Chuyên đề hình học không gian vted

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHẦN CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN – CÁCH VẼ HÌNH KHÔNG GIAN PHẦN GÓC TRONG KHÔNG GIAN PHẦN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG PHẦN .KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU PHẦN THỂ TÍCH KHỐI CHÓP- THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ - ỨNG DỤNG PHẦN BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP PHẦN PHƯƠNG PHÁP DÙNG TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN PHẦN CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1|P a ge Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx PHẦN CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH PHẲNG LIÊN QUAN – CÁCH VẼ HÌNH KHÔNG GIAN Hệ thức tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A , Đường cao AH A , BC  a, AC  b,AB  c Ta có số hệ thức c sau : b a  AH.BC  AB.AC B H C  AH2  BH.CH  AB2  BH.BC; AC2  CH.CB  1    AH  2 AH AB AC2 AB.AC AB2  AC2  c  b.tanB;b  c tan C Hệ thức tam giác thường Cho tam giác ABC , BC  a, AC  b,AB  c , có hệ thức sau :  a2  b2  c  2bc.cos A a b c     2R sin A sinB sin C Một số công thức diện tích tam giác 1 AH.BC  AB.AC ( Đối với tam giác vuông ) 2 1  bc.sin A  ac.sinB  ab.sinC 2  S ABC   S ABC 2|P a ge Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx abc 4R  S  p.r ( p chu vi, r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác )  S  Công thức tính độ dài đường trung tuyến AB2  AC2 BC2  AM   2 CA  CB AB2  CK   BA  BC2 AC2  BN2   B A N K C M Diện tích số đa giác  Diện tích hình thang : S ABCD  2S ABCD AH  AB  CD   AH  AB  CD a2 a ; AH   Diện tích tam giác cạnh a : S ABC   Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc với : S ABCD  AC.BD Một số tính chất hình phẳng hay gặp hình học không gian  Định lý Pytago đảo: Cho tam giác ABC , BC  a, AC  b,AB  c , a2  b2  c tam giác ABC vuông A MN AM AN S  AM     k; AMN    k2  Định lý Ta-lét : MN  BC   BC AB AC SABC  AB  3|P a ge Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy M A Hotline: xxxxxx A B A D M N N B C D C C B  Cho tam giác ABC , M trung điểm BC , có MA  MB  MC tam giác ABC vuông A  Cho hình vuông ABCD M trung điểm AB , N trung điểm BC , AN  DM  Cho hình thang vuông A,B , có AB  BC  CD Thì ta có tam giác ACD vuông cân tạị C Cách vẽ hình không gian Để vẽ hình đẹp dễ nhìn, thông thường ta làm theo bước sau : - Bước Dựa vào đề ta vẽ đáy trước Cụ thể kích thước sau ý cạnh nét đứt 4-5cm A A 4-5cm D C E A D 2.5 - 2.5 - B B C B C - Bước Dựng đường cao khối nối đỉnh lại 4|P a ge Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx Tùy vào toán mà xác định chân đường cao, từ chân đường cao ta dựng vuông góc lên Để làm bước này, ta xác định đường cao loại khối chóp sau : Loại Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy cạnh chiều cao Loại Khối chóp có hai mặt phẳng cắt vuông góc với măt đáy giao tuyến hai mặt phẳng đường cao Loại Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy đường cao đường vuông góc kẽ từ đỉnh đến giao tuyến mặt bên Loại Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy Loại Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn nội tiếp đáy Loại Hình chóp S.ABCD có  SAB   SAC  tạo với đáy góc   chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc đường phân giác góc BAC Loại Hình chóp S.ABCD có SB  SC SB,SC tạo với đáy góc  chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc đường trung trực BC S S A C A H S C A C H B B B 5|P a ge Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx 6.Khái niệm hình đa diện đặc biệt không gian 6.1 Hình chóp Định nghĩa: Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Tính chất: - Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với đáy góc - Các cạnh bên hình chóp tạo với đáy góc Hai hình chóp thường gặp: S Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác S.ABC Khi đó: - Đáy ABC tam giác - Các mặt bên tam giác cân S - Chiều cao SO A - Góc cạnh bên mặt đáy : O   SBO   SCO  SAO C H B  - Góc mặt bên mặt đáy : SHO Chú ý : Hình chóp tam giác khác với tứ diện - Tứ diện có mặt bên tam giác - Hình chóp tam giác tứ diện cạnh bên cạnh đáy S Hình chóp tứ giác : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Khi : - Đáy ABCD hình vuông - Các mặt bên tam giác cân S - Chiều cao : SO   SBO   SCO   SDO  - Góc cạnh bên mặt đáy : SAO A B D H O C  - Góc mặt bên mặt đáy : SHO 6|P a ge Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx 6.2 Hình lăng trụ Hình lăng trụ đứng : hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy , mặt bên hình chữ nhật, cạnh bên chiều cao Hình lăng trụ : hình lăng trụ đứng có đáy đa giác đều, mặt bên hình chữ nhật Hình hộp : hình lăng trụ có đáy hình bình hành, mặt bên hình bình hành Hình hộp chữ nhật : hình lăng trụ đứng , có mặt hình chữ nhật Hình lập phương : lăng trụ đứng có tất mặt hình vuông 7|P a ge Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx PHẦN PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN Góc hai đường thẳng a  Khái niệm : Góc hai đường thẳng a a' b không gian góc hai đường thẳng a ' b ' qua điểm b' song song với hai đường thẳng a b b a;b   900 Chú ý : 00    Phương pháp xác định góc hai đường thẳng Để xác định góc hai đường thẳng chéo a b không gian, ta làm bước sau : Bước Cho điểm E cho qua E a xác định hai đường thẳng a ' b ' song song với a b a' M E b' N Bước Trong  a';b '  , chọn M  a '; N  b' cho b  dựa vào hàm số cosin tam giác MNE tính cosMEN  Bước Kết luận góc hai đường thẳng a b góc MEN   180  MEN  cosMEN   Chú ý : Ta áp dụng vectơ để tính góc hai đường thẳng   AB.CD      sau : cos  AB;CD   cos AB;CD  AB.CD   8|P a ge Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx   Ta cần tính AB.CD xong Góc đường thẳng mặt phẳng  Khái niệm : góc tạo đường thẳng (P) với hình chiếu mặt phẳng a  Kí hiệu :  d;  P     d;d'    , với d' hình d b chiếu vuông góc d lên P  (Q) Trong : 00    900  Cách xác định góc đường thẳng d với mặt phẳng P  Bước Xác định giao điểm N d P  Bước Chọn H  d cho xác định hình chiếu H M P  Bước Kết luận góc đường thẳng d P    : MNH Góc hai mặt phẳng  Khái niệm : Góc hai mặt phẳng góc d hai đường thẳng vuông góc với hai mặt M phẳng  Chú ý : 00   P  ;  Q    900 (P)  d' H  Cách xác định góc hai mặt phẳng P   Q  Bước Xác định giao tuyến d  P    Q  9|P a ge N Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx Bước Tìm mặt phẳng    mà d     Bước Xác định giao tuyến a      P  ; b       Q  Khi : a;b  P  ;  Q      Các ví dụ điển hình Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  a , tam giác SAB cân S mặt phẳng  SAB  vuông góc với mặt phẳng  ABCD  Biết góc mặt phẳng  SAC  mặt phẳng  ABCD  600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Gọi H trung điểm cạnh AB Tính góc hai đường thẳng CH SD Lời giải phân tích Đối với toán không gian, quan trọng phải xác định chân đường cao, từ có sở để xác định góc, khoảng cách… từ giả thiết để suy chiều cao yêu cầu đề Trong này, dấu hiệu nhận biết là: “ SAB cân mặt phẳng  SAB  vuông góc đáy” Xác định   SAC  ;  ABCD   trở nên đơn giản xác định chân đường cao: lúc cần xác định giao tuyến, hạ vuông góc từ chân đường cao đến giao tuyến Việc tính toán, ta nên vẽ hình phẳng nháp chưa thạo để dễ tính toán Cụ thể: Vì SAB cân S có HA  HB  SH  AB Mặt khác  SAB    ABCD  nên SH   ABCD  10 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx     sin  2          x  y  tan 4 8  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA đường cao đáy hình chữ nhât ABCD biết SA  a,AB  b,AD  c Trong mặt phẳng  SBD  vẽ qua trọng tâm G tam giác SBD đường thẳng cắt cạnh SB M cắt cạnh SD N Mặt phẳng  AMN  cắt cạnh SC hình chóp S.ABCD K Xác định vị trí M cạnh SB cho thể tích hình chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Lời giải : Ta chứng minh tính chất phẳng sau : Cho tam giác SBD , đường trung tuyến AO , đường thẳng d cắt SB,AO,SD M,I, N Chứng minh S : SD SB SO  2 SN SM SI Vẽ BK  HD  MN Dễ chứng minh BOK  DOH  OK  OH Theo định lý Ta-lét ta có : M I N H B D O K  SB SK  SM  SI SB SD SK  SH SO  OK  SO  OH SO     2  SM SN SI SI SI  SD  SH  SN SI Suy điều phải chứng minh Giải toán : 209 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx Do G tâm tam giác SBD , suy G tâm tam giác SAC Nên AG cắt SC trung điểm K SC S SM SN 1   x;  y   x,y   Đặt SB SD 2  Ta có : VSANK SA SN SK y VSAKM SA SK SM x   ;   VSADC SA SD SC VSACB SA SC SB M K N A G B O Mặt khác : VSACD  VSACB Nên D C 1  VSABCD  abc; VSANKM  VSANK  VSAKM abc  x  y  VSANK VSAKM 2VSANKM x  y     VSANKM  VSADC VSACB VSABCD 12 Ta có : SD SB SO 1 y  2       x  SN SM SG x y 3y  Suy : VSANKM abc  x  y  abc y   12 3y  y2 ,  y  Xét hàm số : f  y   3y  Ta có : f '  y   3y2  2y 3y  1 ; f 'y   y  Dựa vào BBT ta suy :  y  Min f  y    y  ; Max f  y     y  210 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx Vậy Max VSANKM  Min VSANKM  abc  x  y   MN  BD 18 abc  M trung điểm SB N trung điểm SD 16 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có G trọng tâm tam giác ABC Điểm I   thuộc cạnh SG cho SI  kSG,   k   Mặt phẳng    qua I cắt tia SA, SB, SC A ',B',C' , ( không trùng với S ) Xác định vị trí mặt phẳng    để thể tích khối chóp S.A 'B'C' nhỏ Lời giải Đặt SA ' SB ' SC '  a;  b,  c ,   a,b,c   SA SB SC Ta có : VS.A 'IB' SA ' SB ' SI V V   kab Tương tự : S.B 'IC'  kbc; S.C 'IA '  kca VS.AGB SA SB SG VS.BGC VS.CGA Suy : VS.A 'B' C'  VS.A 'IB ' VS.B'IC' VS.C'IA '  k        ab  bc  ca  VS.ABC  VS.AGB VS.BGC VS.CGA  S C'    VS.AGC  VS.BGC  VS.CGA  VS.ABC    A' I B' Mặt khác : Do : VS.A 'B 'C' SA ' SB ' SC'   abc VS.ABC SA SB SC k 1  ab  bc  ca   abc      k a b c A C G 3 abc B 211 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx Suy abc  k3  VS.A 'B 'C'  k  VS.A 'B ' C'  k 3VS.ABC VS.ABC Vậy Min VS.A 'B ' C'  k 3VSABC ,Đạt a  b  c  k       ABC  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Trên cạnh SC , lấy điểm C' cho SC'  k.CC' Mặt phẳng P  qua AC' cắt tia SB, SD B',D' Tìm GTLN, GTNN thể tích khối chóp SAB 'C 'D' Biết thể tích khối chóp S.ABCD V Lời giải Gọi O tâm hình bình hành ABCD I giao SO AC' Ta có : VS.AB' C' SB' SC' k SB' k SB' V    VS.AB' C'  VS.ABC SB SC k  SB k  1 SB VS.AD'C' SD' SC' k SD' k SD'    VS.AD'C'  V VS.ADC SD SC k  SD k  1 SD Suy : VS.AB'C 'D'  k  SB' SD'   V  k  1  SB SD  Áp dụng định lý Menelauyt cho tam giác SCO điểm thẳng hàng C',A,I , ta có : C 'C AC IO IO AO C'S SO 2k  1     C 'S AO IS IS AC C'C 2k SI 2k Theo bổ đồ ví dụ 3, ta có : 212 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx SB SD SO 2k  SB ' SD'  2  Đặt  x;  y Khi : SB ' SD ' SI k SB SD VS.AB'C'D'  k  x  y  V   2k   k  1 x y k S Suy : VS.AB ' C'D '   k.V  kx x   k  1  2k   x  k  C' D' 0  x  k  Với    x1 kx 0 1  k  2k  1 x  k  Xét hàm số : f x  x  D I B' C A kx k ;  x 1  2k  1 x  k k  O B x  2k  1 x 2k  1 x  2k   Ta có : f '  x   0 2k x   2k   x  k   2k  4k 2k x , 2k  2k  k  x 2k   Max f  x    k 1  k 1 x  Từ BBT ta thấy Min f  x   213 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx Vậy Min VS.AB 'C'D'  xy 2k V , đạt 2k  1k  1 k  2k   2k  P   BD Max VSAB 'C'D'  V , đạt 2k  k  1 k  x ;y    k   , hay P  qua B D  x  1;y  k  k 1 Bài tập rèn luyện Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng  SBC  2a Với giá trị góc mặt bên mặt đáy khối chóp thể tích khối chóp nhỏ Đáp số MinV  2a3 3, cos   Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy M điểm di động cạnh CD H hình chiếu S lên BM Tìm vị trí điểm M CD để thể tích khối chóp SABH lớn a2h ,x  a Đáp số MaxV  12 Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB nằm mặt phẳng P  A lấy điểm S Mặt phẳng  Q  qua A vuông góc SB H cắt SC K Tìm vị trí điểm C để thể tích khối chóp SAHK lớn 214 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx Đáp số Max VSAHK R3  Bài Cho hình chóp SABCD có cạnh SB  x , tất cạnh lại x Tính thể tích khối chóp SABCD theo a x Xác định x để khối chóp tích lớn a a  a3 a 2 Đáp số V  ax 3a  x , Max V= ,x  Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C'D' đường chéo AC '  a hợp với đáy ABCD góc  hợp với mặt bên BCC'B ' góc  Tính thể tích V hình hộp ABCD.A 'B 'C'D' theo , Khi tứ giác A 'D'CB hình vuông, xác đinh , để V đạt giá trị lớn Đáp số V  a2 sin .sin  cos2   sin2  , Max V  a3      300 Bài Cho tam giác OAB có cạnh AB  a Trên đường thẳng d qua O vuông góc với mặt phẳng  OAB  lấy điểm M cho OM  x Gọi E, F hình chiếu vuông góc A lên MB OB Đường thẳng EF cắt d N a Chứng minh : AN  BM b Xác định x để thể tích khối tứ diện nhỏ tính giá trị nhỏ Đáp số Min V  a3 a ,x  12 Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành G giao điểm hai đường chéo ABCD Điểm I thuộc cạnh SG cho   SI  kSG,   k   Mặt phẳng    qua I cắt tia SA, SB, SC, SD lần 215 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx lượt A ',B',C',D' Xác định vị trí mặt phẳng    để thể tích khối chóp S.A 'B'C'D' nhỏ Biết thể tích khối chóp S.ABCD V Đáp số MinV  k 3V       ABCD  Bài Cho tứ diện vuông SABC S Chứng minh a 3.S ABC  SSAB  SSBC  SSAC b Cho SA=a, SB+SC=k Đặt SB  x Tính thể tích tứ diện SABC theo a, x,k Xác định SB,SC để thể tích tứ diện SABC lớn ak k Đáp số Max V  ,SB  SC  25 Bài Cho tam giác ABC vuông A , AC  b,AB  c Gọi M trung điểm BC Đường thẳng d qua M vuông góc với  ABC  Trên d lấy điểm S khác M Mặt phẳng  Q  qua BC vuông góc  SAB  , cắt SA D Hãy xác định vị trí S d để thể tích tứ diện ABCD lớn Đáp số Max V  b2c b ,h  ,  SM  h  24 Bài 10 Cho hình lăng trụ ABC.A 'B 'C ' , có đáy ABC tam giác vuông A Khoảng cách từ AA ' đến mặt bên BCC'B '  a , mặt phẳng  ABC'  cách C khoảng b hợp với đáy góc  Tính thể tích khối lăng trụ theo a,b, Khi a  b , xác định  để thể tích lăng trụ nhỏ ab3 3a3 Đáp số V  ,MinV= ,tan   sin 2 b2  a2 sin2  216 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx Bài 11 Cho tứ diện SABC tích V M điểm tùy ý đáy ABC Qua M kẻ đường thẳng song song với SA,SB,SC Các đường cắt mặt phẳng  SBC  ,  SAC ,  SAB  A 1,B1,C1 Gọi V1 V 27 Bài 12 Cho tứ diện ABCD có cạnh lớn , cạnh khác không lớn Gọi V thể tích Hãy chứng tỏ : V  thể tích tứ diện M.A1B1C1 Chứng minh : V1  Bài 13 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm tam giác ABD Các mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng BCD  ,  CDA  ,  ABC  cắt cạnh CA,CB,CD A ',B',D' Xác định vị trí M để biểu thức sau đạt giá trị lớn : 1 P   VCMAB VCMBD VCMAD Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M,N hai điểm đoạn thẳng AB AD cho AB 2AD  4 AM AN a Chứng minh M,N thay đổi đường thẳng MN qua điểm cố định b Gọi V  VSABCD, V '  VSMBCN Chứng minh V'   V Bài 15 Trên cạnh AB,BC,CD,DA,AC BD tứ diện ABCD lấy điểm M,N,P,Q,S R Gọi V1 ,V2,V3,V4 V thể tích khối tứ diện AMSQ,BMNR,CNPR,DPQR, ABCD Tìm giá trị nhỏ V4 V1 V2 V3 V4 217 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx Chuyên đề Thiết diện toán liên quan đến thiết diện Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Đường cao SH  h Cho mặt phẳng P  qua BD vuông góc với mặt phẳng  SCD  Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện chia P  , biết góc mặt bên mặt đáy  Lờigiải Gọi M,N trung điểm AD,BC Ta có : MN  BC    BC   SMN    SBC  ;  ABCD    SNH   SH  BC Dựng DE  SC S BD  AC Vì   BD  SC  SC  BDE  suy BD  SH P   BDE  E D Đặt VSABCD  V; VC.EBD  V1;V2 phần lại M Ta có : V1 V1 CE   V 2VS.BCD CS A C N H B Tính SC  SN2  NC2  NH2 a a  NC    cos2   2  cos  cos  cos SNM 218 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx SSBC a a SN.BC a 1 cos   BE.SC  SN.BC  BE    SC 2 a 1  cos  1 2 cos  a2 a cos   Suy CE  BC  BE  a   cos   cos2  2 acos  V Khi :  V  cos2  a cos  V1 V cos2     cos2   V  V1 V2 cos2   1  cos  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD , đáy hình thang vuông , đường cao   450 Cạnh bên SA  a vuông AB  a , cạnh đáy nhỏ BC  a D góc với đáy Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM  x   x  a  Mặt phẳng P  qua M song song với  SBC  cắt CD,SD,SA N,P,Q Tính thể tích khối chóp AMNPQ diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn Lờigiải Ta có : P    SBC   P    ABCD   MN  BC; P    SCD   NP  SC P    SAD   PQ  AD Suy MNPQ hình thang 219 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx Mặt khác : MN  AB  MN   SAB   MN  MQ  MN  SA  S P Q Hay MNPQ hình thang vuông M,Q T E A D M N Hạ CE  AD  ABCE hình vuông cạnh a   450 , suy Tam giác CDE vuông E có EDC CDE tam giác vuông cân B C F Gọi F  CD  AB Suy BC đường trung bình tam giác FAD Tam giác FMN vuông cân nên : MN  MF  AF-AM=2a-x PQ SQ BM PQ a  x      PQ   a  x  ; AD SA BA 2a a MQ AM MQ AM MQ x       MQ  x 2 SB AB AB a a SA  AB Ta có : Diện tích tứ giác MNPQ : x 3x S  MQ  PQ  MN  2a  x  2a  2x    4a  3x  2 Áp dụng BĐT Cauchy ta có : Do : Max SMNPQ 3x 31 2a2 3 a  x  x  a  x      6 2a2 2a  , đạt 3x  4a  3x  x  3 2a Khiđó : AQ  SA  3 Trong  SAB  , hạ AT  MQ  AT  MNPQ  220 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông AMQ , ta có : 1 9 27 2a       AT  AT2 AM2 AQ2 4a2 8a2 8a2 Thể tích khối chóp AMNPQ : 1 2a 2a2 4a3 V  AT.dt  MNPQ    (đvtt) 3 27 Bài tập rèn luyện Bài Cho tứ diện SABC , M điểm nằm tứ diện Một mặt phẳng P  tùy ý qua M cắt cạnh SA,SB,SC A 1,B1,C1 Đặt V,VA ,VB ,VC thể tích tứ diện SABC, SMBC, SMCA, SMAB Chứng minh : V  SA SB SC VA  VB  V SA SB1 SC1 C Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC P  mặt phẳng qua AM song song BD Gọi E,F giao điểm P  với cạnh SB,SD Tìm tỉ số diện tích tam giác SME với tam giác SBC tỉ số diện tích tam giác SMF với tam giác SCD Đáp số SSME SSMF   SSBC SSDC Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi với đường chéo AC  4a,BD  2a cắt O Đường cao hình chóp SO  h Dựng mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB,SC,SD B',C',D' Xác định h để thiết diện B' C'D ' tam giác 221 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx Đáp số h  2a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Đoạn SA  a   vuông góc với đáy M điểm AC đặt AM  x  x  a Dựng thiết diện qua M song song với BD vuông góc với  ABCD  Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn Khi diện tích thiết diện lớn nhất, tính tỷ số thể tích hai phần mà thiết diện chia hình chóp Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , cạnh đáy a , đường cao h Dựng mặt phẳng    qua A vuông góc với SB,SC,SD B',C',D' Chiều cao h phải thõa mãn điều kiện để C' điểm thuộc cạnh SC , tính thể tích khối chóp S.AB 'C'D' Đáp số h    a2 2h2  a2   a , VSAB 'C 'D'  6h 2h2  a2 Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có góc mặt bên mặt đáy  Vẽ đường cao SH khối chóp Gọi E điểm thuộc SH có khoảng cách tới hai mặt phẳng  ABCD   SCD  Mặt phẳng P  qua E,C,D cắt SA,SB M,N a Thiết diện hình ? b Gọi thể tích khối tứ diện S.NMCD ABCDNM V1,V2 Tìm  để 3V2  5V1 Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M,N tương ứng trung điểm AD DC Hãy xác định vị trí điểm P nằm phần kéo dài 222 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến tin cậy Hotline: xxxxxx SD phía D cho thiết diện tạo MNP  chia hình chóp thành hai phần tích Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy a , chiều cao h Dựng thiết diện qua A vuông góc với  SAC  cho cắt SB, SC, SD tương ứng B',C',D' Xác định vị trí điểm C' SC cho VSAB 'C 'D '  VSABCD Bài Cho hình chóp tứ giác có mặt bên tạo với đáy góc  Thiết diện qua AC vuông góc với mặt phẳng  SAD  chia khối chóp thành hai phần Tìm tỉ số thể tích hai phần 223 | P a g e [...]... các tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy nhất Hotline: xxxxxx Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm I, a 6 2a 3 , SC  Tính theo a thể tích hình chóp 3 3 S.ABCD và góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SBC  SB  SD  a,SA  Lời giải và phân tích Trong bài này, chưa có dấu hiệu để xác định chân đường cao Tuy nhiên ta thấy rằng, đáy là hình thoi nên...  SD;  SBC    2 3 Bài 4 Chohình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  AB  a, AD  3a Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMD và cosin góc tạo bởi mặt phẳng  ABCD  và  SDM Đáp số : VS.ABMD  3a3  6 , cos   SMD  ;  ABCD    4 7   600 Bài 5 Chohình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD Gọi O là... 'C   Đáp số : V  a3; cos  2 Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a,BC  2a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  a Gọi H là hình chiếu của A trên SB Tính thể tích khối chóp H.ACD theo a và cosin góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  Đáp số : VH.ACD a2 10  ;cos  SBC  ;  SCD   6 5   Bài 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông... thêm các tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy nhất Hotline: xxxxxx Bài 17 Cho hình lăng trụ ABC.A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,   600 , BC  2a Hình chiếu vuông góc của điểm A ' trên mặt phẳng ABC  ABC  là trung điểm của cạnh AC , biết A 'H  3a Tính consin của góc 4 giữa hai đường thẳng A 'B và BC AB ';BC   Đáp số : cos  37 37 Bài 18 Cho hình lăng trụ... 1 Đáp số V  ,cos   2 4 Bài 21.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA  a,SB  a 3 và mặt phẳng  SAB  vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Tính thể tích khối chóp S.BMDN và cosin góc giữa hai đường thẳng SM,ND a3 3 5 , cos  SM;ND   Đáp số : V  3 5 Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và a 6 Gọi P  là mặt... sau Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a,AD  a 3 Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm H của OB , với O là tâm của đáy Biết góc giữa SC và mặt phẳng  ABCD  bằng 600 Tính khoảng cách : a Từ H đến  SCD  b Từ B đến  SAD  Lời giải và phân tích 30 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Sách... cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy nhất Hotline: xxxxxx AA ';  A 'BC   , ta tìm hình chiếu của A  lên  A 'BC  Vì  A 'BC  chứa đường cao, nên  A 'BC  vuông với đáy, ta chỉ cần hạ đường cao từ A đến BC là K thì K chính là hình chiếu của A lên  A 'BC  A' C' Vì A ' cách đều các đỉnh A,B,C nên B' chân đường cao hạ từ A ' lên... ra chiều cao Tương tự bài trên, nên vẽ hình phẳng ra nháp để dễ tính toán Cụ thể: Ta có : BC  AB2  AC2  4a  BI  IC  AI  2a Gọi K là hình chiếu của H lên AB suy ra   AB   SHK     SAB  ;  ABC    SKH  600 Gọi J là trung điểm của AB  IJ  1 IJ a 3 AC  a 3  HK   2 2 2 12 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến được...  Tính góc giữa hai đường thẳng  SBC  và  SAD  4  Đáp số :   SBC  ;  SAD    600 Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a   600 Mặt phẳng  SAB  vuông góc với mặt phẳng SA  a,SB  a 3,BAD 21 | P a g e Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Sách giáo dục trực tuyến được tin cậy nhất Hotline: xxxxxx đáy Gọi M , N là trung điểm của... vuông cân tại A , AB  AC  a Hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt phẳng  ABC  là điểm H thuộc cạnh BC sao cho HB  3CH Góc tạo bởi BB ' và mặt phẳng  ABC  bằng 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B 'C ' và cosin góc giữa hai mặt phẳng BCC'B'  và  ABC  a3 30 2  Đáp số : V  ,cos  BCC'B'  ;  ABC    8 19 Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông , tam giác SAB vuông