Đang tải... (xem toàn văn)
Trong luận văn này chúng tôi đã giới thiệu và mở rộng một sô các kết quả về điểm bất động trên lớp các không gian Gmetric đã có trước đó và đưa ra các ví dụ minh họa đầy đủ cho sự mở rộng đó, các kết quả này vẫn có thể mở rộng hơn, các bạn muốn tìm tòi và nghiên cứu có thể tham khảo để viết luận văn Cao học
ụ ụ r ụ ụ ó ột số ị ý ể t ộ ố tr Gtr Gtr ột số ị ý ể t ộ ố tr Gtr í t P ột số ị ý ể t ộ ố tr Gtr ủ ột số ị ý ể t ộ ố tr Gtr ủ í t P tr Gtr ết ệ t ó ý tết ể t ộ ột tr ữ ứ q trọ ó ó ề ứ ụ tr t ọ ó ó ợ ề t ọ ứ t ợ ề ết q ết q q trọ t ề ý tết ể t ộ ý tr tr ủ ủ t ọ ó t ọ rộ ý ề ề ột tr ữ rộ t tế ề ệ tr ị ĩ tr từ ó t ợ rộ tr ó t ứ tồ t ể t ộ tr ệ tr ợ tệ r ữ s ủ tế ỷ trớ ệ Dtr ợ tệ r ọ r ột số ết q ề ể t ộ ủ tr st ù s ỉ r ữ ề ợ ý ề trú t ủ D tr ọ tệ ột trú ủ tr s rộ ọ Gtr ó t ọ tệ t trể ý tết ể t ộ ữ Gtr ệ ề ề ý tết ể t ộ ố tr Gtr t út tr ề t ọ tr ứ ó ữ ết q t ị ự tr Pt r r t Gtr ủ t st t st Pt st Gtr ủ t st t t ù t ệ t ủ t P r ú t tế ứ tự ệ ề t ột số ị ý ể t ộ ố tr Gtr ề t ú t trì ột ó ệ tố ết q ề tí t ủ Gtr rộ ột số ị ý ề ể t ộ tr Gtr ề ệ ố ụ ột số ị ý ể t ộ ố tr Gtr r ụ ệ tệ ột số ế tứ sở ệ trì ủ ụ ú t r ị ý ể t ộ ố tr ị ý Gtr ó 1.2.1 ị ý 1.2.4 í t P ột số ị ý ể t ộ ố tr Gtr ủ r ụ ú t trì tết ị ý 2.1.4 2.1.9 ị ý ể t ộ ố tr Gtr ủ ụ ú t ứ ị ý ỉ r r tỏ ị ý 2.1.4 ị ý 2.1.9 ó tí t P r ị ý ợ t t trờ ọ t tì ủ t P r tỏ ò ết s s t ế ị t t ủ ệ ủ ệ ọ qí tr tổ tí trờ ọ ú ỡ tr sốt q trì ọ t t ố ù ì q ệ ệt ọ ọ ó tí t rờ t ề ệ t ợ ú t t ệ ụ tr sốt q trì ọ t ù ó ề ố s tr ỏ ữ s sót rt ợ ữ ý ế ó ó ủ qí ọ ể ợ tệ t ột số ị ý ể t ộ ố tr R+ Gtr Gtr ị ĩ t X= G ợ ọ ột G tr tr X G:X ìX ìX ế ó tỏ ề ệ s G1 G(x, y, z) = ế x = y = z G2 < G(x, x, y) ọ x, y X x = y G3 G(x, x, y) G(x, y, z) ọ x, y, z X G4 G(x, y, z) = G(p{x, y, z}) tr ó p z = y ị ủ x, y, z tí t ố ứ G5 G(x, y, z) G(x, a, a) + G(a, y, z) ọ x, y, z, a X t tứ ì ữ t ợ X ù ột Gtr G tr ó ợ ọ Gtr í ụ s ể í ụ t ó ế , tr trờ ợ ò (X, G) ột Gtr í ụ X = ét G : X ì X ì X R+ (X, d) ột tr t tờ ét G : X ì X ì X R+ G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} ọ x, y, z X ó (X, G) ột Gtr t t ể tr G tỏ ề ệ ủ Gtr (G1 ) ì d(x, y), d(y, z), d(x, z) ề số tự ọ x, y, z X G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} ọ x, y, z X tứ r x = y = z (G2 ) G(x, x, y) = max{d(x, x), d(x, y), d(x, y)} = d(x, y) > ọ x, y X x = y (G3 ) G(x, x, y) = max{d(x, x), d(x, y), d(x, y)} = d(x, y) max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} = G(x, y, z) ọ x, y, z X z = y G4 ) í t ố ứ ể G5 ) ọ x, y, z, a X t ó G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} max{d(x, a) + d(a, y), d(y, z), d(x, a) + d(a, z) + d(a, a)} max{d(x, a), d(x, a), d(a, a)} + max{d(a, y), d(a, z), d(y, z)} = G(x, a, a) + G(a, y, z) í ụ (X, d) ột tr t tờ ét G : X ì X ì X R+ G(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z) ọ x, y, z X ó (X, G) ột Gtr ễ t ị ĩ ủ G tỏ ề ệ G1 G2 G3 G4 tr Gtr ể tr ề ệ G5 t ọ x, y, z, a X t ó G(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z) [d(x, a) + d(a, y) + d(y, z) + d(x, a) + d(a, z) + d(a, a)] = [d(x, a) + d(x, a) + d(a, a)] + [d(a, y) + d(y, z) + d(a, z)] = G(x, a, a) + G(a, y, z) (X, G) ột Gtr ị ĩ tr aX ế số x, y X ọ (X, G) f : (X, G) (X , G ) (X , G ) ó f G G tụ t ể > trớ tồ t ột số > s ọ G(a, x, y) < G tụ tr X t ó f ế ị ĩ ột ể tr lim G(x, xn , xm ) = n,m X G(f (a), f (x), f (y)) < f ợ G tụ t ọ ể a X (X, G) Gtr {xn } ó ĩ số {xn } Gộ >0 tụ tớ xX ế trớ tồ t ột số N N s G(x, xn , xm ) < ọ n, m N ú ó ể x ợ ọ ủ {xn } ết xn x lim xn = x ệ ề (X, G) Gtr ó ệ ề s t (i) {xn } Gộ tụ tớ x (ii) G(xn , xn , x) n (iii) G(xn , x, x) n ì {xn } Gộ tụ tớ x G(x, xm , xn ) ứ r n, m t G(xn , xn , x) = G(x, xn , xn ) G(x, xm , xn ) G(xn , xn , x) n, m ó G(xn , x, x) ì tế ế G(xn , xn , x) G(x, xn , xn )+G(xn , x, xn ) = 2G(xn , xn , x) n tì t ó G(xn , x, x) n t tứ G(xm , xn , x) G(xm , x, x)+G(x, xn , x) = G(xm , x, x) + G(xn , x, x) t s r ế G(xn , x, x) n tì G(xm , xn , x) n, m tứ ó ệ ề tr ó xX ỳ (X, G) (X , G ) f : (X, G) (X , G ) ế ỉ ế ó G G tụ t ể G tụ t t x ĩ t {xn } Gộ tụ tớ x tì {f (xn )} Gộ tụ tớ f (x) ứ sử Gộ tụ tớ x t ì f G tụ t ể ì {xn } {f (xn )} Gộ tụ tớ f (x) xX số >0 é tù ý G(x, y, z) < t {xn } Gộ tụ tớ x tồ t N N s G(x, xn , xm ) < ọ n, m N ó s r G(f (x), f (xn ), f (xm )) < tớ x X tụ t ể > s ọ y, z X G(f (x), f (y), f (z)) < ột số G t ứ r trớ tồ t số ó f ọ n, m N {f (xn )} Gộ tụ f (x) ợ sử r ế {xn } t ỳ Gộ tụ tớ x X t ó {f (xn )} Gộ tụ tớ f (x) f G tụ t ể x > s ỗ n N tồ t xn , yn X s G(x, xn , yn ) < G(f (x), f (xn ), f (yn )) tí t (G3 ) n 1 t ó G(x, xn , xn ) G(x, xn , yn ) < G(x, yn , yn ) G(x, xn , yn ) < n n ề é t G(x, xn , xn ) G(x, yn , yn ) n ó tồ t số tết t s r G(f (x), f (xn ), f (xn )) G(f (x), f (yn ), f (yn )) n ệ ề t s r G(f (x), f (x), f (xn )) G(f (x), f (x), f (yn )) n ì tế ệ ề t s r f ọ G(f (x), f (xn ), f (yn )) n ề t G tụ t ể x ị ĩ (X, G) Gtr {xn } Gs ế số > trớ tồ t ột số N N s G(xm , xn , xl ) < ọ n, m, l N ĩ G(xm , xn , xl ) n, m, l ệ ề (X, G) Gtr ó ệ ề s t (i) {xn } Gs (ii) ọ > tồ t ột số N N s G(xn , xm , xm ) < ọ n, m N ì {xn } Gs số > trớ ứ tồ t ột số N N s G(xm , xn , xl ) < ọ n, m, l N t G(xn , xm , xm ) < G(xm , xn , xl ) ọ m = l G(xn , xm , xm ) < ọ n, m N ề ệ G5 ) tr ị ĩ Gtr t ết q G(xm , xn , xl ) < G(xm , xn , xn ) + G(xn , xn , xl ) ó ế G(xm , xn , xn ) < ọ n, m N tì ọ n, m, l N t ó G(xm , xn , xl ) < {xn } Gs ỗ ị ĩ x0 X (X, G) r > Gì t x0 Gtr í ó r ợ ị tứ BG (x0 , r) = {y X : G(x0 , y, y) < r} ọ tt Gì t t ột sở t (G) tr X ọ (G) t Gtr ị ĩ Gtr (X, G) ọ Gtr ố ứ ế G(x, y, y) = G(y, x, x) ọ x, y X ệ ề ỗ ột tr (X, dG ) Gtr (X, G) ề ị tr dG ị tứ dG (x, y) = G(x, y, y) + G(y, x, x) ọ x, y X ế (X, G) Gtr ố ứ tì dG (x, y) = 2G(x, y, y) ọ x, y X ế x, y X (X, G) ố ứ tì tí t ủ Gtr t ó G(x, y, y) dG (x, y) 3G(x, y, y) ọ ó t tứ tể tệ ệ ề (X, G) G(x, y, z) tụ t t ế x, y, z ứ sử ể Gtr t t x ó (G) {xn } {yn } {zn } Gộ tụ ợt tớ x, y, z X ó từ ề ệ G5 ) tr ị ĩ Gtr t ó G(x, y, z) G(y, ym , ym ) + G(ym , x, z) = G(y, ym , ym ) + G(x, ym , z) G(y, ym , ym ) + G(x, xk , xk ) + G(xk , ym , z) = G(y, ym , ym ) + G(x, xk , xk ) + G(z, xk , ym ) G(y, ym , ym ) + G(x, xk , xk ) + G(z, zn , zn ) + G(xk , ym , zn ) t tứ tr t s r G(x, y, z) G(xk , ym , zn ) G(y, ym , ym ) + G(x, xk , xk ) + G(z, zn , zn ) t tự t ó G(xk , ym , zn ) G(x, y, z) G(x, x, xk ) + G(y, y, ym ) + G(z, z, zn ) t từ ề ệ G5 ) tr ị ĩ G tr t ó G(x, x, xk ) G(x, xk , xk )+G(xk , x, xk ) = 2G(x, xk , xk ) G(y, y, ym ) 2G(y, ym , ym ) G(z, z, zn ) 2G(z, zn , zn ) ó s r G(xk , ym , zn ) G(x, y, z) G(x, x, xk ) + G(y, y, ym ) + G(z, z, zn ) 2{G(x, xk , xk ) + G(y, ym , ym ) + G(z, zn , zn )} tr ế |G(xk , ym , zn )G(x, y, z)| 2{G(x, xk , xk )+G(y, ym , ym )+G(z, zn , zn )} ì X G(xk , ym , zn ) G(x, y, z) k, m, n ệ ề (X, G) Gtr ỗ x0 r > t ó ế G(x0 , x, y) < r tì x, y BG (x0 , r), ế y BG (x0 , r), tì tồ t số > s BG (y, ) BG (x0 , r) ứ ọ x, y X t ó G(x0 , x, x) G(x0 , x, y) < r G(x0 , y, y) G(x0 , x, y) < r x, y BG (x0 , r) ì > y BG (x0 , r), G(x0 , y, y) < r ứ r t = r G(x0 , y, y) tì BG (y, ) BG (x0 , r) t t z BG (y, ) t ó G(y, z, z) < = r G(x0 , y, y) s r G(y, z, z) + ỳ G(x0 , y, y) < r t G(x0 , z, z) G(y, z, z)+G(x0 , y, y) < r r z BG (x0 , r) ề ứ tỏ tồ t > ể BG (y, ) BG (x0 , r) ị ĩ (X, d) tr T (X, d) ý ệ ọ ủ X O(x, ) = {x, T x, T x, T x, } X ợ T qỹ ế ỗ s {xn } O(x, ) x tộ ề ộ tụ ề ể tộ : (X, d) ị ý (X, d) s X T ủ X ột tự ủ tr T qỹ sử r T tỏ d(T x, T y) k max{d(x, y), d(x, T x), d(y, T y), d(x, T y), d(y, T x)}, k ột số tự tỏ k < ó T ể t ộ d(T n x, u) u X n r ỗ xX t ó ó t lim T n x = u k d(x, T x) 1k ột số ị ý ể t ộ ố tr Gtr r ụ t ứ ột số ị ý ể t ộ ố tr ị ý (X, G) Gtr Gtr T :X X ột tỏ ề ệ s (A1 ).G(T x, T y, T z) k max{G(x, y, z), G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)}, ọ x, y, z X k (A2 ) T G tụ t u X ột số tự tỏ < k < ó n ọ n1 ì tế từ t ó G(xn , xn+1 , xn+1 ) k max{G(xn1 , xn , xn ), G(xn1 , xn+1 , xn+1 ), G(xn , xn+1 , xn+1 ), G(xn , xn , xn )} = k max{G(xn1 , xn , xn ), G(xn1 , xn+1 , xn+1 )} = k max{G(xn1 , xn , xn ), G(T n1 x0 , T n+1 x0 , T n+1 x0 )} k max{G(xn1 , xn , xn ), } k n max{G(x0 , x1 , x1 ), } k n ì tế ọ ị ĩ ủ m, n N m > n, sử ụ ề ệ (G5 ) tr G tr t ó G(xn , xm , xm ) G(xn , xn+1 , xn+1 ) + G(xn+1 , xm , xm ) G(xn , xn+1 , xn+1 ) + G(xn+1 , xn+2 , xn+2 ) + G(xn+2 , xm , xm ) G(xn , xn+1 , xn+1 ) + G(xn+1 , xn+2 , xn+2 ) + ã ã ã + G(xm1 , xm , xm ) kn n n+1 m1 (k + k + ããã + k ) k kn 0k