BẠN ĐỌC TÌM TỊI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTM Kiều Đình Minh (Gv.THPT.Thanh Ba, Phú Thọ) ĐT: 0989.848.965 Hiện có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức hay hiệu Trong trình làm tốn tác giả bắt gặp phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà theo tác giả lạ Tác giả tạm gọi phương pháp PTM ( viết tắt : Perpendicular Tetrahedron Method ), nghĩa Phương pháp Tứ diện vuông Xin giới thiệu bạn đọc I NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức đại số có ba biến a, b, c > Khi ta làm sau: +) Dựng Tứ diện OABC vuông O có OA = a , OB = b , OC = c Gọi A, B, C ba góc tam giác ABC , AB + AC − BC a + b + a + c − b − c cos A = = = AB AC (a + b)(a + c) sin A = − co s A = ab + bc + ca ⇒ tan A = (a + b)(a + c) a (a + b)(a + c ) ab + bc + ca a Tương tự có cos B = cos C = b (b + a )(b + c) c (c + a )(c + b) ; sin B = ab + bc + ca ; (b + a )(b + c) tan B = ab + bc + ca b ; sin C = ab + bc + ca ; (c + a )(c + b) tan C = ab + bc + ca c +) Đưa bất đẳng thức đại số cho bất đẳng thức lượng tam giác, chứng minh bất đẳng thức lượng giác Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh * Chú ý: Tam giác ABC tam giác nhọn II CÁC THÍ DỤ Thí dụ1 Cho a, b, c > : ab + bc + ca = (a + b)(b + c)(c + a) Chứng minh a a+b + b b+c + c c+a ≤ 3 (*) Lời giải Từ giả thiết a, b, c > : ab + bc + ca = (a + b)(b + c)(c + a) ta biến đổi (*) sau (*) ⇔ ⇔ a ab + bc + ca a + b ( a + b)(b + c )(c + a) a (a + b)(a + c) + b ab + bc + ca b + c (a + b)(b + c)(c + a ) ab + bc + ca b + (b + a )(b + c) (b + a )(b + c) + c ab + bc + ca c + a (a + b)(b + c )(c + a) ab + bc + ca c + (c + b)(c + a ) (c + a )(c + b) ≤ 3 ab + bc + ca 3 ≤ (**) (a + b)(a + c) Dựng Tứ diện OABC vng O có OA = a , OB = b , OC = c Gọi A, B, C ba góc tam giác ABC (tam giác ABC nhọn), cos A = AB + AC − BC a + b + a + c − b − c = = AB AC (a + b)(a + c) a ( a + b)(a + c) ⇒ sin A = − cos A = ab + bc + ca (a + b)(a + c ) Tương tự có cos B = b (b + a )(b + c) sin B = ab + bc + ca (b + a )(b + c) c cos C = (c + a )(c + b) sin C = ab + bc + ca (c + a)(c + b) Khi (**) trở thành sin A cos C + sin C cos B + sin B cos A ≤ π 3 (* * *) 3 f ( x) = sin x + sin x ≤ Thật π π 3 f ′( x) = cos x + cos x, f ′( x) = (cos x + 1)(2 cos x − 1) ≥ ⇔ < x ≤ ⇒ f ( x ) ≤ f ( ) = 3 Đặt P = sin A cos C + sin C cos B + sin B cos A Giả sử A = min{ A; B; C} Khi xảy hai trường Nhận xét với 0< x< hợp sau π +) A ≤ B ≤ C Thế (sin C − sin B)(cos B − cos A) ≤ < B < 2 3 π +) A ≤ C ≤ B Thế (sin A − sin C )(cos C − cos B) ≤ < C < 3 Suy P ≤ sin A cos B + sin B cos A + sin C cos C = sin C + sin 2C ≤ (* * *) chứng minh chứng tỏ (**) chứng minh Vậy bất đẳng thức (*) Suy P ≤ sin A cos C + sin C cos A + sin BcosB = sin B + sin B ≤ chứng minh xong.■ Thí dụ 2: Cho hai bất đẳng thức (Iran MO - 1996) Với số thực dương a, b, c , ta có 1 + + 2 (b + c) (c + a ) ( a + b) ( ab + bc + ca ) ≥ (I ) (Hojoo Lee) Với tam giác nhọn ABC , ta có 2 sin A sin B sin B sin C sin C sin A (H ) + + ≥ sin C sin A sin B Chứng minh hai bất đẳng thức tương đương Lời giải Dựng Tứ diện OABC vng O có OA = a , OB = b , OC = c Khi ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca + + ≥ ⇔ ( I ) □ ( a + b) (b + c) (c + a ) Về chứng minh (I ) (H ) bạn tìm thấy trong: Vd.3.2.5 tr.238 Sáng tạo bđt (H ) ⇔ Phạm Kim Hùng, Vd.5.7 tr.120 Một số phương pháp chứng minh bđt Ngô Thế Phiệt, Vd 3.3.tr.94 Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng Nguyễn Văn Mậu chủ biên Tác giả tự hỏi bất đẳng thức có trước? phải Hojoo Lee từ bất đẳng thức Iran MO - 1996 để suy bất đẳng thức hay ngược lại? Các tác giả có theo đường khơng? Nếu nhìn tưởng cần áp dụng định lý Sin tam giác ổn Nhưng lầm a, b, c bị ràng buộc điều kiện cạnh tam giác không từ (H ) suy (I ) Tuy nhiên từ (H ) lại suy bất đẳng thức đẹp tác giả Trần Nam Dũng a 2b b c c a + + ≥ 9R (Theo Mathlinks.ro) c2 a b III.MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC Bây xét toán ngược, tức xây dựng bất đẳng thức Từ số bất đẳng thức tam giác ; cos A + ( cos B + cos C ) ≤ 2; cos A + cos B + cos C ≤ 1 1 1 cos A + 6( cos B + cos C ) ≤ 3; + + ≥ 6; + + ≥ 12 2 cos A cos B cos C cos A cos B cos C cos A + cos B + cos C ≤ 1 3 3 + + ≥ 12; sin A + sin B + sin C ≤ ; sin A sin B sin C ≤ 2 2 cos A cos B cos C 1 sin A + sin B + sin C ≤ ; + + ≥ 3; tan A + tanB + tanC ≥ 3 sin A sin B sin C tan A + tan B + tan C ≥ Ta suy số bất đẳng thức đại số sau Với số thực dương a, b, c a (a + b)(a + c) a (a + b)(a + c) 2a ( a + b)(a + c ) + + + b (b + a )(b + c ) 2b (b + a )(b + c ) b (b + a )(b + c) + + + c (c + a)(c + b) 2c (c + a)(c + b) c (c + a )(c + b) ≤ ≤2 ≤ 3a (a + b)(a + c) + 6b (b + a )(b + c ) 6c + (c + a)(c + b) ≤5 (a + b)(a + c) (b + a )(b + c ) (c + a)(c + b) + + ≥6 a b c (a + b)(a + c ) (b + a )(b + c) (c + a )(c + b) + + ≥ 12 a2 b2 c2 1 3 + + ≤ (a + b)(a + c) (b + a )(b + c ) (c + a)(c + b) ab + bc + ca ab + bc + ca 3 ≤ (a + b)(b + c)(c + a ) 8(ab + bc + ca) 1 + + ≤ (a + b)(a + c ) (b + a )(b + c) (c + a)(c + b) 4(ab + bc + ca) (a + b)(a + c) + (b + a )(b + c ) + (c + a)(c + b) ≥ 3(ab + bc + ca) 1 + + ≥ a b c 3 ab + bc + ca ; 1 + + ≥ ab + bc + ca a b c Bình luận: *) Trong thí dụ khéo léo đưa bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức lượng giác Điểm mấu chốt chứng minh bất đẳng thức PTM đưa bất đẳng thức đại số cho dạng lượng giác, cơng việc cịn lại chứng minh bất đẳng thức lượng giác Vì cần phải tinh tế để nhận bất đẳng thức lượng giác Việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác thực nhiều cách khác như: Biến đổi lượng giác, xét hàm , vectơ sử dụng bất đẳng thức đại số *) Nếu bất đẳng thức có thêm điều kiện ràng buộc ta thu bất đẳng thức đẹp, chẳng hạn Cho a, b, c > : ab + bc + ca = a + b + c ≤ a +1 b +1 c +1 1 + + ≤ a +1 b +1 c +1 Cho a, b, c > : a + b + c = abc 1 + + ≤ 1+ a2 1+ b2 1+ c2 2 2 (Korea MO - 1998) *) Từ bất đẳng thức tam giác bạn suy nhiều bất đẳng thức khác hay khó Hy vọng bạn thấy đẹp phương pháp PTM ! Rất mong trao đổi bạn đọc để PTM hoàn chỉnh Niềm vui sống không ngừng sáng tạo! ... C = sin C + sin 2C ≤ (* * *) chứng minh chứng tỏ (**) chứng minh Vậy bất đẳng thức (*) Suy P ≤ sin A cos C + sin C cos A + sin BcosB = sin B + sin B ≤ chứng minh xong.■ Thí dụ 2: Cho hai bất đẳng... bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức lượng giác Điểm mấu chốt chứng minh bất đẳng thức PTM đưa bất đẳng thức đại số cho dạng lượng giác, cơng việc cịn lại chứng minh bất đẳng thức lượng... minh hai bất đẳng thức tương đương Lời giải Dựng Tứ diện OABC vng O có OA = a , OB = b , OC = c Khi ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca + + ≥ ⇔ ( I ) □ ( a + b) (b + c) (c + a ) Về chứng minh