Tôpô giả compăc mở trên c(x)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Văn Ðông TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Văn Ðông TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X) Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thái Sơn Thầy nhiệt tình công tác hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi chân thành cảm ơn quý Thầy tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học Cao học Đặc biệt thầy TS Nguyễn Hà Thanh giúp tìm nhiều tài liệu hay phục vụ cho việc thực đề tài luận văn Trong trình thực luận văn, có liên lạc với giáo sư S.Kundu - tác giả nhiều báo liên quan đến đề tài quan tâm nhận nhiều tài liệu quý báu từ giáo sư Xin chân thành biết ơn Giáo sư S.Kundu Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Bình Thạnh, tỉnh Tây Ninh, toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Tp Hồ Chí Minh, năm 2009 Tác giả Phạm Văn Đông MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 Các lớp không gian tôpô 11 1.3 Không gian tuyến tính tôpô 15 1.4 Cái tôpô 17 1.5 Không gian giả-compăc 20 Chương 2: ĐỊNH NGHĨA VỀ TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ 2.1 Các định nghĩa khác tôpô giả compăc-mở 21 2.2 So sánh tôpô giả compăc-mở với tôpô compăc-mở tôpô hội tụ 32 Chương 3: ÁNH XẠ CẢM SINH, TÍNH MÊTRIC HÓA VÀ TÍNH TÁCH ĐƯỢC TRÊN Cps(X) 3.1 Ánh xạ cảm sinh 39 3.2 Tính mêtric hóa tính tách Cps(X) 47 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, tập hợp C(X) tất hàm liên tục có giá trị thực không gian Tychonoff X có số tôpô tự nhiên Những tôpô sinh từ khái niệm hội tụ dãy hàm Hơn nữa, hàm liên tục độ đo Baire không gian Tychonoff có liên hệ với trình tính tích phân Một số tôpô lồi địa phương không gian hàm liên tục nghiên cứu để làm rõ mối liên hệ Chúng cho phép tạo lý thuyết không gian lồi địa phương đủ mạnh thuận lợi cho việc ứng dụng vào lý thuyết độ đo tôpô Ba tôpô thông dụng C(X) tôpô compăc-mở k, tôpô hội tụ u tôpô hội tụ điểm p Tôpô compăc-mở tôpô hội tụ C(X) trùng với X compăc Bởi tính compăc điều kiện mạnh nên có “lỗ hổng” hai tôpô Đặc biệt, thấy rõ lý thuyết độ đo Chính “lỗ hổng” mà năm thập kỷ qua, có vài tôpô giới thiệu làm cầu nối k u, cụ thể tôpô chặt, tôpô  -compăc-mở, tôpô hội tụ tập  -compăc tôpô hội tụ tập giới nội Trong báo khoa học đăng năm 2006, S.Kundu Pratibha Garg giới thiệu tôpô tự nhiên khác C(X), tôpô giả compăcmở Nó kí hiệu ps không gian tôpô tương ứng Cps(X) Mặc dù, tôpô giả compăc-mở ps đề cập ngẫu nhiên, song đáng nghiên cứu nhiều Chính chọn đề tài luận văn “TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X)” 2 Mục đích Nghiên cứu tôpô giả compăc–mở C  X  theo quan điểm tôpô Đối tượng phạm vi nghiên cứu Một số tính chất không gian tôpô giả compăc-mở C ps  X  Ý nghĩa khoa học thực tiễn Giới thiệu thêm tôpô lồi địa phương khác tôpô compăcmở tôpô hội tụ C(X) Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận Trong chương chương phần luận văn, không gian xét không gian Tychonoff Cụ thể: Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát đề tài Chương 1: Nhắc lại số kiến thức tôpô đại cương Chương 2: Nêu định nghĩa tôpô giả compăc-mở so sánh tôpô với hai tôpô biết tôpô compăc-mở tôpô hội tụ Chương 3: Trình bày ánh xạ cảm sinh, tính mêtric dưới, tính mêtric hóa tính tách C ps  X  Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, luận văn trình bày lại kiến thức tôpô đại cương có liên quan đến chương sau Ở đây, định lí, hệ quả, bổ đề kết phát biểu không chứng minh, trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [3] [4] Chúng dùng làm sở lý thuyết phục vụ đề tài 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô Cho tập X Một họ  tập X gọi tôpô X thỏa điều kiện sau:  ) X ,  thuộc ;  ) Hợp tùy ý tập thuộc  thuộc  ;  ) Giao hữu hạn tập thuộc  thuộc  Tập X với tôpô X gọi không gian tôpô, kí hiệu  X ,  hay ngắn gọn X không cần rõ  tôpô X Các phần tử không gian gọi điểm Cho  X ,  không gian tôpô Tập G  gọi tập mở X Tập F X gọi tập đóng X \ F mở 1.1.2 Lân cận a) Cho  X ,  không gian tôpô x  X Tập V  X gọi lân cận x tồn tập mở G cho x V  G Nếu lân cận V x tập mở V gọi lân cận mở x b) Nhận xét Một tập mở lân cận điểm thuộc 1.1.3 Cơ sở tiền sở Cho  tôpô X Một họ   gọi sở  tập thuộc  hợp họ tập thuộc  Hay, họ   sở  G  , x  G, V   : x V  G Một họ   gọi tiền sở  họ tất giao hữu hạn tập thuộc  sở  Như họ   tiền sở  G  x  G , tồn W1 ,W2 , ,Wn   cho x W1  W2   Wn  G Hiển nhiên, tôpô hoàn toàn xác định biết sở hay tiền sở 1.1.4 Cơ sở lân cận Một họ Ux lân cận x gọi sở lân cận x hay sở địa phương x lân cận V x tồn lân cận U Ux cho U  V 1.1.5 Điểm tụ Cho A tập không gian tôpô X x  X Nếu lân cận V x ta có V \  x   A   x gọi điểm tụ hay điểm giới hạn tập A 1.1.6 Phần trong, bao đóng, trù mật Cho X không gian tôpô tập A  X 1.1.6.1 Các định nghĩa  Ta gọi phần A hợp tất tập mở chứa A, kí hiệu A0  Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A, kí hiệu Ā hay cl X A  Tập A gọi trù mật hay trù mật khắp nơi X A  X 1.1.6.2 Định lí Tập A trù mật không gian tôpô X x  X lân cận V x, V  A   1.1.7 Không gian tách 1.1.7.1 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi tách tồn tập đếm trù mật 1.1.7.2 Định lí Không gian mà tôpô có sở đếm tách 1.1.7.3 Định lí Cho X không gian mêtric Khi C p  X  tách card(X)  20 1.1.8 Các tiên đề đếm 1.1.8.1 Tiên đề đếm thứ hai Không gian tôpô gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai có sở đếm 1.1.8.2 Tiên đề đếm thứ Không gian tôpô gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm xX có sở lân cận đếm 1.1.8.3 Định lí Không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai thỏa mãn tiên đề đếm thứ 1.1.8.4 Định lí Một không gian rời rạc thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai hữu hạn 1.1.9 Ánh xạ liên tục 1.1.9.1 Định nghĩa Cho X Y không gian tôpô Ánh xạ f : X  Y gọi liên tục x  X lân cận V f  x  Y tồn lân cận U x X cho f U   V Một ánh xạ gọi liên tục X liên tục xX 1.1.9.2 Định lí Nếu f : X  Y g : Y  Z ánh xạ liên tục g  f liên tục 1.1.9.3 Định lí Với ánh xạ f : X  Y , điều kiện sau tương đương a ) f liên tục; b) f 1  G  mở X với tập G mở Y ; c) f 1  G  mở X với tập G thuộc sở Y ; d ) f 1  G  mở X với tập G thuộc tiền sở Y ;   e) f A  f  A  với tập A X 1.1.10 So sánh hai tôpô 1.1.10.1 Định nghĩa Cho hai tôpô   tập hợp X , ta bảo  mịn  (hay  thô  ) nếu, kí hiệu X i tập hợp X với tôpô  i  i  1,  , ánh xạ đồng X  X liên tục Nếu    ta bảo  chặt chẽ mịn  (và  chặt chẽ thô  ) Ta kí hiệu X  X , X  X X  X để tôpô X trùng với tôpô X , tôpô X mịn hay trùng với tôpô X tôpô X chặt chẽ mịn X Hai tôpô mà mịn so sánh với 1.1.10.2 Định lí Cho hai tôpô   tập hợp X , khẳng định sau tương đương a)  mịn  ; b) Với x  X , lân cận x  lân cận x  1; c) Mọi tập mở X  mở  1.1.11 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi 1.1.11.1 Định nghĩa phép đồng phôi Cho X , Y không gian tôpô Ánh xạ f : X  Y gọi phép đồng phôi hay ánh xạ tôpô f song ánh, liên tục f 1 liên tục 1.1.11.2 Định nghĩa ánh xạ mở, ánh xạ đóng Cho X , Y không gian tôpô Ánh xạ f : X  Y gọi mở (hay ánh xạ mở) tập G mở X f  G  mở Y Ánh xạ f : X  Y gọi đóng (hay ánh xạ đóng) tập F đóng X f  F  đóng Y Nếu f : X  Y đơn ánh f : X  f  X  phép đồng phôi f gọi phép nhúng đồng phôi từ X vào Y 1.1.11.3 Định lí Cho f : X  Y song ánh liên tục Khi điều kiện sau tương đương (a ) f phép đồng phôi; b  f c ánh xạ mở; f ánh xạ đóng 1.1.12 Các tiên đề tách 1.1.12.1 Định nghĩa Ti - không gian Cho X không gian tôpô Khi đó:  X gọi T0 - không gian hai điểm khác x, y  X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x  X gọi T1 - không gian hai điểm khác x, y  X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x  X gọi T2 - không gian hay không gian Hausdorff hai điểm khác x, y  X tồn lân cận U x lân cận V y cho U  V    X gọi T3 - không gian hay không gian qui X T1 - không gian với x  X tập đóng F X không chứa x, tồn tập mở U , V cho x U , F  V U  V    X gọi T không gian hay không gian hoàn toàn qui hay không gian Tychonoff X T1 - không gian với x  X tập đóng F X không chứa x, tồn hàm liên tục f : X   0,1 cho f  x   f  y   với y  F  X gọi T4 - không gian hay không gian chuẩn tắc X T1 - không gian hai tập đóng không giao A, B X , tồn tập mở U , V cho A  U , B  V U  V   Ta gọi T0 , T1 , T2 , T3 , T , T4 tiên đề tách Nhận xét T j - không gian  Ti - không gian với j  i 1.1.12.2 Định lí Cho X không gian tôpô Khi X T1- không gian tập gồm điểm X tập đóng 1.1.13 Tổng tích không gian 1.1.13.1 Tổng Cho  X  ,   I họ không gian tôpô Đặt X   I X  Xét họ  tập G X thỏa mãn G  X    với   I Khi  tôpô X Không gian X với tôpô  gọi tổng họ không gian cho, kí hiệu X  I X  1.1.13.2 Tích Cho  X  ,  I họ không gian tôpô Đặt X   I X I   : X  X  phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ  Các không gian X  gọi không gian tọa độ Ta gọi tôpô tích X tôpô yếu để tất phép chiếu   liên tục Như vậy, tôpô tích có tiền sở họ tất tập  1 U  , U    ,  I hay có sở họ tất tập có dạng    ni1 i1 U i ,U i  i , 1 , , n  I Tôpô tích gọi tôpô Tychonoff Tập X với tôpô Tychonoff gọi tích họ không gian cho 1.2 Các lớp không gian tôpô 1.2.1 Không gian compăc 1.2.1.1 Định nghĩa không gian compăc Một không gian tôpô gọi không gian compăc phủ mở có chứa phủ hữu hạn Tập A không gian tôpô X gọi tập compăc phủ mở A có chứa phủ hữu hạn 1.2.1.2 Sự compăc hóa Giả sử X không gian không compăc Không gian compăc Y với ánh xạ h : X  Y cho h phép đồng phôi từ X lên h(X) h(X) trù mật khắp nơi Y gọi compăc hóa không gian X 1.2.1.3 Compăc hóa Stone–Čech Giả sử X không gian hoàn toàn quy kí hiệu C tập hợp tất hàm liên tục f : X   0,1 C Ánh xạ e : X   0,1 ,  f  e  x    f  x  x  X , f  C gọi C ánh xạ kết hợp với C Đặt  X  e  X    X , e  gọi compăc Stone–Čech đơn giản  X đồng X với e  X  1.2.1.4 Compăc hóa thực Hewitt Không gian  X   p   X : với f  C  X  có hàm mở rộng liên tục X   p gọi compăc hóa thực Hewitt X 1.2.1.5 Không gian realcompăc Một không gian X gọi realcompăc X   X 1.2.1.6 Định lí tính compăc không gian mêtric Gọi A tập không gian mêtric X Khi phát biểu sau tương đương  i  A tập compăc;  ii  A tập compăc đếm được;  iii  A tập compăc theo dãy 1.2.1.7 Định lí Cho X không gian compăc Hausdorff Khi phát biểu sau tương đương i  X thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai;  ii  Không gian C  X   iii  với mêtric cận không gian tách được; X không gian mêtric hóa 1.2.2 Không gian compăc theo dãy Một tập A không gian X gọi compăc theo dãy với dãy A có dãy hội tụ tới điểm thuộc A 1.2.3 Không gian paracompăc Không gian tôpô X gọi paracompăc qui phủ mở có mịn mở hữu hạn địa phương 1.2.4 Không gian compăc theo dãy Một không gian tôpô X gọi compăc theo dãy với dãy X có dãy hội tụ 1.2.5 Không gian compăc đếm Một tập A không gian X gọi compăc đếm với tập vô hạn B A có điểm tụ thuộc A 1.2.6 Không gian Lindelof Một không gian tôpô X gọi không gian Lindelof với phủ mở có phủ đếm 1.2.7 Không gian mêtric hóa 1.2.7.1 Định nghĩa không gian mêtric hóa Không gian tôpô (X, ) gọi không gian mêtric hóa (hay không gian mêtric hoá được) X có mêtric d cho tôpô sinh mêtric d trùng với tôpô  X 1.2.7.2 Định nghĩa hữu hạn địa phương Cho X không gian tôpô Một họ  tập X gọi hữu hạn địa phương X điểm X có lân cận giao hữu hạn với số phần tử họ  1.2.7.3 Định nghĩa mịn Một mịn phủ không gian X phủ không gian cho với tập phủ tập tập thuộc phủ cũ 1.2.7.4 Tập hợp điểm-hữu hạn Một tập A tập không gian tôpô X gọi điểm-hữu hạn với điểm X thuộc số hữu hạn tập thuộc A 1.2.7.5 Tập hình sao-hữu hạn Một tập A tập không gian tôpô X gọi hình sao-hữu hạn với tập thuộc A giao với số hữu hạn tập thuộc A 1.2.7.6 Tập hợp dạng G Tập không gian tôpô gọi tập hợp dạng G (hay G  tập) giao họ đếm tập mở không gian 1.2.7.7 Không gian có dạng không-tập-chéo Một không gian X gọi có dạng không-tập-chéo tồn hàm liên tục f : X  X   0,1 cho   f 1   với    x, x  : x  X  1.3 Không gian tuyến tính tôpô 1.3.1 Khái niệm không gian tuyến tính tôpô Một không gian tuyến tính (thực hay phức) đồng thời trang bị cấu trúc tôpô Khi ta có không gian vừa tuyến tính vừa tôpô Một không gian tuyến X có tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi không gian tuyến tính tôpô (hay không gian vectơ tôpô) 1.3.2 Định lí i) V lân cận gốc V  a lân cận a ii) Nếu V lân cận gốc với   0, V lân cận gốc Như vậy, tôpô không gian hoàn toàn xác định tập lân cận gốc: biết tập lân cận điểm tùy ý suy phép tịnh tuyến Do sau ta thường nói lân cận gốc, gọn, ta nói tắt “lân cận” (chứ không nói rõ “của gốc”), trừ trường hợp sợ nhầm lẫn 1.3.3 Các định nghĩa  Một tập A gọi hấp thu x  A tồn số   cho    x   A;  A gọi cân đối x  A ta có  x  A   1.3.4 Định lí Trong không gian tuyến tính tôpô X có sở lân cận  gốc cho:  i  Mỗi V   cân đối hấp thu;  ii  Nếu V   V   với   0;  iii  Mỗi V   bao hàm W   cho W  W  V ;  iv  Với cặp V1 ,V2   tồn W   cho W  V1  V2 Ngược lại, không gian tuyến tính X lấy họ      tập X thỏa mãn điều kiện có tôpô X tương hợp với cấu trúc đại số, nhận  làm sở lân cận gốc 1.3.5 Không gian lồi địa phương 1.3.5.1 Tôpô lồi địa phương Trong số không gian tuyến tính tôpô, lớp không gian đặc biệt quan trọng không gian lồi địa phương 1.3.5.2 Định nghĩa Một không gian tuyến tính tôpô X gọi không gian lồi địa phương (và tôpô gọi tôpô lồi địa phương) X có sở lân cận [...]... chặt chẽ thô hơn  1 ) Ta kí hiệu X 1  X 2 , X 1  X 2 và X 1  X 2 để chỉ rằng tôpô trên X 2 là trùng với tôpô trên X 1 , tôpô trên X 2 là mịn hơn hay trùng với tôpô trên X 1 và tôpô trên X 2 là chặt chẽ mịn hơn trên X 1 Hai tôpô mà cái này mịn hơn cái kia là so sánh được với nhau 1.1.10.2 Định lí Cho hai tôpô  1 và  2 trên cùng một tập hợp X , các khẳng định sau đây là tương đương a)  1 mịn hơn... i , 1 , , n  I Tôpô tích còn gọi là tôpô Tychonoff Tập X cùng với tôpô Tychonoff gọi là tích của họ không gian đã cho 1.2 Các lớp không gian tôpô 1.2.1 Không gian compăc 1.2.1.1 Định nghĩa không gian compăc Một không gian tôpô được gọi là không gian compăc nếu mọi phủ mở của nó đều có chứa phủ con hữu hạn Tập con A trong không gian tôpô X được gọi là tập compăc nếu mọi phủ mở của A đều có chứa... con mở của X trong  2 là mở trong  1 1.1.11 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi 1.1.11.1 Định nghĩa phép đồng phôi Cho X , Y là các không gian tôpô Ánh xạ f : X  Y được gọi là một phép đồng phôi hay ánh xạ tôpô nếu f là song ánh, liên tục và f 1 liên tục 1.1.11.2 Định nghĩa ánh xạ mở, ánh xạ đóng Cho X , Y là các không gian tôpô Ánh xạ f : X  Y được gọi là mở (hay ánh xạ mở) nếu mọi tập G mở. .. một điểm thuộc A 1.2.3 Không gian paracompăc Không gian tôpô X được gọi là paracompăc nếu nó chính qui và mỗi phủ mở của nó có cái mịn mở hữu hạn địa phương 1.2.4 Không gian compăc theo dãy Một không gian tôpô X được gọi là compăc theo dãy nếu với mỗi dãy trong X có một dãy con hội tụ 1.2.5 Không gian compăc đếm được Một tập con A của một không gian X được gọi compăc đếm được nếu và chỉ nếu với mỗi...  thì   X , e  được gọi là compăc Stone–Čech hoặc đơn giản là  X nếu đồng nhất X với e  X  1.2.1.4 Compăc hóa thực Hewitt Không gian  X   p   X : với mỗi f  C  X  có một hàm mở rộng liên tục trên X   p được gọi là compăc hóa thực Hewitt của X 1.2.1.5 Không gian realcompăc Một không gian X được gọi là realcompăc nếu X   X 1.2.1.6 Định lí về tính compăc trong không gian mêtric... Khi đó  là một tôpô trên X Không gian X với tôpô  gọi là tổng của họ các không gian đã cho, kí hiệu X  I X  1.1.13.2 Tích Cho  X  ,  I là một họ các không gian tôpô Đặt X   I X I và   : X  X  là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ  Các không gian X  gọi là không gian tọa độ Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu   liên tục Như vậy, tôpô tích có...  mở trong X với mọi tập G mở trong Y ; c) f 1  G  mở trong X với mọi tập G thuộc một cơ sở của Y ; d ) f 1  G  mở trong X với mọi tập G thuộc một tiền cơ sở của Y ;   e) f A  f  A  với mọi tập con A của X 1.1.10 So sánh hai tôpô 1.1.10.1 Định nghĩa Cho hai tôpô  1 và  2 trên cùng một tập hợp X , ta bảo  1 là mịn hơn  2 (hay  2 là thô hơn  1 ) nếu, kí hiệu X i là tập hợp X với tôpô. .. không gian tôpô X được gọi là không gian Lindelof nếu với mỗi phủ mở của nó có một phủ con đếm được 1.2.7 Không gian mêtric hóa 1.2.7.1 Định nghĩa không gian mêtric hóa Không gian tôpô (X, ) được gọi là không gian mêtric hóa (hay không gian mêtric hoá được) nếu trên X có một mêtric d sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô  trên X 1.2.7.2 Định nghĩa hữu hạn địa phương Cho X là không gian tôpô Một... gọi là tập compăc nếu mọi phủ mở của A đều có chứa phủ con hữu hạn 1.2.1.2 Sự compăc hóa Giả sử X là một không gian không compăc Không gian compăc Y cùng với ánh xạ h : X  Y sao cho h là phép đồng phôi từ X lên h(X) và h(X) trù mật khắp nơi trong Y được gọi là một compăc hóa của không gian X 1.2.1.3 Compăc hóa Stone–Čech Giả sử X là không gian hoàn toàn chính quy và kí hiệu C là tập hợp tất cả các... tập compăc;  ii  A là tập compăc đếm được;  iii  A là tập compăc theo dãy 1.2.1.7 Định lí Cho X là một không gian compăc Hausdorff Khi đó các phát biểu sau là tương đương i  X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai;  ii  Không gian C  X   iii  với mêtric cận trên là không gian tách được; X là không gian mêtric hóa 1.2.2 Không gian compăc theo dãy Một tập con A của một không gian X được gọi compăc