vẽ đường tròn tâm O đường kính AC cắt BC tại I a Chứng minh BA là tiếp tuyến của O.. Vẽ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn A, B là ai tiếp điểm.. Chứng minh ba điểm A, O, D thẳng hàn
Trang 1ÔN TẬP HÌNH HỌC Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A vẽ đường tròn tâm O đường kính AC cắt BC tại I
a) Chứng minh BA là tiếp tuyến của (O)
b) Kẻ OM⊥
BC tại M, AM cắt (O) tại N, Chứng minh ∆
AIM đồng dạng ∆
CNM rồi suy ra AM.MN = MI2
c) Kẻ MK//AC, K∈AI Chứng minh 4 điểm M, I, K, O cùng nằm trên một đường tròn
d) Kẻ OH⊥
AN tại H chứng minh OM > OH
Bài 2 : Cho đường tròn (O) và điểm C nằm ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến CA và CB đến (O) ( A và B là hai
tiếp điểm )
a) Chứng minh : OC⊥
AB tại H
b) Chứng minh HA.HB = HC.HD
c) Đoạn thẳng OC gặp (O) tại I chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp ∆
ABC
d) Chứng minh : AH AC
HC BAC
tg
+
=
2
Bài 3 : Cho ∆
ABC vuông tại A có AB = 5 và AC = 4 a) Giải ∆
ABC
b) Kẻ đường cao AH của∆
ABC Chứng minh: BC là tiếp tuyến của ( A; AH)
c) Từ H kẻ HE⊥
AB cắt (A) tại I và từ H kẻ HF⊥
AC cắt (A) tại K Chứng minh BI là tiếp tuyến của (A) Chứng minh : BI là tiếp tuyến của (A)
d) Chứng minh : 3 điểm I, A, K thẳng hàng
Bài 4: Cho (O, R) có AB là đường kính Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy bất kỳ M thuộc Ax MB cắt (O) tại C.
a) Chứng minh : AC ⊥
MB
b) Tính BC.BM theo R
c) Vẽ dây AD ⊥
MO tại H Chứng minh : MD2 = MC.MB d) Vẽ DE⊥
AD tại E, DE cắt MB tại I Chứng minh : ID = IE
Bài 5 : Cho (O, R) và điểm A ngoài (O) sao cho OA = 2R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B, C là
hai tiếp điểm Chứng minh :
a) AO là đường trung trực của BC
b) ∆
ABC đều Tính BC theo R c) Đường vuông góc với OB tại O cắt AC tại E Đường vuông góc với OC tại O cắt AB tại F Chứng minh:
Tứ giác AEOF là hình thoi EF là tiếp tuyến của ( O ; R)
Bài 6: Cho ∆
ABC vuông tại A có đường cao AH Gọi K là trung điểm của AH Từ A hạ vuông góc với AB và
AC tại D và E đường tròn tâm K bán kính AK cắt đường tròn tâm O đường kính BC tại I, AI cắt BC tại M
a) Chứng minh 5 điểm A, I, D, H, E thuộc một đường tròn
b) Chứng minh: MK⊥
AO c) Chứng minh : 4 điểm M, D, K, E thẳng hàng
Trang 2d) Chứng minh : MD.ME = MH2.
Bài 7 : Cho điểm I trên đường tròn (O, R), đường trung trực của bán kính OI cắt đường tròn (O) tại A và B.
a) Tính độ dài AB theo R
b) Chứng minh : Tứ giác OAIB là hình thoi
c) Hai tiếp tuyến kẻ từ A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại C Chứng minh : 3 điểm O; I; C thẳng hàng d) Tính diện tích của∆
ABC
Bài 8 : Cho đường tròn (O; R) và dây AB không đi qua tâm O Gọi H là trung điểm của AB.
a) Chứng minh : OH⊥
AB
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia OH tại điểm K Vẽ đường kính AC, CK cắt đường tròn (O) tại
D Chứng minh CD.CK = 4R2
c) Chứng minh: R C C
AD AK
cos sin 2
2
=
d) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt đường thẳng AB tại E OE cắt CK tại điểm I Chứng minh
OH.OK = OI.OE
Bài 9 : Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = 2R Vẽ các tiếp tuyến MA, MB đến đường
tròn ( A, B là ai tiếp điểm )
a) Chứng minh : ∆
MAB là tam giác đều
b) Tính diện tích ∆
MAB theo R c) Tia MO cắt ( O) tại H và K ( H nằm giữa M, K ) Từ O vẽ ON⊥
AK Chứng minh B, O, N thẳng hàng d) Tính AH.AK theo R
Bài 10 : Cho đường tròn (O; R) OA = 2R Vẽ tiếp tuyến AB với (O) Trên (O) lấy điểm C sao cho AB = AC
b) Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh ∆
ABC đdều, tính SABC theo R c) Vẽ dây BC // AC Chứng minh ba điểm A, O, D thẳng hàng
Bài 11 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By, M là mốt diểm bất kì trên
đường tròn, tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D
a) Chứng minh : CÔD = 900
b) Chứng minh : 4
2
AB BD
AC =
c) Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N Chứng minh MN⊥
AB d) Xác định vị trí của điểm M để cho chu vi ACBD đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12 : Cho tam giác ABC vông tại A Đường tròn tâm O đường kính AB cắt BC tại D.
a) Chứng minh : AC2 = CD BC
b) Gọi I là trung điểm của BD Tiếp tuyến tại D cắt AC ở M và cắt OI tại N Chứng minh MB là tt của (O) c) OM cắt AD ở K Chứng minh OK.OM = OI.ON
d) Gọi Q là giao điểm của MB và AN Chưng minh DQ⊥
AB
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm
(O; R),
đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến
d của nửa đường tròn Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên d Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng:
Trang 31 Tứ giác ABNM là hình thang vuông.
2 AC là tia phân giác của ·BAM
3
2
CH = AM.BN
Bài 14: Cho đường tròn ( O ) đường kÝnh AB §iÓm M thuéc ® êng trßn vÏ ® iÓm N ® èi xøng víi ® iÓm A qua M,
BN c¾t ® êng trßn ë C GoÞo E lµ giao ® iÓm cña AC vµ BM
a) Chøng minh tam gi¸c MAB lµ tam gi¸c vu«ng
b) Chøng miinh NE vu«ng gãc víi AB
c) Gäi F lµ ® iÓm ® èi xøng víi E qua M Chøng minh r»ng FA lµ tiÕp tuyÕn cña ® êng trßn (O)
Bài 15: Cho nöa ® ừêng trßn t©m O, ® ù êng kÝnh AB Gäi Ax, By lµ c¸c tia vu«ng gãc víi AB ( Ax, By vµ nöa
® ừêng trßn thuéc cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB) Qua ® iÓm E thuéc nöa ® êng trßn ( E kh¸c A vµ B), kÎ tiÕp tuyÕn víi nöa ® êng trßn, nã c¾t Ax, By theo thø tù ë C vµ D
a) Chøng minh r»ng CD = AC + BD
b) TÝnh sè ® o gãc COD
c) Gäi I lµ giao ® iÓm cña OC vµ AE, gäi K lµ giao ® iÓm cña OD vµ BE Tø gi¸c EIOK lµ h×nh g×? V× sao? d) T×m vÞ trÝ cña ® iÓm E trªn nöa ® êng trßn sao cho tæng AC + BD nhá nhÊt
Bài 16: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếptuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K
a Chứng minh rằng : AI2 = IM.IB
b Chứng minh BAF là tam giác cân
c Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi
Bài 17: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên đường tròn lấy một điểm C saoi cho BC>BA Kẻ các tiếp tuyến Ax và By của (O) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt Ax và By lần lượt tại M và N
a Chứng minh AMCO và BNCO là các tứ giác nội tiếp
b Tìm diện tích nhỏ nhất của tứ giác AMNB Tính diện tích đó theo R
c Gọi H là giao điểm của AN và BM C/m: CH vuông góc với AB và tích MN.CH không đổi
d AN cắt (O) tại I Kẻ tiếp tuyến tại I của (O) cắt CH tại E C/m: CH=2CE
e Gọi K là trực tâm của tam giác AEB Tính tỉ số KH/KE
Bài 18: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) cho góc BAC = 60o Tính sđ cung BC Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau ở D Chứng minh tam giác AOB đều
Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H
a Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp
b K là giao điểm của AH và BC Chứng minh AC vuông góc BC
c O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFAC Cho góc BAC =60o C/m tam giác OEF đều
d Chứng minh 4 điểm O,E,F,K thuộc 1 đường tròn
Bài 20: Cho (O;R), điểm A ngoài đường tròn sao cho OA=2R Từ A kể 2 tiếp tuyến AB và AC (B,C là tiếp điểm)
a Tính AB và chứng minh tam giác ABC đều
b OA cắt (O) tại S Tứ giác OBSC là hình gì?
c Chứng minh tích AM.AN không đổi (AMN là cát tuyến của (O)
d Gọi H là giao điểm của OA và BC Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp
e Gọi I là trung điểm MN, CI cắt (O) tại K Chứng minh KB//AN
Bài 21: Cho (O;R), điểm A ngoài đường tròn sao cho OA=2R Vẽ đường thẳng (d) vuông góc OA tại A Điểm M tên (d) vẽ 2 tiếp tuyến MD, ME đến (O) (D,E là tiếp điểm)
a Chứng minh MDOE nội tiếp và 5 điểm M,A,D,E,O thuộc 1 đường tròn
b DE cắt OM tại N và cắt OA tại B Chứng minh OB.OA=ON.OM Suy ra độ dài OB không đổi khi M lưu động trên (d)
Trang 4c Cho MA=3R/2 Tính diện tích tứ giác ABNM theo R.
Bài 22: Cho (O) đường kính AB=8 Gọi Ax, By lần lượt là tiếp tuyến tại A và B của (O) M thuộc (O), vẽ tiếp tuyến thứ 3 của (O) (M là tiếp điểm, M khác A,B) cắt Ax tại C, By tại D (AC>BD)
a Chứng minh OACM, OBDM nội tiếp
b OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F Tứ giác OEMF là hình gì?
c I là trung điểm OC, K là trung điểm OD Chứng minh tứ giắc OIMK nội tiếp
d Cho AC + BD =10 Tính diện tích tứ giác OIMK