skkn tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức

Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 Lý chọn đề tài: Ban chấp hành Trung ương 8, khóa XI ban hành nghị “đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo” Nâng cao chất lượng toàn diện, trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, lực kỹ thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời Hưởng ứng tinh thần đó, năm gần Bộ giáo dục đào tạo tổ chức thi giải toán qua mạng hay gọi violympic toán cho học sinh phổ thông Tham gia thi, em học sinh có hội trải nghiệm với toán hấp dẫn, thú vị, sát với chương trình đào tạo, phù hợp với kiến thức khối lớp Nội dung thi gồm có dạng thi bản: Bài thi xếp, Bài thi Tìm cặp nhau, Bài thi Hoàn thành phép tính, Bài thi Khỉ thông thái, Bài thi Vượt chướng ngại vật, Bài thi Đi tìm kho báu, Bài thi Cóc vàng tài ba, Bài thi Đỉnh núi trí tuệ, Bài thi Điền vào chỗ trống Đặc biệt toán tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức hữu thi Trong chương trình Toán cấp tính giá trị lớn nhỏ biểu thức dạng toán khó toán violympic hạn chế mặt thời gian nên gặp toán tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức học sinh lúng túng không tìm cách giải hay mắc sai lầm giải Để khắc phục tồn dạy cho học sinh, giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức sách giáo khoa kiến thức mở rộng, hình thành phương pháp giải cách kịp thời Với toán cần học sinh nhận dạng phát cách giải tìm cách giải phù hợp nhất, nhanh Qua dạng tổng quát cách giải hướng dẫn học sinh đặt đề toán tương tự, từ khắc sâu cách làm cho học sinh Nếu biết phân dạng, chọn ví dụ tiêu biểu, hình thành đường lối tư cho học sinh tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu nâng cao hiệu giáo dục Với lí nên thân xin mạnh dạn đưa đề tài “TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC” I.2 Mục đích nghiên cứu: Phương pháp giải toán “Tính giá trị lớn nhỏ biểu thức” với mục đích định hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải dạng có chứa dấu giá trị tuyệt đối; phân thức đại số; bậc hai; biểu thức đại số thỏa mãn điều kiện cho trước Ngoài đưa cho học sinh phương pháp phân tích toán cách nhanh chóng, đọc quy luật giải nhanh nhất, hợp lí Nội dung đề tài góp phần nâng cao kiến thức, tư toán học, khả phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với bài, đối tượng học sinh Chia sẻ đồng nghiệp dạng toán có tính quy luật Bản thân tự rèn luyện bồi dưỡng chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm Trang bị cho học sinh đường hướng “Tính giá trị lớn nhỏ biểu thức” từ dạng tổng quát đến toán cụ thể, từ toán sang toán dạng tương tự I.3 Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh lớp 6,7,8,9 trung bình khá, khá, giỏi trường THCS Phú Xuân I.4 Phạm vi nghiên cứu: Đề tài xây dựng, nghiên cứu triển khai chương trình môn toán cấp THCS I.5 Phương pháp nghiên cứu: Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Phương pháp đọc tài liệu: Đây phương pháp chủ yếu suốt trình nghiên cứu đề tài Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua số năm giảng dạy, kiểm tra, đánh giá bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán văn hóa, thi toán máy tính cầm tay, thi toán qua mạng internet II PHẦN NỘI DUNG II.1 Cơ sở lý luận để thực đề tài: Trong chương trình sách giáo khoa người học đáp ứng yêu cầu đưa ra, đối tượng học sinh vùng sâu vùng xa, địa phương có điều kiện kinh tế khó khăn nói chung học sinh trường THCS Phú Xuân nói riêng thêm vào học sinh phải học nhiều môn phải đáp ứng yêu cầu kiến thức cho môn học Môn toán môn khoa học đòi hỏi học sinh phải có khả hệ thống kiến thức, tư sáng tạo Với đơn vị kiến thức cụ thể em giải vấn đề khó cách nhanh chóng hiệu mà đòi hỏi học sinh phải liên hệ, phối hợp nhiều mảng kiến thức khác giải toán Bên cạnh giáo viên người đóng vai trò định hướng giúp em xây dựng toán tổng quát, từ tạo nên điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt kiến thức liên quan sau II.2 Thực trạng: a Thuận lợi, khó khăn: * Thuận lợi: Trong năm gần đây, quan tâm Đảng, Nhà nước ngành Giáo dục Đội ngũ giảng viên nói chung, giáo viên môn Toán nói riêng chuẩn hóa chuyên môn, nghiệp vụ, đáp ứng nhu cầu giảng dạy môn toán nhà trường phổ thông Ban giám hiệu nhà trường quan tâm, động viên tạo điều kiện để thân có hội tham gia chuyên đề, tham gia bồi dưỡng nhằm tích lũy kinh nghiệm giảng dạy giáo dục *Khó khăn: Tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh nhiều hạn chế Chưa đảm bảo chất lượng mặt nội dung Học sinh bị dàn trải nhiều môn, nên thời gian đầu tư cho môn Toán hạn chế Dẫn đến số học sinh đam mê môn Toán Với nhiều học sinh có tư tưởng xem môn Toán môn học nặng nề khó, độc lập không liên kết với nhiều môn học khác b Thành công, hạn chế: * Thành công: Với nội dung đề tài áp dụng vào thực tiễn, thấy học sinh giải toán nhanh hiệu Thông qua phát nhiều em có tư tốt lĩnh vực toán học, em tự tổng quát hóa toán xử lí nhiều toán có dạng tương tự Đề tài áp dụng cho khối lớp THCS * Hạn chế: Mỗi toán đưa cách giải phù hợp để xây dựng toán tổng quát, chưa xây dựng nhiều cách giải c Mặt mạnh – mặt yếu đề tài: * Mặt mạnh: Đề tài xây dựng bối cảnh toàn ngành hưởng ứng thực đổi toàn diện giáo dục nên việc thay đổi phương pháp dạy học, cải tiến phương pháp giảng dạy để đạt kết nâng cao chất lượng giáo dục Đặc biệt đề tài xây dựng phương pháp “Tính giá trị lớn Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức nhỏ biểu thức”để em chủ động lĩnh hội kiến thức theo lực hướng dẫn giáo viên mà phân cấp trình độ nhận thức học sinh đa dạng * Mặt yếu: Đối với giáo viên kinh nghiệm, xử lý tình sư phạm giảng dạy chưa thật linh hoạt việc áp dụng đề tài gặp khó khăn d Nguyên nhân, yếu tố tác động: Do thân hầu hết em học sinh nhiều hạn chế thực hành “Tính giá trị lớn nhỏ biểu thức”, thụ động việc tiếp thu kiến thức mới, không tự tìm tòi, kiến thức, dựa gợi ý, ví dụ, dẫn đến việc em làm toán gần mò mẫm, sở cách giải, điều dẫn đến kết học tâp thấp Sau em định hướng giải toán trở nên đơn giản, dễ dàng mang lại hiệu giáo dục cao Nên tạo cho em thái độ hứng thú định.Bài toán có liên quan đến nhiều đơn vị kiến thức số học đại số, nên giúp em liên thông nhiều đơn vị kiến thức khác Tạo cho em hệ thống kiến thức vững vàng e Phân tích đánh giá vấn đề thực trạng mà đề tài đặt ra: Ở trường THCS “Tính giá trị lớn nhỏ biểu thức” nội dung kiến thức mà học sinh học với thời lượng không nhiều chương trình đại số, lại ứng dụng rộng rãi xuyên suốt chương trình học tập em, học sinh thường xuyên phải sử dụng đến kĩ việc xây dựng số nội dung kiến thức sau việc giải toán Các phương pháp nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kĩ xảo “Tính giá trị lớn nhỏ biểu thức” Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức Việc hướng dẫn học sinh tìm phương pháp “Tính giá trị lớn nhỏ biểu thức” phù hợp với dạng toán vấn đề quan trọng, phải tích cực quan tâm thường xuyên, không giúp em nắm lý thuyết mà phải tạo cho em có phương pháp học tập cho thân, rèn luyện cho em khả thực hành Nếu làm điều chắn kết học tập em đạt mong muốn II Giải pháp – biện pháp: a Mục tiêu giải pháp – biện pháp: Việc thực với kiến thức toán học nói chung dạng toán “Tính nhanh giá trị lớn nhỏ biểu thức” nói riêng phụ thuộc vào nhiều yếu tố như: Hệ thống hóa chương trình giảng dạy phù hợp với trình độ thực tiễn học sinh Chọn lọc số phưng pháp giảng dạy “Tính nhanh giá trị lớn nhỏ biểu thức” Công tác soạn bài, thiết kế giảng, tìm hiểu nắm vững nội dung kiến thức theo mục tiêu, phương pháp dạy học, phương tiện dạy học, nắm vững đối tượng học sinh… Do đó, để tổ chức dạy có hiệu cho nhiều đối tượng học sinh đáp ứng đủ yêu cầu nội dung kiến thức giáo viên với vai trò người chủ đạo hướng dẫn cần thực có hiệu số kiến thức bậc hai b Nội dung cách thức thực giải pháp: Dạng I:Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1) Phương pháp: -Sử dụng bất đẳng thức k  A  x   k k  A  x   k Dấu “=” xảy  A(x)  Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức -Sử dụng bất đẳng thức : a  b  a  b  a  b CM: 2 Ta có: a  b  a  b   a  b    a  b   a2  ab  b2  a2  2ab  b2   ab  ab (*) (*) nên ta có đpcm Dấu “=” xảy  ab  Chứng minh tương tự ta a  b  a  b Dấu “=” xảy  ab  2) Ví dụ: Bài 1: a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức b) Tìm giá trị lớn biểu thức Giải: a) Amin    3x   x  b) Qmax  7   0,25.x   x  12 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x2 4 Giải: 1  Pmax   x    x  4 Bài 3: Giá trị lớn biểu thức y   2x   x Giải: y   2x   x   2x   2x   2x   2x  14 Ta có: x     P   ymax  14 Bài 4: Cho y = x  2008  x  2009 Tìm giá trị nhỏ y Giải: y = x  2008  x  2009  x  2008  2009  x  x  2008  2009  x  Dấu “=” xảy  (x  2008)(2009  x)   2008  x  2009  ymin   2008  x  2009 3) Bài tập: 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức  Pmin  5 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức  Mmin  86 3) Tìm giá trị lớn biểu thức  Qmax  19,5 4) Tìm giá trị lớn biểu thức A   2,5.x   Amax  5)Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x   x   Pmin    x  6) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  25x2  20x   25x2  30x  (Bài vòng 16 lớp năm 2014) Giải: Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức 5x  22  5x  32  5x   5x   5x    5x  5x    5x  A Dấu “=” xảy  (5x  2)(3  5x)    x  5  Amin  7) Tìm giá trị nhỏ hàm số 5  ymin    x  Dạng II: Các toán mà biểu thức đa thức 1.Dạng đa thức biến: a) Phương pháp: -Sử dụng bất đẳng thức A2m  A2m  k  k ( với m * ,k số) -Biến đổi đưa dần đẳng thức (a  b)2 (a  b)2 -Nếu đa thức có dạng f ( x)  ax2  bx  c ta biến đổi sau:  c b b2 c b2   b f ( x)  ax  bx  c  a  x  x    a  x  x     a a 2a 4a a 4a    b  4ac  b2   a x    4a  2a  4ac  b2 4ac  b2 Nếu a  f  x    GTNN f  x   4a 4a 4ac  b 4ac  b2 Nếu a  f  x    GTLN f  x   4a 4a b b Dấu “=” xảy  x    x   2a 2a b) Ví dụ: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2  x 1 Giải: 1 A  x2  x   ( x  )2   Amin   0, 25 4 Bài 2:Giá trị lớn hàm số y = x2  4x  Giải: y   x2  4x     x  2  ymax  Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A   x2  x   x  2 x  4 (Bài vòng 18 lớp năm 2013) Giải: A   x2  2x   x  2 x  4   x2  2x  x  2x  8        x2  2x  x2  2x 16 16  x2  2x  16  16  Amin  16 c) Bài tập: 1)Hàm số y = 2x2 12x  21đạt giá trị nhỏ x = 2)Giá trị lớn hàm số y = 3x2  6mx 1 3m2 1 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức 3)Tìm x để biểu thức B   x 1 x  2 x  3 x  6 đạt giá trị nhỏ (Bài vòng 16 lớp năm 2012) Giải:   B  ( x 1)( x  6)( x  2)( x  3)  ( x2  5x  6)( x2  5x  6)  x2  5x  36  36  Bmin  36  x  x  5 2.Dạng đa thức nhiều biến: a) Phương pháp: -Sử dụng bất đẳng thức A2m  B2n   A2m  B2n   k  k ( với m, n,  *, k số) -Biến đổi đưa dần đẳng thức (a  b)2 (a  b)2 b)Ví dụ: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x2  xy  y2  3(x  y)  2001 (Bài vòng 16 lớp năm 2014) Giải: Ta có: 2P  2x2  2xy  y2  6( x  y)  4002 =  ( x2  y2   2xy  4x  y)  ( x2  2x 1)  ( y2  y 1)  3996  ( x  y  2)2  (x 1)2  ( y 1)2  3996  3996 3996 P  1998 Vậy: Pmin  1998  x  y  Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x2  y2  2xy  6x  y  25 (Bài vòng 16 lớp năm 2014) Giải: Ta có: P  x2  y2  2xy  6x  y  25  ( x2  y2   2xy  6x  y)  ( y2  y 1) 15  (x  y  3)2  ( y 1)2 15  15 x  y   x  Vậy: Pmin  15     y 1   y  1 Bài 3: Tìm giá trị lớn biểu thức P  x   x (Bài vòng 19 lớp năm 2014) Giải: Đặt t   x (t  0)  t   x  x   t  2   2 9  Khi đó: P   t  t    t  t       t        t    4       Vậy: Pmax   t   x  4 c) Bài tập: 1)Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x2  y2  2xy  6x  y 13 (Bài vòng 17 lớp năm 2013) Giải: Pmin  2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  4a2  4b2  4ab 12a 12b 12 (Bài vòng 15 lớp năm 2012) Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Giải: Pmin   a  b  3) Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x2  3y2  2xy 10x 14 y 18 (Bài vòng 15 lớp năm 2012) Giải: P   ( x  y  5)2  2( y 1)2   Pmax   x  y  1 4) Tìm x để biểu thức A  x  2013  x đạt giá trị lớn (Bài vòng 19 lớp năm 2013) Giải: Amax  2013,25  x  2012,75 5)Tìm giá trị lớn biểu thức A   a  a (a  3) (Bài vòng 16 lớp năm 2014) 13 11 Giải: Amax   a  4 Dạng III : Các toán mà biểu thức phân thức 1) Phương pháp: k a) Nếu đa thức có dạng f  x  (với k số) thì: (Điều kiện: k A(x) > 0) A x  f  x min  A x max f  x max  A x min A x  b) Nếu đa thức có dạng f  x   với  B( x)  0 ta đưa f  x  dạng sau: B  x P  x    P  x  - f  x  k    ( k số)  f  x min  k f  x max  k   Q  x    Q  x   P  x   [P( x)]2 - f  x  k  ( k số)  f  x min  k f  x max  k   Q x Q  x   ax2  bx  c c) Nếu đa thức có dạng f  x  ta đưa dạng: dx  ex  f  a  d f ( x) x2  b  e f (x) x  c  f  x   (1) Sau ta sử dụng điều kiện để (1) có nghiệm    0 để suy GTNN GTLN f  x  2) Ví dụ: x 9 x  x 1 Bài 1: Cho P = Tìm giá trị nhỏ   P x 5 x  x  3 x Giải: x 9 x  x 1 x 1 P= =   x 5 x  x  3 x x 3 x 3 4 1    1    max  x  x  P x 1 x 1  P min x 1 1        P 12  x  x Bài 2:Tìm giá trị lớn Q = (với x  ) x 4 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Giải: 12  x  x Q=   x  Qmax   x  x 4 x4 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ P = (với x  0; x  ) x 2 Giải: x  ( x  2)( x  2) P=   x   Pmin   x  x 2 x 2 3x( x  4) Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  (Bài vòng 18 lớp năm 2013) x 9 Giải: 2 3x( x  4) 3x2 12x (4x 12x  9)   x  9  2x  3 P    1  1 x 9 x 9 x2  x 9  Pmin  1  2x    x  x2  x  Bài 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức y  x  x 1 Giải: x2  x  Gọi y0 giá trị y Khi tồn giá trị x để y0  x  x 1  ( y0 1) x  ( y0 1) x  y0 1  (*)  y0 1   y0   x   Nếu y0  để tồn y0 (*) phải có    y02 10 y0     y0  3 Vậy: ymin   x  ymax   x  1 3) Bài tập: x x 4 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q    x 1 x 1 x 1 (Bài vòng 19 lớp năm 2014) Giải: ĐKXĐ: x  x  x x 4 x 1 Q     1  1  1 (do x 1  1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  Qmin  1  x  2x2  x  23 2) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A  x  2x  10  Amax   x  Amin   x  4 2 x2  x  3) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức B  x2  Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Bmin  1  x   2 Dạng IV: Các toán mà biểu thức thức 1) Phương pháp: Khi đa thức có dạng f  x  A x  Bmax   x   A  x   0 : Nếu A x   [B(x)]2  k f  x min  k  B( x)  (k  0) Nếu A x   k  [B(x)]2 f  x max  k  B( x)  (k  0) 2)Ví dụ: Bài 1: Cho P =  2x  x2 Tìm giá trị lớn P Giải: P =  2x  x2 = ( x2  x  3)   ( x  1)2  Pmax    x 1   x  Bài 2:Cho Q = x2  4x 13 Tìm giá trị nhỏ Q Giải: Q = x2  4x 13 = ( x  2)2   Qmin    x    x  2 3) Bài tập: 1)Tìm giá trị lớn y =  ymax   x   2x  x2 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức y  x2  6x  13  ymin   x  3) Tìm giá trị lớn biểu thức y   x2  2x   ymax   x  4) Tìm giá trị nhỏ biểu thức y  x2  x  17  ymin   x  5) Tìm x để P  4x2  2x  2014 đạt giá trị nhỏ (Bài vòng 18 lớp năm 2014) x Dạng V: Bất đẳng thức Cô-si: 1) Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: a b Với a  0, b  ta có  ab Đẳng thức xảy a  b CM: Ta có:  a b   a, b  a b  ab (đpcm) Dấu “=” xảy  a  b   a  b  a  ab  b   a  b  ab  Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức *Tổng quát: Với n số không âm a1, a2 , , an ta có: a1  a2   an n  a1a2 an n Dấu “=” xảy  a1  a2   an Hệ quả: -Nếu hai số dương thay đổi có tổng không đổi tích chúng lớn hai số - Nếu hai số dương thay đổi có tích không đổi tổng chúng nhỏ hai số 2) Ví dụ: 180 Bài1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  5x  (với x  ) x 1 Giải: 180 36 36 = 5( x  A  5x  )  5( x 1 1) x 1 x 1 x 1 36  36   Amin  (x 1)  ( )  x 1   x2  2x  35  x 1 min x 1   x1  7; x2  5 (loại) 36  Amin  5(7 1 1)  5.13  65 1 Cách 2:  180 36 36  36   = 5( x  A  5x  )  5( x 1 1)  2 ( x 1).   1  5(2.6 1)  65 x 1 x 1 x 1 x       Amin  65 8x4  19 x2  Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  ( với x  ) (Bài vòng 18 lớp năm x2 2012) Giải: 8x4  19x2  2 A  8x2  19   8x2   19 x x x 2   Amin   8x2    8x2   x2  x min x  1  Amin   2: 19  27 2 Bài 3: Với  x  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x    x Giải: P2  x    x  ( x  2).(4  x)   ( x  2).(4  x)  P2max  ( x  2).(4  x)max  x    x  x   P2max   Pmax   Bài 4: Cho a số thực Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a2  a2  (Bài vòng 18 lớp năm 2014) 10 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Vậy: Amin  24 Bài11:Cho số x, y, z  thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức C  1  (Bài yz xz vòng 19 lớp năm 2015) Giải:  1  x  y 3 z Ta có: C      (1) (do x  y  z  3)  z  y x  z xy z xy Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương x y ta được:  x  y  (3  z)2 (2) xy       xy (3  z)2   4  Từ (1) (2)  C  (3  z) z (3  z) z(3  z)  Cmin  z(3  z)max  z   z  z  16 3 Vậy: Cmin   x  y  z  x Bài 12:Tìm giá trị lớn biểu thức Q   1 x  2x2 (với 1  x  ) 2 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm 1 x  2x2 ta được:  x  x2  x  2x2  1.(1  x  2x2 )  2 x  x  2x Q     x2  2  Qmax   x  Bài 13: Cho số x, y thỏa mãn x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 10 A  2x  y   x y Giải: 10 3x y 10 3x y 10 A  2x  y     x  y           (do x  y  ) x y 2 x y x y Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: y 10 y 10 3x 3x  2  10  2  y y x x  A    10  18  Amin  18  x  y  3) Bài tập: Bài 1: a)Với  x  13 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x   13  x b) Tìm giá trị lớn biểu thức A = x    x (Bài vòng 15 lớp năm 2015) Giải: a) Pmax   x  b) Amax   x  14 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Bài 2: Cho Q = x x 3 2( x  3) x 3 Tìm giá trị nhỏ Q   x  x 3 x 1  x Giải: Q  x 1  =  2  x 1  Qmin  Bài 3: Cho P = 1 x  x Tìm giá trị lớn a để P  a x Giải: 1 x  x P= =  x 1  x x `  P 1 a 1 x 1  1  x x Bài 4:a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   (với x  ) x2 8x  b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  với x  x c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  (x  0) (Bài vòng 18 lớp năm 2012) 9x Giải: x2 x2  1  1  2.11  x2 x2  Pmin  b) Pmin   x  c) Pmin   x  3 a) P  Bài5:a) Cho số thực x thỏa mãn: 4  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  1  9 x x4 (Bài vòng 16 lớp năm 2014) 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M   (0  x 12) x 12  x Giải: 1 13   a) P   x x  (9  x)( x  4)  Pmin   x  13 b) Mmin   x  15 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức x6 y6 z6 với x, y, z  thỏa mãn   x3  y3 z3  y3 z3  x3 xy xy  yz yz  zx zx  Tìm giá trị nhỏ biểu thức B Giải: Đặt X  x3 ,Y  y3 , Z  z3 X2 Y2 Z2   Bài toán trở thành: Cho biểu thức B  với X ,Y, Z  thỏa mãn X Y Z Y Z  X XY  YZ  ZX  Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  Bmin  1   Bài 7:Cho biểu thức C  với x, y, z  thỏa mãn xyz  Tìm giá trị x ( y  z) y ( x  z ) z ( x  y) nhỏ biểu thức C (Bài vòng 19 lớp năm 2015) Bài6: Cho biểu thức B  Giải: 1 Đặt X  , Y  , Z  x y z X 3YZ Y XZ Z XY   1 Khi đó: C  XYZ  Y  Z X  Z X Y xyz X2 Y2 Z2 C    Y  Z X  Z X Y X  Y  Z 3 XYZ C    2  Cmin   x  y  z  Bài 8:Cho số a, b  thỏa 3a  5b  12 Tìm giá trị lớn biểu thức P  ab (Bài vòng 16 lớp năm 2014) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: 12  3a  5b  15ab 12  15ab   P  12  Pmax   a  b  5    Bài 9:Cho số dương a,b thỏa a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  1  1   (Bài  a  b  vòng 18 lớp năm 2015) Giải:    S  1  1     (do a  b  1) ab  a  b   Smin   a  b  16 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Bài10:Cho số a, b  thỏa mãn: a 2b   (1) Tìm giá trị lớn biểu thức P  a2b3 1 a 1 b (Bài vòng 19 lớp năm 2012) Giải: Từ (1)  b  2ab    b  ab  ab  33 a2b3 1  Pmax   a  b  27 1   Bài11: Cho hai số x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  1  1   x  y  Giải: 1   M  1  1    x   y  xy  Mmin   x  y  Bài12:Cho số dương x, y thỏa x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x3  y3 Giải: P  x3  y3  1 3xy (do x  y  ) 1  Pmin   x  y  Dạng VI: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: 1) Phương pháp:Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Với cặp số thực a,b x,y ta có: (ax  by)2   a2  b2  x2  y  (1) CM: (1)  a2 x2  2abxy  b2 y2  a2 x2  a2 y2  b2 x2  b2 y2  a2 y2  2abxy  b2 x2    ay  bx   (2) Vì (2) a, b, x, y  nên (1) a b Dấu “=” xảy  ay  bx   ay  bx   x y *Tổng quát: Cho dãy số a1, a2 , , an b1, b2 , , bn Khi ta có:  a1b1  a2b2   anbn 2  a12  a22   an2 b12  b22   bn2  Dấu “=” xảy  a a1 a2    n b1 b2 bn 2) Ví dụ: Bài 1:Giá trị lớn biểu thức A = x 1  y  với x  y  Giải: (1 x 1 1 y  2)2  (12 12 )( x 1  y  2)  2(x  y  3)  2(4  3)   Amax  Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z , biết năm 2014) Giải: x  y  z  (Bài vòng 17 lớp 17 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số 1;1;1; x ; y ; z ta được: (1 x  y  z )2  (12  12  12 )( x  y  z)  ( x  y  z )2  3( x  y  z)  12  3( x  y  z)  P  x y z   x  y  z x yz Vậy: Pmin      x  y  z 1 Bài 3:Cho hai số thực x,y thỏa mãn 36x2 16 y2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  y  2x  Giải: 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ;  ;4 y;6x ta được: 2  1 1  25 25  y  2x2   y  6x          16 y2  36x2         144 16 4 5  y  2x     y  2x  4  A  y  2x      4 Vậy: Amin  Bài 4: Tìm giá trị lớn biểu thức P   2x   x2  4x (với 1  x  ) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số 2;1; x  2;  x2  4x ta được:     2( x  2) 1  x2  4x    22 12  x2  4x    x2  4x  5.9  45      2x    x2  4x   P  2x    x2  4x 1  1  10  2  x2  4x  x  Vậy: Pmax  1   x  1  x  Bài 5: Cho số a, b  thỏa mãn: 2a  3b  6ab  168 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  4a2  9b2 (Bài vòng 19 lớp năm 2013) Giải: Ta có: 2a  3b  6ab  168  (2a 1)(3b 1)  169 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương 2a  3b  ta được:  2a  3b   169  (2a 1)(3b 1)       2a  3b  24 18 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số 1;1;2a;3b ta được: (1.2a  1.3b)2  12  12  4a2  9b2    4a2  9b2   P  4a  9b 2 2a  3b 242     288 2 b  Vậy: Pmin  288  a  Bài 6: Cho số a,b thỏa mãn phương trình x4  ax3  bx2  ax+1=0 (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  a2  b2 (Bài vòng 18 lớp năm 2015) Giải: Ta thấy x  không nghiệm (1) nên : a (1)  x2  ax  b    x x 1   x2   a  x    b  (2) x x  1 Đặt t  x  ( t  2)  x2   t  x x (2)  t   at  b   at  b   t Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số a; b; t;1 ta được:   a.t  b.12  a2  b2 t 1   t2   a  2  t     b2 t  2  A  a  b2 t 1 Ta lại có: t   t   A  Vậy: Amin  (2  4)2  1 5 3) Bài tập: Bài1:Tìm giá trị lớn biểu thức S  x   y  biết x  y  56  Smax  10 Bài2:Cho số a,b thỏa a2  b2 16  8a  6b (1).Tìm giá trị lớn biểu thức S  4a  3b (Bài vòng 15 lớp năm 2015) Giải: Từ (1)  (a  4)2   b  3  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : 4(a  4)  3(b  3)2  (42  32 ) (a  4)2  (b  3)2   25.9  225  4(a  4)  3(b  3) 15  S  4a  3b  40  Smax  40 Bài 3:Cho số a,b thỏa a2  b2  4a  2b  540 Tìm giá trị lớn biểu thức P  23a  4b  2013 (Bài vòng 19 lớp năm 2013)  Pmax  2608 19 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Dạng VII: Một số dạng toán khác 1) Phương pháp: Vận dụng nhiều phương pháp học 2) Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức y = sinx.cosx Giải: sin2 x  cos2 x  sin2 x.cos2 x   2sin x.cosx  sin x.cosx   ymax  Bài 2:Với 00  x  900 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  sin4 x  cos4 x Giải: Ta có: A  sin4 x  cos4 x  (sin2 x  cos2 x)2  2sin2 xcos2 x  1 2sin2 xcos2 x  s in x  cos2 x  Ta lại có: sin xcos x       1  A     Amin  2 0 Bài 3: Với  x  90 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = tanx +cotx Giải: sin x cos x sin x  cos2 x    A = tanx +cotx = cos x sin x sin x.cos x sin x.cos x  Amin  sin x.cos xmax  sin x.cos x   Amin  2 2x  Bài 4: Tìm số giá trị x  Z để T = >0 x 8  3 x Giải:ĐK: x   ; 8  x  2 x     x  x    x    T>0    x   2 x     x    x     Nếu x   8  x   x 2; 1;0;1;2  Nếu x   8  x   x 7; 6; 5; 4; 3 Có 10 giá trị nguyên x để T>0 Bài 5: Cho điểm A có hoành độ xA  m thuộc đồ thị hàm số (P) : y  x2 điểm B có tọa độ (3;0) Tìm m để độ dài AB nhỏ (Bài vòng 18 lớp năm 2014) Giải: Vì A(m; yA )  (P) : y  x2 nên yA  m2  A(m; m2 ) 2  AB  (xB  xA )2  ( yB  yA )2  (3  m)2  (0  m2 )2 (1) Ta lại có: (3  m)2  (0  m2 )2   6m  m2  m4  20 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức  (m4  2m2 1)  3(m2  2m 1)   (m2 1)2  3(m 1)2   (2) m2 1  m  1   m 1 Dấu “=” xảy   m  m 1  Từ (1) (2)  ABmin   m  a2  b2  ab   Bài 6: Cho số a,b thỏa mãn  a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  a2  ab  b2 (Bài vòng 18 lớp năm 2014) Giải: Ta có: a2  b2  ab    (a  b)2  ab    ab   (a  b)2  22   ab  (1) Ta lại có: a2  b2  (a  b)2  2ab  ab   2ab   ab  1  (2) Từ (1) (2)  A  a2  ab  b2  (a2  b2 )  ab  1  a  b  Vậy: Amin     a  b 1 ab  Bài 8: Cho số a,b thỏa mãn: x2 ( x2  y2  3)  ( y2  2)2  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A  x2  y2 (Bài vòng 16 lớp năm 2014) Giải: Ta có: x2 ( x2  y2  3)  ( y2  2)2   x4  2x2 y  3x2  y  y    ( x2  y )2  4( x2  y )    x2   ( x2  y 1)( x2  y  3)  2 2  x  y    x  y 1    2  x  y    x  y     x2  y    A  Vậy: Amin  Amax  Bài 9:Cho phương trình: x2  mx  m 1  (1) có nghiệm x1 , x2 Tìm giá trị lớn biểu thức 2x1x2  P (Bài vòng 15 lớp năm 2015) x1  x22  2( x1x2  1) Giải: PT có nghiệm     m2  4m    (m  2)2  (Đúng m  R ) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1  x2  m x1x2  m 1 2x1x2  2x1x2  2m  (m 1)2    1 1 Do đó: P  x1  x22  2( x1x2  1)  x1  x2 2  m2  m 2 Vậy: Pmax   m 1   m  Dạng VII: Các biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước 1) Phương pháp: Vận dụng nhiều phương pháp học 2) Ví dụ: 21 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Bài 1:Cho số x,y thỏa mãn 5x2  5xy  y2   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy (Bài x2 vòng 19 lớp năm 2015) Giải: Ta có: 5x2  5xy  y2   x 4   2  xy   4x2  4xy  y2    x2       2x  y    x     x  x   2 x  y   x  x      Vậy: Pmin       y  2   x  x   y  2 (m 1) x  y  m  1(1) Bài 2: Gọi ( x; y) nghiệm hệ  Tìm giá trị nhỏ biểu thức  x  (m 1) y  2(2) S  x  y (Bài vòng 17 lớp năm 2015) Giải: Từ (1)  y  (m 1)(x 1) (3) m2  m 1 y 2 m m 2 m 1 m 1 m  m    Do đó: S  x  y  m2 m m2 Thế (3) vào (2) ta x  Gọi S0 giá trị S Khi tồn giá trị m để S0  m2  m  m2  (S0 1)m2  m   (*)  S0 1   S0   m   Nếu S0  để tồn m (*) phải có    1 8(S0 1)   S0  Vậy: Smin m2  m      m  4 m2 Bài 3: Biết phương trình x2  ax 12  x2  bx   có nghiệm chung Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  a  b  (Bài vòng 19 lớp năm 2014) Giải: Giả sử x0 nghiệm chung phương trình cho 2  x  ax0  12  2 x0  2ax0  24  0(1)  Ta có:   x0  bx0   3x0  3bx0  21  0(2) Cộng (1) (2) vế theo vế: 5x02  (2a  3b) x0  45  (*) Để tồn x0 (*) phải có     2a  3b   900   2a  3b  30 Do đó: A  a  b   2a  3b   2a  3b   34 Vậy: Amin  34 22 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Bài 4: Cho x, y số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  y 1 x2  y  Giải: 2 Ta có:  x  1   y  2  x, y   x2  x   y  y    x2  y2   2x  y   2( x  y  1) x  y 1 x  y 1   Do đó: P  2 x  y  2( x  y  1) x  1  x 1  Vậy: Pmax     y   y  Bài 5: Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy2  y2 ( y2  x) 1 x2 y  y  x  Giải: xy  y ( y  x)  y4 1 1 P    2 x y  y  x   y  1 x  2 x  2 Bài 6: Cho số a,b thỏa mãn: 3a2  5ab  3b2  353 Tìm giá trị lớn biểu thức P  a2  b2 (Bài vòng 19 lớp năm 2012) Giải: Ta có: 5(a  b)2  a, b   5a2  10ab  5b2   Pmax   (6a2  10ab  6b2 )  (a2  b2 )   a2  b2  6a2  10ab  6b2  2(3a2  5ab  3b2 )  2.353  706 Vậy: Pmax  706 Bài 7: Cho y  x2  x 2x  x (với x  ) Tìm giá trị x để y đạt giá trị nhỏ 1 x  x 1 x Giải: y x x2  x 2x  x 1  x  x 1 x    1 x 1 x  x 1 x  x 1 x (2 x  1) x 1 1   x x  x     2 4  1 Dấu “=” xảy  x    x  1 Vậy: ymin    x  4 Bài 8: Cho x2 y  2xy  4x  y  Tìm giá trị lớn y Giải: Ta có: x2 y  2xy  4x  y   y( x2  2x 1)  4x 23 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức 4x ( x 1)2  ( x 1)2 ( x 1)2    1 ( x 1)2 ( x 1)2 ( x 1)2 Vậy: ymax   x 1   x  Bài 9: Biết hai nghiệm phương trình x2  2mx  m   (1) 24 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x1  x22  6x1x2 Giải: PT có nghiệm  '   m2  m   (Đúng m  R ) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1  x2  2m x1x2  m  24 24 24 24 24 Do đó: P       2 2 x1  x2  6x1x2  x1  x2   8x1x2 4m  8m 16 4(m 1) 12 12 Vậy: Pmax  2  m 1   m  Bài10: Cho x, y số dương thoả mãn x  y  xy Tìm giá trị nhỏ biểu x2  y2  2( x  y)  thức P  xy  Giải: Ta có: x  y  xy  x  y   x  y    x  y   y   x  y  x  y  4   x  y  (do x, y  ) x2  y2  2( x  y)  x2  y2  2xy   x  y      x  y 3 43  P xy  x  y 3 x  y 3 Vậy: Pmin   x  y  c Điều kiện thực giải pháp, biện pháp: Trong trình thực đề tài thân thấy để thực tốt công tác giảng dạy học sinh, trước hết giáo viên cần phải có trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững thuật toán, giải toán khó cách thành thạo Cần phải có phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích tò mò, động, sáng tạo, tích cực học sinh Trong trình giảng dạy cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích em phát huy tối đa khả trình học tập, ôn luyện Bên cạnh cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vượt qua khó khăn bước đầu học tập, có niềm tin vào khả d Mối quan hệ giải pháp, biện pháp: Để giúp em học tập môn Toán có kết tốt, có nhiều tài liệu sách báo đề cập tới Giáo viên không nắm kiến thức mà điều cần thiết phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu Qua cách giải toán rút phương pháp chung để giải dạng toán, sở tìm lời giải khác hay hơn, ngắn gọn Thông qua trình giảng dạy môn Toán nhiều năm liền, đồng thời qua trình kiểm tra đánh giá tiếp thu học sinh vận dụng kiến thức để “Tính giá trị lớn nhỏ biểu thức” Tôi nhận thấy học sinh vận dụng kiến thức toán học phần nhiều hạn chế thiếu sót.Do cần hướng dẫn giúp em có kỹ vận dụng phương pháp, từ phát triển khả tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh học nhằm nâng cao chất lượng học tập 24 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức Để giúp học sinh bớt khó khăn cảm thấy dễ dàng việc“Tính giá trị lớn nhỏ biểu thức”, thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ thực hành phần cẩn thận e Kết khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu: Trên đưa số giải pháp mà giảng dạy “Tính giá trị lớn nhỏ biểu thức” cho học sinh nghiên cứu áp dụng đạt kết khả quan Hầu hết học sinh nắm kiến thức trở nên yêu thích học phần Kết thu qua khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu: Trong trình triển khai thực đề tài “Tính giá trị lớn nhỏ biểu thức” trường THCS Phú Xuân đạt kết sau: + Nâng cao chất lượng giảng dạy mặt kiến thức lẫn kĩ + Có tác dụng lớn xây dựng hỗ trợ cho việc học tập kiến thức khác, phát huy tốt lực học tập em học sinh Đồng thời góp phần rèn luyện kỹ giải toán cho em Từ phát huy tính chủ động sáng tạo em học tập + Giúp cho em có kỹ nhanh nhẹn, xác, thực hứng thú học tâp môn Toán, biết chia sẻ khó khăn học tập Các em tự tin, mạnh dạn, hoạt bát, có hứng thú với hoạt động học tập Yêu thích học Toán + Trong thi học sinh giỏi Toán cấp, có nhiều em tự tin để đăng kí tham gia thi cấp đạt kết cao ( Trong năm liên tục, trường THCS Phú Xuân có HS giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh cấp Quốc gia) III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trên trình bày cách nhận dạng phương pháp “Tính giá trị lớn nhỏ biểu thức” Trước giải học sinh nhận xét thử biện pháp từ dễ đến khó tìm phương pháp phù hợp để giải Sau học sinh giải tập tương tự dạng, tự đặt thêm số tập để khắc sâu thêm phương pháp giải Tôi nghĩ với vấn đề toán học dạy theo dạng, sâu dạng tìm hướng tư duy, hướng giải phát triển toán, sau tập tổng hợp để học sinh biết phân dạng tìm cách giải thích hợp cho chắn học sinh nắm vững vấn đề tin Toán học niềm say mê với tất học sinh Đây vấn đề thiết thực không với riêng trường THCS Phú Xuân mà trường THCS Với kinh nghiệm hạn chế sâu nghiên cứu số giải pháp áp dụng thực tế trường Rất mong nhận quan tâm xây dựng đóng góp ý kiến đồng nghiệp để giúp hoàn thành tốt vai trò, nhiệm vụ Tôi xin chân thành cảm ơn! * Kiến nghị: Các SKKN GV sau Hội đồng khoa học cấp ghi nhận nên phổ biến rộng rãi toàn ngành để thực hiện, phải áp dụng vào thực tiễn sáng kiến thực có ý nghĩa Krông Năng, ngày 16 tháng 03 năm 2016 Người viết Trương Mỹ Trung 25 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức - TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa (các giải pháp xây dựng kiến thức sgk) Đề thi vòng violympic Bộ Giáo Dục 26 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC GIÁO DỤC Cấp sở ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… Cấp Huyện: ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… Cấp Tỉnh: ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… 27 Tính giá trị lớn – nhỏ biểu thức MỤC LỤC Trang I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 Lý chọn đề tài I.2 Mục đích nghiên cứu I.3 Đối tượng nghiên cứu I.4 Phạm vi nghiên cứu I.5 Phương pháp nghiên cứu II PHẦN NỘI DUNG II.1 Cơ sở lý luận II.2 Thực trạng II.3 Giải pháp, biện pháp III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ IV TÀI LIỆU THAM KHẢO V MỤC LỤC 28 [...]... giá trị nhỏ nhất của Q   x  2 x 3 x 1 3  x Giải: Q  x 1 9  2 =  2 9 2  4 x 1  Qmin  4 Bài 3: Cho P = 1 x  x Tìm giá trị lớn nhất của a để P  a x Giải: 1 1 x  x P= =  x 1  2 x x `  P 1 a 1 1 x 1  2 1  1 x x 2 Bài 4:a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   (với x  2 ) 2 x2 8x 2  2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  với x  0 x 4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của. .. 15 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức x6 y6 z6 với x, y, z  0 thỏa mãn   x3  y3 z3  y3 z3  x3 xy xy  yz yz  zx zx  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B Giải: Đặt X  x3 ,Y  y3 , Z  z3 X2 Y2 Z2   Bài toán trở thành: Cho biểu thức B  với X ,Y, Z  0 thỏa mãn X Y Z Y Z  X XY  YZ  ZX  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 1  Bmin  2 1 1 1  3  3 Bài 7:Cho biểu thức. .. đẳng thức Cô-si ta được: 5 y 10 5 y 10 3x 6 3x 6  2  10  2  6 và 2 y 2 y 2 x 2 x  A  2  6  10  18  Amin  18  x  y  2 3) Bài tập: Bài 1: a)Với 5  x  13 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  5  13  x b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x  2  6  x (Bài 2 vòng 15 lớp 9 năm 2015) Giải: a) Pmax  4  x  9 b) Amax  8  x  4 14 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức. ..   n b1 b2 bn 2) Ví dụ: Bài 1 :Giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 1  y  2 với x  y  4 Giải: (1 x 1 1 y  2)2  (12 12 )( x 1  y  2)  2(x  y  3)  2(4  3)  2  Amax  2 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  z , biết năm 2014) Giải: x  y  z  1 (Bài 3 vòng 17 lớp 9 17 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số 1;1;1;...  40 Bài 3:Cho 2 số a,b thỏa a2  b2  4a  2b  540 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  23a  4b  2013 (Bài 1 vòng 19 lớp 9 năm 2013)  Pmax  2608 19 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Dạng VII: Một số dạng toán khác 1) Phương pháp: Vận dụng một hoặc nhiều phương pháp đã học 2) Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = sinx.cosx Giải: 1 sin2 x  cos2 x  2 sin2 x.cos2... Smin  9  a  b  2 16 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Bài10:Cho 2 số a, b  0 thỏa mãn: a 2b   1 (1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  a2b3 1 a 1 b (Bài 2 vòng 19 lớp 9 năm 2012) Giải: Từ (1)  b  2ab  1  1  b  ab  ab  33 a2b3 1 1  Pmax   a  1 và b  27 3 1  1  Bài11: Cho hai số x  0, y  0 và x  y  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  1 2  1 2  ... dụng kiến thức để Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến thức toán học trong phần này còn nhiều hạn chế và thiếu sót.Do vậy cần hướng dẫn giúp các em có kỹ năng vận dụng phương pháp, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập 2 24 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Để... và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức , tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh một cách kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành phần này cẩn thận e Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu: Trên đây tôi đã đưa ra một số giải pháp mà khi giảng dạy Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức cho học sinh tôi đã nghiên cứu... ngày 16 tháng 03 năm 2016 Người viết Trương Mỹ Trung 25 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức - TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa (các giải pháp mới được xây dựng trên các kiến thức cơ bản ở sgk) Đề thi các vòng violympic của Bộ Giáo Dục 26 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC GIÁO DỤC Cấp cơ sở ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………….. .Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương 1 và a2 1 ta được: a2  2  1  (a2  1)  2 1.(a2  1)  2 a2  1 Do đó: P  a2  2 2 a2  1  2 a2  1 a2  1 Vậy: Pmin  2  a2 1  1  a  0 Bài5: Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  2 vòng 16 lớp 9 năm 2014) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho