Các bài toán cơ bản của lý thuyết tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Thị Thanh Tâm CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT TỔ HỢP Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.0113 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Phạm Văn Thạo HÀ NỘI- 2014 Mục lục Mở đầu Bài toán tồn 1.1 Giới thiệu toán 1.2 Các phương pháp chứng minh tồn 1.2.1 Phương pháp chứng minh phản chứng 1.2.2 Nguyên lý Diriclet Bài toán liệt kê 2.1 Giới thiệu toán 2.2 Thuật toán độ phức tạp tính toán 2.2.1 Khái niệm thuật toán 2.2.2 Mô tả thuật toán ngôn ngữ 2.2.3 Độ phức tạp thuật toán 2.3 Phương pháp sinh 2.4 Thuật toán quay lui PASCAL 16 39 39 40 40 41 43 45 48 52 52 52 52 65 68 70 75 75 Bài toán đếm 3.1 Các toán đếm 3.1.1 Giới thiệu toán 3.1.2 Các quy tắc đếm 3.1.3 Tam giác Pascal nhị thức Newton 3.1.4 Nguyên lý bù trừ 3.1.5 Hệ thức truy hồi 3.2 Phân loại toán đếm 3.2.1 Bài toán đếm có sử dụng hai quy tắc đếm 3.2.2 Bài toán đếm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước 3.2.3 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đẳng thức chứa công thức tổ hợp 3.2.4 Bài toán đếm đối tượng hình học 3.2.5 Bài toán phân chia (hoặc lấy ra) đồ vật vào (hoặc khỏi) hộp 77 80 83 84 3.2.6 3.2.7 3.2.8 3.2.9 Hệ số ak xk khai triển Newton Bài tập nguyên lý bù trừ Bài tập hệ thức truy hồi Đẳng thức phương trình liên quan đến khai Newton triển Bài toán tối ưu 4.1 Giới thiệu toán 4.2 Bài toán tối ưu đồ thị 4.2.1 Các khái niệm lý thuyết đồ thị 4.2.2 Biểu diễn đồ thị ma trận 4.2.3 Bài toán tìm bao trùm có trọng số nhỏ 4.2.4 Bài toán tìm đường có trọng số nhỏ Kết luận Tài liệu tham khảo 88 90 91 96 108 108 108 108 117 120 126 130 131 Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến TS Phạm Văn Thạo Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình thực đề tài Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo đồng nghiệp trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Đại học Ngoại Ngữ - ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả suốt trình học tập thực luận văn Tác giả xin cảm ơn bạn đồng khóa, gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến dẫn, đóng góp thầy cô bạn Trân trọng! Hà Nội, tháng 08 năm 2014 Học viên Lê Thị Thanh Tâm Mở đầu Các vấn đề liên quan đến lý thuyết tổ hợp phận quan trọng, hấp dẫn lý thú Toán học nói chung Toán học rời rạc nói riêng Tư tổ hợp xuất từ sớm lịch sử phát triển nhân loại đến kỉ thứ 17 hình thành ngành toán học loạt công trình tiếng nhà toán học Pascal, Fermat, Lenibniz, Euler, Kể từ sau tin học đời, lý thuyết tổ hợp phát triển ngày mạnh mẽ, có nội dung phong phú ứng dụng nhiều thực tế đời sống Trong toán học sơ cấp, tổ hợp xuất với nhiều toán hay với độ khó cao Những bắt đầu làm quen với khái niệm tổ hợp thường khó hình dung hết độ phức tạp về cấu trúc tập đặc biệt Do chọn đề tài "bài toán lý thuyết tổ hợp" Luận văn trình bày bốn toán lý thuyết tổ hợp, xây dựng số toán áp dụng Luận văn gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Bài toán tồn Trong chương tác giả giới thiệu toán tồn ba toán cổ tiếng toán bẩy cầu Euler, toán bốn màu toán chọn 2n điểm lưới n.n điểm Trong chương tác giả nêu hai phương pháp chứng minh tồn phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp sử dụng nguyên lý Diriclet Chương 2: Bài toán liệt kê Chương trình bày theo bốn mục bao gồm: giới thiệu toán, thuật toán độ phức tạp tính toán với phương pháp sinh thuật toán quay lui Chương 3: Bài toán đếm Đây nội dung luận văn Trong chương tác giả nêu toán đếm bản, phân loại toán đếm theo dạng tập cụ thể Trong dạng tác giả có ví dụ minh họa tập tự luyện Chương 4: Bài toán tối ưu Trong chương tác giả giới thiệu toán, nhắc lại khái niệm lý thuyết đồ thị, biểu diễn đồ thị ma trận trình bày hai toán là: Bài toán tìm bao trùm có trọng số nhỏ toán tìm đường có trọng số nhỏ Mặc dù thân cố gắng nghiêm túc học tập nghiên cứu khoa học thời gian có hạn, kiến thức thân hạn chế nên trình thực luận văn không tránh khỏi sơ suất Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn 6 Chương Bài toán tồn 1.1 Giới thiệu toán Trong nhiều toán tổ hợp, việc tồn cấu hình thoả mãn tính chất cho trước khó khăn Bài toán bẩy cầu nhà toán học Euler vào thể kỉ XVIII khiến người dân thành phố Konigsberg nhà toán học thời bao công tìm kiếm lời giải Hay đơn giản hơn, kì thủ cần phải tính toán nước để giải đáp xem liệu có khả thắng hay không, người giải mật mã cần tìm chìa khoá giải cho mật mã mà liệu có điện thật mã hoá đối phương hay không, mật mã giả đối phương tung nhằm đảm bảo an toàn cho điện thật Như vậy, tổ hợp xuất vấn đề quan trọng xét tồn cấu hình tổ hợp với tính chất cho trước Các toán thuộc dạng gọi toán tồn tổ hợp Một toán tồn tổ hợp xem giải xong cách xây dựng cấu hình chứng minh chúng không tồn Tuy nhiên, hai khả dễ Để thấy rõ phức tạp vấn đề, xin xét số toán tồn cổ điển tiếng a, Bài toán bẩy cầu Euler Thành phố Konigsberg thuộc Thổ (bây gọi Kaliningrad thuộc cộng hoà Nga), chia thành bốn vùng nhánh sông Pregel Các vùng gồm hai vùng bên bờ sông, đảo Kneiphof miền nằm hai nhánh sông Pregel Vào kỉ XVIII, người ta xây bẩy cầu nối vùng với Hình 1, vẽ vùng cầu qua sông thành phố Vào chủ nhật người dân thường dọc theo phố Họ tự hỏi xuất phát điểm thành phố qua tất cầu, cầu lần, trở điểm xuất phát không Nhà toán học Thụy Sĩ, Leonhard Euler, giải toán Lời giải ông công bố năm 1736 ứng dụng lý thuyết đồ thị Ông chứng minh đường thoả mãn yêu cầu toán (lời giải chi tiết xin trình bày rõ chương IV) b, Bài toán bốn màu Có toán mà nội dung giải thích cho ai, lời giải tự tìm mà khó tìm Ngoài định lý Fermat toán bốn màu toán Bài toán phát biểu trực quan sau: Chứng minh đồ mặt phẳng tô bốn màu cho hai nước láng giềng tô màu Chú ý ta xem nước vùng liên thông hai nước gọi láng giềng chúng có chung biên giới đường liên tục Con số ngẫu nhiên, người ta chứng minh đồ tô với số màu lớn 4, với số màu không tô được, chẳng hạn đồ gồm bốn nước hình tô với số màu 8 Bài toán xuất vào khoảng năm 1850 - 1852 từ nhà buôn người Anh Gazri, tô đồ hành nước Anh cố gắng chứng minh tô màu Sau đó, năm 1952, ông viết thư cho De Morgan để thông báo giả thuyết Năm 1878, Keli báo đăng tuyển tập công trình Hội toán học Anh có hỏi toán giải hay chưa? Từ toán trở thành tiếng kỉ, có nhiều người làm toán nghiệp dư chuyên nghiệp cố gắng chứng minh giả thuyết Tuy nhiên, đến năm 1976 hai nhà toán học Mỹ K.Appel W.Haken chứng minh giả thuyết máy tính điện tử c, Bài toán chọn 2n điểm lưới n × n điểm Chọn lưới ô vuông gồm n × n điểm Hỏi chọn số chúng 2n điểm cho ba điểm chọn thẳng hàng hay không? người ta biết lời giải n 15 Hình cho lời giải toán với n = 12 9 1.2 1.2.1 Các phương pháp chứng minh tồn Phương pháp chứng minh phản chứng Phương pháp chứng minh phản chứng có lẽ phương pháp chứng minh sớm mà loài người biết đến, đặc biệt nghệ thuật diễn thuyết tranh luận Trong toán học, phương pháp chứng minh phản chứng thường sử dụng, đặc biệt cần chứng minh tính đối tượng T thoả mãn điều kiện cho trước (mà tồn T chứng minh trước đó) ta thường giả sử ∀T = T ; T thoả mãn điều kiện đó, từ suy điều vô lý Vậy điều giả sử sai, tức T a, Cơ sở lý thuyết Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề có dạng P =⇒ Q với P giả thiết, Q kết luận Ta tiến hành sau: Bước 1: Giả sử Q sai Bước 2: Từ giả sử Q sai từ P ta dùng lập luận, suy diễn để dẫn đến điều vô lý Bước 3: Từ ta suy Q Chú ý 1.1 Ta dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh nguyên lý Diriclet Do đó, với nhiều toán ta chứng minh nguyên lý Diriclet phương pháp chứng minh phản chứng b, Phương pháp giải toán qua ví dụ 131 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu (4/2012), Các chuyên đề toán bồi dưỡng học sinh giỏi , Kỷ yếu hội nghị khoa học, Hà Nội [3] Hoàng Chí Thành (2001), Giáo trình tổ hợp, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Hoàng Chí Thành (2011), Lý thuyết đồ thị , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Đức Nghĩa(2001), Toán học rời rạc, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Ngô Đắc Tân(2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Tạp chí toán học tuổi trẻ, Tuyển tập 30 năm, NXB Giáo Dục, 1997 [8] Kenneth H Rosen, Toán học rời rạc ứng dụng tin học, NXB khoa học kĩ thuật, 1998 [9] Tài liệu từ Internet [...]... lọc tổ hợp và toán rời rạc, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu (4/2012), Các chuyên đề toán bồi dưỡng học sinh giỏi , Kỷ yếu hội nghị khoa học, Hà Nội [3] Hoàng Chí Thành (2001), Giáo trình tổ hợp, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Hoàng Chí Thành (2011), Lý thuyết đồ thị , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Đức Nghĩa(2001), Toán học rời rạc, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Ngô Đắc Tân(2004), Lý thuyết. .. Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Đức Nghĩa(2001), Toán học rời rạc, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Ngô Đắc Tân(2004), Lý thuyết tổ hợp và đồ thị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Tạp chí toán học và tuổi trẻ, Tuyển tập 30 năm, NXB Giáo Dục, 1997 [8] Kenneth H Rosen, Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, NXB khoa học và kĩ thuật, 1998 [9] Tài liệu từ Internet