mô hình hóa toán học bài toán liên hợp cơ điện và áp dụng phương pháp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -Nguyễn Trần Chân MÔ HÌNH HĨA TỐN HỌC BÀI TỐN LIÊN HỢP CƠ ĐIỆN VÀ ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN KẾT HỢP THỰC NGHIỆM CHO VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 62 44 21 01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP Hồ Chí Minh – 2011 Cơng trình hồn thành tại: Khoa Toán - Tin học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGƠ THÀNH PHONG TS LÊ ĐÌNH TN Phản biện 1: GS.TSKH ĐÀO HUY BÍCH Phản biện 2: PGS.TS BÙI CƠNG THÀNH Phản biện 3: PGS.TS NGUYỄN HỒI SƠN Phản biện độc lập 1: PGS.TSKH PHẠM ĐỨC CHÍNH Phản biện độc lập 2: GS.TS TRẦN ÍCH THỊNH Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Vào hồi …… … ngày …… tháng … năm ………… Có thể tìm hiểu luận án thư viện: -Thư Viện khoa học tổng hợp Tp.HCM -Thư Viện Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Tổng quan vấn đề Hiện tượng biến đổi lượng trực tiếp từ dạng qua dạng khác vật liệu thông minh có nhiều ứng dụng thú vị , hứa hẹn giá trị gia tăng cao Bởi nhận quan tâm nghiên cứu khắp nơi giới Với hiểu biết nay, thấy tồn dạng áp điện, nhớ hình dạng, đáp ứng với nhiệt, ánh sáng hay t tính Nghiên cứu vật liệu thông minh liên quan đến nhiều ngành khoa học , phạm vi luận án đề cập đến vật liệu áp điện, loại có phát triển mạnh mẽ thời gian gần Tình hình nghiên cứu ngồi nước Hiện Việt Nam có nghiên cứu Nhưng diễn mạnh mẽ giới Chi tiết tên nhóm nghiên c hàng ứu đầu nội dun g cơng b họ trình bày luận ố án Với tài liệu tóm tắt, đề cập ngắn gọn hạn chế tồn liên quan đến tình hình phát triển mơ hình tính toán, phương pháp ố thực nghiệm , vấn đề luận án s quan tâm giải quyết: -Các nghiên c bỏ qua mơ hình hóa tốn học , mà ứu phần quan trọng, góp phần định giải tốn tốn liên hợp điện có chặt chẽ hay khơng -Đa số cơng trình nghiên cứu trước dùng phần mềm thương mại, hay chương trình tự viết sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn chuẩn (FEM) để mơ phỏng, kết số chưa có cải tiến Một vài nghiên cứu có áp dụng phương pháp ố cải tiến theo hướng sử dụng phương pháp s không lưới (the meshless methods) Với phương pháp này, có ưu điểm khơng phải xây dựng lưới việc áp dụng vào tính tốn thực tế có nhiều khó khăn mức độ hồn thiện, thừa kế mã nguồn mặt khác khó tiếp cận - Qua tổng hợp đánh giá luận án phương pháp số cho thấy phương pháp phần tử hữu hạn cải tiến kỹ thuật làm trơn (S-FEM) nhóm nhóm GS Liu, TS Nguyễn Thời Trung, TS Nguyễn Xuân Hùng đề xuất năm 2008-2010 khả dụng đáng quan tâm Bởi kết số cải tiến rõ rệt, có tính kế thừa từ FEM nên sử dụng thuận tiện Nhưng áp dụng giải toán học túy chưa dùng để giải toán liên hợp trường điện -Mặt khác, nhóm nghiên cứu hầu hết tập trung vào mơ số, công bố kết thực nghiệm thấy so sánh kết mơ liệu thực nghiệm không thực hiện, nghĩa mô ảo chưa chứng minh thực nghiệm, dẫn đến nghiên cứu chưa trọn vẹn Một số cơng bố khác thực nghiệm với phương pháp đo chuyển vị tiếp xúc hay cách đo chuyển vị gián tiếp qua giao thoa ánh sáng nên hiệu chưa cao Các ý tưởng, nguồn lực mục tiêu nghiên cứu luận án -Ý t ởng m hình hóa tốn ọc với phương trnh vi h ì phân, áp dụng mở rộng định lý Lax-Milgram cho toán biến phân, tốn x xỉ khơng Sobolev, đánh giá sai s ấp ố tốc độ hội tụ phần lý thuyết bổ sung để giải toán liên hợp điện cách chặt chẽ Đây đóng góp -Việc đề xuất sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với kỹ thuật làm trơn dựa cạnh (ES-FEM) cho toán liên hợp trường điện ý tưởng luận án -Luận án xây dựng chương trình tính tốn mơi trường Matlab cho FEM ES-FEM, chương trình cơng cụ thuận tiện để định l ượng dự đoán ứng xử kết cấu áp điện Các thí dụ số trình bày chương 3, điểm đóng góp đặc trưng nghiên cứu -Trong luận án th thí n ghiệm cho lo ực ại vật liệu áp điện PVDF PZT Việc thiết kế, chế tạo mẫu thí nghiệm thiết kế lắp ráp hệ thống đo chuyển vị khơng tiếp xúc kính hiển vi hệ thống lade với độ phân giải xác đ 10 nano mét kết nghiên cứu ến trực quan sinh động luận án thực nghiệm -Cần phải nói thêm thí nghiệm nói thực Phịng thí nghi m trọng điểm quốc gia số kỹ ệ thuật hệ thống (DCSELAB), phịng thí nghiệm cơng nghệ cao vừa đầu tư tổng cộng khoảng 70 tỷ đồng vào năm 2009 Đây nguồn lực quan trọng góp phần tích cực vào nghiên cứu thực nghiệm thành công luận án Chương : Hiện tượng vật liệu áp điện 1.1 Hiệu ứng áp điện Hiện tượng áp điện với hiệu ứng thuận nghịch mô tả chi tiết mục 1.1 chương luận án Một cách ngắn gọn, hiệu ứng thuận đặt lực học tác động lên vật liệu áp điện, lượng học biến thành điện làm xuất điện tích điện cực bề mặt vật liệu Ngược lại hiệu ứng nghịch áp điện trường lên điện cực lượng điện chuyển thành lượng học làm biến dạng vật liệu áp điện 1.2 Trường hợp chiều Để dễ cảm nhận tượng tốn học, trình bày công thức trường hợp chiều đơn giản mục 1.2 luận án 1.3 Vật liệu áp điện điện trường mạnh Vật liệu áp điện có dạng PZT PVDF Mục này, trình bày ứng xử vật liệu áp điện điện trường gia tăng đến mức tới hạn làm xảy tượng đảo cực vật liệu theo miền hình 1-1 luận án 1.4 Vật liệu áp điện PZT Vật liệu PZT(PbZr y Ti 1-y O ) m dạng gốm phân cực áp ột điện, hình 1-2, 1-3 luận án diễn tả ứng xử điện trường biến thiên mơ tả vật liệu góc nhìn hóa học vĩ mơ 1.5 Vật liệu áp điện PVDF Vật liệu dạng PVDF (piezoelectricity in polyvinylidene, (CH -CF -) n ) nhạy có cấu trúc chủng loại trình bày hình 1-4 , 1-5 luận án Chương :Mơ hình tốn học & phương pháp số 2.1 Mơ hình tốn học tượng áp điện Hiện tượng áp điện kết tương tác liên hợp trường điện Từ quan điểm tốn học, tn theo phương trình Maxwell đàn hồi 2.1.1 Môi trường tĩnh điện Trong tĩnh điện, phương trình Maxwell trở thành: ∂Di ∂Ek (2-1) (2-2) =0 ∈ = ijk ∂xi ∂j Điện điện trường Phương trình (2-1) diễn tả điện trường khơng xốy, mối quan hệ điện trường điện trình bày sau: ∂φ Ei = − (2-3) ∂xi Điều kiện biên tĩnh điện -Điều kiện biên biên Γ v miền Ω: φ |Γ = φe -Điều kiện biên biên Γ q (=∂Ω\Γ v ) : Ei ni |Γq = (2-4) v 2.1.2 Mơi trường học Các phương trình đàn hồi chủ đạo ∂Tij ∂x j + f iV = (2-6) = Sij  ∂ui ∂u j +   ∂x j ∂xi  (2-5)     (2-7) Mối quan hệ ứng suất biến dạng theo Hooke: Tij = cijkl Skl (2-8) Điều kiện biên học -Điều kiện biên Γ u : ui |Γu = u d i -Điều kiện biên Γ σ : Tij n j |Γσ = fi s (2-10) (2-9) 2.1.3 Các phương trình Trường hợp tổng quát, từ nguyên lý nhi t động lực học thứ ệ phương trình liên hợp áp điện có dạng: E = cijkl S kl − ekij Ek Tij (2-11) S = eikl S kl + ε ik Ek Di (2-12) 2.1.4 Phương trình vi phân (dạng mạnh) dạng yếu Bằng cách phương trình (2-11), (2-12), (2-3) (2-7) vào phương trình (2-2) (2-6) ta có hệ phương trình vi phân: E −cijkl uk ,lj − ekijφ, kj = fi v s eikl uk ,li − ε ik φ, ki = Cho Ω ⊂ R n miền Lipschitz với biên ∂Ω chứa điều kiện biên học tĩnh điện Chúng ta xét toán giá ị biên tr tìm nghiệm ui φ miền Ω thõa mãn E −cijkl uk ,lj − ekijφ, kj = fi v s eikl uk ,li − ε ik φ, ki = = φ |Γv = Ei ni |Γ q (2-13) (2-14) ; ui |Γ φ= uid e u = ; Tij n j |Γσ fi s Với f i v ∈ ( L2 (Ω)) n cho trước Chúng ta nhân (2-13) ới hàm véc tơ kiểm tra v vi ∈ ( H ) (Ω)(vi = on Γ u ) (2-14) với hàm vô hướng kiểm tra ψ ∈ H1 (Ω)(ψ = on Γ v ) thuộc không gian hàm kiểm tra sử dụng công thức biến đổi Green miền Ω , thu E − ∫ cijkl uk ,lj vi d Ω − ∫ ekijφ, kj= ∫ f i v vi d Ω vi d Ω (2-15) Ω Ω ∫e ikl Ω Ω uk ,liψ d Ω − ∫ ε φ, kiψ d Ω = s ik Ω (2-16) Sử dụng tích phân phần, thành phần thứ phương trình (2-15) trở thành : E − ∫ cijkl uk ,l vi , j d Ω + ∫c E ijkl Ω Ω uk ,l vi n j d Γ ∂Ω (2-17) ∂Ω Tương tự, sử dụng tích phân phần , thành phần thứ phương trình (2-15), thành phần thứ hai phương trình (2-16) trở thành : − ∫ ekijφ, k vi , j d Ω + ∫ ekijφ, k vi n j d Γ (2-18) − ∫ eikl uk ,lψ ,i + Ω ∫e ikl s − ∫ ε ik φ, kψ ,i d Ω + Ω vk ,lψ ni d Γ ∂Ω ∫ε s ik φ, kψ ni d Γ ∂Ω (2-19) (2-20) Thay phương trình (2-17), (2-18), (2-19) (2-20) vào (2-15), (2-16) ta thu ∫c E ijkl uk ,l vi , j d Ω − Ω ∫c E ijkl uk ,l vi n j d Γ ∂Ω + ∫ ekijφ, k vi , j d Ω − Ω − ∫ eikl uk ,lψ ,i + Ω ∫e kij njdΓ φ, k vi= ∂Ω ∫e ikl ∫ f i v vi d Ω (2-21) Ω vk ,lψ ni d Γ ∂Ω s + ∫ ε ik φ, kψ ,i d Ω − Ω ∫ε s ik (2-22) φ, kψ ni d Γ = ∂Ω Các song tuyến tính giới thiệu dạng sau ∫c a (u , v ) = uk ,l vi , j d Ω ,∀v ∈ ( H1 (Ω)) (2-23) φ, k vi , j d Ω , ∀v ∈ ( H1 (Ω)) (2-24) uk ,lψ ,i d Ω , ∀ψ ∈ H1 (Ω) (2-25) φ, kψ ,i d Ω , ∀ψ ∈ H1 (Ω) (2-26) E ijkl Ω ∫e = b(φ , v ) kij Ω ∫e = b(u ,ψ ) ikl Ω ∫ε c (φ ,ψ ) = s ik Ω Và đặt = f v,v ∫ f i v vi d Ω (2-27) Ω ∫ = f ,v s Γσ f i s vi d Γ (2-28) ∂Ωσ q ,ψ = s ∫ q sψ d Γ (2-29) ∂Ω q Chú ý phương trình (2-18) (2-19) ekijφ, k vi n j d Γ =0 vi = Γ u ∫ ∂Ω ∫e ikl vk ,lψ ni d Γ =0 ψ = Γ v ∂Ω phương trình (2-23),(2-24),(2-25),(2-26),(2-27),(2-28) (2-29) vào phương ình (2-21) (2-22) đưc tr ợ phương ì tr nh ạng yếu (bài tốn biến phân), d tìm cho u ∈ (H ) , φ ∈ H a (u , v ) + b(φ , v ) = f v,v + ∀v ∈ ( H ) Γu (Ω) f s,v (2-30) b(u ,ψ ) − c (φ ,ψ ) = q s ,ψ (2-31) ∀ψ ∈ ( H ) Γv (Ω) Với H1 Γ u (Ω) := 0; 0;Γ v H = (Ω) : {v ∈ H (Ω), {ψ ∈ H (Ω), } =0} v |Γu =0 ψ |Γ v 2.2 Phương phán phần tử hữu hạn 2.2.1 Rời rạc phần tử hữu hạn Cho (Vh ) n ột không gian hữu hạn chiều, m (Vh ) n = {H1 (Ω)}n với số chiều n (n =1,2,3) , cho n {N1 , , N np } sở cho (Vh ) n N I ∈ (Vh ) bất uh ∈ (Vh ) n , φh ∈ (Vh ) mô ả kỳ np uh = ∑N miền I =1 I d I φh = rời rạc np ∑N Ω= I =1 ne I φI với np tổng số nút e  Ωi với i =1 t e Ωi  Ω e = , Φ j h = max{đường kính phần tử} Ta phát biểu dạng rời rạc dạng yếu toán (2-30) (2-31) sau: Tìm uh ∈ (Vh ) n φh ∈ (Vh ) cho a (uh , vh ) + b(φh , vh ) = f v , vh + f s , vh (2-32) ∀vh ∈ Vh ,0;Γu b(uh ,ψ h ) − c (φh ,ψ h ) = q s ,ψ h (2-33) ∀ψ h ∈ Vh ,0;Γv Với (Vh 0,Γu ) = (Vh ) ;Vh = Γ u } {vh ∈ on Vh 0,Γv = h ∈ Vh ;ψ h = on Γ v } { ψ Định lý Lax-Milgram mở rộng khẳng định tốn liên hợp điện có nghiệm mục 2.2.2 kết luận nghiệm xấp xỉ hội tụ mạnh nghiệm xác từ đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm xác 2.2.2 Đánh giá sai số phần tử hữu hạn Cho (u , φ ) nghiệm xác tốn gốc từ phương trình (2-13) (2-14) Nếu Ω miền đa giác lồi ệm uh ∈ (Vh ) n φh ∈ Vh nghi phần tử hữu hạn sử dụng nội suy b ậc k liên tục thỏa mãn phát biểu rời rạc yếu, phương trnh (2-32) (2-33), lúc ồnt số ì C1 , C2 , C3 , C4 không phục thuộc vào u , φ k thỏa mãn u − uh φ − φh ới w H1 L2 ≤ C1h k +1 u L2 ≤ C3 h k +1 φ u − uh H k +1 H k +1 V H1 ≤ C2 h k u φ − φh H1 ≤ C4 h k φ H k +1 H k +1 (∫ (∫ =w2 + ( D1 w) d Ω)1/ ; w H K +1 =( D k +1 w) d Ω)1/ Ω Ω Từ phương trình trên, có thơng tinảo đảm b ớc w L2 w H tiến tới kích thư phần tử h tiến tiến tới đạo hàm bậc ( k + 1) nghiệm xác (u , φ ) biên Ω Thêm nữa, lượng h phương trình cho thấy tốc độ hội tụ nghiệm phần tử hữu hạn chuẩn tương ứng 2.2.3 Dạng ma trận dạng yếu FEM Bài toán tĩnh điện tuyến tính, từ phương trình (2-11) (2-12) phương trình có dạng  T  c E  D =    e −eT   S    ε S  E  (2-34) Mối quan hệ biến dạng với chuyể n vị , điện trường với điện biểu diễn ˆ (2-36) E = −∇φ (2-35) S = ∇u Để thu nghiệm xấp xỉ toán áp điện, xấp xỉ phần tử hữu hạn diễn tả 0   N I ( x) np  N I ( x) d I ; φ (x) = ∑ N I (x)φI ∑=I   I  N I ( x)    np u ( x) (2-37) Vì véc tơ ứng suất chuyển vị điện chỉnh sửa thành dạng    T  c E −eT   S  (2-53)   =  D  e ε S  E  2.3.2 Các ma trận độ cứng trơn cho toán áp điện Bây giới thiệu cách đơn giản để tính tốn ma trận trơn ES-FEM Bằng cách phương trình (2-37) vào phương trình (2-48)-(2-50), trường biến dạng trơn trường điện trơn miền Ω( k ) chia sẻ cạnh k viết dạng ma trận biến theo nút A( k ) ∫ ˆ ( x) d Ω ∇u=  E = − (k ) A ∫ ∇φ ( x ) d Ω = −  = S Ω( k ) Ω( k ) ∑  (k BuI )(x k )d I (2-54) ( I ∈N n k ) ∑ ( BφkI ) (x k )φI (2-55) ( I ∈N n k ) Với N n( k ) nút phần tử chia sẻ cạnh i ( N n( k ) =3 cho cạnh biên N n( k ) = cho cạnh bên trong) hình 2-1  (k ( ầ BuI )(x k ) , BφkI ) (x k ) thành phn ma trận biến dạng trơn điện trường trơn miền trơn Ω( k ) Với tốn ứng suất phẳng biến dạng phẳng tính tốn b ằng trình lắp ráp tương tự FEM  (k BuI ) (x k ) = ( k ) A ( Ne k ) 1  (k ) ∑ Aej Buj , Bφ I (xk ) = A( k ) j =1 ( Ne k ) ∑ A Bφ j =1 e j j (2-56) Với Buj , Bφ j ma trận gradient biến dạng phần tử thứ jth kề cạnh k phần tử tam giác sử dụng hàm dạng tuyến tính Chú ý ma trận phương trình (2-56) xây dựng trực tiếp từ diện tích ma trận biến dạng tương thích thơng thường FEM sử dụng phần tử tam giác Tuy nhiên, công thức thuận tiện cho xấp xỉ biến dạng ma trận tương thích số toán phần tử tam giác nút cho 2D phần tử tứ diện nút cho toán 3D Vì ậy, để thu cách tổng qt có v thể làm tốt cho phần tử bậc cao như tứ giác nút hay phần tử tam giác nút, trư biến dạng trơn trường điện trơn nên ờng tính dọc theo biên miền trơn (trong phương trình (2-50)&(2-51)) sau 11  = S ( = nuk ) u(x)d Γ A( k ) ∫Γ( k )  E = − (k ) A ∫ Ω( k ) ∑  (k BuI )(x k )d I (2-57) ( I ∈N n k ) ∇φ ( x ) d Ω = − ∑ ( Bφk ) (x k )φI (2-58) ( I ∈N n k ) (  (k Với BuI ) BφkI ) tính theo cơng thức  (k BuI ) (  ( k ) N I ( x ) nxk ) d Γ   ∫Γ   N I (x)n (yk ) d Γ  ∫Γ( k )  A( k )   (k ) ( N I ( x ) n y d Γ ∫ ( k ) N I ( x ) nxk ) d Γ    Γ  ∫Γ( k )  (k )   ∫Γ( k ) N I (x)nx d Γ  ( BφkI ) = ( k )  A  ( k ) N I (x)n (yk ) d Γ   ∫Γ  (2-59) (2-60) Tiếp theo, giả sử biên Γ ( k ) miền trơn bất ( kỳ Ω( k ) tổng đoạn biên Γbk ) , Γ ( k ) = nb Γ (k ) b , với nb b=1 tổng số đoạn biên Γ ( k ) Khi trư ờng chuyển vị tương thích tuyến tính dọc theo biên Γ ( k ) sử dụng, điểm Gaussian ( đủ để tính tích phân đường xác dọc đoạn biên Γbk ) Γ ( k ) Vì phương trình đơn giản hóa dạng đại số  (k BuI )= ( k ) A G (  N I ( x G ) nxk ) ( x b )  b   N I (xG )n (yk ) (xG )  lb( k ) ∑ b b b =1 G G (  N I (xG )n (yk ) (xG ) N I (xb )nxk ) (xb )  b b   nb    ∫Γ( k ) N I nx d Γ  ( BφkI =) = (k ) A( k )  N I ny d Γ  A  ∫Γ( k )  ( G  N I ( x G ) nxk ) ( x b )  ( k ) b l (k ) G G  b b =1  I ( x b ) n y ( x b )   (2-61) nb ∑ N  (2-62) ( Với xG lb( k ) trung m (điểm Gauss) độ dài Γbk ) , ể b theo thứ tự Phương trình (2-61) & (2-62) giá trị hàm dạng điểm riêng biệt dọc đoạn biên u cầu Hệ phương trình tuyến tính thu  k uu T k uφ   k uφ  xu   F  =      k φφ   xφ  Q   Với 12 (2-63)  ku = u  k uφ =  ∑ ∫ (B ) k ∈N e Ω( k ) (k ) u  ∑ ∫ (B ) k ∈N e Ω( k )  k φφ = − ∑ ∫ k ∈N e Ω( k ) T (k ) u T k ∈N e (k ) ( ( ( eT Bφk ) d Ω = ∑ Buk ) k ∈N e  (B ) φ ( ( ( c E Buk ) d Ω = ∑ Buk ) T ( ) T ) ( eT Bφk ) A( k ) ( ( ε S Bφk ) d Ω = − ∑ Bφk ) k ∈N e ( c E Buk ) A( k ) T ) T ( ε S Bφk ) A( k ) (2-64) (2-65) (2-66) Các phương trình (2-64)-(2-66) cho cách đơn giản để tính ma trận độ chứng miền trơn liên kết với cạnh phần tử Cuối cùng, ý hàm thử u(x), φ(x) tương tự cho phương trình (2-37), véc tơ lực F, Q ES-FEM tính tương tự cách tính FEM Nói khác, ES-FEM thay đổi ma trận độ cứng so với FEM Chương : Kết mô số Trong chương có thí d số: gồm tốn mục ụ 3.1, 3.2, 3.3 giải chương t rình FEM tự viết Thí dụ số thứ mục 3.4 toán thiết bị áp điện có dạng hình học phức tạp tính phần mềm COMSOL Phần cuối thí dụ số với chương trình ES-FEM tự viết, k so ết sánh với báo, nhằm chứng minh ES-FEM giải pháp hiệu để giải toán liên hợp điện 3.1 Động siêu âm truyền sóng thẳng Giới thiệu tốn Trong tốn này, phát tri n chương trình phần tử ể hữu hạn có khả mơ hoạt động mơ hình chi u ề stator Mục đích minh chứng chuyển động elip điểm bề mặt stator Mơ hình ngun lý hoạt động động được trình bày hình 3-11 Kết phân tích chương trình matlab sử dụng FEM Chúng ta tạo lưới hình 3-14 Lưới có 658 bậc tự do; 578 phần tử; 329 nút 13 Hình 3-11 Hoạt động động Hình 3-14 lưới stator Sau giải tốn ta vẽ quỹ tích, đáp ứng điểm bề mặt stator: Tại điểm (nút 29 có mũi tên hình 3-14): Hình 3-18 đáp ứng & chuyển động elip điểm Nhận xét Kết phân tích elip tương đồng với báo Peter L Levin, khẳng định chương trình xây dựng 3.2 Dầm Bimorph PVDF Giới thiệu tốn Bài tốn tìm kết số chương trình FEM tự viết để so sánh với thí nghiệm mục 4.2 Vị trí điện cực, kích thước chi tiết khác đư trìn h bày ợc mục 3.2 luận án Hình ạng dầm xem d Hình 3-20 dầm PVDF bimorph hình 3-20 Table 3-4 điều kiện biên dầm kết số (V) 10(V) 15(V) 20(V) 25(V) Potential φ (µm) (µm) (µm) (µm) (µm) Results Simulation results 45.1 88.43 134.02 178.1 223.2 14 Nhận xét: Trong kết mô số, ứng xử dầm PVDF bimorph với dự đốn Tính đắng chương trình s ẽ khẳng định so sánh với kết thực nghiệm chương 3.3 Khối PZT hình trụ Thí dụ sử dụng chương trình Matlab tự viết dựa FEM để mơ khối vật liệu áp điện PZT hìn h trụ hình 4-16, phận thiết bị khuyếch đại PZT thí dụ số 3.1.4 thí nghiệm mục 4.3 (hình 4-19) , kết tính tốn chương tr đư ợc so sánh với kết phân tích phần ình mềm Comsol Các chi tiết cụ thể khác toán trình bày mục 3.3 luận án Kết mô số Bảng 3-6 so sánh kết chương trình tự viết COMSOL Potentials 10V 50V 100V 150V 200V 250V COMSOL 0.5779 2.89 5.779 8.669 11,56 14.45 Code 0.57 2.85 5.700 8.56 11.41 14.26 Error % 1.367019 1.384083 1.367019 1.257354 1.297578 1.314879 Để thuận tiện mơ ¼ khối trụ PZT, với lưới khoảng 155 nút 248 phần tử h -26 ình Kết mơ chương trình t ự viết phần mềm Comsol với chuỗi giá trị điện đầu vào 10v, 50v, … 200v , ta thu kết Hình 3-26 Lưới với 155 nút 248 phần tử bảng 3-6 Nhận xét Kết chương trình tự viết phần mềm COMSOL tương đương Vậy chương trình tính tốn xây dựng 3.4 Khuyếch đại áp điện PZT Thí dụ mơ thiết bị có biên dạng phức tạp phần mềm COMSOL dựa FEM Các kết số so sánh với thực nghiệm mục 4.3 Lưới mơ hình chia 38.793 bậc tự ( hình 3-31) Các thơng tin chi tiết khác thí dụ trình bày mục 3.4 luận án 15 Điều kiện biên Có loại điều kiện biên trình bày mục 3.4 luận án Giá trị điền kiện biên điện φ k mô ết cập nhật bảng 3-7 Điện φ Kết Kết 40 (V) (µm) 80(V) (µm) 120(V) (µm) 160(V) (µm) 0.299 0.599 0.898 1.198 Bảng 3-7 kết mơ COMSOL Với điều kiện biên điện 160 v, có kết chuyển vị hình 3-33 Nhận xét Kết mơ phần mềm COMSOL có ứng xử định tính dự đốn Kết định lượng mơ minh chứng so sánh kết mơ với kết thí nghiệm mục 4.3 Hình 3-31 mơ hình lưới 3D Hình 3-33 kết chuyển vị với 38.793 bậc tự áp điện 160 volt 3.5 Bài toán miếng dán kiểm tra phần tử phẳng Thí dụ sử dụng tốn chuẩn miếng dán (path test) biết trước kết để kiểm tra phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng kỹ thuật lảm trơn dựa cạnh (ES-FEM) Hình 3-35 Patch test áp điện -Biên dạng hình học lưới : xét tốn path-test hình dạng chữ nhật kích thước 0,24 × 0,12 lưới hình 3-35 16 Dữ liệu nhập, điều kiện biên thơng tin khác trình bày chi tiết mục 3.6 -Kết tính tốn chương trình : kết số nút với u5 , v5 , φ5 trình bày bảng 3-9 Bảng 3-9 kết patch test điểm 5(0.3;0.06) Results Nghiệm Exact ES-T3 u5 v5 φ5 2.376547556249814e-006 -1.818789953339896e-007 -1.066703050081747e-009 2.37654755624964e-006 -1.8187899533398e-007 -1.0667030500817e-009 -Nhận xét Các kết chứng tỏ phần tử tam giác phẳng ES-T3 ESFEM tương đồng với nghiệm xác tham khảo 3.6 Dải áp điện lớp Để chứng minh hiệu phương pháp số ES-FEM tìm biến dạng trượt dải áp điện trình bày hình 3-36 Các chi ti t v ề điều kiện biên,các thông tin khác ế trình bày mục 3.6 luận án -Nghiệm giải tích tham khảo: Tất điểm đoạn thẳng trung hòa (y=0) thõa mãn d15V x x  u =0 x, v =0 + s33σ y, φ = −  s13σ V0 1 h L  Hình 3-36 Dải áp điện điều kiện biên lực, điện (3-1) Hình 3-37 chuyển vị ngang u đoạn trung hòa (y = 0) 17 Hình3-39 kết điện φ đoạn trung hịa (y = 0) Hình 3-38 chuyển vị dọc v đoạn trung hòa (y = 0) -Kết chương trình nhận xét: giá trị đoạn thẳng trung hịa (y=0) trình bày hình 337, 3-38 3-39 kết chương trình tính toán sử dụng phần tử ES-T3 tương đồng với nghiệm xác 3.7 Màng Cook Như bày hình 3-40, liên quan đến kết cấu bảng hình nêm bị biến dạng uốn lực đặt đỉnh, mục đích tốn xác định tốc độ hội tụ phương pháp ES -FEM chương trình tính tốn tự viết Các chi tiết khác xem mục 3.7 luận án -Điều kiện biên học: tương tự màng Cook thông thường lực F=1 đặt đỉnh Điều kiện biên điện không (0V) cạnh -Nhận xét: Với kết tốc độ hội tụ chuyển vị đứng, điện điểm A hình 3-41 Hình3-42 Chúng ta khẳng định phần tử EST3 phương pháp ES-FEM có kết mơ tốt phần tử T3 Q4 FEM Hình 3-40 màng Cook 18 Hình 3-41 hội tụ giá trị chuyển vị đứng điểm A Hình 3-42 hội tụ giá trị điện điểm A 3.8 Thiết bị MEMs Mục tiêu tốn tìm góc xoay tia phản xạ thiết bị MEMs (MicroElectroMechanical systems) Thiết bị mơ tả hình 3-43 Các thơng tin chi ti khác trình bày mục ết 3.8 luận án Góc xoay gương tính với nhiều giá trị điện nhiều phương pháp khác trình bày hình 345 Hình 3-45 kết góc lệch gương phương pháp 19 -Nhận xét: từ thơng tin hình 3-45 đến kết luận phương pháp ES-FEM có kết tốt FEM Hình 3-43 thiết bị Bimorph MEMs Chương Thí nghiệm Chúng ta th thí nghiệm cho loại vật liệu áp điện ực PZT PVDF Nhằm đối chứng với kết mô 4.1 Các thiết bị thí nghiệm Chi tiết thiết bị trình bày mục 4.1 luận án 4.2 Thí nghiệm dầm bimorph vật liệu áp điện PVDF Thí nghiệm thiết kế, chế tạo dầm PVDF (hình 4-9) thiết kế lắp rắp hệ thống đo thí nghiệm chuyển vị khơng tiếp xúc kính hiển vi Hình 4-9 dầm bimorph vật liệu PVDF 4.2.1 Đo chuyển vị dầm PVDF bimorph Hệ thống đo lắp ghép hình 4-14 Gồm Pin 1,5 V , máy khuyếch đại điện thế, đồng hồ điện thế, kính hiển vi, dầm PVDF bimorph, Các chi tiết khác cơng tác đo đạc thí nghiệm trình bày mục 4.2.2 luận án Hình 4-14 thí nghiệm 20 Bảng 4-2 so sánh kết thí nghiệm mơ số Điện Kết Thí nghiệm Mơ Độ lệch Sai số (%) (V) (µm) 50.9 45.1 5.8 11.394 10(V) (µm) 99.5 88.43 11.07 11.125 15(V) (µm) 150.4 134.02 16.38 10.890 20(V) (µm) 199.5 178.1 21.4 10.726 25(V) (µm) 249.8 223.2 26.6 10.648 4.2.2 Nhận xét kết thí nghiệm PVDF bimorph Bảng 4-2 so sánh kết thí nghiệm mơ số từ mục 3.2, có k luận : kết thí nghiệm mơ ết tương đồng với nhau, độ lệch khơng lớn, độ xác tăng tăng điện từ 5V lên 25V Lớp keo dán thí nghiệm ngun nhân gây sai số 4.3 Thí nghiệm khuyếch đại PZT Thí nghiệm thiết kế, chế tạo mẫu thiết bị khuyếch đại chuyển vị áp điện PZT thiết kế lắp ráp hệ thống đo thí nghiệm với phương pháp đo chuyển vị không tiếp xúc hệ thống lade Các thông tin chi tiết khác phương pháp chế tạo, kích thước, nguyên lý hoạt động, chuỗi kết nối thiết bị thí nghiệm, bước đo trình bày mục 4.3 luận án 4.3.1 Chế tạo mẫu khuyếch đại áp điện Khuyếch đại áp điện PZT lắp ráp từ chi tiết khối trụ áp điện, điện cực đồng hình 4-16, hình 4-18 Thiết bị sau chế tạo hoàn thiện chụp hình 4-19 Hình 4-16 vật liệu PZT Hình 4-18 Điện cực đồng 4.3.2 Đo hoạt động thiết bị khuyếch đại áp điện PZT Trên hình 4-21 trình bày xếp tất thiết bị đo thí nghiệm bàn chống rung 21 Hình 4-19 Mẫu thiết bị khuyếch Hình 4-21 Sự xếp hệ đại áp điện PZT thống thí nghiệm 4.3.3 Nhận xét kết thí nghiệm Dựa liệu trình bày bảng 4-4 đồ thị chuyển vị hình 4-22 có nhận xét sau: -Kết mơ thí nghiệm có tương đồng, độ lệch thí nghiệm mơ khơng lớn -Đội xác tăng tăng điện áp tăng từ 40V đến 160V -Sự giao động phòng thí nghiệm ngun nhân gây sai số thí nghiệm mơ Potential φ (V) 40 (V) (µm) 120(V) (µm) 160(V) (µm) 0.264 0.299 0.035 11.705 Results Experimental results Simulation results Deviation Error (%) 80(V) (µm) 0.541 0.599 0.058 9.682 0.848 0.898 0.05 5.567 1.14 1.198 0.058 4.841 Bảng 4-4 so sánh thí nghiệm mơ số từ mục 3.4 1.4 1.2 Simulation results 0.8 0.6 0.4 Experimental results 0.2 40V 80V 120v 160v Hình 4-22 chuyển vị thí nghiệm mô 22 23 Chương : Kết Luận Nhìn tổng quan luận án, chương trình bày kiến thức tảng liên quan đến hiệu ứng áp điện Mơ hình tốn h ọc phương pháp ố FEM ES -FEM thể h iện s chương Ngoài ra, kt mô số kết ế thực nghiệm trình bày chương chương 4, có ự so sánh kết mơ số kết thí s nghiệm Phần kết luận này, s nêu kết đạt ẽ luận án đề xuất hướng nghiên cứu Các đóng góp luận án mang ý nghĩa khoa học Thông qua việc thực mơ hình hóa tốn học, áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tự phát triển chương trình tính tốn kết hợp với thực nghiệm chế tạo đo đạc, nghiên cứu có đóng góp phương diện toán học, tin học thực nghiệm Các thành cụ thể kể đến như: -Về mặt lý thuyết, luận án hệ thống kiến thức áp điện, để dựa thực mơ hình hóa tốn học tốn cách chặt chẽ Trong có xây dựng hệ phương trình vi phân, thiết lập tốn biến phân, áp dụng định lý Lax-Milgram mở rộng cho toán liên hợp trường điện, phát biểu toán xấp xỉ phần tử hữu hạn không gian Sobolev đánh giá sai số tốc độ hội tụ tốn chuẩn Cả q trình đóng góp luận án, chuẩn bị chu đáo tảng lý thuyết chặt chẽ để giải tốn liên hợp điện -Ngồi luận án cịn sử dụng ES-FEM để giải bài tốn liên hợp điện cách hiệu Kết nghiên cứu khẳng định báo quốc tế [8] -Với việc áp dụng lý thuyết để thực thành cơng thí dụ số khẳng định thành nghiên cứu luận án mặt khối lượng chất lượng.Trong có thí dụ số biên dạng phức tạp dùng phần mềm COMSOL Cịn lại thí d số khác sử dụng chương trình tự viết ụ Matlab, chương trình sử dụng FEM chương trình sử 23 24 dụng ES-FEM Các kết số minh chứng tính đắng lý thuyết -Trong cơng tác thí nghiệm , thí nghiệm thực thành công v việc thiết kế chế tạo mẫu thí nghiệm ới cơng nghệ cao (cad cam cnc, điện hóa, quang hóa) thiết kế lắp ráp hệ thống đo chuyển vị không tiếp xúc thiết bị quang học lade với độ phân giải đến 10 nano mét Đây kết đóng góp trực quan sinh động luận án thực hóa lý thuyết mơ thực nghiệm -Điểm đặc sắc luận án so sánh kết mơ máy tính với liệu đo thực nghiệm Từ so sánh kết luận trình xây d ựng lý thuyết mơ hình tốn , lập trình mơ máy tính q trình có kết Sự mơ máy tính định lượng tương đối xác kết tốn liên hợp điện Dẫn đến việc dựa vào kết mô để thiết kế cách hợp lý, tiết kiệm chi phí thử nghiệm phát tri n ể thiết bị áp điện -Các kết nghiên cứu luận án góp phần mở ngành thiết kết chế tạo thiết bị áp điện Giúp nội địa hóa giảm nhập siêu, phục vụ đắc lực cho nhu cầu phát triển ứng dụng áp điện dân cơng nghiệp quốc phịng Kiến nghị nghiên cứu Các đề xuất nghiên cứu gồm phần: -Về mặt lý thuyết, phát triển nghiên cứu tiếp cho mơ hình hóa tốn học tốn đa mơi trường vật lý Ngồi ra, mở rộng áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn hóa vào mơ hình 3D vật liệu áp điện -Với thực nghiệm, để kết xác vào sản xuất thương mại cần phải làm nhiều việc như: sử dụng công nghệ chế tạo vi mạch, cắt vật liệu, tìm keo dán thích hợp, hút chân không dán keo, lắp ráp chi tiết thiết bị nhỏ kích thước micromét robot -Hiện sản phẩm áp điện có tiềm thương mại hóa giá tr gia tăng cao th trường Biochip, MEMs, ị ị Nanopositioning,Ultrasonicdevice…đó phát triển 24 Danh mục cơng trình công bố [1] Nguyen Tran Chan (2005), finite element analysis of piezoelectric phenomena, Master thesis, University of Liege [2] Ngô Thành Phong, Nguyễn Trần Chân Modification of the finite element method for piezoelectric material Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol.29, No.3 (2007) [3] Le Dinh Tuan, Ngo Thanh Phong, Nguyen Tran Chan Governing equations of electromecanical systems of piezoelectricity 2007, International Conference on Engineering Research Ho Chi Minh, Viet Nam [4] Ngo Thanh Phong, Nguyen Tran Chan, Nguyen Xuan Hung The finite element method with smoothing technique for piezoelectric material, Hội nghị học toàn quốc lần thứ 8, Hà Nội 12/2007 [5] Nguyen Tran Chan, Ngo Thanh Phong, Le Dinh Tuan Finite element analysis of traveling ware ultrasonic motor, Hội nghị khoa học toàn quốc kỹ thuật tự động hóa, Hà Nội tháng 10 năm 2006 [6] Nguyễn Trần Chân, Lê Đ ình Tn, Ngơ Thành Phong Tốn phần tử hữu hạn cho vật liệu thơng minh piezo , Đại hội tốn học tồn quốc lần thứ Quy Nhơn tháng năm 2008 [7] Nguyen-Thoi T, Liu GR, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Tran C (2009) Adaptive analysis using the node-based smoothed finite element method (NS-FEM) International Journal for numerical method in Biomedical Engineering, 16 July 2009.DOI:10.1002./cnm.1291 Volume 27, Issue 2, pages 198– 218, February 2011.Wiley InterScience [8] Nguyen-Xuan H, Liu GR, Nguyen-Thoi T, Nguyen-Tran C (2009) An edge–based smoothed finite element method (ESFEM) for analysis of two–dimensional piezoelectric structures Smart Materials and Structures; 18:065015 (12pp) Volume 18 Number IOP ... bày hình 1-4 , 1-5 luận án Chương :Mơ hình tốn học & phương pháp số 2.1 Mơ hình tốn học tượng áp điện Hiện tượng áp điện kết tương tác liên hợp trường điện Từ quan điểm tốn học, tn theo phương. .. tiến Một vài nghiên cứu có áp dụng phương pháp ố cải tiến theo hướng sử dụng phương pháp s không lưới (the meshless methods) Với phương pháp này, có ưu điểm xây dựng lưới việc áp dụng vào tính... đại áp điện Khuyếch đại áp điện PZT lắp ráp từ chi tiết khối trụ áp điện, điện cực đồng hình 4-16, hình 4-18 Thiết bị sau chế tạo hồn thiện chụp hình 4-19 Hình 4-16 vật liệu PZT Hình 4-18 Điện