Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY (phần 15) Thầy Đặng Việt Hùng x2 + y2 x + xy + y + = x+ y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x xy + x + = xy − x − Ví dụ 2: Giải phương trình ( x − 1) = (x − x − 2) + − x2 + x + 2 ( x ∈ ℝ) x + y + + x − y = y + Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 2 12 xy + x = x + y + 15 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A xuống D ( 3; −4 ) , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC E ( 7; −2 ) ,đường thẳng AC qua K ( 7;6 ) Tìm toạ độ đỉnh B,C tam giác ABC biết điểm A thuộc đường thẳng x − y − = có hoành độ nguyên Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A (1; ) , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D, đường phân giác góc ADB cắt cạnh AB AC lần 11 lượt F E ; Tìm toạ độ đỉnh B,C tam giác ABC biết D thuộc trục tung , điểm F thuộc 2 đường thẳng x + y = có hoành độ nhỏ 3x + − = x + − x2 + x x3 + Lời giải Ví dụ [Tham khảo]: Giải phương trình 17 − ( x ∈ ℝ) 17 x − 3x + 16 ≥ Điều kiện 0 ≤ x ≤ Ta có ( − x2 + x ) = + x − x ≥ ⇒ − x + x ≥ , kết hợp x ≥ ⇒ x + − x + x ≥ Do thu 3x + 3x + 3x − ≥ ⇔ 17 − ≥ ⇔ 17 − ≥ 16 x3 + x3 + x3 + x ( x − 3) x = 3x + ⇔ 1− ≥0⇔ ≥0⇔ x +1 x +1 x ≥ Đối chiếu điều kiện thử lại ta có nghiệm x = Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng 17 − d1 : x + y − = 0; d : x − y + = Lập phương trình đường tròn (C) cắt d1 A cắt d B, C cho tam giác ABC có diện tích 24 Lời giải: Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Dễ thấy d1 ⊥ d , tam giác ABC nên đường thẳng qua A vuông góc với BC đường cao tam giác Khi tâm I đường tròn thuộc d1 Gọi I ( t ;1 − t ) tâm đường tròn trọng tâm tam giác ABC Khi S ABC = 3S IBC = 24 AB = 3d ⇒ AB = 2d = BC Ta có: d = d ( I ; BC ) ⇒ AH = 3d ⇒ Ta có: S IBC = 2t d 2d = d = ⇒ d = ⇔ = ⇔ t = ±2 ⇒ R = IH + HB = d + 3d = 32 2 Với t = ⇒ ( C ) : ( x − ) + ( y + 1) = 32 2 Với t = −2 ⇒ ( C ) : ( x + ) + ( y − 3) = 32 2 5 x − y + x + y − = + ( x + y )( x − y ) + x − Ví dụ [Tham khảo]: Giải hệ phương trình y + − x = Lời giải y ≥ 0; − x ≥ Điều kiện x + y − ≥ 0;3x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với ( x + y )( x − y ) − x + y + + 3x − − x + y − = ⇔ ( x + y − )( x − y − 1) + 2x − y −1 =0 3x − + x + y − ⇔ ( x − y − 1) x + y − + =0 x − + x + y − Vì x + y − + > ⇒ y = x − Phương trình thứ hai hệ trở thành 3x − + x + y − Khi phương trình thứ hai hệ trở thành x − + − x = (1) Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có + x −1 + − x2 + x − x2 x − + − x = 1( x − 1) + 1( − x ) ≤ + = 2 + x − x − ( x − 1) = ≤ = ⇒ x − + − x2 ≤ 2 2 2 x − = Do phương trình (1) có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức ⇔ x =1 2 − x = Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ vô nghiệm Ví dụ [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A ( 5;3) , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D, đường phân giác góc ADB có phương trình x − y − = , đường thẳng AC qua gốc toạ đô Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải: Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Giả sử phân giác góc ADB cắt AB AC F E Ta có: AFE = FAD + ADB Lại có: AED = ADB + ACB Khi chứng minh tam giác AEF cân A Phương trình đường thẳng AC là: 15 3x − y = ⇒ E ; 2 15 t = ⇒ E ≡ F ( loai ) 17 2 Gọi F ( t ; t − 3) ta có: AE = AF ⇔ ( t − ) + ( t − ) = ⇔ t = ⇒ F ; 2 2 Khi phương trình đường thẳng AB qua A F là: x − y − 16 = Vậy phương trình đường thẳng AB là: x − y − 16 = x2 + y + + x + = y + + y + Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 3x3 + y − + 2x − y −1 2x −1 + y − = Lời giải Điều kiện x ≥ ; y ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với x + − y + + x2 + y + − y + = ⇔ ( x − y )( x + y ) x− y + x+2 + y+2 x + y2 + + y2 + ( x + y) ⇔ ( x − y) + =0⇒ x= y x + y + + y + x + + y + Phương trình thứ hai hệ trở thành x − + 3x3 − = 3x3 + x − + x −1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x − + 3x − + 3x + x − 3x3 + x − x − + 3x3 − ≤ + = ≤ + x −1 2 2 Do phương trình ẩn x có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức x − = x − = ⇔ x = 2x x + 3y + =3 2 2 x − xy + y x − xy + y Ví dụ 11 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 x − y − x + x + y =4 Lời giải x ≥ x ≥ Điều kiện ⇒ 2 y ≥ x 2 y ≥ x y ≥ ( ) ( ) 2 2 2 5 x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y ) x − xy + y ≥ x + y = x + y ⇒ Nhận xét 2 2 6 x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y ) x − xy + y ≥ x + y = x + y Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY Dẫn đến 2x + x + 3y ≤ www.Moon.vn x + y 3( x + y ) 2x + = = x+ y x+ y x+ y x − xy + y x − xy + y Đẳng thức xảy x = y Phương trình thứ hai trở thành 2 2 ( )( x + x = x − =4⇔ ⇔ x ≥ x ≥ Kết luận hệ phương trình có nghiệm x = y = ( x+x ) ) x +2 =0 ⇔ x = ⇔ x = CHÚC CÁC EM SẼ CHINH PHỤC THÀNH CÔNG HỆ PT, BẤT PT VÀ HÌNH OXY Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015!