Bài toán tối ưu bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà toán học Nga nổi tiếng, Viện sỹ Kantorovich L.V. trong một loạt các công trình về bài toán lập kế hoạch sản xuất được công bố năm 1938. Năm 1947 nhà toán học Mỹ Dantzig đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp đơn hình (Simplex Method) để giải bài toán tối ưu tuyến tính. Năm 1952 phương pháp đơn hình đã được cài đặt và chạy trên máy tính điện tử ở Mỹ.Có thể tạm định nghĩa tối ưu hóa là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề được quan tâm) và các ràng buộc (điều kiện của bài toán) đều là hàm và các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính. Đây chỉ là một định nghĩa mơ hồ, bài toán quy hoạch tuyến tính sẽ được xác định rõ ràng hơn thông qua các mô hình và ví dụ.Các bước nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính (QHTT) điển hình là như sau:Bước 1: Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu.Xây dựng mô hình định tính cho vấn đề đặt ra, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập các qui luật mà chúng phải tuân theo. Thông thường bước này nằm ngoài phạm vi của toán họcBước 2: Lập mô hình toán học.Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính. Như vậy, mô hình toán học là trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ toán học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó cho phép ta hiểu được bản chất của hiện tượng. Mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số điều khiển hiện tượng.Trong bước này, một việc rất quan trọng là cần phải xác định hàm mục tiêu, tức là một đặc trưng bằng số mà giá trị càng lớn (càng nhỏ) của nó tương ứng với tình huống càng tốt hơn đối với người cần nhận quyết định. Bước thứ 2 bắt đầu đòi hỏi những kiến thức toán học nhất định. Như vậy, sau hai bước đầu ta đã phát biểu được bài toán cần giải.Bước 3: Xây dựng các thuật toán để giải bài toán đã mô hình hoá bằng ngôn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính.Các thuật toán tối ưu hóa là một trong những công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán đặt ra. Cần nhấn mạnh rằng, thông thường các bài toán thực tế có kích thước rất lớn, vì thế, để giải chúng cần phải sử dụng đến máy tính điện tử. Bước 4: Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần.Trong bước này cần kiểm chứng lại các kết quả tính toán thu được trong bước 3. Trong bước này cần phải xác lập mức độ phù hợp của mô hình lý thuyết với vấn đề thực tế mà nó mô tả. Để thực hiện bước này, có thể làm thực nghiệm hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia.
1 MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 1: Bảng số lượng nguyên liệu Bảng 2: Bảng số lượng hàng chuyển, nhận Bảng 3: Mẫu cắt thép Bảng 4: Bảng đơn hình Bảng 5: Bảng đơn hình Bảng 6: Bảng đơn hình Bảng 7: Bảng đơn hình pha Bảng 8: Bảng đơn hình pha Bảng 9: Bảng đơn hình pha Bảng 10: Bảng đơn hình pha Bảng 11: Bảng đơn hình Bảng 12: Bảng vận tải Bảng 13: Bảng tính theo góc Tây Bắc Bảng 14: Bảng vận tải theo phương pháp cực tiểu theo dòng Bảng 15: Bảng vận tải theo phương pháp cực tiểu theo cột Bảng 16: Bảng vận tải theo phương pháp cực tiểu cước phí toàn bảng Bảng 17: Bảng vận tải theo phương pháp Fôghen Bảng 18: Bảng vận tải Bảng 19: Bảng tính Excel Bảng 20: Bảng tính Excel Bảng 21 : Hộp thoại Solver Parameters Bảng 22: Hộp thoại Add Constraint Bảng 23 : Bảng tính Excel Bảng 24: Bảng tính Excel Bảng 25: Bảng tính Excel Bảng 26: Hộp thoại Solver Parameters Bảng 27: Bảng tính Excel Bảng 28: Bảng vận tải Bảng 29: Bảng tính Excel Bảng 30: Hộp thoại Solver Parameters Bảng 31: Bảng tính Excel Bảng 32: Bảng tính Excel Bảng 33: Hộp thoại Solver Paramenters Bảng 34: Bảng tính Excel Bảng 35: Hộp thoại M Method Bảng 36: Hộp thoại Kết DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1: đồ thị hàm số mặt phẳng x1Ox2 Hình 2: Lưu đồ thuật toán đơn hình Hình 3: Một số dạng chu trình Hình 4: Sơ đồ thuật toán vị Chương MÔ HÌNH BÀI TOÁN TỐI ƯU 1.1 GIỚI THIỆU VỀ BÀI TOÁN TỐI ƯU Bài toán tối ưu bắt nguồn từ nghiên cứu nhà toán học Nga tiếng, Viện sỹ Kantorovich L.V loạt công trình toán lập kế hoạch sản xuất công bố năm 1938 Năm 1947 nhà toán học Mỹ Dantzig nghiên cứu đề xuất phương pháp đơn hình (Simplex Method) để giải toán tối ưu tuyến tính Năm 1952 phương pháp đơn hình cài đặt chạy máy tính điện tử Mỹ Có thể tạm định nghĩa tối ưu hóa lĩnh vực toán học nghiên cứu toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề quan tâm) ràng buộc (điều kiện toán) hàm phương trình bất phương trình tuyến tính Đây định nghĩa mơ hồ, toán quy hoạch tuyến tính xác định rõ ràng thông qua mô hình ví dụ 1.1.1 Xây dựng mô hình toán học cho số vấn đề thực tế Các bước nghiên cứu ứng dụng toán quy hoạch tuyến tính (QHTT) điển hình sau: Bước 1: Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập liệu Xây dựng mô hình định tính cho vấn đề đặt ra, tức xác định yếu tố có ý nghĩa quan trọng xác lập qui luật mà chúng phải tuân theo Thông thường bước nằm phạm vi toán học Bước 2: Lập mô hình toán học Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề xét, tức diễn tả lại dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính Như vậy, mô hình toán học trừu tượng hóa dạng ngôn ngữ toán học tượng thực tế, cần phải xây dựng cho việc phân tích cho phép ta hiểu chất tượng Mô hình toán học thiết lập mối quan hệ biến số tham số điều khiển tượng Trong bước này, việc quan trọng cần phải xác định hàm mục tiêu, tức đặc trưng số mà giá trị lớn (càng nhỏ) tương ứng với tình tốt người cần nhận định Bước thứ bắt đầu đòi hỏi kiến thức toán học định Như vậy, sau hai bước đầu ta phát biểu toán cần giải Bước 3: Xây dựng thuật toán để giải toán mô hình hoá ngôn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính Các thuật toán tối ưu hóa công cụ đắc lực để giải toán đặt Cần nhấn mạnh rằng, thông thường toán thực tế có kích thước lớn, thế, để giải chúng cần phải sử dụng đến máy tính điện tử Bước 4: Tính toán thử điều chỉnh mô hình cần Trong bước cần kiểm chứng lại kết tính toán thu bước Trong bước cần phải xác lập mức độ phù hợp mô hình lý thuyết với vấn đề thực tế mà mô tả Để thực bước này, làm thực nghiệm áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia Ở có khả năng: Khả 1: Các kết tính toán phù hợp với thực tế Khi áp dụng vào việc giải vấn đề thực tế đặt Trong trường hợp mô hình cần sử dụng nhiều lần, xuất vấn đề xây dựng hệ thống phần mềm đảm bảo giao diện thuận tiện người sử dụng máy tính, không đòi hỏi người sử dụng phải có trình độ chuyên môn cao toán học Khả 2: Các kết tính toán không phù hợp với thực tế Trong trường hợp cần phải xem xét nguyên nhân Nguyên nhân kết tính toán bước chưa có đủ độ xác cần thiết Khi cần phải xem lại thuật toán chương trình tính toán bước Một nguyên nhân khác mô hình xây dựng chưa phản ảnh đầy đủ tượng thực tế Nếu cần phải rà soát lại bước 1, việc xây dựng mô hình định tính có yếu tố quy luật bị bỏ sót không? Cuối cần phải xem xét xây dựng lại mô hình toán học bước Như vậy, trường hợp kết tính toán không phù hợp với thực tế cần phải quay lại kiểm tra tất bước thực trước đó, phải lặp lặp lại nhiều lần kết tính toán phù hợp với thực tế Bước 5: Áp dụng giải toán thực tế 1.1.2 Một số mô hình thực tế Mô hình hóa lính vực nghiên cứu lí thuyết riêng, đòi hỏi trước tiên hiểu biết kiến thức lĩnh vực đối tượng cần mô Trong mục ta xét vài mô hình truyền thống tối ưu hóa để minh họa cho việc xây dựng mô hình toán học cho toán có nội dung kinh tế, kỹ thuật 1.2 Các toán 1.2.1 Bài toán vốn đầu tư Người ta cần có lượng (tối thiểu) chất dinh dưỡng i=1,2, ,m thức ăn j=1,2, ,n cung cấp Giả sử : aij số lượng chất dinh dưỡng loại i có đơn vị thức ăn loại j (i=1,2, ,m) (j=1,2, , n) bi nhu cầu tối thiểu loại dinh dưỡng i cj giá mua đơn vị thức ăn loại j Vấn đề đặt phải mua loại thức ăn để tổng chi phí bỏ mà đáp ứng yêu cầu dinh dưỡng Vấn đề giải theo mô hình sau đây: Gọi xj ≥ (j= 1,2, ,n) số lượng thức ăn thứ j cần mua Tổng chi phí cho việc mua thức ăn là: Vì chi phí bỏ để mua thức ăn phải thấp nên yêu cầu cần thỏa mãn là: Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn : ai1x1 (i=1→m) Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn : ai2x2 Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn n : ainxn Vậy lượng dinh dưỡng thứ i thu từ loại thức ăn là: ai1x1+ai2x2+ +ainxn (i=1→m) Khi theo yêu cầu toán ta có mô hình toán sau đây: 1.2.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 1.2.2.1 Ví dụ Một sở sản xuất dự định sản xuất loại sản phẩm A B Các sản phẩm chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II, III Số lượng đơn vị dự trữ loại nguyên liệu số lượng đơn vị loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm loại cho bảng đây: Loại Nguyên nguyên liệu liệu dự trữ Số lượng đơn vị nguyên liệu cần dùng cho việc sản xuất đơn vị sản phẩm A B I 18 II 30 III 25 Bảng 1: Bảng số lượng đơn vị nguyên liệu Hãy lập kế hoạch sản xuất, tức tính xem cần sản xuất đơn vị sản phẩm loại để tiền lãi thu lớn nhất, biết bán đơn vị sản phẩm A thu lãi trăm nghìn đồng, bán đơn vị sản phẩm B thi lãi trăm nghìn đồng Ta xây dựng mô hình toán học cho toán trên: Gọi x y theo thứ tự số lượng đơn vị sản phầm A B cần sản xuất theo kế hoạch Khi tiền lãi thu là: z = 3x + 2y Do nguyên liệu dự trữ có hạn nên x y phải chịu ràng buộc đó, cụ thể là: 2x + 3y ≤ 18 (ràng buộc nguyên liệu I) 5x + 4y ≤ 30 (ràng buộc nguyên liệu II) x + 6y ≤ 25 (ràng buộc nguyên liệu III) Ngoài có ràng buộc tự nhiên x ≥ 0, y ≥ số đơn vị sản phẩm âm Bằng ngôn ngữ toán học toán phát biểu sau: Tìm x y cho biểu thức z = 3x + 2y đạt giá trị lớn với ràng buộc: 2x + 3y ≤ 18 5x + 4y ≤ 30 x + 6y ≤ 25 x ≥ 0, y ≥ 1.2.2.2 Mô hình toán lập kế hoạch sản xuất Từ m loại nguyên liệu có người ta muốn sản xuất n loại sản phẩm Giả sử : aij lượng nguyên liệu loại i dùng để sản xuất sản phẩm loại j (i=1,2, ,m) (j=1,2, ,n) bi số lượng nguyên liệu loại i có cj lợi nhuận thu từ việc bán đơn vị sản phẩm loại j Vấn đề đặt phải sản xuất loại sản phẩm cho tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản phẩm lớn điều kiện nguyên liệu có Gọi xj ≥ số lượng sản phẩm thứ j sản xuất (j=1,2, ,n) Tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản phẩm là: Vì yêu cầu lợi nhuận thu cao nên ta cần có : + Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ ai1x1 + Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ ai2 x + Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ n ainxn Vậy lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất sản phẩm là: ai1x1+ai2x2+ +ainxn Vì lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất loại sản phẩm vượt lượng cung cấp bi nên: ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≤ bi (i=1,2, ,m) Vậy theo yêu cầu toán ta có mô hình sau đây: 1.2.2.3 Bài toán vận tải 1.2.2.3.1 Ví dụ Có loại hàng cần vận chuyển từ hai kho (trạm phát) P1 P2 tới ba nơi tiêu thụ (trạm thu) T1, T2, T3 Bảng cho biết số lượng hàng cần vận chuyển kho số lượng hàng cần nhận nơi tiêu thụ cước phí vận chuyển đơn vị hành từ kho tới nơi tiêu thụ tương ứng Trạm phát Trạm thu Lượng phát T1 T2 T3 P1 30 P2 1 75 Lượng thu 35 25 45 Bảng 2: Bảng số lượng hàng chuyển, nhận Hãy lập kế hoạch vận chuyển thỏa mãn yêu cầu thu phát cho chi phí vận chuyển nhỏ x Nếu kí hiệu ij (I = 1, j = 1, 2, 3) lượng hành cần vận chuyển từ kho P i đến nơi tiêu thụ Tj mô hình toán học toán vận tải là: Tìm số xij (I = 1, j = 1, 2, 3) cho biểu thức: 5x11 + 2x12 + 3x 13 + 2x 21 + x 22 + x 23 → với ràng buộc sau: = 30 x11 + x12 + x13 x 21 + x 22 + x 23 = 75 + x 21 = 35 x11 x12 + x 22 = 25 xij ≥ 0, i = 1, j=1, 2, 1.2.2.3.2 Mô hình toán vận tải Người ta cần vận chuyển hàng hoá từ m kho đến n cửa hàng bán lẻ Lượng hàng hoá kho i si (i=1,2, ,m) Nhu cầu hàng hoá cửa hàng j dj (j=1,2, ,n) Cước vận chuyển đơn vị hàng hoá từ kho i đến hàng j c ij ≥ đồng Giả sử tổng hàng hoá có kho tổng nhu cầu hàng hoá cửa hàng nhau, tức là: 10 m n ∑ s =∑ d i i=1 j=1 j Bài toán đặt lập kế hoạch vận chuyển để tiền cước nhỏ nhất, với điều kiện cửa hàng nhận đủ hàng kho trao hết hàng Gọi xij ≥ lượng hàng hoá phải vận chuyển từ kho i đến cửa hàng j Cước vận chuyển chuyển hàng hoá i đến tất kho j là: n ∑c x i j ij j=1 Cước vận chuyển tất hàng hoá đến tất kho là: m z=∑ i=1 n ∑c x j =1 ij ij Theo yêu cầu toán ta có mô hình toán sau đây: 1.2.2.4 Bài toán cắt vật liệu Trong thực tế, ta thường phải cắt vật liệu dài (như thép, ống nước, băng giấy…) có độ tài cho trước thành đoạn ngắn với số lượng định để sử dụng Nên cắ cho tốn vật liệu nhất? 1.2.2.4.1 Ví dụ Một phân xưởng sản xuất thép có thép nguyên dài 3.8 mét Cần cắt thành ba loại đoạn ngắn T1,T2 ,T3 với độ dài tương ứng 1.8 mét, 1.4 mét 1.0 mét Có tất mẫu cắt khác (cho bảng) Hỏi cần phải cắt theo mẫu thép nguyên để vừa đủ số lượng đoạn T1,T2 ,T3 mà phân xưởng cần cho tổng phần thép thừa nhỏ nhất? Loại đoạn cần Mẫu cắt Số đoạn cần có I II III IV V dài 1.8 mét 1 400 T2 dài 1.4 mét 0 400 T1 63 Bảng 20: Bảng tính Excel Phương án ban đầu X = (1, 1, 1), không chấp nhận Bước Tính giá trị hàm mục tiêu ô E2 công thức = SUMPRODOCT($B$7:$D$7, B2:D2) Hàm Sumproduct cho tích vô hướng hai dãy ô Copy công thức từ ô E2 sang dãy ô E3:E6 nhằm tính giá trị vế trái bốn ràng buộc toán (1) Bước Dùng lệnh Tools / Solver, xuất hộp thoại Solver Parameters Bảng 21 : Hộp thoại Solver Parameters Mục Set Target Cell: chọn ô đích (chứa giá trị hàm mục tiêu), nháy vào biểu tượng Excel bên phải hộp văn để xác định ô, ví dụ chọn ô E2 Mục Equal To: chọn Max cực đại hàm mục tiêu, chọn Min cực tiểu hàm mục tiêu, chọn Value of nhập giá trị muốn ô đích giá trị định, ví dụ chọn Min Mục By Changing cells: chọn ô chứa biến toán, ta chọn khối ô B7:D7 Nháy nút Add để nhập tất ràng buộc vào khung Subject to the Constraints (dòng đầu khung ứng với ràng buộc không âm biến, dòng thứ hai ứng với hai ràng buộc đầu toán, dòng cuối ứng với ràng buộc cuối Khi nháy nút Add, hộp thoại: Bảng 22: Hộp thoại Add Constraint 64 Để chọn loại ràng buộc (>= = 0, m n i=1 j=1 ∑ = ∑ b j ( 1.4 ) 66 Cách bố trí liệu bảng tính toán vận tải Bảng 28: Bảng vận tải Ví dụ 1: Tìm phương án cực biên toán vận tải có vectơ lượng phát lượng thu theo thứ tự a = (90, 100, 110), b = (50, 80, 95, 75) ma trận cước phí c 11 16 3 10 8 12 9 c= Xét toán vận tải có điểm phát điểm thu nhập vào bảng tính: Bảng 29: Bảng tính Excel Khối A2:D4 ma trận chi phí vận chuyển, khối A7:D9 phương án vận chuyển (giá trị ban đầu cho tất 1), khối F7:F9 khả điểm phát, khối A11:D11 nhu cầu điểm thu, khối E7:E9 lượng hàng phát từ điểm phát i theo phương án X chọn, khối A10:D10 lượng hàng nhận điểm thu j theo phương án X Giả sử tổng lượng hàng có kho tổng nhu cầu nơi thiêu thụ Quá trình dùng Solver để giải bμi toán vận tải theo bước: Bước Nhập chi phí vận chuyển vào ô A2:D4, nhập khả điểm phát vào F7:F9, nhu cầu điểm thu A11:D11, phương án ban đầu A7:D9 Tính giá trị hàm mục tiêu ô F3 theo công thức = Sumproduct (A2:D4, A7:D9), hàm tính tổng tích cặp phần tử hai khối ô Tính lượng hàng phát 67 điểm phát ô E7 theo công thức =SUM(A7:D7), tương tự tính ô E8:E9 Tính lượng hàng nhận điểm thu ô A10 theo công thức = SUM(A7:A9), tương tự tính ô B10:D10 Bước Dùng lệnh Tools/ Solver với lựa chọn hμm mục tiêu vμ rμng buộc: Bảng 30: Hộp thoại Solver Parameters Bước Trong hộp thoại Solver Options phải chọn Assume Linear Model Cuối ta nhận giá trị tối ưu hàm mục tiêu 1420, phương án vận chuyển tối ưu: x[1,2]= 80, x[2,3]= 35, x[2,4]= 65, x[3,1]= 50, x[3,3]= 60 bảng tính kết quả: Bảng 31: Bảng tính Excel Ví dụ 2: Tìm phương án cực biên toán vận tải có vectơ lượng phát lượng thu theo thứ tự a = (105, 60, 85), b = (35, 48, 80, 95), ma trận cước phí c phương án x 4 9 11 20 12 10 12 c= 35 25 45 15 45 0 35 50 x= Hãy xây dựng phương án cực biên không xấu x Giá trị tối ưu hàm mục tiêu phương án x 2075 Tính giá trị tối ưu? Bước 1: Nhập liệu tính giá trị hàm mục tiêu, lượng hàng phát, lượng hàng thu bảng tính Bảng 32: Bảng tính Excel 68 Bước 2: Dùng lệnh Tools/ Solver với lựa chọn hμm mục tiêu ràng buộc: Bảng 33: Hộp thoại Solver Paramenters Bước 3: Cuối giá trị tối ưu hàm mục tiêu 1724, phương án vận chuyển tối ưu: x[1,1]= 35, x[1,2]= 48, x[1,3]= 22, x[2,4]= 60, x[3,3]= 58, x[3,4]= 27 bảng tính kết quả: Bảng 34: Bảng tính Excel 3.2.LẬP TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU 3.2.1 Giải toán tối ưu C dùng thuật toán đơn hình Code chương trình sau: #include #include #include #include #include class DH { private: float a[30][30];//ma tran a float cx[30];// c' float b[30];// b da cho phuong an float cs[30];//co so float del[30];// delta float teta[30]; int m,n;//kick thuoc ma tran public: int timcoso(float x[30][30],int u,int v); void coso(); 69 void delta(); int min(float *m,int n); int max(float A[30],int c); int docdulieu(char *ch); void inmt(); void inmang(float *n,int m); float fx(); void tinhteta(int cot); int dongxoay(); void biendoi(int dong,int cot); void dh1f(int xmax); }; //====== tim co so cua ma tran int DH::timcoso(float x[30][30],int u,int v) { int ok; int vtc,vth,i,j=1,d=0; for(i=1;i[...]... ) là các hằng số Bài toán tối ưu tất định Ngược lại các tham số là các đại lượng ngẫu nhiên Bài toán tối ưu ngẫu nhiên g x X Nếu các tham số j độc lập với thời gian Bài toán tối ưu tĩnh Ngược lại vào thời gian Bài toán tối ưu động Xj phụ thuộc 1.3.2 Bài toán tối ưu dạng chính tắc và chuẩn tắc 1.3.2.1 Bài toán tối ưu dạng chính tắc Bài toán tối ưu chính tắc là bài toán tối ưu mà trong đó các... chỉ có dấu = và các biến số đều không âm Tức là: 1.3.2.2 Bài toán tối ưu dạng chuẩn tắc Bài toán tối ưu chuẩn tắc là bài toán tối ưu mà trong đó các ràng buộc chỉ có dấu “ ≥ ” và các biến số đều không âm Tức là: 14 1.3.3 Biến đổi bài toán tối ưu tổng quát về dạng chính tắc hoặc chuẩn tắc Người ta có thể biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát thành bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính... tối ưu 2.2.3 Tính hữu hạn của thuật toán đơn hình 2.2.3.1 Tính hữu hạn của thuật toán đơn hình Định nghĩa 3.1: Thuật toán giải bài toán tối ưu hóa được gọi là hữu hạn nếu như nó cho phép sau một số hữu hạn phép tính tìm được phương án tối ưu của bài toán 33 Do mỗi bước lặp của thuật toán đơn hình có thể thực hiện xong sau một số hữu hạn phép tính, để chứng minh tính hữu hạn của thuật toán đơn hình. .. loại bài toán tối ưu a Theo Xj { X j = x j : − hj ≤ x j ≤ hj } với h j = +∞, − h j = −∞ Bài toán tối ưu liên tục Xj là những tập rời rạc Bài toán tối ưu rời rạc Xj là tập số nguyên Bài toán quy hoạch nguyên b Theo hàm f(x) cần lấy g(x) Các hàm f(x), gi ( x ) là các hàm tuyến tính Bài toán tối ưu tuyến tính Các hàm f(x), gi ( x ) không là các hàm tuyến tính (phi tuyến) Bài toán tối ưu phi tuyến... và hàm mục tiêu bị chặn Định lý 4.7 Nếu tập các phương án của một bài toán tối ưu không rỗng và là một đa diện lồi thì bài toán tối ưu đó sẽ có ít nhất một phương án cực biên là phương án tối ưu 24 Chương 2 Các phương pháp giải bài toán tối ưu 2.1 PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 2.1.1 Nội dung phương pháp Không giảm tổng quát, giả sử bài toán tối ưu có dạng: f ( x ) = c1x1 + c 2 x 2 → Min ( Max ) Các ràng buộc:... (mét) Bài toán trên được phát biểu như sau: Tìm các biến số x1,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 sao cho: f = 0.2x1 + 0.8x 4 + 0.6x 5 → min Thỏa mãn các điều kiện sau: x 3 + x 5 = 400 2x1 + 2x 2 + x 5 = 400 x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 1300 x j ≥ 0 ( ∀j = 1 5 ) 1.3 BÀI TOÁN TỐI ƯU DẠNG CHUẨN TẮC, DẠNG CHÍNH TẮC 1.3.1 Bài toán tối ưu dạng tổng quát Tổng quát những bài toán tối ưu cụ thể trên, một bài toán tối ưu. .. Tương đương với bài toán: Nghĩa là lời giải của bài toán này cũng là lời giải của bài toán kia và ngược lại ( ) ( ) f x = min f ( x ) ⇔ − f x = max −f ( x ) x∈ X x∈ X Trong đó x là phương án tối ưu Dựa vào các phép biến đổi trên mà người ta có thể nói rằng bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà trong đó các ràng buộc chỉ có dấu “=” , vế phải và các biến số... ràng buộc của bài toán Phương án chấp nhận được x* đem lại giá trị lớn nhất cho hàm mục tiêu, tức là: f ( x ) ≤ c ' x*, ∀x ∈ D được gọi là phương án tối ưu, còn giá trị f* = cx * - giá trị tối ưu của bài toán 1.5 PHƯƠNG ÁN CƠ SỞ CHẤP NHẬN ĐƯỢC Khái niệm phương án cơ sở chấp nhận được giữ một vai trò quan trọng trong thuật toán đơn hình giải bài toán tối ưu 1.5.1 Định nghĩa Xét bài toán tối ưu dạng chính... các phương án của một bài toán tối ưu chính tắc không rỗng thì bài toán đó có ít nhất một phương án cực biên Bổ đề: Nếu: x là một phương án tối ưu của quy hoạch tuyến tính x1, x 2 là các phương án của quy hoạch tuyến tính 1 2 x là tổ hợp lồi thực sự của x , x 1 2 thì x ,x cũng là phương án tối ưu của quy hoạch tuyến tính Định lý 4.5 Nếu bài toán tối ưu chính tắc có phương án tối ưu thì thì sẽ có ít nhất... bước lặp Định nghĩa 3.2: Bài toán tối ưu tuyến tính được gọi là không thoái hóa nếu như tất cả các phương án cơ sở chấp nhận được của nó là không thoái hóa, trong trường hợp ngược lại bài toán được gọi là thoái hóa Định lý 3.1: Giả sử bài toán tối ưu tuyến tính là không thoái hóa và có phương án tối ưu Khi đó với mọi phương án cơ sở chấp nhận được xuất phát thuật toán đơn hình là hữu hạn Chứng minh: