CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT I KIẾN THỨC CƠ BẢN: Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a b, b ≠0 Ta nói a chia hết cho b tồn số tự nhiên q cho a = bq Các tính chất chung: - Với ∀ a ≠ ⇒ a a (Bất số khác chia hết cho nó) - Nếu a b b c ⇒ a c (Tính chất bắc cầu: Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c) - Với ∀ a ≠ ⇒ a (Số chia hết cho số b khác 0) - Với ∀ a ⇒ a (Bất số chia hết cho 1) Tính chất chia hết tổng hiệu: - Nếu số hạng tổng (hoặc hiệu) chia hết cho số tổng chia hết cho số đó: a Mm,bMm, => a + b Mm - Nếu có số hạng tổng (hoặc hiệu) không chia hết cho số, số hạng lại chia hết cho số tổng không chia hết cho số / m, bMm => (a + b) M /m aM Tính chất chia hết tích: - Nếu a b c ⇒ ac b (Nếu thừa số tích chia hết cho b tích chia hết cho b) - Nếu a b c d ⇒ ac bd (Nếu a chia hết cho m b chia hết cho n ab chia hết cho mn) - Nếu a b n > ⇒ an bn (Nếu a chia hết cho b an chia hết cho bn) Dấu hiệu chia hết: Gọi N = a n a n −1 a1a a) Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N ⇔ a0 ⇔ a0∈{0; 2; 4; 6; 8} + N ⇔ a0 ⇔ a0∈{0; 5} + N (hoặc 25) ⇔ a1a + N (hoặc 125) ⇔ (hoặc 25) a 2a1a (hoặc 125) + N (hoặc 9) ⇔ a0+a1+…+an (hoặc 9) • Một số dấu hiệu chia hết khác: - Dấu hiệu chia hết cho 6: Vừa chia hết cho đồng thời vừa chia hết cho - Dấu hiệu chia hết cho 7: Hiệu số tạo chữ số đứng trước số tận với lần chữ số tận chia hết cho ( làm nhiều lần chắn chia hêt cho 7) - Dấu hiệu chia hết cho 11: Hiệu tổng chữ số hàng chẵn với tổng chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 - Dấu hiệu chia hết cho 13: Tổng số tạo chữ số đứng trước số tận với lần chữ số tận chia hết cho 13 ( làm nhiều lần chắn chia hêt cho 13) - Dấu hiệu chia hết cho 14: Kết hợp dấu hiệu chia hết cho dấu hiệu chia hết cho - Dấu hiệu chia hết cho 15: Kết hợp dấu hiệu chia hết cho dấu hiệu chia hết cho Chú ý: Tích hai số tự nhiên liên tiếp có tận 0, 2, II BÀI TẬP: Bài Không tính tổng, hiệu, xét xem tổng, hiệu sau có chia hết cho không: a) 88 + 32; b) 88 – 32; e) 16 + 48 – 32; c) 48 + 14; d) 48 – 14; f) 16 + 48 + 30 LG: M M a) 88 32 nên 88 + 32 / / M M M c) Vì 48 14 nên 48 + 14 Bài Khi chia số tự nhiên a cho 12, ta số dư Hỏi số a có chia hết cho không? Có chia hết cho không? LG: a = 12.b + M M Do 12 4, nên a a / / M M M 12 Bài Tổng (hiệu) sau có chia hết cho không, có chia hết cho không? a) 128 + 190; b) 735 – 340; c) 1.2.3.4.5.6.7 – 52 d) 1.3.5.7 + 75 LG: M M a) Vì 128 190 nên 128 + 190 Bài Không thực phép chia, tìm số dư chia số sau cho 813; 264; 736; 6547 LG: 813 chia dư 1, 813 chia dư Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số, chữ số chia hết cho chia hết cho dư LG: Gọi số có chữ số ab ( a khác 0, a, b < 10) ab chia hết cho 2, b 0, 2, 4, 6, ab chia dư 3, nên b = Vậy số phải tìm 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 Bài Tổng hiệu sau có chia hết cho không, có chia hết cho không? a) 1251 + 5316; b) 5436 – 1324; c) 1.2.3.4.5.6.7 + 27 Bài Điền vào dấu * để: M a) 5*8 3; M b) 6*3 9; c) 43* chia hết cho 5; M d) *81* 2, 3, 5, LG: ∈ { 2,5} M M M a) để 5*8 => + * + => 13 + * Vậy * ∈ { 0,9} M M b) 6*3 => + * => M M c) 43* 3, => * = M M d) *81* 2, => *810 M M M *810 3, => * + + + => * = Bài Chứng tỏ rằng: a) Trong hai số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho b) Trong ba số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho LG: a) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp a, a + (a Ta xét trường hợp: TH1: a chia dư a = 2k Suy a chia hết cho ∈ N) Vậy hai số tn nhiên liên tiếp có số chia hết cho TH2: a chia dư Ta có a = 2k + Vậy a + = 2k + a + = 2(k + 1) suy a + chia hết cho Vậy hai số tn nhiên liên tiếp có số chia hết cho b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + - TH1: a chia dư Ta có: a = 3k, suy a chia hết cho Vậy số tn nhiên liên tiếp có số chia hết cho - TH2: a chia dư Ta có a = 3k + Vậy a + = 3k + Suy a + chia hết cho Vậy số tn nhiên liên tiếp có số chia hết cho - TH3: a chia dư Ta có a = 3k + Vậy a + = 3k + Suy a + chia hết cho Vậy số tn nhiên liên tiếp có số chia hết cho Bài Chứng tỏ rằng: a) Tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho b) Tổng bốn số tự nhiên liên tiếp số không chia hết cho LG: a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + (a ∈ N) a + a + + a + = 3a + = 3(a + 1) chia hết cho b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2, a + (a ∈ N) a + a + + a + + a + = 4a + không chia hết cho Bài 10 Chứng tỏ số có dạng aaaaaa chia hết cho LG: aaaaaa =111111.a = 7.15873.a chia hết cho (tương tự CM aaa chia hết cho 37) Bài 11 Từ đến 100 có số chia hết cho 2, có số chia hết cho LG: Các số chia hết cho 2, 4, 6, 8, …100 gồm: (100 – 2):2 + =50 số Các số chia hết cho gồm 5, 10, 15,…100 gồm: (100 – 5):5 + = 20 số Bài 12 Chứng tỏ với số tự nhiên n tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho LG: TH1 Nếu n = 2k (k ∈ N) TH2 Nếu n = 2k + (k M n + = 2k + ∈ N) M n + = 2k + M Vậy (n + 3)(n + 6) Bài 12 Có số tự nhiên nhỏ 100 chia dư Các số nhỏ 100 chia dư gồm: 3, 8, 13, 18,…98 gồm (98 – 3):5 + = 20 Bài 13 Chứng tỏ với số tự nhiên n tích n(n + 5) chia hết cho LG: M TH1: n = 2k M TH2 n = 2k + n + = 2k + M Vậy n(n+5) Bài 14 Gọi A = n2 + n + (n ∈ N) Chứng tỏ rằng: a) A k chia hết cho b) A k chia hết ch LG: a) A = n2 + n + = n(n + 1) + n(n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Vậy n(n + 1) + k chia hết cho b) A = n2 + n + = n(n + 1) + n(n + 1) tích số tn liên tiếp nên có tận 0, 2, suy n(n + 1) + có tận 1, 3, không chia hết cho Bài 15 Tổng hiệu sau chia hết cho 3, cho hay không a) 1012 - b) 1010 + LG: { a) 1012 – = 12 ch÷ sè { ch÷ sè III BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 11 Chứng tỏ số có dạng abcabc chia hết cho 11 LG: abcabc = 1001.abc = 11.91.abc chia hết cho 11 Bài 12 Chứng tỏ lấy số có hai chữ số, cộng với số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn số chia hết cho 11 LG: Gọi số có chữ số ab ab (a ≠ 0,ab < 10) ab + ba = 11a + 11b = 11(a + b)M 11