Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c LỜI NÓI ĐẦU m Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, số phức đưa vào chương trình toán học phổ thông giảng dạy cuối lớp 12 Ta biết đời co số phức nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức cầu nối hoàn hảo phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học Giải tích (thể sâu sắc mối quan hệ công thức eiπ ) Số phức vấn đề hoàn toàn khó học sinh, đòi hỏi c người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng Do tính chất đặc biệt số phức nên giảng dạy nội dung giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển toán oc uo để tạo nên lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp tính chất số phức với số kiến thức đơn giản khác lượng giác, giải tích, đại số hình học giáo viên xây dựng nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn hoàn toàn mẻ Vì đưa vào chương trình SGK nên có tài liệu số phức để học sinh giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức SGK nhiều hạn chế Giúp học sinh có nhìn sâu, rộng số phức, gb trình giảng dạy tìm tòi khai thác kết hợp kiến thức khác toán học để xây dựng dạng tập cho học sinh tư duy, giải Một vấn đề xây dựng dạng toán “Ứng dụng số phức để tính tổng Ck n ” sở on khai thác tính chất số phức vận dụng khai triển nhị thức Newton Để nội dung sáng kiến kinh nghiệm có tính thực tiễn công tác giảng dạy chung nhà trường, mong đóng góp ý kiến xây dựng bổ xung kh đồng chí tổ chuyên môn đồng nghiệp khác Vĩnh Yên, ngày 20 tháng năm 2009 Người thực Lê Hồng Thái -1- Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI m I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT: 1- Khai triển nhị thức Newton: co Với x với nN* ta có: n-1 n-1 n n (1 + x)n = C0n xC1n x 2C n x C n x C n 2- Các tính chất số phức dùng đề tài: c * Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ x = x/ y = y/ * z = r(cos + isin) zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn) oc uo * Giải phương trình: x3 – = 3 Ta nghiệm x1 = 1; x i;x i 2 2 Các nghiệm bậc ba 1 3 Đăt: ε i ε2 i ε có tính chất sau: 2 2 2) 3) ε + ε = -1 gb 1) ε3 ε 3k ε 3k ε 5) ε 3k ε on 4) kh (k – nguyên) 3- Khi dùng số phức để tính tổng Cnk ? Đây vấn đề lớn cần ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng C kn tổng có hai đặc điểm: * Các dấu tổng xen kẽ -2- Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c * k lẻ, chẵn chia k cho số ta số dư (trong chương trình phổ thông ta cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2) m 4- Các tổng Cnk tính ? * Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta co chọn x = i) So sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính , , ) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính oc uo c * Khai triển trực tiếp số phức (thường xét số phức có argument * Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính * Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị bậc ba đơn vị Cộng vế theo vế đẳng thức thu Suy giá trị tổng cần tìm gb Điều quan trọng phải quan sát tổng cần tìm có đặc điểm để lựa chọn cách Chủ yếu vào hệ số Cnk tổng Để nói chi tiết on điều đòi hỏi phải có lượng lớn nhận xét, vượt khuôn khổ cho phép đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi đưa số ví dụ minh hoạ cho kh dạng, qua người đọc tự trả lời câu hỏi: Để tính tổng ta phải làm gì? II- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ: Dạng 1:Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp khai triển trực tiếp số phức Ví dụ 1: -3- Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c C2 C4 C6 C2004 C2006 C2008 Tính tổng A = C0 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 m C3 C5 C7 C2005 C2007 C2009 B = C1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 Giải: co Xét khai triển: xC1 x 2C x 2008 C 2008 x 2009 C 2009 (1 + x)2009 = C0 2009 2009 2009 2009 2009 Cho x = - i ta có: c iC1 i 2C i 2008 C 2008 i 2009 C 2009 (1 – i )2009 = C0 2009 2009 2009 2009 2009 oc uo C2 C4 C6 C2004 C2006 C2008 ) + = ( C0 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C3 C5 C7 C2005 C2007 C 2009 )i + ( C1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 Mặt khác: π π (1 i) 2009 ( ) 2009 cos isin 4 2009 ( ) 2009 cos 2009π 2009π isin 4 π 2009 i 21004 21004 i ( 2) 4 gb π = ( )2009 cos isin So sánh phần thực phần ảo (1 – i )2009 hai cách tính ta được: on C2 C4 C6 C2004 C2006 C2008 = 21004 A = C0 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C3 C5 C7 C2005 C2007 C2009 = - 21004 B = C1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 kh Ví dụ 2: Tính tổng: C = 2 23 46 24 48 25 50 C50 3C50 C50 C50 C50 C50 50 Giải: Xét khai triển: -4- Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn i 2 50 øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c 2 49 49 50 50 C50 (i )C50 (i ) C50 (i ) C50 (i ) C50 50 2 4 46 46 48 48 50 50 C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 250 + 3 5 47 47 49 49 3C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 ( ) C50 i 250 50 2π 2π cos isin C= 50 hai cách tính ta được: oc uo So sánh phần thực i 100π 100π isin i 2 cos c 50 Mặt khác: i co m 1 2 23 46 24 48 25 50 C50 3C50 C50 C50 C50 C50 250 Ví dụ 3: Tính tổng: D = 310C0 39 C2 38 C4 37 C6 32 C16 3C18 C20 20 20 20 20 20 20 20 Giải: i gb Xét khai triển: 20 ( )20 C0 i( )19 C1 ( )18 C2 ( )2 C18 i 3C19 C20 = 20 20 20 20 20 20 on = ( 310 C0 39 C2 38 C4 37 C6 32 C16 3C18 C20 ) + 20 20 20 20 20 20 20 + ( )19 C1 ( )17 C3 ( )3 C17 3C19 i 20 20 20 20 kh Mặt khác: i 20 220 cos 1 220 i 2 20 π π 220 cos isin 6 20 4π 4π isin 220 i 219 219 i 3 2 -5- 220 cos 20π 20π isin 6 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn So sánh phần thực i øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c 20 hai cách tính ta có: co m D = 310 C0 39 C2 38 C4 37 C6 32 C16 3C18 C20 = - 219 20 20 20 20 20 20 20 Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp c Ví dụ 1: Tính tổng: D = C1 3C3 5C5 7C7 25C25 27C27 29C29 30 30 30 30 30 30 30 oc uo E = 2C2 4C4 6C6 8C8 26C26 28C28 30C30 30 30 30 30 30 30 30 Giải: (1 + x)30 = C0 xC1 x 2C x 3C3 x 28C 28 x 29 C 29 x 30 C30 30 30 30 30 30 30 30 Đạo hàm hai vế ta có: gb 30(1 + x)29 = C1 2xC 3x 2C3 28x 27 C 28 29x 28C 29 30x 29 C30 30 30 30 30 30 30 Cho x = i ta có: 30(1 + i)29 = ( C1 3C3 5C5 7C7 25C 25 27C 27 29C 29 ) + 30 30 30 30 30 30 30 on + ( 2C2 4C4 6C6 8C8 26C 26 28C 28 30C30 )i 30 30 30 30 30 30 30 Mặt khác: 29 kh 30(1 + i) = 30 π π cos isin 4 29 29 30 29 29π 29 cos 29π isin 4 30 2 i 15.215 15.215 i 2 So sánh phần thực ảo 30(1 + i)29 hai cách tính ta có: D = C1 3C3 5C5 7C7 25C 25 27C 27 29C 29 = - 15.215 30 30 30 30 30 30 30 -6- Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c E = 2C2 4C4 6C6 8C8 26C 26 28C 28 30C30 = - 15.215 30 30 30 30 30 30 30 Ví dụ 2: co m Tính tổng S = 2.3C2 4.32 C4 6.33 C6 18.39 C18 20.310C20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: c (1 + x)20 = Đạo hàm hai vế ta có: 20 3(1 3x)19 = = oc uo = C0 ( 3x)C1 ( 3x) C ( 3x) C3 ( 3x)19 C19 ( 3x) 20 C 20 20 20 20 20 20 20 3C1 2.3xC 3.( 3)3 x 2C3 19.( 3)19 x18C19 20.310 x19 C 20 20 20 20 20 20 Cho x = i ta có: 20 3(1 3i)19 = gb 17 19 = 3C1 3 C3 C5 17 C17 19 C19 20 20 20 20 20 2.3C 4.32 C4 6.33 C6 18.39 C18 20.310 C20 i 20 20 20 20 20 19 on 1 i Mặt khác: 20 3(1 3i)19 = 20 3.219 2 π 20 3.219 cos isin kh 1 19π 19π 20 3.219 cos isin i 10 3.219 30.219 i 20 3.219 3 2 So sánh phần ảo 20 3(1 3i)19 hai cách tính ta có: S = 2.3C2 4.32 C4 6.33C6 18.39 C18 20.310 C20 = 30.219 20 20 20 20 20 Ví dụ 3: -7- 19 π 3 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c Tính tổng sau: M = C0 3C2 5C4 7C6 13C12 15C14 15 15 15 15 15 15 N = 2C1 4C3 6C5 8C7 14C13 16C15 15 15 15 15 15 15 m Giải: co Xét khai triển: (1 + x)15 = C0 xC1 x 2C x 3C3 x13C13 x14 C14 x15C15 15 15 15 15 15 15 15 c Nhân hai vế với x ta có: Đạo hàm hai vế ta có: oc uo x(1 + x)15 = xC x 2C1 x 3C x 4C3 x14 C13 x15C14 x16 C15 15 15 15 15 15 15 15 (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 = C0 2xC1 3x 2C 4x 3C3 14x13C13 15x14 C14 16x15C15 15 15 15 15 15 15 15 Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = gb = C0 3C 5C 7C6 13C12 15C14 + 15 15 15 15 15 15 + 2C1 4C3 6C5 8C 14C13 16C15 i 15 15 15 15 15 15 on Mặt khác: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 14 14 cos π4 isin π4 15i 15 15π 14π 14π 15 cos15π isin isin 15.27 i cos 2 4 4 kh 15 15 cos π4 isin π4 2 i 15.27 2 27 27 i 15.27 14.27 27 i 7.28 27 i So sánh phần thực ảo (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 hai cách tính ta có: M = C0 3C2 5C4 7C6 13C12 15C14 = 7.28 15 15 15 15 15 15 -8- Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c N = 2C1 4C3 6C5 8C7 14C13 16C15 = -27 15 15 15 15 15 15 Dạng 3: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị bậc ba đơn vị m Để tiện cho việc theo dõi biến đổi phép tính đưa lại vấn đề bậc ba đơn vị (đã trình bày phần I đề tài): co Giải phương trình: x3 – = Các nghiệm bậc ba c 1 3 Ta nghiệm x1 = 1; x i i;x 2 2 ε + ε = -1 2) ε3 3) ε 3k 4) ε 3k ε 5) ε 3k ε gb 1) oc uo 3 Đăt: ε i ε2 i ε có tính chất sau: 2 2 (k – nguyên) on Sử dụng tính chất ε ta tính tổng sau: Ví dụ 1: Tính tổng: S = C0 C3 C6 C3k C15 C18 20 20 20 20 20 20 kh Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = C0 xC1 x 2C x 3C3 x18C18 x19 C19 x 20 C 20 20 20 20 20 20 20 20 Cho x = ta có: -9- Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c 220 = C0 C1 C C3 C18 C19 C 20 20 20 20 20 20 20 20 (1) Cho x = ε ta có: Cho x = ε ta có: (3) co (1 + ε )20 = C0 ε 2C1 εC2 C3 C18 ε 2C19 εC20 20 20 20 20 20 20 20 (2) m (1 + ε )20 = C0 εC1 ε 2C C3 C18 εC19 ε 2C 20 20 20 20 20 20 20 20 c Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta được: oc uo 220 + (1 + ε )20 +(1 + ε )20 = 3S Mặt khác: (1 ε) 20 (ε ) 20 ε 40 ε ; (1 ε ) 20 (ε) 20 ε 20 ε Do vậy: 3S = 220 – Hay S = Ví dụ 2: 20 Giải: gb Tính tổng T = C1 C4 C7 C3k1 C16 C19 20 20 20 20 20 20 Xét khai triển: on (1 + x)20 = C0 xC1 x 2C x 3C3 x18C18 x19 C19 x 20 C 20 20 20 20 20 20 20 20 Nhân hai vế với x2 ta có: x2(1 + x)20 = x 2C0 x 3C1 x 4C x 5C3 x 20 C18 x 21C19 x 22 C 20 20 20 20 20 20 20 20 kh Cho x = ta có: 220 = C0 C1 C C3 C18 C19 C 20 20 20 20 20 20 20 20 (1) Cho x = ε ta có: ε 2C3 C ε 2C18 C19 εC20 ε (1 + ε )20 = ε C020 C120 εC2 20 20 20 20 20 20 Cho x = ε ta có: - 10 - (2) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c ε (1 + ε )20 = ε C0 C1 ε 2C εC3 εC18 C19 ε 2C 20 20 20 20 20 20 20 20 (3) Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta có: m 220 + ε (1 + ε )20 + ε (1 + ε )20 = 3T Mặt khác: ε (1 + ε )20 = ε 42 1; ε (1 + ε )20 = ε 21 20 Do vậy: 3T = + Hay: T = c co 20 oc uo Ví dụ 3: Tính tổng: P = C0 3C3 6C6 3kC3k 15C15 18C18 20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = C0 xC1 x 2C x 3C3 x18C18 x19 C19 x 20 C 20 20 20 20 20 20 20 20 Đạo hàm hai vế ta có: gb 20(1 + x)19 = C1 2xC 3x 2C3 18x17 C18 19x18C19 20x19 C 20 (*) 20 20 20 20 20 20 Nhân hai vế (*) với x ta có: on 20x(1 + x)19 = xC1 2x 2C 3x 3C3 18x18C18 19x19 C19 20x 20 C 20 20 20 20 20 20 20 Cho x = ta được: kh 20.219 = C1 2C 3C3 4C 18C18 19C19 20C 20 20 20 20 20 20 20 20 (1) Cho x = ε ta có: 20 ε (1 + ε )19 = εC1 2ε2C2 3C3 4εC4 18C18 19εC19 20ε2C20 20 20 20 20 20 20 20 (2) Cho x = ε ta có: 20 ε 2(1 + ε 2)19 = ε 2C1 2εC 3C3 4ε 2C 18C18 19ε 2C19 20εC 20 (3) 20 20 20 20 20 20 20 - 11 - Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có: 20[219 + ε (1 + ε )19 + ε 2(1 + ε 2)19 ] = 3P - C0 20 ε 2(1 + ε 2)19 = ε (ε)19 ε 21 1 oc uo III- MỘT SỐ BÀI TẬP: 1- Tính tổng sau: co 10.2 20 13 c Vậy 3P = + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 Suy P = m Mặt khác: ε (1 + ε )19 = ε(ε )19 ε39 1 27 29 A 3C1 3 C3 C5 27 C27 29 C29 30 30 30 30 30 A 2.3C2 4.32 C4 6.33C6 28.314 C28 30.315 C30 30 30 30 30 30 Hướng dẫn: Xét khai triển: 1 3x gb phần ảo hai số phức 30 Đạo hàm hai vế, cho x = i so sánh phần thực, ĐS: A1 = 15 3.229 ; A2 = - 45.229 2- Tính tổng sau: on B C0 2C2 3.4C4 5.6C6 7.8C8 21.22C 22 23.24C 24 25 25 25 25 25 25 25 B C1 2.3C3 4.5C5 6.7C 8.9C9 22.23C 23 24.25C 25 25 25 25 25 25 25 25 kh Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau cho x = i So sánh phần thực phần ảo hai số phức ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214) 3- Tính tổng sau: C C0 3C2 5C4 7C6 17C16 19C18 21C 20 20 20 20 20 20 20 20 - 12 - Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c C 2C1 4C3 6C5 8C 16C15 18C17 20C19 20 20 20 20 20 20 20 Hướng dẫn: Xét khai triển: ( + x)20 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Cho x = i m ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210 4- Tính tổng sau: co D 12 C1 32 C3 52 C5 72 C7 952 C95 97 C97 992 C99 100 100 100 100 100 100 100 D 2 C C C6 82 C8 96 C96 98 C98 100 C100 100 100 100 100 100 100 100 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm c 5- Tính tổng sau: ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250 oc uo hai vế Cho x = i E = 2C2 5C5 8C8 20C 20 23C 23 25 25 25 25 25 Hướng dẫn: Xét khai triển (1 + x)25 Đạo hàm hai vế Sau nhân hai vế với x2 Cho x 1, ε, ε (ba bậc ba 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận ta tìm E gb 25(2 24 1) ĐS: E = – Tính tổng sau: on F C1 42 C4 72 C7 102 C10 37 C37 402 C40 40 40 40 40 40 40 F 2 C 52 C5 82 C8 112 C11 35 C35 38 C38 40 40 40 40 40 40 kh F C0 32 C3 C6 C9 36 C36 39 C39 40 40 40 40 40 40 Hướng dẫn: Xét khai triển ( 1+ x)40 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Để có F1 ta cho x 1, ε, ε (ba bậc ba 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận - 13 - Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c 40.41(2 38 1) F 40(239 1) 39.40(2 38 1) F 40(2 39 1) 39.40(2 38 2) 1 co F 7- Tính tổng sau: oc uo c ĐS: m Làm để có F2, F3 mong độc giả tìm tòi chút ! G C0 4C3 7C6 10C9 34C33 37C36 40C39 40 40 40 40 40 40 40 G 2C1 5C 8C 11C10 35C 34 38C 37 41C 40 40 40 40 40 40 40 40 gb G 3C 6C5 9C8 12C11 36C 35 39C 38 40 40 40 40 40 40 Hướng dẫn: Khai triển (1 + x)40 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Để có G1 ta cho x 1, ε, ε (ba bậc ba 1) Cộng vế theo vế ba đẳng on thức nhận Làm để có G2, G3 mong độc giả tìm tòi chút ! kh ĐS: G1 = 7.240 + 13; G2 = 7.240 – 27; G3 = 7.240 + 28 - 14 - [...]... 45.229 2- Tính các tổng sau: on B C0 2C2 3.4C4 5.6C6 7.8C8 21.22C 22 23.24C 24 1 25 25 25 25 25 25 25 B C1 2.3C3 4.5C5 6.7C 7 8.9C9 22.23C 23 24.25C 25 2 25 25 25 25 25 25 25 kh Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i So sánh phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214) 3- Tính các tổng sau:... uo III- MỘT SỐ BÀI TẬP: 1- Tính các tổng sau: co 10.2 20 13 3 c Vậy 3P = 1 + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 Suy ra P = m Mặt khác: ε (1 + ε )19 = ε(ε 2 )19 ε39 1 3 5 27 29 A 3C1 3 3 C3 5 3 C5 27 3 C27 29 3 C29 1 30 30 30 30 30 A 2.3C2 4.32 C4 6.33C6 28.314 C28 30.315 C30 2 30 30 30 30 30 Hướng dẫn: Xét khai triển: 1 3x gb phần ảo của hai số phức 30 Đạo... i m ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210 4- Tính các tổng sau: co D 12 C1 32 C3 52 C5 72 C7 952 C95 97 2 C97 992 C99 1 100 100 100 100 100 100 100 D 2 2 C 2 4 2 C 4 6 2 C6 82 C8 96 2 C96 98 2 C98 100 2 C100 2 100 100 100 100 100 100 100 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm c 5- Tính tổng sau: ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250... theo vế (1), (2) và (3) ta có: m 220 + ε 2 (1 + ε )20 + ε (1 + ε 2 )20 = 3T Mặt khác: ε 2 (1 + ε )20 = ε 42 1; ε (1 + ε 2 )20 = ε 21 1 2 20 2 Do vậy: 3T = 2 + 2 Hay: T = 3 c co 20 oc uo Ví dụ 3: Tính tổng: P = C0 3C3 6C6 3kC3k 15C15 18C18 20 20 20 20 20 20 Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = C0 xC1 x 2C 2 x 3C3 x18C18 x19 C19 x 20 C 20 20 20 20 20 20 20 20 Đạo hàm hai... triển của (1 + x)25 Đạo hàm hai vế Sau đó nhân hai vế với x2 Cho x lần lượt bằng 1, ε, ε 2 (ba căn bậc ba của 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được ta tìm được E gb 25(2 24 1) ĐS: E = 3 6 – Tính các tổng sau: on F C1 42 C4 72 C7 102 C10 37 2 C37 402 C40 1 40 40 40 40 40 40 F 2 2 C 2 52 C5 82 C8 112 C11 35 2 C35 38 2 C38 2 40 40 40 40 40 40 kh F C0 32 C3 6 2... tài liệu học tập khác S¸ng kiÕn kinh nghiÖm C kn øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c 40.41(2 38 1) 3 F 2 40(239 1) 39.40(2 38 1) 3 F 3 40(2 39 1) 39.40(2 38 2) 1 3 co F 1 7- Tính các tổng sau: oc uo c ĐS: m Làm thế nào để có F2, F3 mong độc giả cùng tìm tòi một chút ! G C0 4C3 7C6 10C9 34C33 37C36 40C39 1 40 40 40 40 40 40 40 G 2C1 5C 4 8C 7 11C10