SỞ GD & ĐT TỈNH ĐIỆN BIÊN ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ CHỌN HSG TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LÊ QUÝ ĐÔN NĂM 2015-2016 Môn: Toán – Lớp 10 Bài ( điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P= + + b + c2 + a2 + Bài ( điểm) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f ( f ( x ) + y ) = 12 x + f ( f ( y ) − x); ∀x , y ∈ R Bài ( điểm) Cho số nguyên n > số nguyên tố p cho p − chia hết cho n n3 + n + chia hết cho p Chứng minh p − số phương Bài ( điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A P là điểm thay đổi nằm tam giác ABC và nằm đường phân giác ∠BAC Đường tròn đường kính AP cắt (O) tại điểm thứ hai G L là hình chiếu vuông góc của P lên AH a) Chứng minh rằng đường thẳng GL qua một điểm cố định P thay đổi b) Chứng minh rằng nếu GL qua trung điểm của HP thì P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ CHỌN HSG TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2015-2016 Môn: Toán – Lớp 10 Bài Bài điểm Sơ lược lời giải Điểm Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có a3 b3 c3 a4 b4 c4 + + = + + b + c + a + ab + a bc + b ca + c ≥ 1,0 (a + b + c )2 ab + bc + ca + a + b + c Kết hợp với bất đẳng thức AM-GM, ta (a + b + c ) ≥ ( a + b + c )( a + b + c ) ≥ 3abc(a + b + c) = 3(a + b + c) 1,0 Từ bất đẳng thức quen thuộc a 2b + b 2c + c a ≥ abc (a + b + c ) = a + b + c bất đẳng thức AM-GM, ta suy (a + b + c )2 = a + b + c + 2(a 2b + b c + c a ) ≥ a + b + c + a 2b + b c + c a + a + b + c 1,0 = (b + a 2b + a) + (c + b c + b) + (a + c a + c ) ≥ 3(ab + bc + ca ) Từ bất đẳng thức ta thu (a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca + a + b + c ) Do P = a3 b3 c3 + + ≥ 2 b +1 c +1 a +1 Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 1,0 1,0 Vậy giá trị nhỏ cần tìm Pmin = Bài điểm Giả sử tồn hàm số f ( x) thỏa mãn f ( f ( x ) + y ) = 12 x + f ( f ( y ) − x ); ∀x, y ∈ ¡ Trong (1), ta thay y = − (1) f ( x) có f ( x) f − ÷− x ; ∀x ∈ R ÷ x Từ cách thay x − + f (0) , ta thấy f ( x) toàn ánh 12 1,0 f (0) = 12 x + f 1,0 Nếu f ( x1 ) = f ( x2 ) , (1), ta thay x x1 , x2 f ( f ( x1 ) + y ) = 12 x1 + f ( f ( y ) − x1 ) ; f ( f ( x2 ) + y ) = 12 x2 + f ( f ( y ) − x2 ) Từ suy 12 x1 + f ( f ( y ) − x1 ) = 12 x2 + f ( f ( y ) − x2 ) (2) Do f ( x) toàn ánh nên tồn y cho f ( y) = x1 + x2 Khi ấy, 1,0 f ( f ( y ) − x1 ) = f ( f ( y ) − x2 ) Kết hợp với (2) ta suy x1 = x2 Thành thử, f ( x) đơn ánh Bây giờ, (1) ta cho x = , f ( f (0) + y ) = f ( f ( y )); ∀y ∈ R , suy f ( y ) = y + f (0); ∀y ∈ R Điều chứng tỏ f ( x) = x + a , với a ∈ R Bài điểm Thử lại ta thấy tất hàm có dạng thỏa mãn Nếu p = , p − = , toán hiển nhiên 1,0 1,0 1,0 Nếu p > , n số lẻ Vì p − chia hết cho n nên p − ≥ n ⇒ p ≥ n + ⇒ ( p, n + 1) = 1,0 Mà n3 + n + = (n + 1)(n − n + 2) chia hết cho p nên n − n + chia hết cho p Theo đó, tồn k ∈ ¥ cho n − n + = k p (1) 1,0 Do p ≡ 2(mod n) nên từ (1) suy 2k ≡ 2(mod n) Mà n số lẻ nên k ≡ 1(mod n) Nếu k > , k = a.n + 1, với a ∈ ¥ * 1,0 Khi đấy, ta có n − n + = k p ≥ (a.n + 1)(n + 2) ⇒ a.n + 2a + ≤ n − 1,0 Đây điều vô lí, a ≥ Thành thử, k = hay p = n2 − n + Do p − = (2n − 1) Bài điểm A G P L O F B H C E D a) điểm Giả sử AP cắt BC tại F và cắt lại (O) tại D Ta thấy D là điểm chính giữa cung BC không chứa A Ta sẽ chứng minh GL qua D 1,0 Thật vậy, ta có LP song song BC, suy ra: · · · · · · · · · LGA = LPD = BFD = BAD + CBA = DAC + CBA = DBA = DGA Nên ta có G, L, D thẳng hàng b) điểm 1,0 Gọi E là giao điểm của GL và BC Vì LE qua trung điểm của PH và · · EHL = HLP = 900 nên tứ giác PLHE là hình chữ nhật Áp dụng định lý Tha let ta có: DP PE LH PF = = = nên DA AL AL PA 1,0 DP AP PF DF = 1− = 1− = , hay DP = DF DA DA DA DP DP · · · Mặt khác : DBF suy BD là tiếp tuyến của đường = DAC = BAF tròn ngoại tiếp tam giác ABF vì vậy DB = DF DA = DP Suy DB=DC=DP Mà ta có D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI, với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC suy P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 1,0 1,0 Chú ý chấm: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống chi tiết không số điểm dành cho câu, phần Có thể chia điểm thành phần không 0,25 điểm phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, không làm tròn điểm Hết