Đại số 10 Nâng cao - Elip

§4. ĐƯỜNG TRÒN §4. ĐƯỜNG TRÒN 2 2 2 2 4 6 3 0 1 4 4 2 x y x y ( ) x y ( ) + − + − = + = Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? Xác định tâm và bán kính của nó (nếu có). Bài cũ: Bài cũ: Trả lời: Trả lời: (1) Là phương trình đường tròn vì có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 16 0a b c+ − = + − − − = > Tâm I(2;-3), bán kính R=4. (2) Không phải là phương trình đường tròn vì các hệ số của x 2 và y 2 không bằng nhau. §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 1. Định nghĩa đường elip: H1: Khi M thay đổi, chu vi của tam giác MF 1 F 2 như thế nào? - Khi M thay đổi, chu vi của tam giác MF 1 F 2 là không thay đổi và bằng chiều dài của sợi dây. H2: Khi đó, tổng MF 1 +MF 2 có thay đổi hay không? Vì sao? - Tổng MF 1 +MF 2 là không thay đổi vì MF 1 + MF 2 = C ΔMF 1 F 2 - F 1 F 2 §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 1. Định nghĩa đường elip: Cho hai điểm cố định F 1 và F 2 , với F 1 F 2 = 2c (c>0). Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF 1 +MF 2 =2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c. Hai điểm F 1 và F 2 gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip. Định nghĩa: §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip x y (-c;0) (c;0) (x;y) O §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip x y (-c;0) (c;0) (x;y) O §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip x y (-c;0) (c;0) (x;y) O Giả sử M(x;y) ∈(E), khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 0MF x c y x c y= − − + − = + + 2 2 2 2x cx c y= + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0MF x c y x c y= − + − = − + 2 2 2 2x cx c y= − + + 2 2 1 2 4MF MF cx⇒ − = ( ) ( ) 1 2 1 2 4MF MF MF MF cx⇔ − + = ( ) 1 2 2 4MF MF a cx⇒ − = 1 2 2cx MF MF a ⇔ − = Do: 1 2 2MF MF a+ = (*) (**) Từ (*) và (**) ta có: 1 cx MF a a = + 1 cx MF a a = + 2 2 1 cx MF a a   ⇒ = +  ÷   2 2 2 2 2 2 1 c x y a c a   ⇔ − + = −  ÷   2 2 2 2 2 1 x y a a c ⇔ + = − 2 2 2 2 1 , 0 x y a b a b + = > > Đây là phương trình chính tắc của elip. và 2 cx MF a a = − Đặt: 2 2 2 b a c= − ,ta có: Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho: F 1 (-c;0), F 2 (c;0). §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip * Các đoạn MF 1 và MF 2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M. 1 2 cx MF a a cx MF a a  = +     = −   Với điểm M(x;y) thì ta có: Chú ý: * Từ công thức: 2 2 2 2 1 x y a b + = ta suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x x a a y y b b  ≤   ≤   ⇒   ≤    ≤   a x a b y b − ≤ ≤  ⇒  − ≤ ≤  §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip Ví dụ 1: Cho 3 điểm ( ) ( ) 1 2 5;0 , 5;0F F− ( ) 0;3 .I và a) Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F 1 , F 2 và đi qua I. b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF 1 có GTNN và GTLN bằng bao nhiêu? Giải a) (E) có phương trình chính tắc là: 2 2 2 2 1 , a b 0 x y a b + = > > Vì I(0;3)∈(E) nên ta có: 2 2 2 2 0 3 1 a b + = 2 b 9⇒ = Vì 2c=F 1 F 2 nên ta có: 2 2 5c = 5c⇒ = 2 5c⇒ = Từ đó, suy ra: 2 2 2 9 5 14a b c= + = + = Vậy phương trình chính tắc của (E) là: 2 2 1 14 9 x y + = Đáp số: a) 2 2 1 14 9 x y + = §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip Ví dụ 1: Cho 3 điểm ( ) ( ) 1 2 5;0 , 5;0F F− ( ) 0;3 .I và a) Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F 1 , F 2 và đi qua I. b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF 1 có GTNN và GTLN bằng bao nhiêu? Giải b) Ta có: Đáp số: a) 2 2 1 14 9 x y + = 1 cx MF a a = + Mà: a x a− ≤ ≤ 1 ca ca a MF a a a ⇒ − ≤ ≤ + 1 a c MF a c⇒ − ≤ ≤ + Vậy: 1min 14 5 khi MF a c x a= − = − = − 1max 14 5 khi MF a c x a= + = + = b) 1min 14 5 khi MF a c x a= − = − = − 1max 14 5 khi MF a c x a= + = + = [...]... = a 4b 4.1 4 ⇒ a2 = 4 Vậy elip cần tìm có phương trình chính tắc là: x2 y 2 + =1 4 1 2 2 2 Ta có: c = a − b = 4 − 1 = 3 Vậy các tiêu điểm của (E) là: F1 − 3;0 và F1 3;0 ( ) ( ) §5 ĐƯỜNG ELIP 1 Định nghĩa đường elip: ( E ) = { M | MF1 + MF2 = 2a, a > c > 0, F1F2 = 2c} F1, F2 được gọi là các tiêu điểm của elip F1F2=2c được gọi là tiêu cự của elip 2 Phương trình chính tắc của elip: Phương trình chính tắc:...§5 ĐƯỜNG ELIP 2 Phương trình chính tắc của elip 2 Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M ( 0;1) và  3 N 1;  2 ÷ Xác định tọa độ các tiêu ÷   điểm của elip đó Giải Phương trình chính tắc của elip (E) x2 y2 có dạng: 2 + 2 = 1 ,a > b > 0 a b Vì M ( 0;1) ∈(E) nên ta có: 02 12 + 2 = 1 ⇒ b2 . ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip x y (-c;0) (c;0) (x;y) O §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip. điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip. Định nghĩa: §5. ĐƯỜNG ELIP §5. ĐƯỜNG ELIP 2. Phương trình chính tắc của elip x y (-c;0) (c;0)