Xích markov, du động ngẫu nhiên và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG THỊ THỎA XÍCH MARKOV, DU ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG HÀ NỘI- 2015 Mục lục Lời nói đầu Xích Markov 1.1 Xích Markov 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Ma trận chuyển 1.1.3 Các ví dụ Xích Markov hấp thụ 10 1.2.1 Dạng tắc 10 1.2.2 Xác suất hấp thụ 11 1.2.3 Ma trận 12 1.2.4 Thời gian tiến tới hấp thụ 13 1.2.5 Xác suất hấp thụ 14 Xích Markov egođic 15 1.3.1 Xích Markov quy 16 1.3.2 Vectơ cố định 19 1.3.3 Trạng thái cân 22 1.3.4 Ví dụ xích Egođic 24 1.4 Định lí giới hạn cho xích quy 26 1.5 Thời gian trung bình chuyển qua cho xích Egođic 29 1.2 1.3 1.5.1 Thời gian trung bình chuyển qua lần 29 1.5.2 Thời gian trung bình quay lại 31 1.5.3 Ma trận trung bình lần qua ma trận trung bình quay lại 32 1.5.4 Ma trận 34 1.5.5 Sử dụng ma trận để tính ma trận thời gian trung 1.5.6 bình chuyển qua lần 37 Định lí giới hạn trung tâm cho xích Markov 40 Du động ngẫu nhiên 2.1 2.2 41 Du động ngẫu nhiên không gian Ơ’clit 41 2.1.1 Du động ngẫu nhiên đường thẳng thực 42 2.1.2 Du động ngẫu nhiên tổng quát 43 2.1.3 Sự quay lại quay lại lần 44 2.1.4 Xác suất hồi quy 47 2.1.5 Kỳ vọng số lần vị trí cân 51 Luật arcsin 55 Ứng dụng 60 3.1 Mô hình Ehrenfest dùng để giải thích khuếch tán khí ga 60 3.2 Di truyền 61 3.3 Kinh tế 63 3.3.1 Mô hình phân chia thị trường 63 3.3.2 Mô hình quản lý tiến mặt 68 3.3.3 Mô hình kiểm kê 70 3.3.4 Mô hình phục vụ đám đông 72 3.4 Đường người say rượu 74 3.5 Sự phá sản người chơi cờ bạc 79 3.5.1 80 Sự phá sản người chơi cờ bạc 3.5.2 3.6 Đối phương người chơi giàu vô tận Xã hội học 82 82 Kết luận 85 Tài liệu tham khảo 86 LỜI NÓI ĐẦU Đầu kỷ XX, A.A Markov(14/6/1856 - 20/7/1922)- nhà Toán học Vật Lý tiếng người Nga đưa mô hình toán học để mô tả chuyển động phần tử chất lỏng bình kín Về sau mô hình phát triển sử dụng nhiều lĩnh vực khác học, sinh học, y học, kinh tế,vv mang tên trình Markov Xích Markov trường hợp riêng trình Markov( ta đánh số trạng thái) Luận văn đề cập tới xích Markov, du động ngẫu nhiên ứng dụng Bố cục luận văn gồm ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày xích Markov: định nghĩa bản, ma trận chuyển, ví dụ trường hợp riêng xích Markov, xích Markov hấp thụ, xích egođic, xích quy Chương hai trình bày du động ngẫu nhiên, đặc điểm luật arcsin Chương ba trình bày ứng dụng xích Markov du động ngẫu nhiên thực tế Luận văn thực hướng dẫn GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Toàn thể ban lãnh đạo thầy cô khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà nội giúp có thêm nhiều kiến thức để hoàn thành luận văn khóa học cách tốt đẹp Các thầy cô phòng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành thủ tục bảo vệ luận văn học tập Các thầy bạn seminar Lý thuyết xác suất thống kê toán học góp ý để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tất giúp đỡ đóng góp quý giá Tôi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Đặng Thị Thỏa Chương Xích Markov 1.1 Xích Markov 1.1.1 Các định nghĩa Giả thiết ta nghiên cứu tiến triển theo thời gian hệ vật lý sinh thái Ký hiệu X(t) ví trí hệ thời điểm t Tập hợp vị trí có hệ gọi không gian trạng thái Giả sử trước thời điểm t tương lai t > s hệ trạng thái j với xác suất bao nhiêu? Nếu xác suất phụ thuộc vào s, t, i, j điều có nghĩa là: tiến triển hệ tương lai phụ thuộc vào độc lập với khứ Đó tính Markov Hệ có tính chất gọi trình Markov Ta kí hiệu E tập gồm giá trị X(t) gọi E không gian trạng thái X(t) Nếu X(t) có tính Markov E đánh số X(t) gọi xích Markov Thêm vào đó, t = 0, 1, 2, 3, ta có khái niệm xích Markov với thời gian rời rạc, t ∈ (0, +∞) ta có định nghĩa xích Markov có thời gian liên tục Về phương diện toán học, tính Markov định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.1 Ta nói X(t) có tính Markov nếu: P {X(tn+1 ) = j|X(t0 ) = i0 , , X(tn−1 ) = in−1 , X(tn ) = i} = P {X(tn+1 ) = j|X(tn ) = i} với t0 < t1 < < tn < tn+1 < i0 , , in−1 , i, j ∈ E Ta xem tn hiên tại, tn+1 tương lai, (t0 , , tn−1 ) khứ Vì biểu thức tính Markov X(t) Đặt P (s, i, t, j) = P (X(t) = j|X(s) = i), (s < t) Đó xác suất có điều kiện để hệ (quá trình) thời điểm s trạng thái i, đến thời điểm t chuyển sang trại thái j Vì ta gọi xác suất chuyển hệ ( hay trình) Nếu xác suất chuyển chị phụ thuộc vào (t − s), tức P (s, i, t, j) = P (s + h, i, t + h, j) ta nói hệ (quá trình) theo thời gian 1.1.2 Ma trận chuyển Giả sử Xn hàng thứ ma trận P ví dụ 1.1.3 mô tả xác suất biến thể trạng thái thời tiết mưa Tương tự hàng hai hàng ba tương ứng với thời tiết đẹp trời có tuyết rơi Ma trận vuông gọi ma trận xác suất chuyển hay ma trận chuyển Giả sử Xn ; n = 0, 1, 2, xích rời rạc vầ Nói cách xác là: giả sử (Ω, A, P ) không gian xác suất, Xn : Ω → Elà biến (đại lượng)ngẫu nhiên nhận giá trị tập đếm E E không gian trạng thái, phần tử kí hiệu i, j, k, Khi đó, tính Markov tính Xn có nghĩa là: pij = P {X(tn+1 ) = j|X(tn ) = i} = P {X(tn+1 ) = j|X(t0 ) = i0 , X(tn−1 ) = in−1 , X(tn ) = i} không phụ thuộc vào n P = (pij ) gọi ma trận xác suất chuyển sau bước hay gọi tắt ma trận chuyển Tổng quát ta có định lý sau: Định lý 1.1.1 Nếu P ma trận chuyển xích Markov Phần tử pij ma trận Pn xác suất xích trạng thái i sang trạng thái j sau (n) n bước pij : (n) (n−1) pij = pik pkj k∈E Chứng minh Để chứng minh biểu thức đính lý ta lập luận sau: Hệ xuất phát từ trạng thái i chuyển sang trạng thái j sau n bước kết việc hệ xuất phát từ trạng thái i, sau bước chuyển sang trạng thái k, sau n − bước chuyển sang trạng thái j Từ công thức xác suất đầy đủ tính Markov ta có: (n) pij = P {Xn+1 = j|X0 = i} = P (Xn = j|X0 = i, X1 = k).P (X1 = k|X0 = i) k∈E = P (Xn = j|X1 = k).P (X1 = k|X0 = i) k∈E (n−1) = pik pkj k∈E Định lí chứng minh Định lý 1.1.2 Cho P ma trận chuyển xích Markov u véctơ xác suất miêu tả phân bố ban đầu Khi xác suất xích trạng thái i sau n bước phần tử thứ i véctơ: u(n) = uP n 1.1.3 Các ví dụ Các ví dụ sau xích Markov sử dụng suốt tập chương Ví dụ 1.1.1 Tổng thống Mỹ kể cho người A việc có không tranh cử tuyển cử tới Nếu A thay dổi câu trả lời chuyển tiếp tới B B người chuyển tiếp cho C,vv luôn chuyển tiếp cho người Ta đặt xác suất a với người thay đổi câu trả lời từ có sang không truyền thông điệp cho ng xác suất b mà người thay đổi từ không sang có Ta chọn trạng thái thông điệp có không Ma trận chuyển sau: Y es P= Y es No  1−a  No  a 1−b b  Ví dụ 1.1.2 Mỗi ngựa chạy đua ba ngựa có ba trường hợp xảy với xác suất chiến thắng, nhì thứ ba 1/2,1/4 1/4, độc lập với kết trước Chúng ta có trình kiểm tra độc lập tính toán thông qua lý thuyết xích Markov Ma trận chuyển: W W    P = P   S P S 25 25    25 25   25 25 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mô hình xác suất ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [2] Đặng Hùng Thắng (1998), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Lawrence C Evans, An Introduction to stochastic differential equations [...]...Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mô hình xác suất và ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [2] Đặng Hùng Thắng (1998), Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội [3] Lawrence C Evans, An Introduction to stochastic differential equations