Hệ phương trình

PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha Lời mở đầu Page1 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha (1  x)  x  (1  x)  x    x2    (Trích Đề số 35 ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: 1  x   a   x Đặt  b   x  (a, b  0)  a  b  Bất phương trình tương đương: a  b   Ta có   x2   1   x2   3   x2     x2     Mà a  a   3a ; b3  b3   3b  a  b3    x2     3(a  b )  3.2   2 2 Dấu xảy x  y  x 1  x  x    xy  y    (Trích Đề số 34 ĐTN-Mathlinks)  x( y  1)   y ( x  1) y  x  Điều kiện: x  0; y  Phương trình tương đương:  x(y 1)   xy  y  x  x  1    xy    x  y x 1 y x 1 y  x 1  6 y ( x  1) Phương trình tương đương: x( y  1)  y ( x  1) y  x 1  a  2 a  x( y  1) a  b  6  b  4     Đặt  y  x  Hệ phương trình tương đương :   a  4 a  b b  y ( x  1)    b  2 a  2  x   b  4  y  Với  a  4  x   b  2  y  Với  Page2 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha 2016 (3x  15) 2015  2016 (9  x) 2015  2016 15  ( x  4)  2015 Mathlinks)   2016 9  ( x  4)  2015 (Trích Đề số 36 ĐTN-  Điều kiện xác định: x  5;3  Xét hàm số: f (t )  2016 (15  t ) 2015  2016 (9  t ) 2015 , t  15;9  1 1  2015  2016 2016 Suy ra: f '(t )   (9  t )  , f '(t )   t  (t  15) 2016   … Suy hàm số f (t ) đồng biến (15; 3) ; nghịch biến (3;9) Khi phương trình tương đương 2016 (3x  15) 2015  2016 (9  x) 2015  2016 15  ( x  4)  2015  2016 9  ( x  4)  2015 (1)   Với: x   1;3 , phương trình (1) tương đương 3x  x   x  2 (loại) Với: x 5;1 , phương trình (1) tương đương 3x  x   x  2 (thoả) Vậy phương trình có nghiệm x  2 x  x3  x    x 2 2( x  x  1) x  x  (Trích Đề số 32 ĐTN-Mathlinks) Phương trình tương đương 1  2x  2 x  x 1 x x2  x2   x2   1  2 x2   2x  4 x x  x 1 x  x 1 x x2 x x2 Giải cách quy đồng với bình phương x2    2x  x  x 1 x x2 2 x2   x2  (1) 1 4 x x  x 1 x x2 1 2 x x  x 1 x x2 (2) Cả (1) (2) (1)  ( x  1)  x ( x  1) 0 ( x  x  1)( x  x  2) (2)  ( x  1)2 ( x  3x  x  2)  Từ (1) (2) để dấu xảy khi x  Vậy nghiệm bất phương trình x  Page3 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha x2  9x 1  x 11  3x  2x  ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) Điều kiện : Phương trình tương đương: x  x   x 11  3x  x   x  x   x   x 11  3x  x  x   15 x  x3  12 x   2(2 x  3) x 11  x  3x3  14 x  3x  10  2(2 x  3) x 11  x     11  3x    11  3x  x  11  x   10  x   11  3x     x   11  3x    Thay lại thấy thoả mãn     x  y2 1  x   y y  x     x ( y  1)  x   x  y  17  Điều kiện: x  3  ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) Phương trình tương đương: y2  x   x  y2 1  y x       x   y2 1  y  x   0  x   y2 1  x     y  x   y  x 3 Thay y2  x  vào phương trình ta x3  x  x   x  x   ( x  1)3  ( x  1)  Xét hàm số   x2  6x   x2  6x  f (t )  t  t , t  R  f '(t )  3t  Suy f ( x  1)  f  x2  6x    x   x2  x   x( x  3)( x  1)  x   y     x  3  y  x  1 y     Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  0; ;  3;0 ; 1; 2 Page4 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha (5 x  4) x    x  (6 x  1) x  ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế)  x  Phương trình tương đương: Điều kiện: (5 x  4) x    x  (6 x  1) x      3x    x  x  3x   3x  2  x  3x  x    3x    x  x    3 x   x  2  x  x  x   3x    x  x  Ta có: x   x  3x  2  x  x     x  25 13  Ta lại có: 3x   3x  2  x  3x  x    x   3x  2  x  3x  x  Suy 6x   3x  2    x   3x  2  6x  (Vô lí) Vậy phương trình có nghiệm x  1; x  25 13 x   2 x   ( x  1)( x  2) (Đề thi thử ĐH Vinh 2014) Điều kiện: x  1 Nhận thấy x  1 thoả mãn phương trình Xét x  1 , phương trình tương đương    x 1    x    x  x  x  12 4( x  3) 4( x  3)   ( x  3)( x  x  4) x 1  2x   4    ( x  3)    ( x  1)    2x    x 1    Vì x  1 nên Hay x   0; x   Suy 4   3 x 1  2x   4   ( x  1)   x 1  2x   Do phương trình tương đương: x    x  Vậy phương trình có nghiệm x  1 ; x  Page5 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha  y x   x y   2( x  y )  (1)   1  y (2) (Trích Đề số 15 ĐTN-Mathlinks) x  x    1 3 y x   Điều kiện: x; y  2 ; x, y  ; x  0 y Nhận thấy x  2 y  2 không nghiệm hệ phương trình Xét x; y  2 y x   Phương trình hệ tương đương với: y2 x2 Xét hàm số f (t )  t  f '(t )  t2 2( x3  y ) x2 y2 t t2  t4 0 , t  2 t2 (t  2)3 t2 Suy f (t ) đồng biến VP(*)   PTVN VT (*)  TH1: x  y  f ( y)  f ( x)   VP(*)   PTVN VT (*)  TH2: x  y  f ( y)  f ( x)   VP(*)  (thoả mãn hệ phương trình) VT (*)  TH3: x  y  f ( y)  f ( x)   Thay x  y vào phương trình 2: 2 x  1 x 2 x    1 3 x x  Điều kiện: x   x x3  x  x   x x x   x3  x    x  x x3  x  x3  x     x  x3 2 x   2x  ( x  x  2)   x  x     x  x20  x  x  x2   0   x  x  x  x2     ( x  1)( x  x  2)   x 1 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (1;1) Page6 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha   x2 1 y2 y  x  y (1)  x  x2   y (2) (Trích Đề số 16 ĐTN-Mathlinks)   x  3x    y Điều kiện:  y     y  Phương trình tương đương: 2   1 y2   x2 1 y 2  1 x x  xy  y  x  xy  y  x   1  y   1  2 1 y2  x2  1 y   1 x  2 x2  y x2 y2  y x 2  x y   (x  y )   0 2  1 y2  x2  1 y 1 x   ( x  y )  x  x  y  y    ( x  y ) ( x  y  1)   x  y Thay x2  y vào phương trình 2, ta có x3  3x    x  x3  3x    x   ( x  2)( x  1)   x2   ( x  2) ( x  1)  0  x2   x  1   x2  ( x  2) ( x  1)  x  x  x  3   x   y  2   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (2; 2); (2; 2) Page7 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha   10 x  5x   x  x  x (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015)  x  1  Điều kiện: x  x  x     1   x  Bất phương trình tương đương: ( x2  x  4)  3x  x( x  x  4) TH1: 1   x  Khi đó: x  x   0;3x  Hơn hai biểu thức không đồng thời Vì ( x2  x  4)  3x   x( x  x  4) Suy TH2: 1   x  thoả mãn bất phương trình cho x  1  Khi x  x   Đặt a  x2  2x   0; b  x  Bất phương trình trở thành: a  3b2  4ab  (a  b)(a  3b)   b  a  3b  x  x   1  17  65  x  x  2x   x    x 2  x  x    1  17  65  ;    1   x   2   Vậy tập nghiệm bất phương trình S   Page8 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha 11  x  x  x3  x  ( x  1)2   x (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015) Điều kiện:  x   2  x  2 Phương trình cho tương đương : x   x  x  x  ( x  x)  2  Ta có: x   x2   42 x Suy x   x  2,  x  4,  2  (1)  với x 2;2  với x 2;2 (2) Dấu “=” (2)xảy x  0; x  2 Đặt t  x2  2x Điều kiện t 1;2 với x 2;2 Khi VP (1) f (t )  t  2t  2, t 1;2 t   f '(t )  3t  4t    t   22 Hơn nữa, ta lại có f (1)  1, f (0)  2, f    , f (2)  27     Suy f (t)  với t  1;2   Do đó: x  x  ( x  x)2   với x 2;2 (3) Dấu “=” xảy (3) x  0; x  2 Từ (2) (3) có nghiệm phương trình (1) x  0; x  2 Vậy phương trình có nghiệm x  0; x  2 2  2 x  30 xy  5( x  y ) xy  50 y 12  ( Trích Đề thi thử ĐH Hồng Quang 2015) 2  2 x  y  51 Điều kiện: xy  Hệ phương trình tương đương: 2   2 x  30 xy  50 y  5( x  y ) xy 2( x  y )  10 xy  5( x  y ) xy   2 2   2 x  y  51 2 x  y  51 Do xy  không thoả mãn, từ phương trình (1) suy x  y  lại có xy  nên x  0; y   x  5y xy   (1)  Hệ phương trình   xy x  y  2 2 x  y  51(2) Đặt t  x  5y  2, (vì theo BĐT Cosi x  y  5xy ) xy t Phương trình (1) trở thành t    t   x  y  xy suy x  y Thế x  y vào (2) ta được: x  5; y  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (5;1) Page9 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha ( x  1)( y  1)( xy  4)  20 (1) 2 2 x  y  xy  12  x y  24 xy (2) (Trích Đề số 30 ĐTN-Mathlinks) 13    Điều kiện: x; y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: ( x  1)(y  1)   x y  Từ phương trình hệ, ta có: 20  ( x  1)( y  1)( xy  4)  ( xy  4)   x y    x y  20 xy  Từ phương trình ta có:  x y   xy  12  x y  24 xy    40 xy    xy   xy  12  x y  24 xy  40 Đặt t  xy ( t  )   (t  4) t  12  t  24t  40   144(t  4)  40 t  12  t  24t   13t  12  t  24t  144t  288t  144   (t  1)   t 1  xy  x  y  x    xy  y 1 Với xy  , ta có hệ phương trình  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (1;1) Page10 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha Thay x  y  18 y  vào PT(2), ta có: PT (2)  a  x   Đặt  b   x  ( x  4) x    (2 x  4) x   x 1 4 x  x 5  a  b2   ab 2(1  a )  b2  b  1  a2  1  ab 1  a   2(1  a )  b  b  1 PT    ab  a  a 3b  2b  2b   2a 3b  2a 3b  2a  a (b  2b  1)  b  2b   b  ab  a  a   a (b  1)  (b  1)  b (1  a)  a (a  1)   (a  1)(b  1)  (a  1)(2a  a  b )   a  1)(b  1)  (a  1)(2a  2)   (a  1)(b  1)  2( a  1) ( a  1)   y  a    x     x  3  Dấu “=” xảy   b   y    x     Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )   3; 1       x  y  2( x  y  1)  y (2 x  1) 43  2 x  y    x  Điều kiện: x   ; y  Ta có: PT (1)  5 (loai ) 1 (1) (Bình Phương) (2)  4( x  y  1)  y (2 x  1)  2x  y Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: y(2x 1)  3( y  2x 1)   4( x  y  1)  3( y  x  1)  2x  y       (2 x  y  1)    2x  y       (2 x  y  1)   1    2x  y 1 2x  y       Page37 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha TH1: x  y      2x  y 1 2x  y  1   2x  y     (2 x  y)  x  y   x  y   x  y     x  y  Ta thấy x  y  ko nghiệm hệ  2x  y   x  y  Suy x  y  TH2: x  y   2   2x  y 1 2x  y  1     (2 x  y)  2x  y   2x  y   2x  y    2x  y   2x  y  Với trường hợp  x  y  Thay x  y  vào PT(2) 1 x 2x 1  2x 1  2x 1  0 x 2 x    x  y0      2x 1    x x  1 y   PT (2)  x  2 x   1 2   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y )   ;  ; 1;1 ( x  xy  1)( y  xy  1)  (1)  44  1 (Trích đề 18 ĐTN-Mathlinks)    x  x 1  y  1 (2) y  x 1  y    y  y 1 2 Điều kiện: x  Từ PT(2), ta có: y     0  0 y0 y y y 2 2 Ta có: PT (1)  x y  x y  xy  x  xy  y   xy ( x  y )  ( x  y )  x  y  ( x  y ) ( xy  1)     xy  Do y   x  Page38 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha Với x  y , PT (2)  1   x2  x   x   x x Với xy  , PT (2)  1   x  x   x   Suy ta cần giải phương trình x x PT (2)  x   x x  x   x  x  1(3)  3x   ( x  1)  x  x( x  1) x   ( x  1)   x( x  1)    x2  x   x  x( x  1) x2  x   x 0   x  x   x  3x   ( x  1)   4( x  x  1)  (3 x  1)   ( x  1)   x  1  2  x  x   3x      ( x  1) x   3x   x  x   x  1 y   2  3x   x  x    x  3(4) Lấy (3)  (4)  ( x  2) x2  x   x2  x   0  x  1  x     ( x  2)( x  x  2)    x   PTVN ( x  2)2 ( x  x  1)  ( x  x  2)2   9 x ( x  1)  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (1;1) = 2  x( x  y )  x  y 45   y ( x  y )  ( x  y  1) x  y  2( x  1) (1) (Huỳnh Kim Kha) (2) PT (1)   y  x  x( x  y ) Thay vào PT(2), ta có: Page39 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha  PT (2)  y ( x  y )  ( x  y  1) x  y  x  y  x  x( x  y )  y ( x  y )  ( x  y  1) x  y  ( x  y )( x  y )  x( x  y )  x  x( x  y )  x( x  y )  x  ( x  y  1) x  y   x ( x  y )  ( x  y )    ( x  y  1) x  y   x( x  y  1)( x  y  2)  ( x  y  1) x  y   ( x  y  1)  x( x  y  2)  x  y   x  y    x( x  y  2)  x  y  Ta lại có: PT (2)  2x  y( x  y)  ( x  y 1) x  y   x( x  y )  y ( x  y )  ( x  y  1) x  y   x  y   ( x  y)2  ( x  y) x  y   Đặt x  y  a   a4  a3    (a 1)(a3  2a2  2a  2)  Do a  2a  2a   0, a   a   x  y   y   x Thay y   x vào PT(1), ta có: PT (1)   x  x  (1  x ) 1 x y 3  1  ;   3 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )    13x   (4 x  5)(2 x  y  2)   y  xy  x  y    46  x   y 3  x 1   1  y  1       2  x  x x 1  x 1  x 1    (1) (2) (Huỳnh Kim Kha) Điều kiện: x  1; y  Page40 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha PT (1)  13 x   x(4 x  5)  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1)  xy  x  y   ( y  1)   4( x  1)  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1)  ( x  1)( y  1)  ( y  1)     4( x  1)  4( y  1)  (4 x  5)( x  y  2) 4( x  1)  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1) 4( x  y  2)( x  y )  (4 x  5)( x  y  2) 4( x  1)  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1) ( x  y  2)(8 x  y  5) 4( x  1)  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1)  ( x  1)( y  1)  ( y  1) 0 ( x  1)( y  1)  ( y  1)  ( y  1)( x  y  2) 0 ( x  1)( y  1)  ( y  1)  ( y  1)( x  y  2) 0 ( x  1)( y  1)  ( y  1)   8x  y  y 1 0  ( x  y  2)    4( x  1)  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1) ( x  1)( y  1)  ( y  1)   Do 8x  y  4( x  1)2  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1) Thay x  y  Ta có:   y 1  0, x  1; y   x  y  ( x  1)( y  1)  ( y  1)  x2  x 1  x 1   1  x  1      x  x2 x 1  x 1   PT (2)  x 1 x2 x 1 x 1 x2  x 1     x 1 x2 x2 x 1 x 1 Đặt a  x2 ; b  x  1; c  x 1 x 1  abc  x2 1 ab  bc  ca     ab  ac  bc a b c abc  a  b  c  ab  ac  bc  abc   PT (2)  a  b  c   (a  1)(b 1)(c 1)   x2  1(VN )  a   x   b    x    x 2 y 4  c   x  1(VN )  x 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (2; 4)     y  1 x  1   y   xy (2  y )  47   x  y   y  xy (2  y )   (1) (Trích đề 41 ĐTN-Mathlinks) (2) Điều kiện: x  0;   x  Page41 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha   Lấy (1)  (2)  y    x 1 1  y2  x  y   y2   x  y   y  xy (2  y )   Ta có hệ phương trình mới:  2  y  y  x  1  x  y  y      a  y   y   a  Đặt   b  x  2a  2b  (a  2)b   HPT tương đương   (a  2)(b  1)  2ab  (3)   2a  a b   2  a b  a  2b  2ab  10 (4) Lấy 3.(3)  2.(4)  (a  2)(ab  2a  2b  2)  a   b  2a  a2  TH1: b  2a   (3)  a3  6a    PTVN a2  a  nên a3  6a   x   x   TH : a   b      y   y    y  1  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (1;1);(1; 1) 48 x2  x  x2  x    x x (Trích đề 29 ĐTN-Mathlinks) Ta thấy x  ko nghiệm phương trình Page42 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha PT   x2  x  1  x x  x 1 x  ( x  2) x  x   x  x    ( x  2) x  x   2( x  x  1)  x   a  x  Đặt  b  x  x   PT  ab  2b  a   (b  1)(a  2b  2)   x2  x   b     x 1  x  x  x   0(VN )  a  2b   Vậy phương trình có nghiệm x  49 4x  x  x  x2  x   (Trích đề số 37 ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: x  Ta có:  4x  x    x  4x  x  2 4x  x    x x 1   x  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: x  x   9(4 x  x  4) 1 4x  x   x x2  x   9(4 x  x  4)  x 4x2  x   33 x 3(4 x  x  4)  12( x  1)   x  Vậy nghiệm bất phương trình x  0, x    50 x  x  2  1    x    x   x x   (Quyền Nguyễn) x  x x  Page43 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha  2  x   Điều kiện:  x    2 x    x   (2 x  1)( x  1) a     ab   2x   Đặt  x x x b  x    PT  ( x  b )a  ( x  a )b  4abx(*) Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:  x2  b2   ( x  b )a  x ab  xab  a   x2  a2   ( x  a )b  x ab  xab  b  Cộng lại, ta có VT (*)  VP(*) Dấu “=” xảy  x  a  b  x  Vậy phương trình có nghiệm x  1 1 , mà x   x  2 1 2 x  x   y  y   25  (2 x  y  1)  51   x  2x 1  y  y  11  x  x    26(y 3) 5     (Huỳnh Kim Kha) Page44 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha Ta có: PT (1)   ( x  1)2   ( y 1)  25  (2( x  1)  3( y 1)) Đặt: a  x  1; b  y   PT (1)   a   b2  25  (2a  3b)2   4a  12  a  b   9b  25  4a  12ab  9b   a  b   ab   a  b  a 2b   2ab  a 2b  ( a  b)   a  b  x   y   y  x  Thay y  x  vào phương trình 2, ta có: 2x 1  2x   PT (2)   x2   x  x    26( x  1)   v  u  2( x  1) u  x     Đặt:  v2  u  2 x  v  x  x       v  u    v2  u    PT (2)    u     v   13(v  u ) 2 2      v2  u 1 v2  u    5 u v   13(v  u ) 2    5(v  u ) (u  v)  1  26(v  u )(v  u )  u  v  x2   x2  x  u  v    u  v  5(VN )      x   x  x   5 (u  v)  1  26(v  u )  u  v    x  1 y   27  57 69  57   x  y 48 48  27  57 69  57  y  x   48 48  27  57 69  57   27  57 69  57  ; ;  ;     48 48 48 48     Vậy hệ phương trình có ba nghiệm ( x; y )  (1;3);  4 xy  x  (2  x)( y  2)  14 52  2  x  y  x   (toanhoc24h) Page45 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha Điều kiện: (2  x)( y  2)  Ta có: PT (2)  ( x  1)  y    ( x  1)   y    x   y2  0 2 x  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:  ( x  1)  y  2( x  1) y  y ( x  1)   (3) Ta lại có: PT (1)  4xy  x  4 (2  x)( y  2)  14  xy  y   (2  x)  (2  x)( y  2)  4( y  2)  4( xy  y  1)   2 x 2 y2  0  xy  y    y ( x  1)    y ( x  1)     x  2 Dấu “=” xảy    x  y     y  1 x 1  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (2; 1) Bài tập tương tự:  xy (2  x  y )    x  y   x  y  (Huỳnh kim Kha)   2 xy    x  y   x  y   3   y  x  x   xy  x   10 53  2   y   y  xy  x  y  2( y  2) x  10 y    (Chiều Thu Thị Phạm) Page46 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha Điều kiện: x  5 ; y  1; y  xy  x  0; y  2( y  2) x  10 y  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: a  b  2(a  b )  y   y  xy  x   y  xy  x  1  y  xy  x  1  y  2( y  2) x  10 y Ta cần chứng bất đẳng thức sau:  ( x  y  1)  Suy bất đẳng thức  y   y  xy  x2  y  2( y  2) x  10 y Dấu “=” xảy x  y  Thay x  y  vào PT(1): PT (1)  y  y  11  y  y  y  13  y     y  11 y  14        y2  y  7  y     Ta có: y    y2      y  y  y  13  y   y  y       0 4 y  y  y  y  y  13  ( y  3) y  y  y  13  ( y  3)     y2 y2  y2 y  y  y  13  ( y  3) y  y  y  13  ( y  3)  y2  y  y  y  13  ( y  3) y  y  y  13  ( y  3)2 y2  y  3y   0 y3 y3 0 y  2y   y  y    y   2 y   x    Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )   2;1  2 4 x  y  10 x  y  y 6( x  1)   54  x2  1 x(1  y )  x   x( y  1)    x y y   (Châu Thanh Hải) Page47 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha  x   0;1  y   1;0  Điều kiện:  Ta có: PT (2)  1 x x2  y2 1 1 y      2 x x y y  1 x  y   x2  y2 1       0  x y   x2 y   yx ( x  y )( x  y ) xy x2 y   0 2 1 x 1 y x  y     x y x2 y   yx    xy   x x     x x2   y  x   x  y   0 y 1  y    y y  x y x.( y ) Thay x   y vào PT(2), ta có: PT (2)  12x2 19x    x 6( x  1)  x 12 x  19 x      2 12 x  19 x    x (6 x  6)  x 12 x  19 x     (2 x  1)(3 x  5)(24 x  25 x  5)  1  x   y   25  145 25  145   y  x  48 48  1   25  145 25  145  ;  48 48 2 2   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )   ;  ;   2( x  1)  2( y  1)  y (3x  1)   5( x  y  1) y ( x  1) (1)  55  (Huỳnh Kim Kha) (2) (2 x  1) y   y  y    x  x     Page48 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha Điều kiện: y  1;0  x  PT (1)   x  x  1   y  y  1   3xy  y    ( x  y  1) y ( x  1)   x  y   x  y  xy   y ( x  1)  ( x  y  1) y ( x  1)   x  y  1  y ( x  1)  ( x  y  1) y ( x  1) y ( x  1) x  y 1    (*) y ( x  1) x  y  Đặt t  x  y 1 Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: y ( x  1)  x  1  y  y ( x  1)  t  x  y 1 2 y ( x  1) (*)  t    t   x  y   y( x  1)   x  y  1   y  x  t Thay y  x  vào PT(2), ta có:  PT(2)  (2 x  1) x   x   x   x  1 x    1 x 1 x   x  (1  x)  x    x   x    x  x   x    x   x  x   x  x    x   x    x    x  1 x  x    1 x  (2 x  1) x   x   x  x( x  3)    x  Ta có:  x  31  x   x  31  x  x( x  3)   x   x( x  3)    x  Dấu “=” xảy x   y  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (1;2) ( x  y  1) x  y  x   y( x  1)  12    56  2  3 y   x  x  x  y( x  1)  0 (Huỳnh Kim Kha) Page49 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha 5 ; x 2 Điều kiện: y  2 Ta có: PT (1)   x  1  y  ( x  1)  y  y ( x  1)   12 Đặt a  x   0; b   y ( x  1)  0 y  Suy ra, ta có: PT(1)  (a  b )(a  b  8a 2b )  12a 3b3   (a2  b2 )  a  b4   4a 2b2 2(a  b2 )  3ab    Ta chứng minh rằng: (a  b2 ) a  b4  4a 2b2 2(a  b2 )  3ab  Mà theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: a  b2  2ab  a  b  2ab  2(a  b )  3ab   a  b  2a 2b  2ab  2a  2b  4ab   (a  b )  4ab(a  b)  (a  b) ( a  b)  4ab    ( a  b)   a  b  x 1  y Thay x   y vào PT(2), ta có: PT (2)  x 1  x  x2  x2 Điều Kiện: PT (2)     x   (2 x  1)  x x 2   x  (3  x)  3(2 x  x  1)  6(2 x  x  1) x(2 x  x  1)    3(2 x  x  1)  2x 1  2x 1  4x   2x   4x  (2 x  x  1)    3   4x2   x  2x 1  2x 1   x  y   2  x  1 y  1 3 2 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )   ;  ;(1; 2)    y  y   x   x   x   x  x  1  xy ( x  1)  y y    57   x ( y  1)  x   x  y  28 (Đề thi thử Trường Cờ Đỏ) Page50 PT-BPT-HPTmới đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha  x  6 y  Điều kiện:  y  y   x   x   x   x  x  1  x y  xy  y  y  PT (1)     Ta có:  y x x   y  x   x  x  1  x y  xy  y y2  y 1 x6  y  y   x   ( y  1)    PT (1)   4 x6  y   x  1  x6  y x6  y  Do  x   ( y  1)    y  y   x   ( y  1)  y2  y 1 x   y 1 x6  y  x6  y    x6  y y  y 1 x   y 1 x6  y    y2  y 1 x   y 1  x6  y x6  y     x  x  1  y2  y 1 x   y 1  x6  y     x  x  1    x6  y 0     x6  y 0 Nên  x   y   x   y 2 Thay x   y vào PT(2), ta có: PT (2)  x3  x  x   x  x   ( x  2)3  ( x  2)     x2  x   x2  6x     x   x  x   ( x  2)  ( x  2) x  x     x2  6x    1  x   y     x   x  x   x  x  x    x  3  y    x  2  y  2  Vậy hệ phương trình có ba nghiệm ( x; y)  (0; 6);(0;  6);( 3; 3);( 3; 3);  2;2 ;( 2; 2) Page51