TRƯỜNG THPT CHUYÊN KỲ THI OLIMPIC HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X- NĂM 2014 HÀ GIANG ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Tổ Toán- Tin Môn: Toán - Lớp 10 ( x + y ) + xy = Câu (4 điểm): Giải hệ phương trình: x y + = 6 Câu (5 điểm): Cho ABCD tứ giác nội tiếp có giao điểm P hai đường phân giác góc BAD BCD nằm đường chéo BD Gọi Q trung điểm BD Đường thẳng qua C song song với AD cắt tia AQ K nằm tứ giác ABCD Chứng minh rằng: Tam giác CDK cân Câu ( điểm): Giả sử x, y số thực dương thỏa mãn x + y = Chứng minh rằng: 36 + 104 + 3 > xy 3x + y 81 Câu (4 điểm): Trên đường tròn cho 100 điểm đánh số cách ngẫu nhiên số từ đến 100 Chứng minh có ba điểm liên tiếp mà tổng ba số tương ứng với ba điểm không nhỏ 152 Câu (2 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x 2012 + y 2012 = 20142012 Hết Người đề xuất Câu 1: Nguyễn Công Tĩnh - Số điện thoại: 091 325 6001 Câu 2: Đinh Ngọc Diệp - Số điện thoại: 091 328 1884 Câu 3: Nguyễn Thị Lê Quỳnh - Số điện thoại: 091 327 8968 Câu 4: Võ Thị Thanh Huyền - Số điện thoại: 094 604 913 Câu 5: Đỗ Thu Hạnh - Số điện thoại: 091 543 5075 ĐÁP ÁN ( x + y ) + xy = Câu (5 điểm): Giải hệ phương trình: x y + = 6 Giải: ĐK: x ≥ 0, y ≥ x + y + 2 xy = 16 x + y + 2 xy = 16 ⇔ Hệ cho tương đương: x+ y =4 x + y + xy = 16 ( x + y ) + xy = 16 ( x2 + y ) = x + y ⇔ ⇔ x + y + xy = 16 x + y + xy = 16 ( x − y ) = x= y ⇔ ⇔ x + y + xy = 16 x + y + xy = 16 x = ⇔ y = Vậy nghiệm hệ ( x; y ) = ( 4; ) Câu (5 điểm): Cho ABCD tứ giác nội tiếp có giao điểm P hai đường phân giác góc BAD BCD nằm đường chéo BD Gọi Q trung điểm BD Đường thẳng qua C song song với AD cắt tia AQ K nằm tứ giác ABCD Chứng minh rắng: Tam giác CDK cân Giải: A Q B D P C K Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo định lý Ptôlêmê ta có: AB.CD+AD.BC=AC.BD(1) Vì AP, CP tương ứng phân giác góc A C nên AB PB CB = = ⇒ AB.CD = AD.BC (2) AD PC CD Từ (1) (2) suy AB.CD = AC.BD Mà Q trung điểm BD nên BD=2BQ Do đó: AB.CD=AC.BQ hay AB BQ = Mà ·ABQ = ·ACD (góc nội tiếp chắn cung AD) AC CD nên ∆ABQ : ∆ACD ⇒ ·AQB = ·ADC · Mà ·AQB = DQK (đối đỉnh) ·ADC = DCK · (so le trong)(*) · · · · = DCK ⇒ Tứ giác CQDK nội tiếp ⇒ BQC = CKD Suy DQK (**) · = ·ADC (***) Chứng minh tương tự ∆QBC : ∆DAC ⇒ BQC · · Từ (*),(**),(***) ⇒ DCK = CKD Suy tam giác DCK cân K Câu ( điểm): Giả sử x, y số thực dương thỏa mãn x + y = Chứng minh rằng: 36 + 104 + 3 > xy 3x + y 81 Giải: 1 1 4 + = + > = =4 3 3 xy x + y 3xy ( x + y ) x + y x + xy ( x + y ) + y ( x + y) 1 (1) Mặt khác, ( x + y ) ≥ xy ⇒ xy ≥ x + y = ⇒ xy ≥ (2) ( ) Từ (1) (2) ta có: ( ) 2− 5 1 − 5 36 + 104 + + + + = = ÷> 3 xy 3x + y xy x + y xy 81 81 Câu ( điểm) : Trên đường tròn cho 100 điểm đánh số cách ngẫu nhiên số từ đến 100 Chứng minh có ba điểm liên tiếp mà tổng ba số tương ứng với ba điểm không nhỏ 152 Giải : Giả sử a1 , a2 , , a100 cách đánh số ngẫu nhiên cho 100 điểm đường tròn ( Î { 1,2, ,100} , ¹ a j , " i ¹ j ; i, j = 1,2, ,100 ) Như ta có số tương ứng với đỉnh liên tiếp ( a1 , a2 , a3 ),( a2 , a3 , a4 ), ( a3 , a4 , a5 ), ,(a100 , a1 , a2 ) Rõ ràng ta có 100 ba số tổng tương ứng là: a1 + a2 + a3 , a2 + a3 + a4 , a3 + a4 + a5 , , a100 + a1 + a2 Trong ba số nói trên, số số từ đến 100 xuất Do đó, tổng số tổng ba là: 100.101 3(1 + + +100) = = 15150 Vì 15150 > 100.151 , nên theo nguyên lí Dirichlet có tổng không nhỏ 152 Câu (2 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x 2012 + y 2012 = 20142012 Giải: Theo giả thiết ta có < x,y < 2014, x, y ∈ ¢ + (1) Giả sử x ≥ y ta có x + ≤ 2014 theo giả thiết ta có 20142012 ≥ ( x + 1) 2012 = x 2012 + 2012 x 2011 + + 2012 x + ⇒ x 2012 + y 2012 > x 2012 + 2012 x 2011 ⇔ y 2012 > +2012 x 2011 Do x ≥ y nên 2012 > 2012 x 2011 x > 2012 x ⇔ 2012 2011 > 2012 y y y > 2012 (2) Từ (1) (2) ta có x = y = 2013