Tr thi toán vào kh i chuyên ng HKHTN - HQG Hà N i n m 1998 (Th i gian làm bài: 180 phút) H Câu I: 1) i u ki n: x2 ≤ Bình ph ph ng trình t ng đ ng – x2 + x2 + + ⇔ ng d n gi i: ng hai v c a ph (2 − x )( x + ) = 16 x − x + 16 = ⇔ x + x − = x2 = ⇔ x = −7 Lo i nghi m x2= - Nghi m c a ph ng trình x = + x + xy + y = 7(1) 2) Gi i h 2 x + x y + y = 21(2) (2) ⇔ ( x + y ) − x y = 21 ⇔ (x2+y2+xy)(x2+y2-xy) =21 T (1) ⇒ (x2 +y2 – xy)= (3) x + y = T (1) (3) ⇒ xy = T suy h cho có nghi m: x =1 x = x = −1 x = −2 y = y =1 y = −2 y = −1 Câu II: Ta có: (a − 3ab ) = 19 (1) 2 (b − 3a b) = 98 (2) C ng (1) (2) ta nh n đ c: a6 + b6 + 3a4b2+ 3a2b4 = 192 + 982 ⇔ (a2 + b2)3 = 192 + 982 ⇔ a2 + b2 = 19 + 98 Câu III: Do a,b,c ∈ [0,1] ng trình cho ta đ c ⇒ (1 − a )(1 − b)(1 − c) ≥ ⇒ (1 − a − b − c) + ab + bc + ca − abc ≥ ⇒ a + b + c − ab − bc − ca ≤ − abc ≤ Chú ý r ng a,b,c ∈ [0,1] nên b2 < b , c3 < c V y a + b2+c3 – ab – bc – ca < a+b+c –ab – bc – ca < Câu IV: 1) Vì góc ∠ AIB=900 nên M thay đ i ( cung l n AB) I n m đ ng tròn c đ nh có đ ng kính AB IJ trung n tam giác vuông MIN nên IJ = MN Do t ng cung AB MN 1800, AB c đ nh nên MN có đ dài không đ i Kéo dài JI c t AB H ta có ∠ JIM= ∠ AIH= ∠ JMI suy ∠ IAB + ∠ AIH = 900 hay ∠ IHA=900 o n JI vuông góc v i AB có đ dài không đ i K hai đo n AA’,BB’ vuông góc v i AB có đ dài b ng JI (A’,B’, I n m phía đ i v i AB) Φ A’, B’ c đ nh Do t giác AA’JI BB’JI hình bình hành nên ∠ A’JB’= ∠ AIB = 900 V y J n m đ ng tròn c đ nh đ ng kính A’B’ 2) Kéo dài AM m t đo n MN=MB đó: AN=AM+MN=AM+MB Chu vi c a ∆ AMB b ng AB+AN Do AB c đ nh nên chu vi ∆ AMB l n nh t AN l n nh t G i P, Q l n l t trung m c a cung l n AB cung nh AB, MP ⊥ MQ PQ đ ng kính c đ nh c a đ ng tròn Vì MQ phân giác góc AMB nên MP phân giác góc BMN Do ∆ BMN tam giác cân nên MP đ ng th i trung tr c c a BM ⇒ PA=PB=PN ⇒ N n m đ ng tròn c đ nh tâm P bán kính PA Khi AN dây cung c a đ ng tròn này, suy AN l n nh t AN đ ng kính c a đ ng tròn tâm P V y M trùng v i trung m P c a cung l n AB chu vi c a ∆ AMB l n nh t Câu V: n + 26 = a (1) n − 11 = b (2) v i a b nh ng s nguyên d L y (1) tr (2) ta nh n đ c: a3 – b3 = 37 1) Gi s ng ⇔ (a − b)(a2 + ab+ b2 ) = 37 = 1.37 a −b =1 Chú ý r ng a-b< a2 + ab + b2 ⇒ 2 a + ab + b = 37 Thay a= b+1 vào ph V i b=3 ⇒ n = 38 ng trình th ta đ c: b2+b-12= ⇒ b1=3, b2=-4 (lo i) 2) Tr c h t, ý r ng v i ∀ a,b α ∈ [0,1] ta có: (a-b)2(1- α ) ≥ ⇔ a + b ≥ 2ab + α (a − b) (*) áp d ng (*) v i hai s x,y α = z ∈ [0,1] ta đ c : x2 + y2 ≥ xy + z ( x − y ) T ng t y + z ≥ yz + x ( y − z ) z + x ≥ zx + y ( z − x) C ng ba b t đ ng th c chi u l i v i ta nh n đ c: 1= x + y + z ≥ xy + yz + zx + x ( y − z ) + y ( z − x) + z ( x − y ) ⇒ P ≤ [ V y Pmax=1, đ t đ c x = y = z = ]