Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN Facebook: LyHung95 03 HÀM SỐ BẬC HAI – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO – TIẾP TUYẾN Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giao điểm đồ thị hàm số : a) y = x − y = x − x − b) y = x − y = x − x − Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị: x − x − = x − ⇔ x − x = ⇔ x = x = Khi x = y = −1 ; x = y = Vậy có giao điểm A ( 0; − 1) A ( 3; ) b) Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị: x2 − 4x − = 2x − ⇔ x2 − x + = ∆ ' = − = nên x1 = − , x2 = + Khi x1 = − y1 = − , x2 = + y2 = + ( ) ( ) Vậy có giao điểm M − 5;1 − , N + 5;1 + Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm tọa độ giao điểm hai đường parabol: a) y = x − y = − x b) y = x2 + x + y = x − x + Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm: x − = − x ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = ±2 Khi x = −2 y = ; x = y = Vậy có giao điểm A ( −2; ) B ( 2; ) 2 x2 + x + = x − x + ⇔ x − x = ⇔ x = x = 4 Khi x = y = ; x = y = Vậy có giao điểm I ( 0;1) J ( 4; ) b) Phương trình hoành độ giaod điểm: Ví dụ 3: [ĐVH] Chứng minh đường thẳng: a) y = − x + cắt ( P ) : y = − x − x + b) y = x − tiếp xúc với ( P ) : y = x − x + Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm: − x + = − x − x + ⇔ x + 3x + = Vì ∆ = − > nên đường thẳng cắt ( P ) điểm phân biệt b) Phương trình hoành độ giao điểm: x − x + = x − ⇔ x − x + = Vì ∆ = − = nên đường thẳng tiếp xúc với ( P ) Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x + m − Tìm giá trị m để đồ thị hàm số: a) Không cắt trục Ox b) Tiếp xúc với trục Ox c) Cắt trục Ox điểm phân biệt bên phải gốc O Lời giải: Cho y = ⇔ x − x + m − = 0; ∆ ' = − ( m − 1) = − m a) Đồ thị không cắt trục Ox ∆ ' < ⇔ − m < ⇔ m > b) Đồ thị tiếp xúc trục Ox ∆ ' = ⇔ − m = ⇔ m = c) Đồ thị cắt trục Ox hai điểm phân biệt bên phải gốc O phương trình có nghiệm dương phân biệt ∆ ' > 2 − m > m < ⇔1< m < P > ⇔ m − > ⇔ m > S > 1 > Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN Facebook: LyHung95 Ví dụ 5: [ĐVH] Biện luận số giao điểm đường thẳng ( d ) : y = x + m với ( P ) : y = x + x − Khi cắt điểm A, B, tìm quỹ tích trung điểm I đoạn AB Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x + x − = x + m ⇔ x − x − − m = ∆ = + ( + m ) = 4m + 25 Do đó: Nế u m < − 25 ∆ < : phương trình vô nghiệm nên ( d ) ( P ) điểm chung 25 ∆ = : phương trình có nghiệm kép nên ( d ) tiếp xúc với ( P ) 25 Nế u m > − ∆ > : phương trình có nghiệm phân biệt nên ( d ) ( P ) có hai điểm chung phân biệt Giả sử ( P ) ( d ) cắt hai điểm A B phân biệt A, B có tọa độ: A ( x1 ; x1 + m ) B ( x2 ; x2 + m ) Nế u m = − x +x Do trung điểm đoạn thẳng AB I ; x1 + x2 + m x = Theo định lí Vi-ét, ta có x1 + x2 = nên điểm I : y = + m Vì điều kiện m > − 25 19 19 nên y > − Vậy quỹ tích trung điểm I phần đường thẳng: x = , giới hạn y > − 5 Ví dụ 6: [ĐVH] Cho parabol ( P ) : y = x − x + Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A ( 4;1) biết rằng: a) d cắt ( P ) hai điểm phân biệt b) d tiếp xúc với ( P ) Lời giải: Gọi k hệ số góc đường thẳng qua A, phương trình d là: y − = k ( x − ) ⇔ y = kx − 4k + Phương trình hoành độ giao điểm: x − x + = kx − 4k + ⇔ x − ( k + ) x + 4k + = ∆ = ( k + ) − ( k + ) = k − 8k + a) d cắt ( P ) hai điểm phân biệt ∆ > ⇔ k − 8k + > ⇔ ( k − ) > ⇔ k − > 2 ⇔ k < − 2 k > − 2 Phương trình d : y = kx − 4k + b) d tiếp xúc với ( P ) ∆ = ⇔ k − 8k + = ⇔ k = ± 2 ( ) ( ) Vậy d : y = + 2 x − 15 − 2; y = − 2 x − 15 + Ví dụ 7: [ĐVH] Lập phương trình tiếp tuyến với ( P ) : y = x + x − a) Tại điểm A ( −2;1) b) qua B ( −1; − ) a) Đường thẳng d qua A ( −2;1) có hệ số góc k: Lời giải: y − = k ( x + ) ⇔ y = kx + 2k + Phương trình hoành độ giao điểm: x + x − = kx + 2k + ⇔ x + (1 − k ) x − − 2k = Điều kiện tiếp xúc: ∆ = ⇔ (1 − k ) + ( 2k + ) = ⇔ k + 6k + = ⇔ k = −3 Vậy tiếp tuyến d : y = −3x − b) Đường thẳng d qua B ( −1; ) có hệ số góc k ' : Phương trình hoành độ giao điểm: x + x − = kx + k − ⇔ x + (1 − k ) x + − k = Điều kiện tiếp xúc: ∆ = ⇔ (1 − k ) − ( − k ) = ⇔ k + 2k − 15 = ⇔ k = k = −5 Khi k = , phương trình tiếp tuyến d1 : y = x − Khi k = −5 , phương trình tiếp tuyến d : y = −5 x − 10 Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN Facebook: LyHung95 Ví dụ 8: [ĐVH] Cho parabol ( P ) : y = x − x + Lập phương trình tiếp tuyến ( P ) biết rằng: a) Tiếp tuyến tạo với tia Ox góc 450 b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 1 c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = − x + Lời giải: a) Theo giả thiết tiếp tuyến d tạo với tia Ox góc 450 nên hệ số góc đường thẳng d d = tan 450 = , d : y = x + b Phương trình hoành độ giao điểm: x − 3x + = x + b ⇔ x − x + ( − b ) = Điều kiện tiếp xúc: ∆ ' = − ( − b ) = ⇔ b = −2 Vậy phương trình đường thẳng d y = x − b) Tiếp tuyến d song song với đường thẳng y = x + nên hệ số góc d 2, d : y = x + b, b ≠ Phương trình hoành độ giao điểm: x − 3x + = x + b ⇔ x − x + ( − b ) = Điều kiện tiếp xúc: ∆ ' = 25 − ( − b ) = ⇔ b = − Vậy phương trình tiếp tuyến d y = x − 17 17 c) Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng y = − x + nên có hệ số góc d 3, d : y = 3x + b Phương trình hoành độ giao điểm: x − 3x + = 3x + b ⇔ x − x + − b = Điều kiện tiếp xúc: ∆ ' = − ( − b ) = ⇔ b = −7 Vậy phương trình tiếp tuyến d y = x − Ví dụ 9: [ĐVH] Tìm m để đường thẳng d : y = x − cắt parabol ( P ) : y = x + mx + hai điểm P, Q mà đoạn PQ = Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x + mx + = x − ⇔ x + ( m − 1) x + = Điều kiện cắt điểm P, Q : ∆ > ⇔ m − 2m − > Ta có PQ = ⇔ ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 2 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( x2 − − x1 + 1) = ⇔ ( x2 − x1 ) = ( 2 ) ⇔ x12 − x22 − x1 x2 = ⇔ S − P = b c = − m, P = x1 x2 = = a a 25 = Theo định lí Vi-ét: S = x1 + x2 = − ⇔ (1 − m ) 5 ⇔ m −1 = ± ⇔ m =1± (chọn) 2 nên: (1 − m ) − = DẠNG TỔNG HỢP VỀ HÀM BẬC HAI (Tham khảo thêm) Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất, bé (bé nhất) có hàm số: a) y = x − x + 10 b) y = −2 x − x + Lời giải: a) y = x − x + 10 có a = > nên y đạt giá trị bé đỉnh x1 = − b 271 = y1 = f ( x1 ) = f = 2a 14 14 không tồn giá trị lớn b) y = −2 x − x + có a = −2 < nên y đạt giá trị lớn đỉnh x1 = − b 1 = − y1 = f ( x1 ) = f − = 2a 4 không tồn giá trị nhỏ Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất, bé (nếu có) hàm số: Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN a) y = x − x với ≤ x ≤ Facebook: LyHung95 b) y = − x − x + với ≤ x ≤ ( Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm tất giá trị a cho giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) = x − 4ax + a − 2a + đoạn [0; 2] Ví dụ 4: [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) hàm số: a) y = x ( x + 1)( x − )( x − 3) b) y = ( x − 1) − x − + Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hai hàm số y1 = x + + x − y2 = x + x +1 4 a) Chứng minh đồ thị y1 có trục đối xứng b) Tìm giá trị x để y1 > y2 Lời giải: a) y1 = f ( x ) = x + + x − có D = R : x ∈ D ⇒ − x ∈ D f ( x ) = − x + + − x − = x − + x + = f ( x ) Vậy f hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng Oy −2 x x < −1 b) Ta có y1 = f ( x ) = 2 − ≤ x ≤ 2 x x > Ta xét trường hợp: −11 − 105 −11 + 105 - Với x < −1: y1 ≥ y2 ⇔ −2 x ≥ x + x + ⇔ x + 11x + ≤ ⇔ ≤x≤ 4 2 −11 − 105 Chọn nghiệm: ≤ x < −1 - Với −1 ≤ x < 1: y1 ≥ y2 ⇔ ≥ x + x + ⇔ x + 3x − ≤ ⇔ −4 ≤ x ≤ Chọn nghiệm −1 ≤ x ≤ 4 - Với x ≥ 1: y1 ≥ y2 ⇔ x ≥ x + x + ⇔ x − x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ (thỏa mãn) 4 −11 − 105 Vậy giá trị x cần tìm ≤ x < Ví dụ 6: [ĐVH] Cho f ( x ) = ax + bx + c thỏa mãn f ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ {−1; 0;1} Chứng minh: f ( x ) ≤ , ∀x ∈ [ −1;1] Lời giải: a = ( f (1) + f ( −1) ) − f ( ) f ( −1) = a − b + c Ta có: f ( ) = c ⇒ b = ( f (1) − f ( −1) ) − f ( ) f = a + b + c ( ) c = f ( ) 1 Do đó: f ( x ) = ax + bx + c = f (1) x + x + f ( −1) x − x + f ( ) − x 2 Vì f ( −1) ≤ 1, f ( ) ≤ 1, f (1) ≥ nên có: ( ) ( ) ( ) 1 1 f (1) x + x + f ( −1) x − x + f ( ) − x ≤ x + x + x − x + − x 2 2 2 1 + x − x − ≤ x < 1 = = + x − x2 = − x − ≤ 2 1 − x − x ≤ x ≤ f ( x) ≤ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! ) Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho ( P ) : y = Facebook: LyHung95 x + x − a) Vẽ đồ thị Lập bảng biến thiên b) Dựa vào đồ thị, tìm x để y < c) Biện luận số nghiệm phương trình: y = x + x −3 = m Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số: y = x + x − 2 a) Vẽ đồ thị lập bảng biến thiên hàm số b) Tìm m để pt: x + x − = 2m − có nghiệm Bài 3: [ĐVH] Vẽ đồ thị hàm số: 2 x + 1; x ≤ a) y = x + 3; x > x + x − 5; x ≤ b) y = 2 − x; x > Bài 4: [ĐVH] Xác định parabol: a) qua điểm A(1; −5) có đỉnh I(3; −9) b) đạt GTLN x = −1 qua A(0; 6) 1 c) qua điểm A ( 0;1) , B (1; ) , C ; − 8 Bài 5: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với parabol y = x + x − điểm có hoành độ −2 Bài 6: [ĐVH] Cho Parabol ( P ) : y = x − 3x + đường thẳng d : y = mx + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số ( P ) b) Tìm tham số m để hai đồ thị hai hàm số tiếp xúc (có điểm chung), cắt hai điểm phân biệt c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − x + − 2m = Bài 7: [ĐVH] Cho Parabol ( P ) y = x − a) Khảo sát biến thiên vẽ ( P ) b) Xác định điểm M ( P ) để đoạn OM ngắn c) Chứng minh OM ngắn đường thẳng OM vuông góc với tiếp tuyến M ( P ) Bài 8: [ĐVH] Cho đường thẳng d : y = x + − 2m Parabol ( P ) qua điểm A (1;0 ) đỉnh S ( 3; −4 ) a) Lập phương trình vẽ Parabol ( P ) b) Chứng minh d qua điểm cố định c) Chứng minh d cắt ( P ) hai điểm phân biệt Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!