Luận văn nghiên cứu hệ thống bầu cử điện tử dựa trên mã đồng cấu

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LOAN NGHIÊN CỨU HỆ THỐNG BẦU c ĐIỆN TỬ D ựA TRÊN Mà ĐỒNG CẤU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 0112 LUẬN VĂN THẠC s ĩ TO ÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Dũng HÀ NỘI, 2016 L Ờ I CẢM ƠN Đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học thầy cô giáo nhà trường giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình thực tập Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới thày giáo TS Tràn Văn Dũng, người nhiệt tình giúp đỡ, trực tiếp bảo, hướng dẫn suốt trình thực luận văn cao học Trong trình làm việc với thầy, tiếp thu thêm nhiều kiến thức bổ ích, kinh nghiệm vô quý báu suốt thời gian qua Sau cùng, cho phép cảm ơn bạn bè, gia đình giúp đỡ, ủng hộ nhiều toàn trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận văn Do thời gian có hạn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học chưa nhiều nên luận văn nhiều thiếu sót, mong nhận ý kiến góp ý Thầy / Cô anh chị học viên Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Học viên thực Nguyễn Thị Loan LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Những kết nghiên cứu trình bày luận văn hoàn toàn trung thực, không vi phạm điều luật sở hữu trí tuệ pháp luật Việt Nam Trong trình làm luận văn có tham khảo liệu có liên quan ghi rõ nguồn tài liệu tham khảo Những kiến thức trình bày luận văn chưa trình bày hoàn chỉnh tài liệu TÁC GIẢ LUẬN VĂN NGUYỄN THỊ LOAN MỤC LỤC MỞ Đ Ầ U 1 Lí chọn đề t i Mục đích nghiên c ứ u Nhiệm vụ nghiên u Đối tuợng phạm vi nghiên c ứ u Dự kiến đóng góp m i Phuơng pháp nghiên cứu NỘI D U N G CHUƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN B Ị 1.1 Số học m o d u lo 1.1.1 Các phép toán m odulo 1.1.1.1 Số nghịch đảo M odulo 1.1.1.2 Định lý F erm at 1.1.1.3 Định lí E uler 1.1.1.4 Định lí phần du Trung H o a .8 1.1.2 Logarit rời r c 1.1.2.1 Bài toán logarit truờng số thực R 1.1.2.2 Bài toán logarit truờng hữu h n 1.1.2.3 Bài toán logarit rời r c 11 1.1.2.4 Bản chất toán logarit rời r c 11 1.2 Hệ mã khóa công khai 12 1.2.1 M ã khoá công khai R S A 12 1.2.2 Khởi tạo khóa R S A 12 1.2.3 Sử dụng R S A 13 1.2.4 Cơ sở R SA 13 1.3 Mã E lgam al 14 1.3.1 Hệ mã hóa Elgam al 14 1.3.2 Khái niệm mã hóa đồng c ấ u 15 1.4 Chữ ký điện tử D SA 15 1.4.1 Tạo chữ ký D S A 15 1.4.2 Kiểm chứng chữ ký D SA .16 CHƯƠNG 2: MỘT SỔ GIAO THỨC AN NINH NÂNG C A O .18 2.1 Lược đồ chia sẻ thông tin mật S ham ir 18 2.1.1 Phân phối mảnh cho thảnh viên 19 2.1.2 Khôi phục khoá K từ t thảnh viên 20 2.1.3 Tính chất đồng cấu hệ mã hóa E lgam al 22 2.1.4 Lược đồ chia sẻ bí mật Shamir phối hợp với hệ mã hóa Elgam al 25 2.2 Cam k ế t 28 2.3 Chứng minh không tiết lộ thông tin 29 2.4 Giao thức két h ợ p 30 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP BẦU c ĐIỆN TỬ D ự A TRÊN Mà ĐỒNG C Ấ U 33 3.1 Bầu cử điện t .33 3.2 Phương pháp dựa mã đồng cấu 33 3.2.1 Khởi tạo hệ thống 33 3.2.2 Công bố phiếu b ầ u 33 3.2.3 Phân phối p h iế u 34 3.2.4 Kiểm tra tính q u n 34 3.2.5 Kiểm đếm 35 3.3 Trường hợp bầu số ứng cử viên tuỳ ý 40 KẾT L U Ậ N 46 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM K H Ả O 47 MỞ ĐÀU Lí chọn đề tài Trong năm trở lại đây, phát triển vũ bão xu công nghệ thông tin điều tất yếu Máy móc thông minh dàn thay nhiều hoạt động người xã hội đại Bỏ phiếu điện tử bước ngoặt lớn lao Phương thức bỏ phiếu truyền thống ngày gặp phải số hạn chế, với cử tri vùng sâu vùng xa, khoảng cách địa lý phàn ngăn cản trình bàu cử Tính độc lập, quyền cá nhân, quyền riêng tư bị ảnh hưởng lớn Tính minh bạch giảm sút đồng nghĩa với việc tín nhiệm nhân dân giảm sút, tính an ninh trình vận chuyển phiếu Cùng với trình chuẩn bị sở vật chất, đào tạo nhân lực phục vụ cho bàu cử Đây khó khăn, thách thức vô lớn Trong đó, với hình thức bỏ phiếu điện tử, người dân tự lựa chọn phiếu bầu mang ý kiến cá nhân cho ứng cử viên họ, dù họ đâu, làm Hơn nữa, đảm bảo tính cá nhân quyền riêng tư phiếu mình, đảm bảo an ninh không trình vận chuyển thủ công từ nhiều địa điểm khác đến hòm phiếu Thứ hai, thay phải đào tạo đội ngũ cán khổng lồ để phục vụ công tác bầu cử, bỏ phiếu điện tử giảm tối đa mặt nhân lực Đặc biệt, hình thức bỏ phiếu đáp ứng nhu cầu bầu cử người trẻ tuổi, bầu cử qua điện thoại, bầu cử trực tuyến, thông qua Facebook, youtube Trên giới, khái niệm bỏ phiếu điện tử không xa lạ nước phát triển Tuy nhiên Việt Nam, vấn đề không mẻ chưa thực phát triển phổ cập rộng rãi tất lĩnh vực Chính vậy, hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Trần Văn Dũng, em chọn lựa đề tài “N G H IÊN c u H Ệ THỐNG B  U c Đ IỆ N TỬ D ự A TRÊN M à ĐÒNG CẤU” với mong muốn áp dụng kiến thức học, xây dựng thử nghiệm mô hình ứng dụng bàu cử điện tử với độ an toàn bảo mật cao, chống gian lận trình bỏ phiếu Mục đích nghiên cứu - Tổ chức bầu cử điện tử đáp ứng yêu cầu bầu cử - Có khả chịu lồi, đảm bảo tính riêng tư kết kiểm chứng tính đắn Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lược đồ chia sẻ thông tin mật Shamir chịu lỗi - Sử dụng chứng minh không tiết lộ thông tin để cam két tính quán phiếu bàu tham số chia sẻ mảnh phiếu - ứ n g dụng mã đồng cấu để hồ trợ kiểm phiếu tự động đảm bảo tính riêng tư Đối tượng phạm vỉ nghiên cứu - Đ ổi tượng nghiên cứu: Nghiên cứu vấn đề thực chương trình bầu cử điện tử an toàn - Phạm vỉ nghiên cứu: nghiên cứu sở toán học số phương pháp bầu cử điện tử xây dựng lược đồ bầu cử điện tử an toàn Dự kiến đóng góp Trình bày đày đủ chi tiết sở ứng dụng luận văn Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết kiểm nghiệm qua ví dụ cụ thể - Xây dựng lược đồ ứng dụng tổ chức mô hình bầu cử điện tử đơn giản NÔI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày lý thuyết toán học để bổ trợ xây dựng phương pháp bầu cử điện tử dừa mã đồng cấu lý thuyết toán học modulo, toán Logarith rời rạc, hệ mã hóa công khai, mã Elgamal định lý Fermat, Euler, Tiếp đó, luận văn mô tả khái niệm chữ ký điện tử DSA cách tạo cách kiểm chứng chữ ký DSA dùng ưong việc xây dựng số giao thức an ninh nâng cao 1.1 Số học modulo 1.1.1 Các phép toán modulo a Định nghĩa Cho m số nguyên dương Giả sử a, b số nguyên: Ta ký hiệu a = b (mod m), b = a + km k số nguyên Khi ta nói a b đồng dư với theo modulo m Nếu a số nguyên dương nhỏ m, a gọi phần dư b chia cho m, a gọi thặng dư b theo modulo m Tập hợp sô nguyên từ đến m - gọi tập hợp thặng dư hoàn toàn modulo m Điều có nghĩa là, với mồi số nguyên a, thặng dư modulo m số từ đến m - Modulo số học số học bình thường, bao gồm phép giao hoán, két hợp phân phối Mặt khác, giảm giá trị trung gian toong suốt trình tính toán (a + b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m (a - b) mod m = ((a mod m) - (b mod m)) mod m (a X b) mod m = ((a mod m) X (b mod m)) mod m (a X (b +c)) mod m = ((a X b) + (a X c)) mod m Ví du 1.1: 10= (mod 3) 10 = 3.3 + = 2.3 + b Quan hệ đồng dư Quan hệ đồng dư theo modulo m z quan hệ tương đương có nghĩa là: z, a = a (mod m) ii) V a, b Ễ z, a s b (mod m) =>b = a (mod m) (Tính phản xạ) iii) V a , b, c e Z , a = b, b = c = > a = c (mod m) (Tính bắc cầu) i) V a e (Tính đối xứng) c Các phép toán modulo: Nếu ta có: = ã2 (mod n) bi = bỉ (mod n) Thì ta có: 1.1.1.1 • (ai + bi) = (a2 + b ) (mod n) • (ai - bi) = (a - b 2) (mod n) • (aibi) = (a2b ) (mod n) • a í = 0-2 (m o d n ), với k nguyên dương Số nghịch đảo Modulo Số nghịch đảo 10 1/10, 10 X 1/10 = Trong số học modulo vấn đễ nghịch đảo phức tạp X X = mod Phương trình tương đương với tìm X k cho: 4x = 7k + với điều kiện X k số nguyên Vấn đề chung đặt tìm X cho: = (a X x) mod n Có thể viết lại sau: a'1- X (mod n) Ví du 1.2: Nghịch đảo modulo 14 bởi: X = 15 s (mod 14) Trong trường hợp chung ã 1= X (mod n) lời giải a n cặp số nguyên tố Nếu a n cặp số nguyên tố nhau, ã = X (mod n) lời giải Thuật toán Euclid mở rộng tính số nghịch đảo số modulo n, thuật toán gọi thuật toán Euclid mở rộng static void update (int *un, ỉnt *vn, int q) ỉ ỉnt tn; tn= *un - vn*q; *un = *vn; *vn = tn; } int extended euclidian(int u, int V, ỉnt ul_out, int u2_out) { int u l = 1; int u3 - u; ỉnt v l = 0; ỉnt v3 = v; ỉnt q; while (v3>0) ỉ q = u3/v3; Updateị&ul, & vl, q); Update(&u3, &v, q); } *ul_out - ul; *u2_out = (u3 - ul*u)/v; return u3 } Tóm tắt chương Trong chương trình bày định nghĩa tính chất, ví dụ ứng dụng lược đồ chia sẻ thông tin mật Shamir, cam két, chứng minh không tiết lộ thông tin giao thức két hợp Trong phần chia sẻ thông tin mật Shamir trình bày vấn đề sau: - Phân phối mảnh cho thành viên - Khôi phục khoá K từ t thành viên - Tính chất đồng cấu hệ mã hóa Elgamal - ứ n g dụng hệ mã hóa đồng cấu Elgamal cho loại bỏ phiếu có/ không - Lược đồ chia sẻ bí m ật Sham ir phối hợp với hệ mã hóa Elgam al 32 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP BÀU c ĐIÊN TỬ DƯA TRÊN • • Mà ĐỒNG CẨU Sử dụng kiến thức chuẩn bị chương I giao thức an ninh nâng cao chương II, Chương III xây dựng phương pháp bầu cử điện tử dựa mã đồng cấu Phần đầu nêu đặc tính hệ thống bàu cử điện tử sau đưa phương pháp dựa mã đồng cấu thông qua năm bước là: Khởi tạo hệ thống, công bố phiếu bầu, phân phối phiếu, kiểm tra tính quán kiểm đém Tiếp đến phần cuối trình bày ví dụ cụ thể trường hợp cử tri bầu cho ứng viên với trung tâm kiểm đếm trường hợp bầu với số ứng viên tùy ý 3.1 Bầu cử điện tử Các đặc tính hệ thống bầu cử điện tử: • Chỉ cử tri đủ quyền bầu cử bỏ phiếu • Không bỏ phiếu nhiều lần • Các bên liên quan xác định cách người khác bình chọn • Không tính lặp phiếu bầu người khác • Ket cuối tính toán cách xác • Tất bên liên quan xác minh kết tính toán cách xác • Các giao thức làm việc có số bên xấu 3.2 Phương pháp dựa mã đồng cấu 3.2.1 Khởi tạo hệ thống Mỗi trung tâm i số n trung tâm kiểm đếm có chức mã hóa khóa công khai Eị Chúng ta giả định nhóm giao hoán hữu hạn G cố định, nguyên tố g, hai yếu tố g, h e G lựa chọn mà bên (bao gồm trung tâm kiểm đém) biết logarit rời rạc: h = gx Mỗi cử tri có thuật toán chữ ký khóa công khai 3.2.2 Công bố phiếu bầu Mỗi số m tri chọn phiếu Vj từ tập {-1, 1}, cử tri chọn giá trị ngẫu nhiên mù aj G z / qZ công bố phiếu mình: 33 Bị = B a ( v j ) = h vJ g aJ Sử dụng sơ đồ bit cam kết trước Bỏ phiếu công khai cho tất bên tham gia, trung tâm kiểm đếm cử tri khác Cùng với số phiếu Bj cử tri xuất phiên không tương tác giao thức trước để thấy bỏ phiếu chọn từ tập {-1,1} Việc bỏ phiếu chứng minh sau ký điện tử cách sử dụng thuật toán ký cử tri 3.2.3 Phân phổi phiếu Bây cần phải phân phối phiếu khắp trung tâm kiểm đếm để kiểm đếm lần cuối thực Mồi cử tri sử dụng lược đồ chia sẻ bí mật Sharmir sau: Đe chia sẻ aj Vj đến tất trung tâm kiểm đếm: M ỗi cử tri chọn đa thức ngẫu nhiên theo modulo q bậc t < n: R j ( X ) = V j + r i j X + ■■■ + T t j X * Sj(X ) = ữj + s 1j X + ••• + S t,jXt Cử tri tính toán: (Ui,j,wi;j) = (Rj(i), Sj(i)) với < i < n Cử tri mã hóa cặp (U ij, W ij) cách sử dụng thuật toán mã hóa khóa công khai Ei trung tâm kiểm đếm thứ i Phần mã hóa gửi tới trung tâm kiểm đếm có liên quan Các cử tri sau phát hành cam kết cho đa thức Rj (X) cách đăng công khai: Bi,j = Bsi,j(ri,j) với < < t lần cách sử dụng lược đồ cam kết trước 3.2.4 Kiểm tra tính quán Mỗi trung tâm i cần phải kiểm tra giá trị ( U ị ,j , W ị ,j ) nhận cử tri j phù hợp với cam kết cử tri Điều thực cách kiểm tra phương trình sau: t t 1=1 1=1 34 = hv'gaiỊ- Ị(hri'igSl'i) *' 1=1 = h (Vj+zí=1r i) Ca| +2 Η s _(i) >j g *J = hUi'ihW ii 3.2.5 Kiểm đếm Mồi trung tâm số n trung tâm kiểm đếm tính toán công khai đăng tải tổng chia sẻ phiếu bầu: m j=i Cộng với việc đăng tải tổng chia sẻ yếu tố làm mù: m Ai = X Wi-S j=l Mỗi bên, trung tâm cử tri kiểm tra điều thực cách xác hay chưa, cách xác minh rằng: m t m 1=1 j= i rfonv>=nhuihw i=hTigAi j= i Bất kì bên tính toán giá trị kiểm đếm cuối cách lấy t giá trị Ti nội suy giá trị kiểm đếm cuối Điều có Ti giá trị i đa thức mà chia sẻ tổng số phiếu bầu Để thấy điều này, có: m j= l m 1=1 Neu kết kiểm phiếu cuối âm đa số phiếu bầu cử tri -1 35 Trong kiểm phiếu cuối dương đa số người dân bình chọn Ví du 3.1 Bài toán 1: Giả sử có cử tri: cử tri (CT1), cử tri (CT2), cử tri (CT3) bầu cử cho ứng cử viên A B với Trung tâm kiểm đém I, II, III càn dựa trung tâm tính két kiểm phiếu Khởi tạo H ệ thống: Chọn trường cấp 43 nhóm giao hoán G cấp 42 với phần tử sinh g = Chọn ngẫu nhiên h, chẳng hạn h = 32 = Các trung tâm I, II, III chọn tương ứng khóa riêng cho công bố khóa côngkhai: X chọn khóa riêng X = 5, công bố công khai: hx= gx = 35 mod 43 = 28 Y chọn khóa riêng y = 7, công bố công khai: hy= gy = 37 mod 43 = 37 z chọn khóa riêng z = 10, công bố công khai: hz=gz = 10 mod 43 = 10 Chọn hệ thống chữ ký điện tử Elgamal CT1, CT2, CT3 tương ứng chọn khóa riêng tính khóa công khai mình: Ở bỏ qua thủ tục ký phiếu bầu cho đơn giản hóa tiến trình bầu cử Công bổ phiếu bầu: • Phiếu bầu V = bầu cho A V = -1 bầu cho B • Giả sử bầu cử CT1 bầu cho A chọn phiếu V i = 1, CT2 bầu cho B chọn • v2= -1 CT3 bầu cho B chọn phiếu v3= -1 CT1 chọn giá trị ngẫu nhiên mù ãi = CT2 chọn giá trị ngẫu nhiên mù a2 = CT3 chọn giá trị ngẫu nhiên mù a3 = • CT1 công bố phiếu bầu mình: Bi= Bai(Vi) = hVl.gai =91.35 mod 43 = 37 • CT2 công bố phiếu bầu mình: B2= Ba2 (V2) = hV2.gaz = Ọ-1^ mod 43 = 41 36 • CT3 công bố phiếu bàu mình: B3 = Ba3(V3) = hV3.ga3 = ^ S mod = 38 Phân bố phiếu bầu: • CT1 chọn đa thức bậc t = để phân phối phiếu bầu mình: R \{X ) = l - X + X R i ( l ) = l , R i ( ) = , R 1(3) = S1( X ) = + X + X S i ( l ) = , S i ( ) = ,S i(3 ) = 20 C T tính toán: (U11,W11) = ( R 1( ) , S 1(1)) = ( , ) (U21, W2i) = (R i(2 ), S i(2 ) ) = (3, 13) (U3 , w 3i) = (R i(3 ) ,S i(3 ) ) = (7, 20) • C T chọn đa thức bậc t = để phân phối phiếu bầu mình: RẶX) = - + 2X + X R 2( l ) = 2, R 2(2) = 7, R 2(3) = 14 S2( X ) = + X - X s 2( l ) = 7, S 2(2) = 5, S 2(3) = C T tính toán: (U1 , w 12) = (R 2( l ) , s 2( l ) ) = (2, 7) (U2 , w 22) = (R 2(2), S 2(2)) = (7, 5) (U3 , w 32) = (R 2(3), S 2(3)) = (14, 1) • CT3 chọn đa thức bậc t = để phân phối phiếu bầu mình: R Ợ = - + 5A + X2 R 3( l ) = 5, R 3(2) = , R 3(3) = 23 S3(X)= 10 - X + X s 3( l ) = 12, S 3(2) = 20, S 3(3) = 34 37 CT3 tính toán: (U13, w 13) = (R3(l), s 3(l)) = (5, 12) (U23 , w23) = (R3(2), s3(2)) = (13, 20) (U33 , w 33) = (R 3(3), s 3(3)) = (41, 34) • CT1 mã hóa cặp phiếu bàu gửi cho Trung tâm: • CT1 gửi cho trung tâm I hai cặp số: Chọn giá trị mù k = gửi (gk, ( h x) k U n ) = (35, 285.1) = (28, 5) Chọn giá trị mù k = gửi (gk, (hx)k.w n) = (37, 287.8) = (37, 13) • CT1 gửi cho trung tâm II hai cặp số: Chọn giá trị mù k = gửi (gk, (hy)k.u2i) = (39, 379.3) = (32, 40) Chọn giá trị mù k = 11 gửi (gk, (hy)k.w2i) = (311, 37u 13) = (30, 5) • CT1 gửi cho trung tâm III hai cặp số: Chọn giá trị mù k = 13 gửi (gk, (hz)k.u31) = (313, 1013.7) = (12, 8) Chọn giá trị mù k = 15 gửi (gk, (hz)k.w3i) = (315, 1015.20) =(22, 19) • CT2 mã hóa cặp phiếu bàu gửi cho Trung tâm: • CT2 gửi cho trung tâm I hai cặp số: Chọn giá trị mù k = 17 gửi (gk, (hx)k.u12) = (317, 2817.2) = (26, 6) Chọn giá trị mù k = 19 gửi (gk, (hx)k.wi2) = (319, 2819.7) = (19, 38) • CT2 gửi cho trung tâm II hai cặp số: Chọn giá trị mù k = 21 gửi (gk, (hy)k.u22) = (321, 3721.7) = (42, 36) Chọn giá trị mù k = 23 gửi (gk, (hy)k.w22) = (323, 3723.5) = (34, 35) • CT2 gửi cho trung tâm III hai cặp số: Chọn giá trị mù k = 25 gửi (gk, (hz)k.u32) = (325, 1025.14) = (5, 35) Chọn giá trị mù k = 27 gửi (gk, (hz)k.w32) = (327, 1027.1) = (2, 35) CT3 mã hóa cặp phiếu bầu gửi cho Trung tâm: • CT3 gửi cho trung tâm I hai cặp số: Chọn giá trị mù k = 29 gửi (gk, (hx)k.u13) = (329, 2829.5) = (18, 9) Chọn giá trị mù k = 31 gửi (gk, (hx)k.w13) = (331, 2831.12) = (33, 1) 38 • CT3 gửi cho trung tâm II hai cặp số: Chọn giá trị mù k = 33 gửi (gk, (hy)k.u23) = (333, 3733.13) = (39, 30) Chọn giá trị mù k = 35 gửi (gk, (hy)k.w 23) = (335, 37 35 20) = (7, 11) • CT3 gửi cho trung tâm III hai cặp số: Chọn giá trị mù k = 37 gửi (gk, (hz)k.u33) = (337, 1037.41) = (17, 24) Chọn giá trị mù k = 39 gửi (gk, (hz)k.w33) = (339, 1039 34) = (22, 7) CT1 phát hành cam kết cho đa thức R-i(X) cách đăng công khai: B u = Bsii(rn) = hril.gSu = 9- \ 32 = B2i = Bs i(r i) = hr 21 g S21 = = ❖ CT2 phát hành cam kết cho đa thức R (X) cách đăng công khai: B i = B s i2(ri2) = hri2.gS12 = 92.3* = 28 B22= BS22O-22) = hr22.gS22 = ❖ =3 CT3 phát hành cam két cho đa thức R (X) cách đăng công khai: B 13 = B si (r13) = hri g S13 = 95.3a = 32 B 23 = Bs23(r23) = hr23.gS23 = 3.33 = 28 Kiểm tra tính quán ❖ Trung tâm i cần phải kiểm tra giá trị (U j ! ,W i x) nhận CT1 phù hợp với cam két cử tri Điều thực cách kiểm tra phương trình sau: B| r i v 1=1 = h "u g"’" , _ 1 X tương ứng với j = kiếm tra với i = 1: BxíBn) (B 21 ) = 37.1.3 = 25 hu iigw n = V = 10 Tương tự kiểm tra phiếu bầu khác Kiểm đếm Mỗi trung tâm I, II, III tính tổng mảnh phiếu bầu: 39 Ta có Tị = ^ Ujj j=i Ti = U11 + U12+ U13= 1+ + = T = U21 + U22 + U23 = 3+ + 13 = 23 T = U31 + U32 + U33 = + 14 + 23 = 44 Cộng với việc đăng tải tổng chia sẻ yếu tố làm mù: m j= l Ai = W11 + W12 + W13 = + + 12 = 27 A —W21 + W22 + W23 = 13+ 5+ 20 = 38 Ai = W31 + W32 + W33 = 20 + + 34 = 55 Mỗi bên, trung tâm cử tri kiểm toa điều thực cách xác hay chưa, cách xác minh rằng: m t m r]=! M1=1 v =n]=! — =hTigAi Bất kì bên tính toán giá trị kiểm đếm cuối cách lấy t giá trị Ti nội suy giá trị kiểm đếm cuối Dựa vào trung tâm I, II, III số trung tâm I, II, III, IV tính két bàu cử, xem đa thức tổng có hệ số tự âm hay dương: Ải - 2/(2 — l)*3/(3-l) = 3, Ả2= 1/(1 - 2)*3/(3-2) = - , Ắ3= 1/(1 - 3)*2/(2-3) = Áp dụng cách tìm hệ số tự đa thức Laplace ta có tổng số phiếu bầu là: V = + (-3 ).2 + 1.44 = -1 Tổng số phiếu —1, nên số phiếu B số phiếu A 3.3 Trường hợp bầu số ứng cử viên tuỳ ý Giả sử ta có p - cử tri q + ứng cử viên Khi phiếu bàu cử toi j biểu diễn dạng 40 a[j] = ao.p0 + ai.p1 + + aq.pq I = 0, Dễ dàng thấy tổng số phiếu bầu cử tri có dạng: a = a [l] + a[2] + + a[j] + + a[p — 1] Và a có biểu diễn dạng a = bo.p0 + bi.p1 + + bq.pq I < bi < p — Trong bi số phiếu bầu cho ứng cử viên thứ i Ví du 3.2 Bài toán Giả sử có cử tri: cử tri (CT1), cử tri (CT2), cử tri (CT3) bầu cử cho số ứng cử viên A, B c với Trung tâm kiểm đếm I, II, III cần dựa trung tâm tính kết kiểm phiếu Khởi tạo Hệ thống: Chọn trường số cấp 67 nhóm giao hoán G cấp 66 với phần tử sinh g = Chọn ngẫu nhiên h, chẳng hạn h = Chọn hệ thống chữ ký điện tử Elgamal C T I, CT2, CT3 tương ứng chọn khóa riêng tính khóa công khai mình: Ở bỏ qua thủ tục ký phiếu bầu cho đơn giản hóa tiến trình bầu cử Công bố phiếu bầu: Biểu diễn phiếu bầu qua luỹ thừa số nguyên lớn số cử tri lũy thừa bậc cao nhỏ số ứng cử viên đơn vị, sau: • • • c Phiếu bầu v2= 0.4° + 1.41+ 1,42= 20 bầu cho B, c Phiếu bầu v3= 0.4° + 1.41 + 1,42 = 20 bầu cho B, c Phiếu bầu Vi = 1.4° + 0.41 + 1,42 = 17 bầu cho A, Dễ dàng nhận thấy số dương nhỏ 3.4° + 3.41 + 3.42 = 63 có biểu diễn dạng a.4° + b.41 + C , với < a, b, c < Phép cộng ba số ứng với phiếu bầu bảo toàn qua phép cộng thành phần luỹ thừa tương ứng, tức phép cộng thảnh phần ba {(a, b, c)} Ví dụ 17 + 20 + 20 = 57 = (1.4° + 0.41 + 1.42) + (0.4° + 1.41 + 1.42) + (0.4° + 1.41 + 1.42) = 1.4° + 2.41 + 3.42 = 57 41 Do dựa tổng giá trị phiếu bầu cử tri để suy két phiếu bầu cho ứng cử viên, tức ứng cử viên A đuợc phiếu, ứng cử viên B phiếu, ứng cử viên c phiếu • CT1 chọn giá trị ngẫu nhiên mù ãi = CT2 chọn giá trị ngẫu nhiên mù a2 = CT3 chọn giá trị ngẫu nhiên mù a3 = • CT1 công bố phiếu bầu mình: Bi = Bai(Vi) = hVl.gai = 17.22 mod 67 = 59 • CT2 công bố phiếu bầu mình: B2 = Ba2(V2) = hV2.ga2 = 420.23 mod 67 = 48 • CT3 công bố phiếu bàu mình: B3 = Ba3(V3) = hV3.ga3 = 420.24 mod 43 = 29 Phân bố phiếu bầu: • CT1 chọn đa thức bậc t = để phân phối phiếu bàu mình: R \{X )= \1+ X + X2 R i ( l ) = 19, Ri(2) = 23, Ri(3) = 29 SẶ X )= 2-X + X S1(1) = ,S 1(2) = ,S 1(3) = CT1 tính toán: (u11, w 11) = (R1( l ) , S 1(l)) = (19, 2) (U21 , w21) = (Ri(2), Si(2)) = (23, 4) (U31, w3i) = (Ri(3), Si(3)) = (29, 8) • CT2 chọn đa thức bậc t = để phân phối phiếu bầu mình: R/JO = 2Ũ -X + X2 R2(l) = 20, R2(2) = 22, R2(3) = 26 SjCX) = +2X+X2 42 S2(1) = 6, S2(2 )= 1 ,S 2(3 )= 18 CT2 tính toán: (u12, w 12) = (R2(l), S2(l)) = (20, 6) (u22, w22) = (R2(2), s 2(2)) = (22, 11) (U32 ,w32) = (R2(3), s 2(3)) = (26, 18) • CT3 chọn đa thức bậc t = để phân phối phiếu bầu mình: RẶX) = X)+2X-2X2 R3(l) = 20, R3(2) = 16, R3(3) = SiX )= 4+X+5X2 s 3(l) = 10, S3(2) = 26, S3(3) = 52 CT3 tính toán: (u13, w 13) = (R3( l ) ,S 3(l)) = (20, 10) (u23, w23) = (R3(2), s 3(2)) = (16, 26) (u33, w33) = (R3(3), s 3(3)) = (8, 52) ❖ CT1 phát hành cam két cho đa thức Ri(X) cách đăng công khai: B ii = B sn(r11) = hr il.gSll = 1.2-1 = B = Bs21(r21) = hr21.gS21 = 4-1.22 = ❖ CT2 phát hành cam két cho đa thức R2(X) cách đăng công khai: B i = B si2(r12) = hriV 12 = 1.21 = B22= Bs 22 (r22) = hr22.gS22 = 1.21 = ❖ CT3 phát hành cam kết cho đa thức R3(X) cách đăng công khai: B i 3= B si3(r13) = hri3.gS13 = 42.2 x = 32 B23 = Bs 23 (r23) = hr23.gS23 = 4"2.25 = Kiểm tra tính quán • Trung tâm i cần phải kiểm tra giá trị (U i,i, W i,x) nhận CT1 phù hợp với cam kết cử tri Điều đuợc thực cách kiểm 43 tra phương trình sau: 1=1 X tương ứng với j = kiểm tra với i = 1: B l( Bn ) ( B 2l) = 59.2.1 = 51 hu iigw n = 1922 = Tương tự kiểm tra phiếu bầu khác Kiểm đếm Mỗi trung tâm I, II, III tính tổng mảnh phiếu bầu: m Ta có Tị = ^ j=i U jj Ti = U11 + U12+ U13= 19 + 20 + 20 = 59 T = U21 + U22 + U23 = 23+ 22+ 16 = 61 T = U31 + U32 + U33 = 29 + 26 + = 63 Cộng với việc đăng tải tổng chia sẻ yếu tố làm mù Ta có Aị = I™ 1w ij Ai = W11 + w 12 + w 13 = + + 12 = 26 Ả2= W21 + W22 + W23 = 13+ 11+ 20 = 44 Ai = W31 + W32 + W33 = 20 + 18 + 34 = 63 Mồi bên, trung tâm cử tri kiểm tra điều thực cách xác hay chưa, cách xác minh rằng: m t j= l 1=1 m j=i = hTigAi Bất kì bên tính toán giá trị kiểm đếm cuối cách lấy t giá trị Tị nội suy giá trị kiểm đém cuối Dựa vào trung tâm I, II, III số trung tâm I, II, III, IV tính kết bầu cử, xem đa thức tổng có hệ số tự âm hay dương: 44 Ắi = 2/(2 — l)*3/(3 — 1) = 3, Ắ2= 1/(1 - 2)*3/(3 - 2) = - , Ả = 1/(1 - 3)*2/(2 — 3) = Áp dụng cách tìm hệ số tự đa thức Laplace ta có, tổng số phiếu bầu là: V = 3.59 + (-3 ).6 + 1.63 = 57 Khi đó: V = 57 = 1.4° + 2.41 + 3.42 Tổng số phiếu bầu ứng viên A 1, ứng viên B ứng viên c Tóm tắt chương Trong chương đưa khái niệm bầu cử điện tử phương pháp bầu cử điện tử dựa mã đồng cấu thông qua bước: - Khởi tạo hệ thống: - Công bố phiếu - Phân phối phiếu: - Kiểm tra tính quán - Kiểm đếm Sau đưa số ví dụ cụ thể trường hợp cử tri bầu cho ứng viên trường hợp bầu cho số ứng viên tùy ý 45 KẾT LUÂN Luận văn với đề tài “N ghiên cứu hệ thống bầu cử điện tử dựa m ã đồng cẩ u ” thực với mục tiêu tạo hệ thống bầu cử điện tử an toàn, tiện lợi, độ xác cao ứng dụng rộng rãi nhiều hệ thống Nó cho phép tổ chức bầu cử trở nên gọn nhẹ linh hoạt (có thể bầu cử nhiều nơi khác cần có thiết bị điện tử kết nối internet), đảm bảo tính bảo mật cao kết nhanh, xác, tránh thủ tục cồng kềnh, rườm rà độ bảo mật phương pháp bỏ phiếu giấy truyền thống giảm thiểu chi phí, thời gian, giảm thiểu rủi ro cho tập đoàn, công ty cá nhân người bỏ phiếu Cuối lần xin chân thành cảm ơn thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán ứ n g Dụng, thày cô phòng sau đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội Tôi xin chân thành cảm ơn thày TS Trần Văn Dũng tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ cảm ơn đóng góp thầy cô giúp luận văn hoàn chỉnh 46