PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 12 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE §1 Phép biến đổi Laplace phép biến đổi ngược Phép biến đổi Laplace Tính chất phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace ngược Đặt vấn đề Thường gặp thực tế phương trình vi phân I E (t ) C tương ứng với hệ thống giảm sóc chuỗi mạch RLC, F t E t nói chung gián đoạn, phương pháp biết bất tiện Có hay không phương pháp tiện lợi hơn? mx cx kx F (t ) ; LI RI Phép biến đổi Laplace: L f t s F s biến phương trình vi phân với ẩn hàm f t thành phương trình đại số với ẩn hàm F s - có lời giải tìm dễ nhiều Chẳng hạn phương trình vi phân cấp cao y n a1y n 1 an 1y an y f x , với điều kiện ban đầu nhận công thức nghiệm tường minh biểu diễn qua tích chập Laplace Giải lớp phương trình vi phân cấp cao với hệ số hàm số (điều làm với phương pháp biết), chẳng hạn xy x 1 y x 1 y Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp cao n n a1k y k f1 x y1 k 1 n y n ank y k fn x n k n Giải lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số hàm số Phép biến đổi Laplace Định nghĩa: F s L f t s e st f (t )dt, s, f t Nhận xét Phép biến đổi Laplace xác định với s, f t Nhưng chương ta cần sử dụng s, f t Ví dụ Tính L 1 s 77 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn e st 1 dt e st lim e bs , s s s s b s Không tồn L 1 s s Ví dụ f t eat , t Tính L eat , a L e at b s e st at e dt e ( s a )t e s a t dt lim b s a 0 e s a b , s a b s a s a Phân kì s a lim Ví dụ Cho f t t a , a 1 Tính L f t L t n , n L t a s e st t adt u du Đặt u st t , dt có s s L t a s a 1 e uu adu (a 1) , s0 s a 1 (2.1) L t n n! , s0 s n 1 Tính chất phép biến đổi Laplace Định lý Tính tuyến tính phép biến đổi Laplace Cho , số L f t s L g t s , L f t g t s L f t s L g t s , s Chứng minh +) L f g s e st f t g t dt b e b st e b st +) lim f t g t dt b +) lim b f t dt lim e st g t dt b +) e st f t dt e st g t dt 0 +) L f L g Ví dụ Tính L 3t 4t 78 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 Ta có 2 5 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 L 3t 4t 3L t 4L t Sử dụng (2.1) ta có 2! L t , s s s 5 L t 52 s2 4.s 5 3 2! L 3t 4t 3 52 s s s s2 Ví dụ Tính L cosh kt , L sinh kt , L cos kt , L sin kt e kt e kt L ekt L e kt L cosh kt L 1 1 s Theo ví dụ có L cosh kt , sk 0 s k s k s k2 k Tương tự L sinh kt , sk 0 s k2 L cos kt s e st cos kt dt e st s2 k k sin kt s cos kt s s2 k eikt e ikt 1 s (hoặc L cos kt L , s 0) s ik s ik s k k Tương tự L sin kt , s 0 s k Ví dụ Tính L 3e 2t 2sin2 3t L 3e 2t 2sin2 3t L 3e2t cos 6t 3L e2t L 1 L cos6t s s s s 36 3s 144s 72 s(s 2)(s 36) , s2 79 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa Nếu F s L f t s ta gọi f t biến đổi Laplace ngược F s viết f t L 1 F s s Ví dụ a L 1 cos kt , s ; b L 2 s k s cosh kt , s k s k 1 f t s 1 t t n n 0 t F s a (a 1) ( s 0) (s 0) s2 n! (s 0) s n 1 (a 1) s a 1 ( s ), s t s 1e t dt ( Re s ) eat cos kt sinkt cosh kt sinhkt s a s (s a ) s2 k k s2 k s s k k s2 k (s 0) (s 0) (s k ) (s k ) e as ( s ), a>0 s Bảng Bảng phép biến đổi Laplace u t a c L 1 4.e5t s 5 4L e5t s 5 2 d L 1 t s +) +) s4 3! 3 L t 3! s +) L 4e5t +) L +) L +) L t 80 1 4e5t s5 2 4 t s 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Nhận xét Phép biến đổi ngược Laplace có tính chất tuyến tính Thật vậy, ta có +) F G L f L g L f g +) L L 1 F L G 1 F G L 1F L 1G f t gọi liên tục khúc a ; b +) Từ từ định nghĩa có L Định nghĩa Hàm số 1 f t liên tục khoảng nhỏ (ở a ; b chia thành hữu hạn khoảng nhỏ) f t có giới hạn hữu hạn t tiến tới hai điểm biên đoạn Hình 4.1.3 Đồ thị hàm liên tục khúc Các dấu chấm giá trị mà hàm số gián đoạn Hình 4.1.4 Đồ thị hàm đơn vị bậc thang 0 t a Ví dụ Tính L ua t , a , ua t u t a 1 t a b e st L ua t e st ua (t )dt e st dt lim b s t a a lim e sa e sb s b e as , s 0, a s Định nghĩa Hàm f gọi bậc mũ t tồn số không âm M , c, T cho f t Mect , t T Định lý Sự tồn phép biến đổi Laplace Nếu hàm f liên tục khúc với t bậc mũ t tồn L f t s , s c 81 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Chứng minh +) Từ giả thiết f bậc mũ t f t Mect , t b +) Ta có b e st f t dt e b st f t dt e ct e st f t dt Me dt M e s c t dt +) Cho b có F s b st M , s c s c M F s , s c s c Từ đó, cho s , ta có Hệ Nếu f t thỏa mãn giả thiết Định lý lim F (s ) s Chú ý Một hàm hữu tỉ (bậc tử nhỏ bậc mẫu) ảnh phép biến đổi Laplace Định lí không điều kiện cần, ví dụ: Hàm f (t ) không liên tục khúc t bậc mũ t , t ví dụ có 1 L t 12 s s2 Định lý Sự biến đổi Laplace nghịch đảo Giả sử hàm f t , g t thỏa mãn giả thiết Định lý để tồn F s L f t s , G s L g t s Nếu F s G s , s c có f t g t t mà hai hàm liên tục Ví dụ Dùng bảng tính biến đổi Laplace hàm số sau a) f (t ) cos2 t b) f (t ) sin2t cos3t c) f (t ) cosh2 3t d) f (t ) (2 t )2 e) f (t ) tet f) f (t ) t 2e3t Ví dụ 10 Dùng bảng tính biến đổi Laplace ngược hàm số sau 2 2s a) F (s ) b) F (s ) c) F (s ) s3 s s 4 5s d) F (s ) e) F (s ) 3s 1e 5s 9s Chú ý Hai hàm liên tục khúc, bậc mũ qua phép biến đổi Laplace khác điểm gián đoạn cô lập Điều không quan trọng hầu hết ứng dụng thực tế Phép biến đổi Laplace có lịch sử thú vị: Xuất nghiên cứu Euler, mang tên nhà toán học Pháp Laplace (1749-1827) - người dùng tích phân lý thuyết xác xuất mình, việc vận dụng phương pháp 82 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân lại không thuộc Laplace mà thuộc kĩ sư người Anh Oliver Heaviside (1850-1925) HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 83