Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn CÁC BÀI TOÁN ĐẾM VÀ LẬP SỐ – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Ví dụ [ĐVH]: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 3? Lời giải: Gọi số cần lập a1 a2 a3 a4 a5 Đề số lập chia hết cho tổng a1 + a2 + a3 + a4 + a5 phải chia hết cho Ta có số thỏa mãn A1 = {0;1; 2; 4;5} ⇒ có 4.4! = 96 số thỏa mãn A2 = {1; 2;3; 4;5} ⇒ có 5! = 120 số thỏa mãn Vậy có 96 + 120 = 216 số thỏa mãn Ví dụ [ĐVH]: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác số chia hết cho 5? Lời giải: Gọi số cần lập a1 a2 a3 a4 TH1: a4 = Chọn a1 a2 a3 có A53 = 60 cách chọn ⇒ Có 60 số thỏa mãn TH2: a4 = Chọn a1 có cách chọn Chọn a2 a3 có A42 = 12 cách chọn ⇒ Có 12.4 = 48 số thỏa mãn Vậy có 60 + 48 = 108 số thỏa mãn Ví dụ [ĐVH]: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số cho ta lập được: a) Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số bốn chữ số khác đôi một? b) Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số ba chữ số khác đôi một? c) Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số ba chữ số khác đôi một? Lời giải: a) Gọi số cần lập a1 a2 a3 a4 TH1: a4 = Chọn a1 a2 a3 có A53 = 60 ⇒ Có 60 số thỏa mãn TH2: a4 ∈ {2; 4} Chọn a4 có cách Chọn a1 có cách Chọn a2 a3 có A42 = 12 ⇒ Có 2.4.12 = 96 số thỏa mãn Vậy có 60 + 96 = 156 số thỏa mãn b) Gọi số cần lập a1 a2 a3 TH1: a3 = Chọn a1 a2 có A52 = 20 cách ⇒ Có 20 số thỏa mãn Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn TH2: a3 = Chọn a1 có cách Chọn a2 có cách ⇒ Có 4.4 = 16 số thỏa mãn Vậy có 20 + 16 = 36 số thỏa mãn c) Gọi số cần lập a1 a2 a3 Đề lập số chia hết cho tổng a1 + a2 + a3 phải chia hết cho Ta có số thỏa mãn A1 = {0; 4;5} ⇒ Có 2.2 = số thỏa mãn A2 = {1;3;5} ⇒ Có 3! = số thỏa mãn A3 = {2;3; 4} ⇒ Có 3! = số thỏa mãn Vậy có + + = 16 số thỏa mãn Ví dụ [ĐVH]: a) Có thể tìm số gồm chữ số khác đôi một? b) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chẵn có chữ số đôi khác nhau? Lời giải: a) Gọi số cần lập a1 a2 a3 Chọn a1 có cách chọn Chọn a2 a3 có A92 = 72 cách chọn Vậy có 9.72 = 648 số thỏa mãn b) Gọi số cần lập a1 a2 a3 a4 a5 TH1: a5 = Chọn a1 a2 a3 a4 có A74 = 840 cách chọn ⇒ Có 840 số thỏa mãn TH2: a5 = Chọn a1 có cách chọn Chọn a2 a3 a4 có A63 = 120 cách chọn ⇒ Có 120.6 = 720 số thỏa mãn Vậy có 840 + 720 = 1560 số thỏa mãn Ví dụ [ĐVH]: Từ chín chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, người ta lập số tự nhiên gồm chữ số khác mà chữ số hàng trăm a) Có số tự nhiên thế? b) Trong số có số chia hết cho 25? Lời giải: a) Cố định chữ số hàng trăm ⇒ Có 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 cách chọn b) Quy tắc để số chia hết cho 25 hai số cuối 25, 75 ⇒ Có 6.5.4.3.4 = 1440 (do cố định chữ số hàng tram 4) Ví dụ [ĐVH]: Người ta viết chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng a) Có số lẻ gồm chữ số thành? b) Có số chẵn gồm chữ số thành? Lời giải: a) Số có chữ số khác có dạng abcdef ( a ≠ ) Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn Vì số lẻ tạo thành, f có cách chọn; a có cách (trừ f); b có cách (trừ a f), c có cách, d có cách, e có cách Vậy có 3.4.4.3.2.1 = 288 cách b) Vì số tạo thành số chẵn nên f ∈ {0, 2, 4} +) Khi f = a,b,c,d,e hoán vị (1,2,3,4,5) Do 5! số thỏa mãn +) Khi f = 2; f có cách ⇒ 2.4.4.3.2.1 = 192 cách ⇒ 120 + 192 = 312 cách chọn Ví dụ [ĐVH]: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho Lời giải: Từ chữ số trên, ta lập 5.5.4 = 100 số có chữ số khác Từ chữ số trên, ta thấy số sau có tổng chia hết cho 9: {0, 4,5} ; {2,3, 4} ; {1,3,5} ⇒ Có : 2.2 + 2.3 + 2.3 = 16 số chia hết cho Vậy có 84 số có chữ số khác không chia hết cho lập từ chữ số cho Ví dụ [ĐVH]: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau? Lời giải: +) Khi chữ số hàng đơn vị có 8.7.6.5.4.3 = 20160 số +) Khi chữ số hàng đơn vị 2,4,6,8 có 4.7.7.6.5.4.3 = 70560 số ⇒ Có tất 20160 + 70560 = 90720 Ví dụ [ĐVH]: Xét dãy số gồm chữ số khác (mỗi chữ số chọn từ 0, 1, , 8, 9) thỏa mãn chữ số 7, chữ số cuối không chia hết cho Hỏi có cách chọn? Lời giải: Gọi số thoã mãn yêu cầu toán a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 ( ∈ {0;1; 8;9} ; i = 1;7 ) Chọn a1 = có cách chọn Sau chọn a1 ta chọn a7 ≠ 0; a7 ≠ ta có: cách chọn Sau chọn a1 ; a7 ta chọn số lại xếp có : A85 Vậy theo quy tắc nhân có tổng cộng A85 = 47040 số thoã mãn Ví dụ 10 [ĐVH]: Có 100 bia hình vuông đánh số từ đến 100 Ta lấy ngẫu nhiên bìa Tính xác suất để lấy được: a) Một bìa không chứa chữ số b) Một bìa có số chia hết cho hoặc Lời giải: a) Có tổng cộng 20 tâm bìa chứa chữ số bao gồm: 5;15; 25;35; 45;50;51;52 59;65; 75;85;95 Do có tổng cộng 80 bìa không chứa chữ số 80 Ta có: p = = 0,8 giá trị cần tìm 100 b) Xét bìa số chia hết cho hoặc Từ đến có số bao gồm số : ;3 ;7 ;9 không chia hết cho và Từ 10 đến 99 có : 9.4 = 36 số không chia hết cho hoặc Do có tổng cộng + 36 = 40 bìa số chia hết cho hoặc 60 = 0, Vậy có 60 bìa có số chia hết cho hoặc Vậy p = 100 Ví dụ 11 [ĐVH]: Từ chữ số 1, 3, 4, 5, lập số tự nhiên gồm chữ số khác số tự nhiên chia hết cho Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn Lời giải: Gọi số có chữ số chia hết cho abc ( a; b; c ∈ {1;3; 4;5;6} ) tổng chữ số ( a + b + c )⋮ Các số thoã mãn điều kiện là: {1;3;5} ; {1;5;6} ; {3; 4;5} ; {4;5; 6} Khi có tổng cộng 4.3! = 24 số thoã mãn Ví dụ 12 [ĐVH]: Cho tập A = {1; 2;3; 4;5; 6;7} Có số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ A cho số tự nhiên chia hết cho 6, có mặt chữ số Lời giải: Gọi số có chữ số cần tìm là: abcd ( a; b; c; d ∈ A ) số tự nhiên chia hết chia hết cho Chọn d ta có: cách chọn d ∈ {2; 4;6} Chọn d = tổng a + b + c phải chia dư 1: Khi ( a; b; c ) gồm {1;3;6} ; {1; 4;5} ; {1;5;7} Chọn d = tổng a + b + c phải chia dư Khi ( a; b; c ) gồm {1; 2;5} ; {1;3;7} ; {1; 4; 6} Chọn d = tổng a + b + c phải chia hết cho Khi ( a; b; c ) gồm {1; 2;3} ; {1;3;5} ; {1; 4;7} Vậy có tổng cộng: 3.3.3! = 54 số thoã mãn yêu cầu toán Ví dụ 13 [ĐVH]: Cho chữ số 0; 1; 2; 3; Từ chữ số lập số tự nhiên có chữ số khác số tự nhiên không chia hết cho Lời giải: Ký hiệu T = {0; 1; 2; 3; 6} • Đi tìm số số tự nhiên có chữ số đôi khác lập từ tập T Số cần tìm có dạng abc a ≠ ; a, b, c ∈ T đôi khác +) Chọn a có cách (trừ số 0) +) Chọn b có cách (trừ a) +) Chọn c có cách (trừ a, b) Theo quy tắc nhân có 4.4.3 = 48 số thỏa mãn • Đi tìm số tự nhiên có chữ số đôi khác lập từ tập T chia hết cho Số cần tìm có dạng xyz x ≠ ; x, y, z ∈ T đôi khác xyz ⋮ xyz ⋮ xyz ⋮ ⇔ Ta có xyz ⋮ ⇔ x + y + z ⋮ xyz ⋮ +) Bộ ba số 0; 1; lập số thỏa mãn 120; 102; 210 +) Bộ ba số 0; 3; lập số thỏa mãn 306; 360; 630 +) Bộ ba số 1; 2; lập số thỏa mãn 312; 132 +) Bộ ba số 1; 2; lập số thỏa mãn 126; 216; 162; 612 Theo quy tắc cộng có + + + = 12 số thỏa mãn Tóm lại có 48 − 12 = 36 số thỏa mãn toán Đ/s: 36 số Ví dụ 14 [ĐVH]: Có số tự nhiên có chữ số khác không chia hết cho 10 Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn Lời giải: Số cần tìm có dạng abcde a ≠ ; a, b, c, d, e đôi khác abcde không chia hết cho 10 +) Chọn e có cách (trừ số 0) +) Chọn a có cách (trừ số e) +) Chọn b có cách (trừ e, a) +) Chọn c có cách (trừ e, a, b) +) Chọn d có cách (trừ e, a, b, c) Theo quy tắc nhân có 9.8.8.7.6 = 24192 số thỏa mãn Đ/s: 24192 số Ví dụ 15 [ĐVH]: Có tất số tự nhiên có chữ số khác nhau, cho: a) Chia hết cho bắt đầu b) Chia hết cho bắt đầu Lời giải: a) Số cần tìm có dạng 5abcd a, b, c, d đôi khác 5abcd ⋮ +) Chọn d có cách (số 0) +) Chọn a có cách (trừ d) +) Chọn b có cách (trừ 5, d, a) +) Chọn c có cách (trừ 5, d, a, b) Theo quy tắc nhân có 1.8.7.6 = 336 số thỏa mãn Đ/s: 336 số b) Số cần tìm có dạng 4abcd a, b, c, d đôi khác 4abcd ⋮ +) Chọn d ó cách (số 0; 2; 6; 8) +) Chọn a có cách (trừ d) +) Chọn b có cách (trừ 4, d, a) +) Chọn c có cách (trừ 4, d, a, b) Theo quy tắc nhân có 4.8.7.6 = 1344 số thỏa mãn Đ/s: 1344 số Ví dụ 16 [ĐVH]: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho 8? Lời giải: Số cần tìm có dạng abcde a, b, c, d, e đôi khác abcde ⋮ Nhận xét: abcde ⋮ ⇔ cde ⋮ Ta tìm cde ∈ {152; 312; 352; 432; 512} Như có số cde để thỏa mãn toán Với số cde ta tìm số thỏa mãn toán Do có 2.5 = 10 số thỏa mãn Đ/s: 10 số Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn Ví dụ 17 [ĐVH]: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho 15? Lời giải: Gọi số cần lập abc abc ⋮ 15 = và nguyên tố nên abc ⋮15 ⇔ abc ⋮ Từ abc ⋮ ⇒ c = ta có số ab5 Từ ab5⋮ ⇒ a + b + 5⋮ suy tồn cặp ( a, b ) {(1;3) ; (1;6 ) ; ( 3;4 ) ; ( 4;6 )} a,b bình đẳng nên có tổng cộng 4.2 = số tìm Ví dụ 18 [ĐVH]: Có số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho 20? Lời giải: Gọi số cần lập có dạng abcde tập hợp {0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9} abcde⋮ abcde⋮ 20 ⇔ ⇒ e = nên ta có số abcd abcde⋮ Để chia hết cho chữ số cuối phải chia hết d = {2;4;6;8} ⇒ d có cách chọn Còn chữ số lại chỉnh hợp chập số lại dãy số nên số cách xếp A83 Vậy tổng số số lập A83 = 1344 Ví dụ 19 [ĐVH]: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho 18 Lời giải: Gọi số có chữ số đôi khác abc a)Số số có chữ số đôi khác lập 5 = 100 (số) b) Sau ta tìm số số đôi khác chia hết cho 18 abc ⋮ abc ⋮18 ⇔ abc ⋮ abc ⋮ ⇒ c 0,2 Nếu c = ab0⋮ ⇔ a + b⋮ ⇒ ( a, b ) ( 4,5) nên có số lập 450 540 Nếu c = ab2 ⋮ ⇔ a + b + ⋮ ⇒ ( a; b ) ( 3, ) nên có số lập 342 342 Nếu c = ab ⋮ ⇔ a + b + ⋮ ⇒ ( a; b ) ( 3;2 ) ( 5;0 ) nên có số lập 324,234 504 Như có tổng cộng số chia hết cho 18, số số không chia hết cho 18 100 – = 93 số Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015