Phương trình lượng giác cơ bản LPA

Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Phương trình lượng giác Dạng Phương trình sinx = m  x = α + k2π  sinx = sin α ⇔  x = π − α + k2π , k ∈ ¢ Bài 1: Giải phương trình sau: π sin x + = sin ÷  4 a ( )  π sin 3x − ÷ = 3  b Giải: a Ta có:  π sin( x + 3) = sin ÷ ⇔  4 π   x + = + k2π   x + = π − π + k2π  π   x = − + k2π ⇔  x = 3π − + k2π  , k∈¢ Vậy phương trình có hai họ nghiệm b Ta có: π π  3x − = + k2π ⇔   π π π 3x − π = π − π + k2π sin 3x − ÷ = ⇔ sin 3x − ÷ = sin ÷  3       3 2π   x = + k2π ⇔  x = π + k2π  , k ∈¢ Vậy phương trình có hai họ nghiệm Bài 2: Giải phương trình sau:   π  sin π sin 4x + ÷÷ =1 3÷    Giải: Ta có:     π π  π  sin π sin 4x + ÷÷ = ⇔ sin π sin 4x + = sin ÷   ÷÷ ÷  ÷ 3 3    2    π ⇔ sin 4x + ÷ = + 2k, k ∈ ¢  π π 3  ⇔ π sin 4x + ÷ = + k2π 3  (*) Phương trình (*) có nghiệm + 2k ≤ ⇔ −1 ≤ + 2k ≤ ⇔ − ≤ k ≤ ⇒ k = 2 4 Khi phương trình (*) trở thành: ( k ∈ ¢ )  π  π π sin 4x + ÷ = ⇔ sin 4x + ÷ = sin ÷ 3 3   6  π π π lπ    4x + = + l2π  x = − 24 + ⇔ ⇔ , l ∈ ¢  4x + π = π − π + l2π  x = π + lπ   Vậy phương trình có hai họ nghiệm Bình luận: Đây phương trình lượng giác đơn giản, mấu chốt toán từ tập xác định hàm sin, ta tìm “k” Đôi lúc vai vai trò “k” quan trọng việc giải phương trình lượng giác Việc xét điều kiện cho k đưa toán hay Ta gặp thêm ví dụ việc xét điều kiện cho “k” toán Bài 3: Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình: sin( 2πx) = sin  π ( x + 1)    Giải: Ta có: 2πx = π ( x + 1) + k2π  x2 + + 2k = ( 1) 2 ⇔   ⇔ sin( 2πx) = sin  π ( x + 1)  2πx = π − π ( x + 1) + k2π  x2 + 4x − 2k = ( 2)    , k∈¢ −1  k ≤  k ∈ ¢ ∆1' = −1 − 2k ≥ ⇒ k ≤ −1 Xét phương trình (1) có , nên ta có Do đó: x = −1 − 2k ≥ mà x > nên phương trình (1) có nghiệm nhỏ x =  k ≥ −2   k ∈ ¢  ( x + 2) = 2k + > 4( dox > 0) ⇒ k ≥ ∆' = + 2k ≥ Xét phương trình (2) có , nên ta có  Do ( x + 2) = 2k + ≥ 6⇔ x + ≥ ⇔ x ≥ −2 + ( x >0 ), nên phương trình (2) có nghiệm nhỏ x = −2 + Ta thấy x = −2+ ≤ Vậy nghiệm dương nhỏ phương trình cho : x = −2+ Dạng 2: Phương trình cosx = m cosx = cosα ⇔ x = ±α + k2π , k ∈ ¢ Bài 1: Giải phương trình sau: a ( ) ( cos 2x = cos x − 15° )   5π  π cos x − ÷+ sin 3x − ÷ = 6 6   b Giải: a Ta có: 2x = x − 15° + k360°  x = −15° + k360° cos 2x = cos x − 15° ⇔ 2x = − x + 15° + k360° ⇔  x = 5° + k120° , k ∈ ¢ Vậy phương trình có hai họ nghiệm b Ta có:     5π  π 5π  π cos x − ÷+ sin 3x − ÷ = ⇔ cos x − ÷ = − sin 3x − ÷ 6 6 6 6     ( ) ( )    π 5π  π 5π  π ⇔ cos x − ÷ = sin −3x+ ÷ ⇔ cos x − ÷ = cos + 3x − ÷ 6 6 6 6    2 7π  5π π   x − = + 3x + k2π  x = − 12 − kπ ⇔ ⇔ , k ∈ ¢  x − 5π = − π − 3x + k2π  x = π + kπ   Vậy phương trình có hai họ nghiệm Bài 2: Giải phương trình sau: sin( 5π cos2x) = sin( 3π cos2x) Giải: ( ) ( ) sin 5π cos2x = sin 3π cos2x Ta có: cos 2x = k ⇔ ,k ∈ ¢ cos 2x = + k  k ≤1  k ∈ ¢  + k ≤ 1⇔ ⇒  cos 2x ≤  Vì:  5π cos 2x = 3π cos 2x + k2π ⇔ 5π cos 2x = π − 3π cos 2x + k2π  −1 ≤ k ≤  − ≤ k ≤  2 , k ∈ −4,±3,±2,±1,0  −7  ÷+ l 2π cos2x = − ⇔ 2x = ± arccos 8  Với k = - 4, ta có  −7  x = ± arccos ÷+ l1π, l1 ∈ ¢  8 {   cos 2x = − ⇔  cos 2x =  Với k = ±3 , ta có    5  x = ± arccos  − ÷+ l2π    , l2 ∈ ¢   7  x = ± arccos  ÷+ l2π  8    5  x = ± arccos  ÷+ l3π  cos2x =  8  , l3 ∈ ¢ ⇔     cos2x = −  x = ± arccos  − ÷+ l3π   8 k = ± 2,  Với ta có  x = l4 π cos2x =   , l4 ∈ ¢ ⇔   3 x = ± arccos ÷+ l4π cos2x =   8 Với k = , ta có  π  x = + l5π  cos2x = −1  , l5 ∈ ¢  ⇔   −1  + l5π cos2x = −  x = ± arccos  ÷   Với k = -1, ta có   π l6 π x = + cos2x = ⇔  , l6 ∈ ¢    1 cos2x =  x = ± 2arccos ÷+ l6 π      Với k = 0, ta có Vậy phương trình có mười tám họ nghiệm Dạng 3: Phương trình tanx = m } tanx = tanα ⇔ x = α + kπ ,k ∈ ¢ Bài 1:Giải phương trình lượng giác sau: π tan( 2x + 5) = tan ÷  6 a tan( x − 15° ) = b Giải: a Ta có: π tan 2x + = tan ÷ ⇔ 2x + = π + kπ ⇔ x = π − + kπ ,k ∈ ¢  6 12 2 ( ) Vậy phương trình có họ nghiệm b.Ta có: ( ) tan x − 15° = ⇔ tan( x − 15° ) = tan( 60° ) ⇔ x − 15° = 60° + k180° ⇔ x = 75° + k180° Vậy phương trình có họ nghiệm Dạng 4: Phương trình cotx = m cotx = cot α ⇔ x = α + kπ ,k ∈ ¢ Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau: x π cot  + ÷ = −  3 a  7π  cot x + = tan ÷  12  b Giải: a Ta có: ( ) x π  π x π cot  + ÷ = − ⇔ cot  + ÷ = cot  − ÷  3  3  3 x π π 4π + = − + kπ ⇔ x = − + 2kπ ,k ∈ ¢ 3 Vậy phương trình có họ nghiệm b Ta có:  7π   π 7π   π  cot ( x + 3) = tan ÷ ⇔ cot ( x + 3) = cot  − ÷ = cot  − ÷  12   12   12  ⇔ π π + kπ ⇔ x = −3− + kπ,k ∈ ¢ 12 12 Vậy phương trình có họ nghiệm Bài 2: Giải phương trình: tanx = cot 2x Giải: cosx ≠ kπ ⇔ sin 2x ≠ ⇔ 2x ≠ kπ ⇔ x ≠ , k ∈ ¢  Điều kiện xác định: sin 2x ≠ (1) Ta có: π π kπ π  ⇔ cot  − x÷ = cot 2x ⇔ − x = 2x + kπ ⇔ x = − tanx = cot 2x 2  ⇔ x+ = − π x = ± + kπ Kết hợp nghiệm với điều kiện (1) ta nhận nghiệm phương trình là: Vậy phương trình có họ nghiệm Bình luận: Khi gặp phương trình có chứa tan, cotan hay ẩn mẫu, ta cần đặt điều kiện phương trình nghiệm, cần đối chiếu với điều kiện Cách loại nghiệm, kết hợp nghiệm, chọn nghiệm ta phân tích kĩ phần sau Phương trình đa thức bậc thấp hàm số lượng giác a Phương trình bậc hàm số lượng giác: Để giải phương trình ta dùng công thức lượng giác để đưa phương trình phương trình lượng giác b.Phương trình lượng giác bậc hai hàm số lượng giác: Là phương trình có dạng: asin2 x + bsinx + c = (hoặc acos2x + bcosx + c = , atan2x + btanx + c = , acot2x + bcotx + c = ) Phương pháp giải: Ta đặt ẩn phụ t giải phương trình bậc hai t Chú ý đặt sinx = t hay cosx = t cần đặt điều kiện Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau: t ≤1 a 2cos x + 5sinx − = b cos2x + 3cosx + = c 6sin 3x+cos12x=1 d 4sin x + 12sin x − = Giải: 2 a Ta có: 2cos x + 5sinx − = ⇔ − 2sin x + 5sinx − = ⇔ −2sin x + 5sinx − = Đặt ( ) , phương trình trở thành : sinx = t t ≤   t = ( tmdk )  −2t2 + 5t − = ⇔  t = ( kotmdk ) π   x = + k2π , k ∈ ¢  5π 1  + k2π sinx = ⇔  x = t=  2 , ta có Với Vậy phương trình có hai họ nghiệm 2 b Ta có : cos2x + 3cosx + = ⇔ 2cos x − + 3cosx + = ⇔ 2cos x + 3cosx + = cosx = t ( t ≤ 1) Đặt , phương trình trở thành :  t=−  2t + 3t + = ⇔ ( tmdk )   t = −1 π  x = − + k2π  s inx = − ⇔  , k ∈ ¢ π  x= + k2π t=−  , ta có Với π sinx = −1 ⇔ x = − + k2π,k ∈ ¢ Với t = −1 , ta có Vậy phương trình có hai họ nghiệm c Ta có : − cos6x ⇔6 + 2cos2 6x − − = 6sin2 3x+cos12x=1 ⇔ 2cos2 6x − 3cos6x+1 = Đặt cos6x = t ( t ≤ 1) , phương trình trở thành : t = 2t − 3t + = ⇔  t =  ( tmdk ) Với t = 1, ta có : sinx = ⇔ x = π + k2π,k ∈ ¢ π   x = + k2π s inx = ⇔  , k ∈ ¢  x = 5π + k2π t=  , ta có : Với Vậy phương trình có ba họ nghiệm d Ta có : 4sin4 x + 12sin2x − = Đặt sin2x = t ( t ≥ 0) , phương trình trở thành :  ( tmdk ) t = 4t2 + 12t − = ⇔   t = − ( kotmdk )  − cos2x 1 π kπ sin2x = ⇔ = ⇔ x= + ,k ∈ ¢ t= cos2x = ⇔ 2 2 , ta có : Với Vậy phương trình có họ nghiệm Bình luận : Đây dạng phương trình lượng giác bản, cần dùng công thức lượng giác biến đổi vài bước tạo phương trình bậc hai với hàm số lượng giác, dạng này, sau làm quen ta loại bỏ bước đặt ẩn phụ trung gian suy nghiệm phương trình Bài : Giải phương trình lượng giác sau :  π 3tan2  x + ÷ = 3  a b tanx− 3cot x = − Giải : a.Ta có :  π   tan  x + ÷ =     π  π  3tan  x + ÷ = ⇔  tan  x + ÷ = − 3 3    π π   x + = + kπ ⇔  x + π = − π + kπ   Vậy phương trình có π   x = − + kπ , k ∈ ¢   x = − π + kπ  hai họ nghiệm s inx ≠ kπ  sin2x ≠ ⇔ x ≠ cosx ≠ b Điều kiện định :   tanx− 3cot x = − ⇔ tanx− = − ⇔ tan2x− tanx Đặt tanx = t , phương trình trở thành : t2 − ( ) ( ) − tanx− = − t+ = ∆= ( ) − + = 3− + + = Do : ( ) 3+1  t = −1  t = π tanx = −1 ⇔ x = − + kπ,k ∈ ¢ Với t = -1, ta có : (tmđk) π tanx = ⇔ x = + kπ ,k ∈ ¢ t = 3 Với , ta có : (tmđk) Vậy phương trình có hai họ nghiệm Bình luận : Đối với toán có tan cotan, ta phải ý cần đặt điều kiện cho phương trình Các phương pháp loại nghiệm phương trình lượng giác giới thiệu sâu phần sau Phương trình bậc sinx cosx Dạng phương trình : asinx + bcosx = c 2 Điều kiện để phương trình có nghiệm a + b ≥ c Phương pháp giải : Cách : Bước : Kiểm tra điều kiện để phương trình có nghiệm 2 Nếu a + b < c ta kết luận phương trình vô nghiệm 2 Nếu a + b ≥ c , ta thực bước 2 Bước : Chia hai vế phương trình cho a + b ta : a b c sinx + cosx = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a   2 = cosα  a +b  b  = sin α  a2 + b2  Đặt : , phương trình trở thành : c c cosα sinx + sin αcosx = ⇔ sin x + α = a2 + b2 a2 + b2 Ta phương trình hàm số sin b = tanα Cách : Chia hai vế cho a đặt a , ta : ( ) c c c ⇔ sinxcosα + sinαcosx = cosα ⇔ sin( x + α ) = cosα = sinβ a a a Theo cách ta đưa phương trình phương trình hàm số sin Cách : x cos = ⇔ x = π + k2π , vào phương trình thử nghiệm Bước : Với sinx + tanαcosx = x x cos ≠ t = tan ⇔ x ≠ π + k2π Đặt , ta có : Bước : Với sinx = 2t cosx = − t2 + t2 + t2 Khi phương trình có dạng : a 2t +b − t2 = c ⇔ ( b+ c) t2 − 2at + c − b = 1+ t 1+ t Bước : Giải phương trình ẩn t sau suy nghiệm phương trình 2 2 Chú ý : Từ cách ta có kết sau : − a + b ≤ asinx + bcosx ≤ a + b , kết ứng dụng ta gặp toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số asinx + bcosx f ( x) = asinx + bcosx, f ( x) = csinx + dcosx Bài : Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau : a) y = 3sin 2x + cos 2x y = ( sinx − cosx ) + 2cos 2x + 4sinx cosx b) Giải :   y = 3sin2x + 2cos2x = 11  sin2x + cos2x÷  11 ÷ 11   a) Ta có : Đặt 11 = cos α ( 11 = sin α ,ta có: ) ( y = 11 cos α.sin2x+ sin α.cos2x = 11.sin 2x + α Vì ( ) ( ) ) −1 ≤ sin 2x + α ≤ ⇒ − 11 ≤ 11.sin 2x + α ≤ 11 ⇒ − 11 ≤ y ≤ 11 π −α π sin ( 2x + α ) = −1 ⇔ 2x + α = − + k2π ⇔ x = − + kπ 2 Vậy Min y = − 11 π −α π sin( 2x + α ) = ⇔ 2x + α = + k2π ⇔ x = + + kπ y = 11 2 Max cos α = 11 ) ( Với góc α thỏa mãn y = ( sinx − cosx ) + 2cos 2x + 4sinx cosx = sin2 x − 2sinx.cosx+ cos2 x + 2cos2x + 4sinx.cosx b)   = + 2cos2x + 2sinx.cosx = + 2cos2x + sin2x = + 5 cos2x + sin2x÷  ÷   = cosα = sinα 5 Đặt ,ta có: ( ) ( y = + cosα.sin2x+ sinα.cos2x = + 5.sin 2x + α Vì ( ) ( ) ) −1 ≤ sin 2x + α ≤ ⇒ − ≤ 5.sin 2x + α ≤ ⇒ − ≤ y ≤ + Vậy Min y = − Max y = + cosα = π −α π sin 2x + α = −1 ⇔ 2x + α = − + k2π ⇔ x = − + kπ 2 ( ) sin( 2x + α ) = ⇔ 2x + α = π −α π + k2π ⇔ x = + + kπ 2 ) ( Với góc α thỏa mãn Bình luận: Từ toán trên, ta tìm giá trị lớn nhỏ hai biểu thức tổng quát 2 a) y = asinx+ bcosx (a, b số, a + b > ) Ta có:   a b y = a2 + b2  sinx+ cosx ÷ = a2 + b2 ( sinx.cos α + sin α.cosx) = a2 + b2 sin ( x + α )  2 ÷ a2 + b2  a +b  a b cosα = sinα = a2 + b2 a2 + b2 Với − a2 + b2 ≤ y = a2 + b2 sin ( x + α ) ≤ a2 + b2 Ta thấy 2 sin( x + α ) = −1 Min y = − a + b , nên ta có kết luận : 2 sin ( x + α ) = Max y = a + b 2 b) y = Asin x + Bsinx.cosx+ Ccos x − cos2x B + cos2x B C− A A+C y = A + sin2x + C = sin2x + cos2x + 2 2 2 Ta có : ( = ( B2 + C− A ) )   B   B2 + C− A  2 ( y= B2 + ( C− A) ( B2 + C− A 2 ( − Ta thấy kết luận : Min ) y=− )  ÷ A+C sin2x + cos2x÷+ 2 ÷ B2 + C− A  A = cosα , = sinα 2 B + ( C− A ) , ta : B Đặt ( C− A ) ( ) ( B2 + C− A A+C cosα.sin2x + sinα.cos2x + = 2 ) B2 + ( C− A) 2 B2 + ( C− A) B2 + ( C− A) ( ) sin 2x + α + A+C B2 + ( C− A) B2 + ( C− A ) A+C A+C A+C + ≤y= sin ( 2x + α ) + ≤ + 2 2 nên ta có + ) 2 A+C sin ( 2x + α ) = −1 , A+C 2 sin( 2x + α ) = Max Bài : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau : cosx+ 2sinx+ y= 2cosx− sinx+ Hướng dẫn : Để đánh giá cực trị y, để nguyên vậy, áp dụng cách làm ta làm xuất hàm sin cung khác tử mẫu, khó nghĩ tiếp, ta đặt ẩn phụ, sau đạo hàm, lập bảng xét dấu, dài gặp nhiều khó khăn, ta nghĩ tới phương pháp không mới, coi y ẩn, quy biểu thức phương trình ẩn y ( ta gặp dạng đại số, coi y ẩn, đưa phương trình bậc hai, tính denta ), dạng này, sau đưa phương trình ẩn y : y ( 2cosx− sinx+ 4) = cosx+ 2sinx+ ⇔ cosx ( 2y − 1) + sinx ( −y − 2) = − 4y , ta phương trình có dạng y= + asinx + bcosx = c , ta ý tới điều kiện để phương trình có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 , từ điều kiện ta giải cực trị y Bài giải chi tiết : y= cosx+ 2sinx+ 2cosx− sinx+ ⇔ y ( 2cosx− sinx+ 4) = cosx+ 2sinx+ ⇔ cosx ( 2y − 1) + sinx ( − y − 2) = 3− 4y Ta có : Phương trình có nghiệm : ( 2y − 1) + ( −y − 2) ≥ ( 3− 4y) 2 ⇔ 11y2 − 24y + ≤ ⇔ ⇔ 4y2 − 4y + + y2 + 4y + ≥ 16y2 − 24y + ≤y≤2 11 24 25 24 − cosx− sinx = ⇔ cosx+ sinx = −1 11 11 11 11 25 25 Vậy Min sinα = ⇔ sinα.cosx+ cosα.sinx = −1 ⇔ sin( x + α ) = −1 25 ) (với góc α thỏa mãn y= Max y = 3 3cosx− 4sinx = −5 ⇔ cosx− sinx = −1 5 ( ) sin β = ⇔ cosβ.cosx− sinβ.sinx = −1 ⇔ cos x + β = −1 5) (với góc β thỏa mãn Bình luận : Bài tập minh họa cụ thể phương pháp tìm cực trị biểu thức có asinx + bcosx f ( x) = csinx + dcosx dạng : Bài : Giải phương trình lượng giác sau : a) 4sinx+ 3cosx = b) ( 3cos2x− sin2x = ) ( ) + sinx + − cosx = c) Giải : a) 4sinx + 3cosx = ⇔ sinx+ cosx = 5 4 = cosα  5   = sin α Đặt :  , phương trình trở thành : π π + k2π ⇔ x = −α + + k2π k ∈ ¢ ( ) 2 π x = −α + + k2π k ∈ ¢ cosα = ( ) Vậy họ nghiệm phương trình là: với góc α thỏa mãn cosα.sinx+ sinα.cosx = ⇔ sin( x + α ) = ⇔ x + α = 3cos2x− sin2x = b) π π cos2x − sin2x = ⇔ cos cos2x − sin sin2x = 2 6 π   x = 24 + kπ ⇔ , k ∈ ¢ π π π π  −5π  ⇔ cos  2x + ÷ = cos ⇔ 2x + = ± + k2π x= + kπ  6 24  ⇔ Vậy họ nghiệm phương trình là: ( ) ( ) + sinx + − cosx = c) Ta giải theo hai cách: Cách 1: x= −5π π x= + kπ ,k ∈ ¢ + kπ 24 24 hay ( ) ( ) + sinx + − cosx = ⇔ 1+ 2 2 1− = sinα 2 , phương trình trở thành: π cosα.sinx+ sinα.cosx = ⇔ sin( x + α ) = sin Đặt 2 = cosα ( 1+ 3) sinx + ( 1− 3) cosx = π π    x + α = + k2π  x = −α + + k2π ⇔ ⇔ , k ∈ ¢  x + α = π − π + k2π  x = −α + 3π + k2π   4 Vậy họ nghiệm phương trình là: mãn cosα = x = −α + π 3π + k2π x = −α + + k2π k ∈ ¢ ( ) với góc α thỏa 4 hay 1+ 2 Cách : ( 1+ 3) sinx + ( 1− 3) cosx = ⇔ ( sinx + cosx ) + ( sinx − cos x) =  π π π π    cos  x + ÷ = ⇔ 2.sin  x + ÷− 6.cos  x + ÷ = ⇔ sin  x + ÷−  4 4 4 4    π π π π π π π    ⇔ cos sin  x + ÷− sin cos  x + ÷ = ⇔ sin  x + − ÷ = sin 4 4 3    π π π π    x + − = + k2π  x = + k2π ⇔ ⇔  x + π − π = π − π + k2π  x = 5π + k2π ( k∈¢) 4   , π 5π x = + k2π x= + k2π ( k ∈ ¢ ) Vậy họ nghiệm phương trình hay Bình luận : Ta thấy cách cho kết không tường minh, sử dụng cách ta π 1+ = 12 2 kết đẹp Ở cách ý đưa kết đẹp Nhận xét : Ta hoàn toàn dùng cách khác để giải phương trình Thông thường cách sử dụng với toán yêu cầu giải phương trình tìm điều kiện tham số m để phương trình có nghiệm, vô nghiệm giải biện luận phương trình theo tham số m Ngoài ta thường sử dụng cách với toán yêu cầu giải D ⊂ [ 0;2π] phương trình tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thuộc tập D, Bài : Giải phương trình sau : cos a) 2sin 2x + 3cos 2x = 13.sin 14x b) 3sinx− 2cosx = 3sin3x + 7cos3x Giải : a) 2sin 2x + 3cos 2x = 13.sin 14x ⇔ sin2x+ cos2x = sin14x 13 13 = sinα 13 Đặt , phương trình trở thành: cosα.sin2x+ sinα.cos2x = sin14x ⇔ sin( 2x + α ) = sin14x 13 = cosα α kπ  x= −  2x + α = 14x + k2 π  12 ⇔ ⇔ ,( k ∈ ¢ )  x = − α + π + kπ 2x + α = π − 14x + k2π  16 16 α π kπ α kπ x= − x= − + + 12 hay 16 Vậy họ nghiệm phương trình mãn = cosα 13 ( k∈ ¢) với góc α thỏa b) 3sinx− 2cosx = 3sin3x + 7cos3x ⇔ 3 sinx− cosx = sin3x + cos3x 2 4 = cosα = sinα Đặt , phương trình trở thành: π π sinx.cos − sin cosx = cosα.sin3x+ sinα.cosx 6  π ⇔ sin x − ÷ = sin( 3x + α ) 6  π α π    x − = 3x + α + k2π  x = − − 12 − kπ ⇔ ⇔ ,( k ∈ ¢ )  x − π = π − 3x − α + k2π  x = 5π − α + kπ   16 α π 5π α kπ x = − − − kπ x= − + 12 16 Vậy họ nghiệm phương trình hay mãn = cosα ( k∈¢) với góc α thỏa Bình luận :Bài tập minh họa cụ thể cho phương pháp giải phương trình lượng giác dạng : a.sin ( mx) + b.cos ( mx) = a2 + b2 sin ( nx) a.sin ( mx) + bcos ( mx) = c.sin ( nx) + d.cos ( nx) 2 2 với a + b = c + d Từ dạng tổng quát này, ta sáng tạo nhiều phương trình lượng giác với cách giải đưa dạng phương trình bậc sinx cosx Bài : Giải biện luận theo tham số m phương trình : ( m+ 1) sinx+ ( 2m− 1) cosx = m Hướng dẫn : Đối với dạng biện luận phương trình bậc sinx cosx theo x để tạo phương trình bậc hai tham số m,ta thường đưa phương trình ẩn phụ t Khi trình biện luận đưa việc biện luận nghiệm phương trình bậc hai t = tan x cos = đỗi quen thuộc Một lưu ý làm theo cách ta nhớ xét riêng trường hợp x không tồn tại) ( trường hợp Bài giải chi tiết : x x π x x x cos = ⇔ = + kπ ⇔ x = π + k2π sinx = 2sin cos = 0,cosx = 2cos2 − = −1 2 2 2 TH1 : Với ta có , 1 − 2m = m ⇔ m = Thế vào phương trình ta được: tan phương trình có nghiệm x = π + k2π Do với x x t = tan cos ≠ ⇔ x ≠ π + k2π Đặt , ta có : TH2 : : Với m= 2t sinx = cosx = − t2 + t2 + t2 Khi phương trình có dạng : ( m+ 1) 2t + t2 + ( 2m− 1) − t2 + t2 =m ⇔ 2( m + 1) t + ( 2m− 1) − ( 2m− 1) t2 = m + mt2 ⇔ ( 3m− 1) t2 − 2( m+ 1) t + 1− m = (*) x x m= ⇔ − t + = 0⇔ t = tan = ⇔ tan = tan α ,ta có (*) 3 hay -Nếu x tanα = ⇔ = α + kπ ⇔ x = 2α + k2π ,( k ∈¢ ) ).(tmđk) ( với góc α cho ∆ ' = m + − 3m− 1 − m = 4m2 + m , ta có : -Nếu −1 ∆ < 0⇔ < m< +Với , phương trình (*) vô nghiệm m = ∆ = 0⇔  m+  m = −1 t1 = t2 =   , phương trình (*) có nghiệm kép 3m− +Với m≠ ( ) ( )( ) x x π π tan = −1 ⇔ = − + kπ ⇔ x = − + k2π k∈¢ ( ) (tmđk) t = t = − 2 Cụ thể m = , ta có hay x x m= − t1 = t2 = − tan = − ⇔ tan = tan β , ta có hay x tanβ = − = β + kπ ⇔ x = 2β + k2π k∈¢ ( ) β ).(tmđk) (với góc cho  m > 0, m ≠ ∆ ≥ 0⇔  m+ ± 4m2 + m m < −1 t = 1;2  3m− +Với , phương trình (*) có hai nghiệm: x  tan = tan γ   x = 2γ + k2π x m+ ± 4m + m tan = ⇔ ⇔ ,( k ∈ ¢ ) 3m−  tan x = tan δ  x = 2δ + k2π  Do (tmđk) ⇔ tan γ = m+ 1+ 4m2 + m m+ − 4m2 + m ,tan δ = 3m− 3m− ) (Với γ ,δ góc cho −1 < m< Vậy với , phương trình (*) vô nghiệm m= , phương trình có hai họ nghiệm x = π + k2π , x = 2α + k2π,( k ∈ ¢ ) ( α góc cho Với tanα = ) x= − π + k2π k∈¢ ( ) Với m = , phương trình có họ nghiệm tanβ = − m= − k∈¢ ) ( β góc cho ) , phương trình có họ nghiệm x = 2β + k2π ( Với m< − m > , m ≠ , phương trình có hai họ nghiệm x = 2γ + k2π,x = 2δ + k2π,( k ∈ ¢ ) ( γ ,δ Với m+ 1+ 4m2 + m m+ − 4m2 + m ,tan δ = 3m− 3m− góc cho ) m= ,giá trị hai trường hợp xét Bình luận : Trong kết luận ta ý tới đầu có họ nghiệm thỏa mãn nên kết luận ta cần kết hợp hai họ nghiệm Phương trình bậc hai sinx cosx: tan γ = 2 Dạng phương trình: a.sin x + b.sinx.cosx+ c.cos x = d Phương pháp giải: Cách 1: Bước 1: Với cosx = Thế vào phương trình thử nghiệm π cosx ≠ ⇔ x ≠ + k2π k ∈ ¢ ( ) Bước 2: Với Chia hai vế phương trình cho cos x ta được: a sin2 x cos x + b ( ) sinx d + c− = ⇔ a.tan2 x + b.tanx+ c− d + tan2 x = ⇔ a − d tan2 x + b.tanx+ c− d = cosx cos x ( ( ) ) a − d t2 + bt + c − d = t = tanx Đặt , đưa phương trình phương trình bậc hai ẩn t: Giải phương trình theo ẩn t, sau suy nghiệm phương trình lượng giác Bước 3: Kết luận họ nghiệm phương trình Chú ý:   π = tan2 x + 1 x ≠ + kπ ÷   Công thức: cos x Thay xét chia hai vế phương trình cho cosx, ta chia hai vế phương trình cho sinx, sau đưa phương trình ẩn cotx, cách làm tương tự Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc công thức nhân đôi: − cos2x + cos2x ,cos2 x = ,sinx.cosx = sin2x 2 a( − cos2x) bsin2x c( + cos2x) + + = d ⇔ bsin2x + ( c − a) cos2x + c + a − 2d = 2 Phương trình trở thành Đây dạng phương trình bậc sinx cosx Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau: sin2 x = 2 a) sin x − 2.sinx.cosx− 3cos x = 2sin2 x + sin2x+ 7cos2 x = b) ( sinx+ 3cosx) sinx = + cos x c) Giải: 2 a) sin x − 2.sinx.cosx− 3cos x = (1) Cách 1: π ⇔ x = + kπ 2 Trường hợp 1: Với cosx = , phương trình trở thành: sin x = (mâu thuẫn cosx = ⇒ sin2 x = − cos2 x = ) π cosx ≠ ⇔ x ≠ + kπ 2 Trường hợp 2: , chia hai vế phương trình cho cos x ta được:  x = α + kπ  tanx = tan α  tanx =  ⇔ ⇔ ,( k∈¢)  tanx = −1 tan x − 2tanx − = ⇔   x = − π + kπ    tanx = −1 (tmđk) π x = − + kπ , x = α + kπ Vậy phương trình có họ nghiệm là: ( với góc α thỏa mãn tanα = ) Cách 2: − cos2x 2sin2x + cos2x ⇔ − − = ⇔ sin2x + 2cos2x + = 2 Ta có: (1) ( ⇔ Đặt sin2x + 5 ) cos2x = − = cos α ( ) = sin α , vào phương trình ta được:  π cosα.sin2x + sinα.cos2x = − cosα ⇔ sin 2x + α = sin α − ÷ 2  π  π  2x + α = α − + k2π x = − + kπ  ⇔ ,( k ∈ ¢ )   2x + α = π − α + π + k2π  x = −α + 3π + kπ ⇔  ( ) x= − π + kπ , x = −α + 3π + kπ Vậy phương trình có họ nghiệm là: = cos α ) 2sin2 x + sin2x+ 7cos2 x = ⇔ 2sin x + 5sinx cosx + 7cos x = b) Trường hợp 1: Với cosx = ⇔ x= ( k∈¢ ) ( với góc α thỏa mãn π + kπ 2sin2 x = ⇔ sin2 x = 2 (mâu , phương trình trở thành: 2 thuẫn cosx = ⇒ sin x = − cos x = ) π cosx ≠ ⇔ x ≠ + kπ 2 Trường hợp 2: , chia hai vế phương trình cho cos x ta được:  tanx = −2  tanx = tan α  x = α + kπ 2tan x + 5tanx + = + tan x ⇔ tan x + 5tanx + = ⇔  ⇔ ⇔ ,( k∈¢)  tanx = −3  tanx = tan β  x = β + kπ (tmđk) Vậy phương trình có họ nghiệm là: x = α + kπ, x = β + kπ tan α = −2, tan β = −3 ) ( sinx+ 3cosx) sinx = + cos x ⇔ sinx cosx + sin c) ( k∈¢ ) ( với góc α , β thỏa mãn x − − cos x = 1 π π sin 2x − cos 2x = ⇔ cos sin 2x − sin cos 2x = 2 6 π π π   2x − = + k2π x = + kπ   π π  ⇔ sin  2x − ÷ = sin ⇔  ⇔ , ( k∈¢) 6  2x − π = π − π + k2π  x = 5π + kπ  12  π 5π x = + kπ , x = + kπ k∈¢ ( ) 12 Vậy phương trình có họ nghiệm Bài 2: Giải phương trình lượng giác sau: 2sin3 x + 4cos x = 3sinx Hướng dẫn: Đây phương trình lượng giác có nhiều hướng nghĩ, tách ⇔ sin 2x − cos 2x = ⇔ ( ) sin3 x = sinx − cos x , sau nhân ra, cách chưa ghép nhân tử chung, có 3 thể dùng đẳng thức ghép cặp cos x sin x , để tạo nhân tử chung… để ý ta thấy phương trình quy phương trình với sinx cosx dựa vào 2 công thức lượng giác quen thuộc sin x + cos x = , cụ thể là: 2sin3 x + 4cos3 x = 3sinx ⇔ ( ) , hai vế phương 2sin3 x + 4cos x = 3sinx sin x + cos x trình bậc ba sinx cosx (đó lý lại gọi “phương trình nhất”), cách làm phương trình bậc ba tương tự phương trình bậc hai, ta chia hai vế cho sin x , sau đưa phương trình phương trình bậc ba tới cotx Lưu ý xét bổ sung trường hợp sinx = Bài giải chi tiết: Trường hợp 1: Với sinx = ⇔ x = kπ , phương trình trở thành: 4cos x = ⇔ cosx = 2 (mâu thuẫn sinx = ⇒ cos x = − sin x = ⇔ cosx = ±1 ) Trường hợp 2: sinx ≠ ⇔ x ≠ kπ , chia hai vế phương trình cho sin x ta được: 2+ 4cot x = ⇔ 2+ 4cot x = + cot x ⇔ 4cot x − 3cot x − = ⇔ ( cotx − 1) 4cot x + cotx + = sin x π  cotx = ⇔ x = + kπ ( tmdk )  ⇔  4cot x + cotx + = 0(*) ( ( * ) ⇔  2cot x + )  15 =0 ÷ +  16  Phương trình (phương trình vô nghiệm) π x = + kπ k∈¢ ( ) Vậy phương trình có họ nghiệm là: Bài 3: Giải biện luận phương trình theo tham số m: 2sin x + m cos 2x + 4sinx cosx = Giải: π cosx = ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) Trường hợp 1: Với , phương trình trở thành: 2sin x = (mâu thuẫn cosx = ⇒ sin x = 1− cos x = ) π x = + kπ ( k ∈¢ ) Do phương trình không nhận nghiệm ( ) cosx ≠ ⇔ x ≠ Trường hợp 2: Với được: 2tan x + m + tanx = π + kπ ( k ∈¢ ) 2 , chia hai vế phương trình cho cos x ta Đặt tanx = t , phương trình trở thành: 2t + 4t + m = Ta có: ∆ ' = 4− 2m Với ∆ ' < ⇔ m > , phương trình vô nghiệm Với ∆ ' = ⇔ m = , phương trình có nghiệm kép: t1 = t2 = −1 hay π tanx = −1 ⇔ x = − + kπ k ∈ ¢ ) ,( −2± − 2m t1;2 = ∆ ' > ⇔ m < 2 Với , phương trình có hai nghiệm   −2 ± − 2m ⇔ x = arctan  −2± − 2m ÷+ kπ tanx =  ÷ k∈¢)   hay ,( Vậy với m > ,phương trình vô nghiệm Với m = , phương trình có họ nghiệm x=− π + kπ k ∈ ¢ ) ,(  −2± − 2m  x = arctan  + kπ ÷  ÷ k∈¢)   Với m < , phương trình có họ nghiệm ,( Phương trình đối xứng sinx cosx a sinx ± cosx ) + bsinx cosx + c = Dạng phương trình: ( Phương pháp giải: t2 − t = ± sinx cosx ⇒ sinx cosx = ± t ≤ 2 , vào Đặt ẩn phụ t = sinx ± cosx , ta có phương trình ta phương trình bậc hai t, giải t, sau tìm nghiệm phương trình π π   sinx + cosx = 2sin  x + ÷ = 2cos  x − ÷ 4 4   Lưu ý: Các công thức: ( ) π π   sinx − cosx = sin  x − ÷ = − cos  x + ÷ 4 4   Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau: ( ) + ( sinx + cosx ) − sin 2x − − = a) b) 3sinx + 4sin x.cosx + 3cosx + = Giải: a)Đặt t = sinx + cosx trình ta được: ( t ≤ 2) 2 , ta có t = + 2sinx cosx = + sin 2x ⇒ sin 2x = t − , vào phương t = ⇔ t2 − + t + = ⇔  1+ t − t − − 1− =  t = (tmđk) π π  x + = + k2π  x = k2π  π  4 sinx + cosx = ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ ⇔  x = π + k2π π π 4   x + = π − + k2π   k∈¢) 4 Với t = , ta có: ,( π π π π  sinx + cosx = ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ x + = + k2π ⇔ x = + k2π , k ∈ ¢ 4 4  Với t = , ta có : ( ) ( ) ( ) x = k2π, x = π π + k2π , x = + k2π , ( k ∈ ¢ ) Vậy phương trình có họ nghiệm : 3sinx + 4sin x cosx + 3cosx + = ⇔ 3( sinx + cosx ) + 4sinx cosx + = b) Đặt t = sinx + cosx được: ( t ≤ 2) 2 , ta có t = + 2sinx cosx ⇒ 2sinx cosx = t − , vào phương trình ta  t = −1 ⇔ 2t + 3t + = ⇔  t = − 3t + t − + =  (tmđk) ( ) π π  π   x + = − + k2π x = − + k2π π   sinx + cosx = −1 ⇔ sin  x + ÷ = − ⇔ ⇔  4   x + π = π + π + k2π  x = π + k2π  k∈¢) 4 Với t = −1 , ta có: ,(    π  x = − + arcsin  − ÷+ k2π π  −1   2  sinx + cosx = − ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ ,( k∈¢)  4 2    π 1 x = − arcsin  − ÷+ k2π t=−  2  Với , ta có : Vậy phương trình có bốn họ nghiệm Bài : Giải phương trình lượng giác sau : 2sinx + cotx = 2sin 2x + ( * ) Hướng dẫn : Khi phương trình lượng giác có nhiều cung khác biệt, ta đưa phương trình lượng giác cung tốt, ta có nhìn phải hạ bậc sin 2x = 2sinx cosx , tất biểu thức lượng giác có chung cung, ta xem phương trình có rơi vào dạng ta ghép với để phân tích thành nhân tử hay không Ở toán này, sau quy đồng hạ bậc ta 2 2sin x + cosx = 4sin x.cosx + sinx , ta thấy ghép biểu thức chứa cosx với nhau, ta : ( ) sinx ( 2sinx − 1) − cosx 4sin x − = 4sin x − = ( 2sinx − 1) ( + 2sinx ) , sau tách tiếp ta thấy xuất nhân tử chung 2sinx− , toán đưa dạng lượng giác Bài giải chi tiết : Điều kiện xác định : sinx ≠ ⇔ x ≠ k π cosx = 4sin x.cosx + ( * ) ⇔ 2sinx + ⇔ 2sin x + cosx = 4sin x.cosx + sinx sinx ( ) ( ) ( ) ⇔ 2sin x − sinx − − cosx + 4sin x.cosx = ⇔ sinx ( 2sinx − 1) − cosx 4sin x − = ⇔ sinx ( 2sinx − 1) − cosx ( 2sin x − 1) ( 2sinx + 1) = ⇔ ( 2sinx − 1) ( sinx − 2sinx cosx − cosx ) =  sinx = ⇔  sinx − cosx − 2sinx cosx = π   x = + k2π sinx = ⇔   x = 5π + k2π  k∈¢) Với ,( (tmđk) sinx − cosx − sinx cosx = Với Đặt t = sinx − cosx được: ( t ≤ 2) 2 , ta có t = − 2sinx cosx ⇔ 2sinx cosx = − t , vào phương trình ta  −1 − t = t2 + t − = ⇔   −1 + t =  Với t= ( ko tmdk ) ( tmdk ) −1 + , ta có:   −1 +  −π + arcsin  x = ÷ ÷+ k2π  −1+ π  −1 +   2  sinx + cosx = ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ 4  2  x = 3π − arcsin  −1 +  + k2π  ÷  ÷  2   ,(tmđk) Vậy phương trình có bốn họ nghiệm [...]... = 0 t = tanx Đặt , đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn t: Giải phương trình theo ẩn t, sau đó suy ra nghiệm của phương trình lượng giác Bước 3: Kết luận họ nghiệm của phương trình Chú ý:   π = tan2 x + 1 x ≠ + kπ ÷ 2   Công thức: cos x Thay vì xét và chia hai vế của phương trình cho cosx, ta cũng có thể chia cả hai vế của phương trình cho sinx, sau đó đưa phương trình về ẩn cotx, cách... : Vậy phương trình có bốn họ nghiệm như trên Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau : 2sinx + cotx = 2sin 2x + 1 ( * ) Hướng dẫn : Khi một phương trình lượng giác có nhiều cung khác biệt, ta sẽ đưa phương trình lượng giác về càng ít cung càng tốt, ở bài này ta có nhìn ra ngay phải hạ bậc sin 2x = 2sinx cosx , khi tất cả các biểu thức lượng giác đều có chung một cung, ta sẽ xem phương trình đó... minh họa cụ thể cho phương pháp giải các phương trình lượng giác dạng : a.sin ( mx) + b.cos ( mx) = a2 + b2 sin ( nx) a.sin ( mx) + bcos ( mx) = c.sin ( nx) + d.cos ( nx) 2 2 2 2 với a + b = c + d Từ dạng tổng quát này, ta có thể sáng tạo ra nhiều phương trình lượng giác với cách giải đưa về dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Bài 5 : Giải và biện luận theo tham số m phương trình : ( m+ 1)... =0 ÷ + 4  16  Phương trình (phương trình vô nghiệm) π x = + kπ k∈¢ ( ) 4 Vậy phương trình có họ nghiệm là: Bài 3: Giải và biện luận phương trình theo tham số m: 2sin 2 x + m cos 2x + 4sinx cosx = 0 Giải: π cosx = 0 ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) 2 Trường hợp 1: Với , phương trình trở thành: 2sin 2 x = 0 (mâu thuẫn vì cosx = 0 ⇒ sin 2 x = 1− cos 2 x = 1 ) π x = + kπ ( k ∈¢ ) 2 Do đó phương trình không nhận... ý ta sẽ thấy phương trình này có thể quy về phương trình thuần nhất với sinx và cosx dựa vào 2 2 một công thức lượng giác quen thuộc sin x + cos x = 1 , cụ thể là: 2sin3 x + 4cos3 x = 3sinx ⇔ ( ) , khi đó hai vế đều là phương 2sin3 x + 4cos 3 x = 3sinx sin 2 x + cos 2 x trình bậc ba đối với sinx và cosx (đó cũng là lý do tại sao lại gọi là phương trình thuần nhất”), cách làm của phương trình thuần... − 2m ÷+ kπ tanx =  ÷ 2 k∈¢)   2 hay ,( Vậy với m > 2 ,phương trình vô nghiệm Với m = 2 , phương trình có họ nghiệm là x=− π + kπ k ∈ ¢ ) 4 ,(  −2± 4 − 2m  x = arctan  + kπ ÷  ÷ 2 k∈¢)   Với m < 2 , phương trình có họ nghiệm là ,( 5 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx a sinx ± cosx ) + bsinx cosx + c = 0 Dạng phương trình: ( Phương pháp giải: t2 − 1 2 t = 1 ± 2 sinx cosx ⇒ sinx cosx... sin  2x − ÷ = sin ⇔  ⇔ , ( k∈¢) 6 3  2x − π = π − π + k2π  x = 5π + kπ  6 3 12  π 5π x = + kπ , x = + kπ k∈¢ ( ) 4 12 Vậy phương trình có họ nghiệm là Bài 2: Giải phương trình lượng giác sau: 2sin3 x + 4cos 3 x = 3sinx Hướng dẫn: Đây là một phương trình lượng giác có rất nhiều hướng nghĩ, có thể tách ⇔ 3 sin 2x − cos 2x = 1 ⇔ ( ) sin3 x = sinx 1 − cos 2 x , sau đó nhân ra, nhưng cách này chưa... tanx = 0 π + kπ ( k ∈¢ ) 2 2 , chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta 2 Đặt tanx = t , phương trình trở thành: 2t + 4t + m = 0 Ta có: ∆ ' = 4− 2m Với ∆ ' < 0 ⇔ m > 2 , phương trình vô nghiệm Với ∆ ' = 0 ⇔ m = 2 , phương trình có nghiệm kép: t1 = t2 = −1 hay π tanx = −1 ⇔ x = − + kπ k ∈ ¢ ) 4 ,( −2± 4 − 2m t1;2 = ∆ ' > 0 ⇔ m < 2 2 Với , phương trình có hai nghiệm   −2 ± 4 − 2m ⇔ x = arctan ... cos2x + c + a − 2d = 0 2 2 2 Phương trình trở thành Đây là dạng phương trình bậc nhất của sinx và cosx Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau: sin2 x = 2 2 a) sin x − 2.sinx.cosx− 3cos x = 0 5 2sin2 x + sin2x+ 7cos2 x = 1 2 b) ( sinx+ 2 3cosx) sinx = 1 + cos x c) 2 Giải: 2 2 a) sin x − 2.sinx.cosx− 3cos x = 0 (1) Cách 1: π ⇔ x = + kπ 2 2 Trường hợp 1: Với cosx = 0 , phương trình trở thành: sin x =... = ± t ≤ 2 2 , thế vào Đặt ẩn phụ t = sinx ± cosx , ta có phương trình ta được phương trình bậc hai đối với t, giải ra t, sau đó tìm nghiệm của phương trình π π   sinx + cosx = 2sin  x + ÷ = 2cos  x − ÷ 4 4   Lưu ý: Các công thức: ( ) π π   sinx − cosx = 2 sin  x − ÷ = − 2 cos  x + ÷ 4 4   Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau: ( ) 1 + 2 ( sinx + cosx ) − sin 2x − 1 − 2 = 0