phương trình bậc Nếu x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0, Thì:            3.4 −b a c x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = a −d x1 x2 x3 = a x1 + x2 + x3 = Một số ví dụ: Giải phương trình sau: a.y + 3y + 12y − 16 = (1) C 1: Đặt x = y + ⇒ y = x − thay vào (1) ta có: y + 3y + 12y − 16 = ⇔ (x − 1) + (x − 1) + 12 (x − 1) − 16 ⇔ x3 − 3x2 + 3x − + 3x2 − 6x + + 12x − 12 − 16 = ⇔ x3 + 9x − 26 = Đặt x = u + v ta có: x3 + 9x − 26 = ⇔ (u + v) + (u + v) − 26 = ⇔ u3 + v − 26 + (u + v) (3uv + 9) = Ta  tìm giá trị u, v thỏa mãn:  3uv + = u3 + v − 26 =   (uv)3 = −27 ⇔ u3 + v = 26 Áp dụng định lý viet ta có u3 v nghiệm của: X − 26X − 27 = Xét∆ = (−26) + 4.27 = 784 > X = 27 ⇒ X = −1  u3 = 27 (1) ⇒ v = −1 (2) Giải (1) ta có: u3 = 27 ⇔ (u − 3) u2 + 3u + = u−3=0 ⇔ u2 − 3u − =  u=3 √   −3 + 3i ⇔ u = √  −3 − 3i u= Giải (2) ta có: v = −1 ⇔ (v + 1) v − v + = v+1=0 ⇔ v2 − v + =  v = −1 √   3i + ⇔ v = 2√  − 3i v= Ta chọn giá trị u v thỏa mãn: uv = −3 Suy ra: các cặp giá trị thỏa mãn là:  u =3 v = −1 √  −3 + 3i  u2 = 2√  + 3i  v = √2  −3 − 3i  u3 = 2√  − 3i  v = Do xk = uk + vk √ √ ⇒ x = 2, x = −1 + 3i, x = −1 − 3i Mà y= x-1 √ √ ⇒ y = 1, y = −2 + 3i, y = −2 − 3i Vậy nghiệm phương trình cho là: √ √ y = 1, y = −2 + 3i, y = −2 − 3i C 2: Ta có 1+3+12-16=0 nên phương trình (1) có nghiệm x=1 Đến ta sử dụng lược đồ hoorne 1 12 −16 1.1 + = 1.4 + 12 = 16 1.16-16=0 Vậy ta được: 2 y3 +  3y + 12y − 16 = ⇔ y − y + 4y + 16 = y−1=0 ⇔ y + 4y + 16 =  y=1  √  ⇔  y = −2 +  √ y = −2 − 3i Vậy nghiệm phương trình cho là: √ √ y = 1, y = −2 + 3i, y = −2 − 3i b x3 + 3x2 − 9x − 27 = Đặt x = y − Ta có: x3 + 3x2 − 9x − 27 = ⇔ (y − 1) + (y − 1) − (y − 1) − 27 = ⇔ y − 3y + 3y − + 3y − 6y + − 9y + − 27 = ⇔ y − 12y − 16 = Đặt y = u + v ta có: y − 12y − 16 = ⇔ (u + v) − 12 (u + v) − 16 = ⇔ u3 + v − 16 + (u + v) (3uv − 12) = Ta  tìm số u,v thỏa mãn  3uv − 12 = u3 + v − 16 =   uv = ⇔ u3 + v = 16   (uv)3 = 64 ⇔ u3 + v = 16 Theo Định lý viet u3 v nghiệm phương trình X − 16X + 64 = Ta có ∆ = (−16) − 4.64 = Suy phương trình có nghiệm kép X=8 10 ⇒ u3 = v = √ ⇒u=v= 38  Nghiệm phương trình ẩn y là: y=4  √ √  1 3  +2 − −i = −2 y =2 − +i  2 2  √ √  3  y = 22 − − i +2 − +i = −2 2 2  y=4 ⇒ y = −2 Nghiệm phương trình cần tìm là: x=-3,x=3 c.x3 + 3x2 − 3x − = Đặt y = x + ⇒ x = y − Ta có: x3 + 3x2 − 3x − = ⇔ (y − 1) + (y − 1) − (y − 1) − = 00 ⇔ y − 6y − = Đặt y = u + v y − 6y − = ⇔ (u + v) − (u + v) − = ⇔ u3 + v − + (3uv − 6) (u + v) = Ta  tìm u, v thỏa mãn hệ:  3uv − = u3 + v − = 11 ⇔ ⇔   uv = u3 + v =   (uv)3 = u3 + v = Theo Định lý viet u3 v nghiệm phương trình X − 4X + = (*) Ta có: ∆ = 16 − 32 = −16 < Nghiệm phương trình (*) là:  X=2+2i  X = − 2i  u3 = + 2i ⇔ v = − 2i Xét u3 = + 2i √ r= pi ϕ= √ ⇒u= cos π 2π π 2π +k + i sin +k 12 12 √ 2π π 2π π ⇔ u = cos +k + i sin +k 12 12 Vậy giá trị u là: √ √ √ √ − + + −1 + −1 + i; − i; + i 2 2 Tương tự: Xét v = − 2i √ −π 2π −π 2π +k + i sin +k ⇒ v = cos 12 12 Vậy giá trị v là: √ √ √ √ 1− 1+ 1+ −1 + −1 − i; +i ; −i 2 2 (với k = 0, 1, ) (với k=0,1,2) Ta chọn u,v thỏa mãn uv = Vậy cặp giá trị thỏa mãn là: 12 √ √ √ √   − + + −1 +   u2 = u3 = − i + i 2√ 2√ 2√ 2√ ; ;   v = − + + i  v = + − −1 + i 2 2 Vì y = u + v suy nghiệm phương trình ẩn y : √ y = − 3; y = + (2); y = −2  u = −1 + i  v = −1 − i Mà x = y − Nên ta có nghiệm phương trình cho là: √ √ x = −3;x = − 3; x = d.x3 + x2 − √ √ 2x − 2 = √ √ Nhận xét: Vì ac3 = − = db3 = −2 nên phương trình có nghiệm c √ x = − = Biến đổi phương trình dạng: √ √b 2 x − 2+1 x+2 =0 x−  √ x− 2=0 ⇔ √ x2 − 2+1 x+2=0  √ x=  √ √  −1 − − i − 2 ⇔ x =  √ √ x= −1 − + i − 2 Phương trình bậc 4.1 phương trình trùng phương Phương trình dạng ax4 +bx2 +c = đặt y = x2 ≥ đưa giải:  ay + by + c =  Một số ví dụ: a x4 − 5x2 + = x2 = ⇔ x2 = 13 y≥0  x=2   x = −2 ⇔   x=1  x = −1 Vậy nghiệm phương trình là: x = 2, x = −2, x = 1, x = −1 b x4 − 3x2 − = ⇔ x2 − x2 + = x2 =  ⇔ x2 + =  x = −2    x=2 ⇔   x = −i  x=i Vậy nghiệm phương trình là: x = −i, x = i, x = 2, x = −2 c.x4 + 13x2 + 36 = ⇔ x2 + x2 + = x = −3i    x = 3i ⇔  x = −2i  x = 2i Vậy nghiệm phương trình là: x = −2i, x = 2i, x = −3i, x = 3i Nhận xét: Xét ∆ = b2 − 4ac Nếu ∆ > phương trình có nghiệm thực Nếu ∆ = phương trình có nghiệm thực nghiệm phức Nếu ∆ < phương trình có nghiệm phức 14 4.2 phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c a+b a+b ⇒x=y− 2 4 a+b a+b a−b 4 (x + a) +(x + b) = y − +a + y− +b = y+ 2 b−a y+ a−b 4 Đặt k = ta có (x + k) + (x − k) = 2x4 + 12y k + 2k = c a−b ta có phương trình trùng phương : 2x4 + 12y k + 2k − c = với k = 4 Ví Dụ: giải phương trình: (x − 1) + (x + 3) = 256 (1) Đặt y = x + Đặt y = x + Khi ta có phương trình: 4 (y − 2) + (y + 2) = 256 ⇔ 2y + 48x2 − 224 = ⇔ y4 + 24y − 112 = y2 = ⇔ y = −28  y = −2    y = −2 ⇔ √   y = 2i  √ y = −2i Mà y = x + ⇔ x = y − Vậy nghiệm Phương trình là: √ √ x = −3, x = 1, x = −1 − 2i 7, x = −1 + 2i 4.3 Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m với a+b=c+d Viết phương trình cho dạng: [x2 +(a + b) x+ab][x2 +(c + d) x+cd] = m Đặt t = x2 + (a + b) x + ab đưa phương trình bậc hai theo t 15 + Ví dụ : Giải phương trình: (x + 1) (x + 5) (x + 4) (x + 2) = −2 Nhận xét: 1+5=4+2 nên phương trình cho tương đương với: x2 + 6x + x2 + 6x + = −2 Đặt t = x2 + 6x + ta có phương trình: t (t + 3) = −2 ⇔ t2 + 3t + = t = −2 ⇔ t = −1 Vớit = −1 ta có: x2 + 6x + = √ x = −3 + ⇔ √ x = −3 − Vớit=-2 ta có : x2 + 6x + = √ x = −3 + ⇔ √ x = −3 − √ √ √ Vậy Nghiệm phương trình là: x = −3 + 2, x = −3 − 2, x = −3 − 3, x = √ −3 + 4.4 Phương trình đối xứng bậc bốn Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 + bx + a a = Cách Giải: Bước 1: Kiểm tra x = 0có phải nghiệm phương trình không Bước 2: với x = ta chia vế cho x2 ta được: b a 1 ax2 + bx + c + + = ⇔ a x2 + + b x + +c=0 x x x x 1 Đặt t = x + ⇔ x2 + = t2 − Khi phương trình:(2) trở thành: x x a t − + bt + c = ⇔ at2 + bt + c = Giải phương trình theo t ta suy x Ví Dụ: Giải phương trình sau: x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + = 16 Nhận thấy x = không nghiệm phương trình Chia vế cho x2 ta phương trình: x2 + 3x + + + = x x 1 ⇔ x2 + + x + +2=0 x x 1 Đặt t = x + ⇔ x2 + = t2 − x x ta phương trình: t2 − = ⇔ t2 + 3t =  + 3t + √ t=0+ ⇔ √ t = −3 − Với t = ta có: x + = ⇔ x2 + = ⇔ x = i, x = −i x Với t = −3 ta có: x + = −3 ⇔ x2 + 3x + = x √  −3 + x = 2√ ⇔ −3 − x= √ √ −3 + −3 − Vậy nghiệm phương trình là: x = i, x = −i, x = ,x = 2 4.5 Phương trình có hệ số đối xứng tỷ lệ Phương trình dạng: ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak = Cách giải : Kiểm tra x = có nghiệm phương trình: k Với x = ta chia vế cho x2 đặt t = + x ta phương trình: x at2 + bt + c − 2ak = Ví Dụ: Giải Phương trình: 2x4 − 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = Nhận thấy x=0 không nghiệm phương trình ta chia vế cho x2 ta được: 17 2x2 − 21x + 34 + 105 50 + x x 25 − 21 x − + 34 = x2 x 25 Đặt t = x − ⇔ x2 + = t2 + 10 x x Ta được: t2 + 10 − 21t + 34 = ⇔ 2t2 − 21t + 54 =  t=6 ⇒ t= √ Với t = ta có: x2 − 6x − = ⇒ x = ± √ 14 9 ± 161 Với t = ta có: 2x2 − 9x − 10 = ⇒ x = √ √ ± 161 Vậy nghiệm phương trình là: x = ± 14, x = ⇔ x2 + 4.6 Phương pháp ferrari giải phương trình bậc tổng quát Xét phương trình bậc dạng x4 + ax3 + bx2 + cx + d = (1) (1)⇔x4 + ax3 = −bx2 − cx − d a2 x2 a2 ⇔x + ax + = ( − b)x2 − cx − d 4 ax a ⇔(x2 + )2 = ( − b)x2 − cx − d(∗) Ta đưa vào phương trình ẩn phụ y sau: ax y2 ).y + Ta có: 2 ax ax y ax y a2 (x2 + )2 + (x2 + )y + = (x2 + )y + + ( − b)x2 − cx − d 2 4 2 ax ax y y a ⇔(x2 + + )2 = (x2 + )y + + ( − b)x2 − cx − d(∗∗) 2 4 Ta tìm giá trị y cho vế phải biểu thức phương (trường hợp vế phải Cộng hai vế phương trình (*) cho (x2 + (*) biểu thức phương việc đưa vào biến phụ y không cần thiết) Muốn vậy, vế phải phải có nghiệm kép theo biến x 18 ay a2 y2 Hay: ∆ = ( − c) − 4( − b + y).( − d) = 4 Nghĩa là, ta tìm y nghiệm phương trình: y − by + (ac − 4d)y + (4bd − a2 d − c2 ) = 0(∗ ∗ ∗) Với giá trị y0 vừa tìm vế phải (**) có dạng (αx + β)2 Do đó, y0 vào phương trình (**) ta có: ax y0 + ) = (αx + β)2 (∗ ∗ ∗∗) (x2 + 2 Từ (****) ta có phương trình bậc hai: ax y0 + = αx + β(a) x2 + 2 ax y0 x2 + + = −αx − β(b) 2 Từ đây, giải phương trình (a), (b) ta có nghiệm phương trình bậc tổng quát ban đầu Chú ý: Từ phương trình (***) ta có giá trị y, với giá trị y có ta có giá trị x Như vậy, tổng cộng ta có 12 giá trị x nghiệm phương trình (1) Tuy nhiên, (1) phương trình bậc bốn nên có nghiệm (thực phức) Do đó, giá trị x tương ứng với y0 phải trùng lại với giá trị x tương ứng với y1 y2 Vì vậy, từ (***) ta cần tìm giá trị y0 đủ Ví Dụ: Giải phương trình sau: a x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 = ⇔ x4 − 10x3 = −35x2 + 50x − 24 ⇔ x4 − 10x3 + 25x2 = 25x2 − 35x2 + 50x − ⇔ (x2 − 5x)2 = −10x2 + 50x + 24 y2 Cộng vào vế y(x2 − 5x) + ta được: y y2 x2 − 5x + = −10x2 + 50x + 24 + y(x2 − 5x) + (1) Chọn y cho vế phải bình phương, muốn vậy, biệt số ∆ x phải phải 19 y2 ∆ = (50 − 5y) − 4(y − 10)( − 24) = ⇔ −y + 35y − 404y + 1540 = y = 10   ⇔ y = 11  y = 14 Với y = 10 thay vào (1) ta được: (x2− 5x + 5)2 = x2 − 5x + =  ⇔ x2 − 5x + = −1  x=4   x = ⇔  x =  x=3 Vậy Nghiệm phương trình là: x = 1; x = 2; x = 3; x = b.x4 − 5x3 − 4x2 + 44x − 48 = ⇔ x4 − 5x = 4x2 − 44x + 48 25x2 25x2 = + 4x2 − 44x + 48 ⇔ x − 5x + 4 41 2 ⇔ x − x = x − 44x + 48 y2 Nhân vế cho x2 − x y + ta có: 41 y2 x − x+1 = + y x2 − y + 44 x + + 48 (2) 4 Chọn y cho vế phải bình phương, muốn vậy, biệt số ∆ x phải phải ∆= y + 44 − 41 y2 +y + 48 4  y = −8 ⇔ y + 4y − 28y + 32 = ⇔  y=2 20 =0 x − x+1 2 Với y=2 thay vào (2) ta được:  x + = (x − 2) x −  2 ⇔ x2 − x + = − (x − 2) 2   x2 − 6x + = x = 2; x = ⇔ ⇔ x2 + x − = x = 2; x = −3 = 49 (x − 2) Vậy nghiệm phương trình là: x = 2; x = −3; x = c.x4 + 2x3 − 4x2 − 5x − = ⇔ x4 + 2x2 = 4x2 + 5x + ⇔ (x2 + x) = 5x2 + 5x + y2 ta được: Cộng vế cho (x + x) y + y y2 + (3) ⇔ x2 + x + = (5 + y)x2 + (y + 5)x + Chọn y cho vế phải bình phương, muốn vậy, biệt số ∆ x phải phải y2 + (5 + y) = ⇔ y + 4y − 14y + 95 =  y = −5  √  ⇒ y = (1 − 5i 3)  √ y = (1 + 5i 3) Thay y=-5 vào (3) ta được: 49 x +x− =  ∆ = (y + 5)2 − x2 + x + =  ⇔ x2 + x − =  √ √ 3 ;x = − − i x = − + i 3 ⇔ x = 2; x = −3 21 √ √ 3 ;x = − −i ; x = 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = − + i 3 −3 d.x4 + 4x3 + 9x2 + 10x + = ⇔ x4 + 4x3 = −9x2 − 10x − ⇔ (x2 + 2x)2 = −5x2 − 10x − y2 ta y y2 2 x + 2x + = (y − 5)x + (2y − 10)x + − (4) Chọn y cho vế phải bình phương, muốn vậy, biệt số ∆ x Cộng vế phương trình cho (x2 + 2x)y + phải phải y2 − (y − 5) = ⇔ y − 9y + 16y + 20 = ∆ = (2y − 10)2 − y=5  √  ⇔ y = − 2  √ y =2+2 Thay y=5 vào (4) ta có: y x2 + 2x + =  x + 2x + = ⇔ x2 + 2x + =  x = −1 ± i ⇔ √ x = −1 ± i √ Vậy nghiệm phương trình là: x = −1 ± i; x = −1 ± i 4.7 Định lý viet cho phương trình bậc bốn Nếu phương trình bậc bốn ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0(a = 0) có bốn nghiệm thì: 22  b   x1 + x2 + x3 + x4 = −   a    x x + x x + x x + x x + x x + x x = c a d   x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x2 x3 x4 + x1 x3 x4 = −   a   e   x1 x2 x3 x4 = a 23