Chinh phục tổ hợp sắc xuất

Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission Số trang: 366 Khổ A4 Giá bìa: 149.000 vnđ _ ☀ Hãy để Lovebook biến ước mơ em thành thực ☀ ➡ Hãy đọc sách Lovebook để chắn có vé vào đại học trường chuyên tiếng nước ➡ Hãy đọc sách Lovebook để thưởng thức kinh nghiệm, kiến thức thủ khoa, giáo viên hàng đầu nước ➡ Hãy đọc sách Lovebook để xây dựng đề thi thử THPT quốc gia, kiểm tra chất lượng _ 🎵 LOVEBOOK - Vươn tới hoàn hảo 🎵 🎁 Danh mục sách sách khuyến mãi: lovebook.vn - goo.gl/XeHwk5 🎬 Video giảng: youtube.com/nhasachlovebook ☎ Hotline bán hàng: 0963 140 260 (Ms Nguyệt), 0981 553 885 (Ms Hoài) ☎ Hotline chuyên môn: 0981 553 882 (Mr Duy) ☎ Hotline liên kết phát hành: 0965 944 141 (Mr Thùy) 📖 Diễn đàn học tập: http://vedu.vn/forums/ 🔰 Tài liệu hay: http://tailieulovebook.com/ ✉ Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên: https://goo.gl/vEUuQZ 🌟 Website đào tạo: http://vedu.edu.vn Chinh phục tập Tổ hợp xác suất số phức Chữ ký lời chúc tác giả thành viên Lovebook Sách gốc phải có chữ ký tác giả thành viên Lovebook Bất kể sách chữ ký sách lậu, Lovebook phát hành Lời chúc & kí tặng LOVEBOOK.VN Chinh phục tập tổ hợp xác suất số phức Đời phải trải qua giông tố không cúi đầu trước giông tố! Đặng Thùy Trâm Hãy phấn đấu vươn lên không khối óc mà tim nữa! Lương Văn Thùy LOVEBOOK tin tưởng chắn em đỗ đại học cách tự hào hãnh diện nhất! Bản quyền thuộc Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp Không phần xuất phẩm phép chép hay phát hành hình thức phương tiện mà cho phép trước văn công ty GIA ĐÌNH LOVEBOOK CHINH PHỤC BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC Sách dành cho:        Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016) Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm tốt cho KÌ THI THPT QUỐC GIA Học sinh gốc Toán, học Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp kĩ giải toán Toán Học sinh muốn đạt 9,10 kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016) Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học sở trung học phổ thông Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm sách chứa phân tích, tìm tòi thú vị, sáng tạo độc đáo NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NHÀ XUẤN BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối – Hai Bà Trưng – Hà Nội Điện thoại: Biên tập – Chế bản: (04) 39714896; Quản lý xuất bản: (043) 9728806; Tổng biên tập: (04) 397 15011 Fax: (04) 39729436 Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc – Tổng biên tập: TS PHẠM THỊ TRÂM Biên tập: Chế bản: CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP Trình bày bìa: NGUYỄN SƠN TÙNG Sửa in: LƯƠNG VĂN THÙY – NGUYỄN THỊ CHIÊN – TĂNG HẢI TUÂN Đối tác liên kết xuất bản: CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP Địa chỉ: 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội SÁCH LIÊN KẾT CHINH PHỤC BÀI TẬP TỔ HỢP XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC Mã số: 1L – 160 ĐH2015 In 1000 cuốn, khổ 29,7 x 21cm Nhà máy In Bộ Tổng Tham Mưu – Bộ Quốc Phòng Địa chỉ: Km13 Ngọc Hồi, Thanh Trì, Hà Nội Số xuất bản: 2592 – 2014/CXB 34/ĐHQGHN, ngày 15/09/2015 Quyết định xuất số: 5783/CXBIPH-QLXB, ngày 15/09/2015 In xong nộp lưu chuyển quý III năm 2015 MỤC LỤC PHẦN I: PHÉP ĐẾM A LÝ THUYẾT I Lý thuyết Quy tắc đếm Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp II Lý thuyết mở rộng Nhắc lại số kiến thức tập hợp Quy tắc cộng tổng quát Hoán vị có lặp Hoán vị vòng quanh B PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI I Quy trình 4T II Các phương pháp tư lập sơ đồ công việc Phương pháp đếm trực tiếp Phương pháp đếm phần bù Phương pháp láy trước xếp sau Phương pháp vách ngăn III Các phương pháp đặc biệt nâng cao Sử dụng lý thuyết mở rộng Mô hình hóa toán C CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH I Dạng toán liên quan đến số học Lập số với điều kiện chữ số Lập số với điều kiện lớn hay nhỏ số cho trước Tính tổng số thỏa mãn điều kiện cho trước II Dạng toán liên quan đến hình học III Dạng toán chọn, chia từ tập hợp cho trước Dạng toán chọn Dạng toán chặn IV Dạng toán xếp vị trí V Một số toán phát biểu ngôn ngữ tập hợp D MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP E GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI TỔ HỢP TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015 PHẦN II XÁC SUẤT A LÝ THUYẾT I Lý thuyết Biến cố Xác suất biến cố Các quy tắc tính xác suất II Lý thuyết mỏ rộng Quy tắc cộng xác suất tổng quát Quy tắc tính xác suất có điều kiện (Nhân xác suất mở rộng) B PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI I Sử dụng định nghĩa cổ điển xác suất – quy toán đếm II Sử dụng quy tắc xác suất C CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH I Quy toán đếm Dạng toán với đồng xu, xúc xắc 13 13 13 13 15 16 16 17 19 20 22 22 24 24 28 32 33 35 35 37 41 41 41 49 56 57 61 61 65 68 70 71 90 96 96 96 96 97 98 98 99 99 101 101 105 108 108 108 Dạng toán liên quan đến số học 110 Dạng toán lấy (chọn) ngẫu nhiên 111 Dạng toán xếp vị trí 118 Một số toán xác suất khác 120 II Sử dụng quy tắc tính xác suất 122 D MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP 127 E GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI XÁC SUẤT TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015 141 PHẦN III NHỊ THỨC NEWTON VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 146 A LÝ THUYẾT 146 I Hệ số nhị thức 146 Định nghĩa 146 Một số tính chất 146 II Công thức triển khai nhị thức Newton 147 Định nghĩa 147 Một số tính chất 147 B CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 148 I Các toán liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Newton 148 m Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton 148 Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức 154 Tìm hệ số số hạng khai triển nhị thức thỏa mãn điều kiện cho trước 161 II Các dạng toán tính tổng, chứng minh đẳng thức tổ hợp có sử dụng nhị thức Newton 164 Phương pháp biến đổi đại số 164 Phương pháp nhị thức Newton xét giá trị riêng 173 3.2 Khai triển phức 184 Phương pháp đếm hai cách 187 Phương pháp sử dụng đạo hàm tích phân 192 III Các toán giải phương trình, Hệ phương trình, bất phương trình chứa hệ số nhị thức biểu thức tổ hợp khác 212 C MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP 218 D GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015 237 PHỤC LỤC, CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY HỒI SAI PHÂN 240 I Mở đầu 240 II Cơ sở phương pháp truy hồi sai phân 240 Một số ví dụ mở đầu 240 2, Phương pháp truy hồi sai phân 241 III Bài tập ứng dụng 242 PHẦN IV SỐ PHỨC 253 A LÝ THUYẾT 253 I Tổng quan 253 II Một số khái niệm quan trọng trường số phức 253 Dạng đại số số phức 253 Măt phẳng phức 253 Số thực số ảo 253 Số phức liên hợp 254 Mođun argumen 254 B CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 255 Dạng Thực phép toán tập phức C 255 Dạng Tìm số phức thỏa mãn điều kiện- Phương trình hệ phương trình đơn giản 256 Dạng Chuyển số phức sang dạng lượng giác Dạng Sử dụng công thức Moivre để tính toán Dạng Biểu diễn hình học Dạng Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Dạng Tìm bậc hai số phức – giải phương trình bậc hệ số phức Dạng Phương trình quy phương trình bậc Dạng Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình tập phức Dạng 10 Bài toán liên quan đến cực trị Dạng 11 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Dạng 12 Căn bậc n ứng dụng Dạng 13 Ứng dụng số phức toán hình học phẳng Dạng 14 Ứng dụng số phức lượng giác Dạng 15 Ứng dụng số phức tổ hợp Dạng 16 Ứng dụng số phức, công thức Moiver giải toán khác C MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP I Đề II Lời giải D GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI SỐ PHUWCSTRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015 Về dạng lượng giác số phức Về số lượng bậc n PHỤ LỤC: SỬ DỤNG MODE GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC PHẦN I KĨ NĂNG TÍNH TOÁN Tính giá trị biểu thức Thử đáp số Dạng lượng giác số phức Tính nhanh bậc số phức máy tính PHẦN II TỔNG KẾT – BÀI TẬP ỨNG DỤNG 257 260 261 263 265 267 271 273 276 279 283 285 291 297 301 301 311 358 361 361 363 363 363 363 363 364 365 Chinh phục tập tổ hợp xác suất số phức Your dreams – Our mission LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH I- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH F1 (T1/2015) TRẦN TRÍ KIÊN – PHAN NGỌC ĐỨC NGUYỄN VĂN SƠN II- GIỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN TRẦN TRÍ KIÊN (Chủ biên)  Sinh nhật: 23/09/1995  Facebook: https://www.facebook.com/Tran.Tri.Kien.1  Thành tích đã đạt được: (từ cao đến thấp) - Giải Nhì thi chọn Học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2013; - Huy chương đồng kỳ thi học sinh giỏi duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ  Cựu học sinh chuyên Toán trường THPT Chuyên Biên Hoà, Hà Nam  Sinh viên trường đại học Ngoại Thương, chuyên ngành Kinh Tế Đối Ngoại Trần Trí Kiên PHAN NGỌC ĐỨC  Sinh nhật: 11/09/1996  Facebook:  Thành tích: - Giải Đồng kì thi giải toán mạng Violympic cấp quốc gia; Giải KK casio cấp tỉnh (lớp 12)  Cựu học sinh trường THPT chuyên Hùng Vương, thành phố Pleiku,tỉnh Gia Lai  Trường đại học học: Đại học cảnh sát nhân dân Phan Ngọc Đức NGUYỄN VĂN SƠN  Thành tích: Giải Nhì kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2014  Cựu học sinh chuyên toán trường THPT chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An  Hiện sinh viên lớp Kĩ sư tài Công nghệ thông tin Đại học Bách Khoa Hà Nội Nguyễn Văn Sơn LOVEBOOK | I Chinh phục tập tổ hợp xác suất số phức Your dreams – Our mission LỜI MỞ ĐẦU Các bạn cảm thấy: Những chuyên đề Tổ hợp – Xác suất, Số phức quá lạ lẫm, sách giáo khoa cung cấp kiến thức ở mức bản đó lại có quá ít sách tham khảo để tìm hiểu và luyện tập thêm?  Lý thuyết tổ hợp, xác suất thật trừu tượng và khó hình dung, dù đã đọc kỹ sách giáo khoa và nghe cô giảng rồi mà bạn vẫn không thể nắm chắc được chúng Làm có thể học tốt được nếu nền móng còn chưa vững?  Lý thuyết số phức thì không quá nhiều cách ứng dụng lại quá đa dạng phong phú, tìm nhiều sách, học nhiều nơi mà vẫn không thể tổng hợp được đầy đủ những phân dạng của nó  Các thầy cô dạy ở trường cũng ở các lớp ôn thi đều giảng qua hai chuyên đề này vì cho rằng chúng không quan trọng Do vậy bạn chẳng có một định hướng nào một cách hệ thống gặp các bài toán ấy mà làm theo cảm tính! Trước tình hình các kì thi quốc gia có nhiều biến động, việc nắm chắc kiến thức ở tất cả các chuyên đề bộ môn Toán là rất quan trọng ⇒ bạn cần một tài liệu đầy đủ về Tổ hợp – xác suất, Số phức để tháo gỡ những vấn đề Vì lẽ đó đó, chúng dành tặng bạn cuốn "Chinh phục Tổ hợp – xác suất và số phức đề thi quốc gia"! Trong sách bạn sẽ: Hiểu sâu sắc và cặn kẽ về lý thuyết chuyên đề tổ hợp – xác suất Qua quá trình quan sát các bài kiểm tra, bài thi của học sinh trung học phổ thông, chúng nhận thấy rằng phần lớn các bạn còn khá mơ hồ về chuyên đề này, thậm chí là từ những kiến thức hết sức bản Do vậy những phần lý thuyết trình bày về tổ hợp – xác suất sẽ được viết theo không một mà nhiều cách khác nhau, với những ví dụ trực quan Để từ đó những người thiên về não phải hay tưởng tượng mộng mơ đến những người thiên về não trái đề cao tính logic đều tìm cho mình một cách tiếp cận phù hợp đến những khái niệm, định lý, công thức Không dừng ở mức giải thích cắt nghĩa, cuốn sách còn trình bày những đối tượng ấy một mối liên hệ tương quan chặt chẽ với Tiếp cận phương pháp giải toán tổ hợp – xác suất hoàn toàn mới – SƠ ĐỒ CÔNG VIỆC – một phương pháp được phát triển dựa việc kết hợp tư sáng tạo và tư logic, giúp thay việc diễn giải bằng lời truyền thống các bài giải, hướng dẫn, quá rối rắm khó hiểu, bởi một cách diễn với những sơ đồ thể mối liên hệ của các đối tượng bài toán Có thể nói, sơ đồ công việc đã giúp chuyển đổi ngôn ngữ viết trở thành ngôn ngữ của tư Những bạn học sinh khá và giỏi nhiều năm liền có thể sẽ gặp phải một chút khó khăn tiếp cận với phương pháp này chúng tin là các bạn sẽ nhanh chóng làm quen và sử dụng được nó một cách hiệu quả Với sơ đồ công việc, bạn sẽ có thể giải quyết phần lớn các bài toán đếm và xác suất đề thi quốc gia năm học tới Vậy cụ thể phương pháp này là gì, hãy tìm hiểu cuốn sách nhé LOVEBOOK | II Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission Mối liên hệ giữa các biểu thức tổ hợp Phần sẽ giúp bạn đọc hệ thống lại tất cả các quy tắc đếm, các biểu thức tổ hợp mối liên hệ giữa chúng Ta cùng bắt đầu với quy tắc cộng thông thường: + Với các tập A1 ; A2 ; … ; An đôi một phân biệt, ta có: |𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 | = |𝐴1 | + |𝐴2 | + ⋯ + |𝐴𝑛 | + Trong trường hợp đặc biệt hơn, |A1 | = |A2 | = ⋯ = |An | = m, A1 ; A2 ; … ; An thật n lựa chọn một công đoạn khác thực hiện công việc Số cách thực hiện công việc đó là: m.n Tăng số các công đoạn lên, ta có quy tắc nhân: n S | B1  B2  B3   Bn | m1  m2  m3   mn   mk k 1 + Ở một mặt khác, các tập A1 ; A2 ; … ; An không đôi một phân biệt thì ta phải sử dụng đến công thức cộng tổng quát để loại các phần tử đã bị đếm trùng chỉ sử dụng công thức cộng: n | A1  A2   An |  | Ai |   1i  k  n | Ai  Ak |   1i  j  k  n | Ai  Aj  Ak |   (1) n 1 | A1  A2   An | + Với quy tắc nhân, ta chứng minh công thức của hoán vị: Pn  n! + Tuy nhiên, đếm những hoán vị có các phần tử giống hệt nhau, ta phải dùng hoán vị có lặp để loại những phần bị đếm trùng P  n1 ; n2 ; ; nk    n1  n2  nk ! n1 !n2 ! nk ! Có thể thấy hoán vị có lặp gần giống với một “công thức nhân tổng quát” + Khi nhìn nhận việc hoán vị có lặp của một tập hợp n phần tử, phân chia các phần tử làm hai loại: k phần tử chọn (n-k) phần tử không chọn Ta có công thức tính số cách chọn k phần tử từ tập hợp chứa n phần tử, chính công thức tổ hợp: Ckn  n! k !(n  k )! + Sắp xếp k phần tử vừa chọn theo một thứ tự định, ta công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Ank  Ckn k !  n !k! n!  k !(n  k )! (n  k )! Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission + Khi xét đến hoán vị một vòng tròn, ta phải dùng một phần tử để làm mốc, chỉ có thể hoán vị các vị trí còn lại Do đó ta có công thức tính số hoán vị vòng quanh: Qn  (n  1)! Như vậy, hiểu mối liên hệ giữa các đối tượng này, chúng ta có thể nắm vững bản chất của các công thức tổ hợp, từ đó không những tránh nhầm nhọt sai sót quá trình làm mà còn mở rộng tư đếm của bản thân B Phương pháp làm I Quy trình 4T Với các toán đếm, một quy trình làm đã xây dựng để giúp các em có thể giải quyết dang một cách dễ dàng Đó quy trình 4T bao gồm: - Tìm hiểu đề - Thiết kế công việc - Tính toán - Trình bày Ta sẽ sâu tìm hiểu phương pháp 4T làm toán đếm thông qua việc trực tiếp làm một toán sau: Ví dụ 18: Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 có thể lập số tự nhiên có chữ số đôi một khác chia hết cho 3? Lời giải - St1: Tìm hiểu đề + Tóm tắt đề bài: Vì các toán đếm thường có đề gần gũi với cuộc sống, không mang ngôn ngữ toán học nên cần có một bước tóm tắt lại những dữ kiện toán cho dưới ngôn ngữ toán học “0;1;2;3;4;5” – “số tự nhiên có chữ số” – “đôi một khác nhau” – “chia hết cho 3” các dữ kiện của toán + Xác định các điều kiện chủ chốt: Thật không có một ranh rới rõ ràng giữa “điều kiện chủ chốt” “điều kiện không chủ chốt”, ta chỉ có thể ngầm hiểu điều kiện chủ chốt những điều kiện chưa quen thuộc, chưa gặp nhiều lần, chưa biết cách xử lý Còn các điều kiện đã quen thuộc thì giải quyết thường lệ Ở Ví dụ 18 thì có thể thấy điều kiện chủ chốt “chia hết cho 3” + Chuyển các điều kiện đó thành điều kiện của toán đếm: Vận dụng kiến thức toán nói chung để chuyển những điều kiện chủ chốt thành những điều kiện có thể vận dụng quá trình đếm - Trước hết ta cần nhớ lại những số tự nhiên chia hết cho những số có tổng các chữ số chia hết cho - Lại để ý 0+1+2+3+4+5=15 chia hết cho Đề yêu cầu lập số có chữ số, nghĩa ta phải bớt một số số để tổng các số còn lại chia hết cho - Trong đó 1,2,4,5 không chia hết cho 3; thì chia hết cho ⇒ ta chỉ có thể bớt một hai số hoặc - Do đó các số thỏa mãn ycbt (có chữ số đôi một khác chia hết cho 3) chỉ có thể tạo thành từ các bộ số {0;1;2;4;5} hoặc {1;2;3;4;5} Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission - St2: Thiết kế công việc: Có thể nói bước chia nhỏ công việc - thứ cần phải đếm số cách làm – thành các công việc nhỏ hơn, dễ đếm cách làm + Thiết kế công việc theo các bước các trường hợp: Sử dụng sơ đồ công việc + Xác định mối quan hệ của các công việc nhỏ  Quan hệ giữa các bước ngang hàng nhau:  Quan hệ giữa các trường hợp ngang hàng nhau:  Quan hệ bao chứa tính phần bù: Lập số TH1: từ số 0;1;2;4;5 B1.1: Chọn chữ số hàng trăm nghìn: Có cách chọn từ tập {1;2;4;5} TH2: từ số 1;2;3;4;5 B1.2: Xếp chữ số lại vào vị trí sau: Có P4=4! cách Có P5=5! cách lập số - St3: Tính toán: Số cách lập số là: Dùng quy tắc nhân Dùng quy tắc cộng + Các trường hợp ngang hàng thì dùng quy tắc cộng + Các bước ngang hàng thì dùng quy tắc nhân + Các trường hợp bao chứa ngang hàng tính phần bù thì dùng phép trừ (sẽ nói rõ phần dưới) - St4: Trình bày: Ở bước này, ta làm công việc trình bày lại ngắn gọn đầy đủ bước thành một lời giải để phù hợp với một thi (chẳng hạn thi đại học) Lời giải: Dễ thấy các số thỏa mãn ycbt (có chữ số đôi một khác chia hết cho 3) chỉ có thể tạo thành từ các bộ số {0;1;2;4;5} hoặc {1;2;3;4;5} Ta xét trường hợp: −TH1: tạo thành từ bộ số {0;1;2;4;5}: + Chọn chữ số hàng chục nghìn: có cách từ tập {1;2;4;5} Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission +Chọn chữ số càn lại: có P4 =4!= 24 cách chọn Như vậy trường hợp có 4.24=96 số thỏa mãn −TH2: tạo thành từ bộ số {1;2;3;4;5} Có P5  5!  120 cách chọn Do đó tổng cộng có 96+120=216 số thỏa mãn ycbt (*) Chú ý: - Trong bước của phương pháp 4T thì bước đầu những bước không chính thức, có thể làm nháp hoặc nếu đã thành thạo có thể nhẩm đầu - Có thể nói sơ đồ công việc công cụ chính liên kết giữa các dữ kiện đề kết quả toán Tuy nhiên, để lập một sơ đồ công việc không phải trường hợp đơn giản ⊛ Trong nhiều trường hợp, nếu chỉ áp dụng các quy tắc thông thường thì việc giải quyết toán không dễ dàng, thường phải xét nhiều trường hợp không thể giải Với những đó ta thường phải mô hình hóa toán thành một dạng khác dễ giải quyết (những vậy thường mức độ khó hoặc khó) Có nhiều cách để mô hình hóa một toán lại không có một khuôn mẫu cả, vì vậy những toán thật sự dạng toán khó các toán đếm Tuy vậy, các cách mô hình hóa phải đảm bảo điều kiện tạo một song ánh giữa các đối tượng Nói theo ngôn ngữ tập hợp sau: Ta cần tìm số phần tử của tập hợp A, đó ta sẽ xây dựng một song ánh giữa tập hợp A tới tập hợp B (B dễ đếm A) Khi đó |A|=|B| Khi đó, thay vì đếm trực tiếp |A|, ta sẽ chuyển qua đếm |B| (Tồn tại một song ánh giữa tập A với tập B chỉ với phần tử thuộc tập hợp A tồn tại chỉ phần tử thuộc tập hợp B tương ứng với nó, chiếc giày trái chỉ tương ứng với chiếc giày phải) Ví dụ 36: Cho n thùng gỗ giống hoàn toàn xếp theo từng chồng từ trái sang phải (số lượng các chồng số thùng một chồng tùy ý khác 0) Tìm số cách xếp n hộp gỗ đó Lời giải Ta kí hiệu các thùng gỗ sau: + Nếu thùng đó sát mặt đất thì ghi số + Nếu thùng đó bên một thùng khác thì ghi số Viết liên tiếp các kí tự đó một dòng theo thứ tự từ trái sang phải, từ dưới lên ta một dãy nhị phân(dãy gồm các số 1) xác định cách xếp n thùng gỗ đó Để ý kí tự đầu tiên vì chắn phải có thùng đầu tiên tiếp xúc với mặt đất Như vậy ta chuyển toán việc tìm số các dãy nhị phân có độ dài n bắt đầu chữ số Kí tự đầu tiên có : cách chọn (số 1) Mỗi kí tự tiêp theo có: cách chọn( hoặc 1) Như vậy có tất cả 2n 1 dãy nhị phân thế, 2n 1 cách xếp thùng thỏa mãn ycbt Nhận xét: Như ví dụ trên, ta phải đảm bảo điều kiện “xác định một cách” chính việc đảm bảo ta đã xây dựng một song ánh đúng Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission Ta cùng xét thêm một vài ví dụ sau: Ví dụ 37: (Bài toán chia kẹo Euler) Có n chiếc kẹo đem chia cho m người cho người nhận một số nguyên không âm các chiếc kẹo Tìm số cách chia kẹo Phân tích: Đây một toán khá tiếng, có nhiều ứng dụng các đếm Vấn đề chính giải chỉ phải tìm cách mô hình hóa toán phù hợp Lời giải Xét một dãy gồm n chấm m−1 vách ngăn xếp thứ tự một đường thẳng: |.| ||.| | | (ví dụ dãy gồm 17 chấm vách ngăn) Dễ thấy m − vách ngăn sẽ tạo m khoảng riêng biệt Coi số chấm ngăn thứ k số kẹo mà người thứ k nhận Số các dãy lập số các cách chia kẹo thỏa mãn yêu cầu toán Để lập một dãy thứ tự ta chỉ cần chọn n + m − vị trí đường thẳng lấy m − vị trí để đặt các vách ngăn (n vị trí còn lại ta đặt các chấm) 1 Số các dãy lập số cách chọn đó Cm n  m 1 1 Vậy số cách chia kẹo Cm n  m 1 Nhận xét: + Bằng cách mô hình hóa toán một cách khôn ngoan, ta đã có thể giải quyết vấn đề một cách khá dễ dàng + Bản chất thật sự của toán chia kẹo Euler tìm số các bộ nghiệm nguyên không âm (k1 ;k2 ;k3 ; ;k m ) của phương trình: k1  k2  k3   k m  n Thật vậy, gọi k1 số kẹo mà người thứ chia; k2 số kẹo mà người thứ chia,…,kn số kẹo mà người thứ n chia ⇒ Trong các toán phát biểu dưới dạng khác nếu có thể đưa dạng tìm số nghiệm của phương trình thì ta có thể nghĩ đến việc tìm sử dụng toán chia kẹo Euler Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission Bài 23: Người ta sử dụng sách Toán, Vật Lí, Hóa học ( các sách cùng loại giống nhau) để làm giải thưởng cho học sinh, học sinh sách khác loại Trong số học sinh có bạn Kỳ Kiên Tính xác suất để bạn Kỳ Kiên có giải thưởng giống Lời giải Gọi A biến cố: “Kỳ Kiêncó giải thưởng giống nhau.” Vì học sinh nhận sách khác loại, nên giả sử có a học sinh nhận sách (Toán Lí); b học sinh nhận sách (Lí Hóa) 5-a học sinh nhận sách (Toán Hóa) 5  a   b a    6  a  b b  Do đó, có học sinh nhận sách (Toán Lí); học sinh nhận sách ( Toán Hóa) học sinh nhận sách (Lí Hóa) Số phần tử của không gian mẫu |  | C29 C37 C44  1260 TH1: Kỳ Kiên nhận sách (Toán, Lí), số khả C37 C44  35 TH2: Kỳ Kiên nhận sách (Toán, Hóa), số khả C17C26 C44  105 TH3: Kỳ Kiên nhận sách (Lí, Hóa), số khả C72 C53 C22  210 |  A | 25  105  210  350  P(A)  | A | | |  18 Nhận xét: Bài toán yêu cầu một kĩ xử lý dữ kiện đề tốt trước tiến hành đếm Cụ thể ban đầu đề cho khá lung tung: "Người ta sử dụng sách Toán, Vật Lí, Hóa học để làm giải thưởng cho học sinh" Như vậy ta mới chỉ biết tới các "nguyên liệu" các phần quà, còn cụ thể loại phần quà có số lượng thì chưa biết, vậy, muốn hoàn thành toán đếm, ta phải xác định điều đó Sau xử lý, dữ kiện trở thành: phần quà "Toán – Lý", phần quà "Toán – Hóa", phần quà "Hóa – Lý", đó mới thứ ta cần để thực hiện đếm Bài 24: Một hộp có 10 quả bóng bàn, đó có quả mới quả cũ Hôm qua, nhóm tập lấy quả để chơi, sau đó lại để lại vào hộp Hôm nhóm tập lại lấy quả để chơi Tìm xác suất để quả lấy hôm mới (Gọi biến cố A).(Một quả gọi mới nó chưa chơi lần nào) Phân tích: Có thể thấy số cách chọn bóng mới của ngày hôm phụ thuộc vào cách chọn bóng của ngày hôm qua Việc mà ta cần làm xác định mối quan hệ phụ thuộc đó thông qua việc đặt ẩn k số bóng mới mà ngày hôm qua lấy Lời giải Gọi hôm qua ngày 1, hôm ngày Ta có thể sử dụng quy tắc đếm để tính xác suất định nghĩa sau: Số cách lấy bóng ngày là: C310 cách Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission Ứng với cách lấy có C310 cách lấy ngày ⇒ Số cách lấy hai lần là: |Ω|= C310 C310 =14400 Nếu ngày hôm trước lấy k 0  k  3 quả mới thì: Ngày 1: số cách lấy k quả mới (3−k) quả cũ là: C6k C34k cách Ngày 2: số cách lấy quả mới là: C36k cách ⇒ qua ngày, số cách để lần lấy quả mới là: C6k C43k C63k  6! 4! (6  k )! 2880  k !(6  k )! (3  k )!(k  1)! 3!(3  k )! k !(k  1)! (3  k )!2 Thay k lần lượt 0;1;2;3 ta có:  1 1  A  2880       700 2 2!3! 3!4!   1.1.(3!) 1.2!(2!) Vậy xác suất cần tính là: P  700  14400 144 Bài 30: Có 11 chiếc kẹo em bé đó có em bé X Các em bé chia kẹo một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để em bé X không chia chiếc kẹo Phân tích: Nói đến chia kẹo ta liên tưởng đến toán chia kẹo Euler thật sự thì giải dựa vào toán đó Lời giải Số cách chia 11 chiếc kẹo cho em bé là: 81 C11  C718 81 Nếu em bé X không chia chiếc kẹo thì nghĩa 11 chiếc kẹo chỉ phải chia cho bé còn lại Số cách chia 11 chiếc kẹo cho em là: C711171  C17 P Như vậy xác suất để X không chiếc kẹo là: C17 C718  18 Bài 32*: Huy tham gia một trò chơi truyền hình, anh giành thắng cuộc vòng thử thách chọn một phần quà đựng hộp kín của chương trình, đó phần quà séc trị giá 10 triệu đồng phần quà còn lại chỉ mang ý nghĩa tinh thần Sau Huy chọn một hộp, người dẫn chương trình (đã biết trước kết quả) mở một số hộp mà Huy đã không chọn hộp đó mang phần quà có giá trị tinh thần, tiếp sau đó người dẫn chương trình đề nghị với Huy một sự lựa chọn lại, anh có thể đổi chiếc hộp mà anh cầm với chiếc hộp mà người dẫn chương trình cầm (và chưa mở) Huy cho bây giờ xác suất 50 – 50 nên quyết định không đổi Hỏi quyết định đó của Huy có chính xác hay không? Lời giải: Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission Gọi các hộp đựng quà H1; H2; H3 các món quà $; 0; – đó H1 hộp mà Huy đã chọn; H2 H3 hộp mà Huy không chọn; Gọi Hm hộp mở, Hx hộp sẽ dùng để đưa điều kiện trao đổi Ta sẽ xét bảng sau: Số tiền Trường hợp Trường hợp Trường hợp H1 $ 0 H2 $ H3 0 $ Hm 0 Hx $ $ Số tiền hộp mở đương nhiên 0, người dẫn chương trình đã biết trước kết quả Nhưng ta so sánh hàng H1 Hx, rõ ràng Hx có lợi chiếm tới trường hợp kiếm tiền Do vậy xác suất thực tế lúc người dẫn chương trình đưa hội không phải 50 – 50 mà 2:1 ⇒ Nên đổi thì sẽ quyết định sáng suốt Nhận xét: Toán xác suất giúp ta có những quyết định sáng suốt cuộc sống ;) Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission Phương pháp sử dụng tích phân Dấu hiệu nhận biết để sử dụng phương pháp tích phân các số hạng biểu thức tổ hợp chứa các phân số dạng: Ckn với m một số nguyên đó Giống phương pháp đạo hàm việc xem xét k  m   đặc điểm của số hạng quan trọng vì đó yếu tố then chốt giúp ta biết lựa chọn khai triển để lấy tích phân cận tích phân phù hợp Phương pháp giải : n n k 0 k 0 Xét khai triển sau:  x  a    Ckn x k a n k   an k Ckn x k n  Lấy tích phân hai vế với cận từ v đến u ta được: u  x  a u u n  n  ank Ckn k 1 n 1 dx     a n k Ckn x k  dx  x  a     k 1 x n  k  v k 0   v v u n v n 1 n 1 u  a  v  a an k Ckn k 1  u  v k 1  n 1 k 0 k  n   (*) Hầu hết các toán sử dụng phương pháp tích phân có giả thiết dưới dạng (*) Nói riêng với a  , ta có:  n 1  u  1   v  1 Ckn  k  uk 1  v k 1  n 1 k 0 n  Để tính tích phân có đại lượng  n 1 * * Ckn , ta nhân x m1 vào khai triển ban đầu thực hiện các bước km tương tự Khác với phương pháp sử dụng đạo hàm, ta không viết dạng khai triển tổng quát  x  a  mà ta cố gắng n ghi nhớ các công thức (*), (**) dựa vào đặc điểm của toán để tìm khai triển tìm cận phù hợp Thông thường, ta sẽ biến đổi các số hạng biểu thức tổ hợp dưới dạng: a n k Ckn k 1 u  v k 1 k m   đó khai triển cần tìm xm1  x  a  cận để lấy tích phân chính từ v đến n u Ta cùng xét các toán cụ thể để hiểu rõ phương pháp Bài 92 Chứng minh rằng: C0n C1n C2n Cn 1 Cn 2n 1      n  n  n n 1 n 1 Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission Phân tích: các số hạng của tổng vế trái có dạng: Ckn Cn  n 1k 1  nên ta sẽ lấy tích phân khai triển k 1 k 1    x  1n với cận từ đến Lời giải Xét khai triển sau:  x  1  C0n  C1n x  C2n x2   Cnn x n n Lấy tích phân hai vế với cận từ đến 1, ta được: 1   2 3 n n   x  1 dx   Cn  Cn x  Cn x  Cn x   Cnx dx n 0 1 1 1 n 1 n     xC0n  x2C1n  x3C2n  x4C3n   x nCnn 1  x Cn  n n 1  0 1 1 n  C0n  C1n  C2n  C3n   Cnn1  Cn n n 1 Mặt khác ta có:   x  1 Vậy n n x  1  dx  n 1  2n 1  n 1 C0n C1n C2n Cn 1 Cn 2n 1      n  n  n n 1 n 1 Nhận xét :  Bài toán đã xuất hiện phần sử dụng các đẳng thức quen thuộc của phương pháp biến đổi đại số Cũng phải nói thêm rằng, hầu hết các sử dụng phương pháp tích phân có thể dùng phương pháp biến đổi đại số để giải Bạn đọc có thể tự giải để củng cố lại kiến thức của mình  Bài toán còn có nhiều cách phát biểu nữa, chẳng hạn như, chứng minh các đẳng thức sau: i C0n C1n C2n Cn 1 Cn 2n1      n  n  2n 2n  2n  ii C0n C1n C2n Cn 1 Cn 2n1      n  n  3n 3n  3n  Giải những này, chúng ta có thể rút các thừa số chung 1 , tương ứng các đẳng thức i, ii đưa 92 Tuy nhiên, thực tế thì các toán hoàn toàn độc lập với 92, vì chúng hệ quả của phép lấy tích phân một khai triển Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Ta nhận thấy rằng:   n Do đó:  x x2  dx      n   n   n 2 2   x  1 dx   x  d x   2x x  dx   x x  dx  n Your dreams – Our mission 0   n x2  dx  20 C0n C1n C2n Cn 1 Cn     n  n 2n 2n   Như vậy nếu không có 92, ta sẽ xét khai triển x x2   n sau đó lấy tích phân với cận từ đến sẽ cho đẳng thức i   n Hoàn toàn tương tự, ta có:  x2 x3  dx  C0n C1n C2n Cn 1 Cn     n  n 3n 3n  Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission Ứng dụng của số phức toán hình học phẳng Để có thể giải toán hình học phẳng số phức, quan trọng ta phải chuyển đổi các quan hệ mặt phẳng thành cách điều kiện có liên quan đến số phức (như môđun, acgumen,…) Kiến thức cần nhớ: + Trong mặt phẳng phức, nếu các điểm A, B có tọa độ a, b (a, b≠0) thì độ dài đoạn thẳng AB AB = |ab| + Nếu O gốc tọa độ thì OA = |a|, OB = |b| , (a, b≠0) + Đẳng thức đại số: Với mọi a,b,c thỏa mãn điều kiện xác định của biểu thức, ta có: *1) ab  a  b  bc  b  c   ca  c  a     a  b b  c c  a  *2) a2  b  c   b2 c  a   c2 a  b   a  b b  c c  a  *3) a3  b  c   b3  c  a   c3 a  b   a  b b  c c  a a  b  c  Ví dụ Cho tam giác ABC một điểm M bất kì mặt phẳng Chứng minh rằng: a.MB.MC  b.MC.MA  c.MA.MB  abc với a  BC,b  AC,c  AB Lời giải Xét mặt phẳng phức có M gốc tọa độ Gọi tọa độ của các điểm A, B, C x, y, z Ta có MA  x ,MB  y ,MC  z c  AB  x  y ,a  BC  y  z ,b  CA  z  x Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: y z y z  z  x z x  x  y x y  y z z  x x  y Ta có: y  z y z  z  x z x  x  y x y   y  z  yz  z  x  zx   x  y  xy   y  z  yz   z  x  zx   x  y  xy Theo *1) thì  y  z  yz   z  x  zx   x  y  xy   x  y  y  z z  x  nên toán chứng minh Ví dụ Cho tam giác ABC một điểm M bất kì mặt phẳng Chứng minh a.MA2  b.MB2  c.MC2  abc với a  BC,b  AC,c  AB Lời giải: Xét mặt phẳng phức có M gốc tọa độ Gọi tọa độ của các điểm A, B, C x, y, z Ta có MA  x ,MB  y ,MC  z c  AB  x  y ,a  BC  y  z ,b  AC  z  x Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: y  z x  z  x y  x  y z2  y  z z  x x  y Mà: y  z x  z  x y  x  y z2  x  y  z   y  z  x   z  x  y   x  y  z   y  z  x   z2  x  y  Và theo *2) thì x2  y  z   y  z  x   z2  x  y    x  y  y  z z  x  (đpcm) Dấu đẳng thức xảy M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission Ví dụ Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M một điểm bất kì mặt phẳng Chứng minh a.MA3  b.MB3  c.MC3  3abc.MG với a  BC,b  AC,c  AB Lời giải: Xét mặt phẳng phức có M gốc tọa độ Gọi tọa độ của các điểm A, B, C x, y, z Tọa độ của điểm G xy z Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 3 y z x  z  x y  x  y z  y z z  x x  y x  y z Sử dụng *3) bất đẳng thức tam giác ta có điều phải chứng minh Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức Your dreams – Our mission Phụ lục: SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC Lưu ý: Các loại máy tính dòng CASIO fx-570es trở lên hoặc VINACAL 570es trở lên có thể sử dụng Quy ước: + Khởi động chế độ số phức MODE thì mới có thể sử dụng phím ENG +  9i , tức nhập vào hình 1+9i , rút gọn cho  ENG (i gọi phím ENG ) Phần I: KĨ NĂNG TÍNH TOÁN Tính giá trị biểu thức: Ví dụ 1: Tính nhanh các giá trị A B sau: A    3i 1  9i   6i 3  2i 5  4i   i   5i  5i   i 2  4i  i  95  8i  ; B    2  2i  i 5  i  + Thao tác: Nhập vào hình:   3i 1  9i   6i2  5i   i 2  4i  i  95  8i   , hiện 113-438i Vậy A=113-438i 3  2i 5  4i   i   5i   2  2i  i 5  i  Nhập vào hình: Vậy B    , hiện  13011 595  i 52 52 13011 595  i 52 52 Ví dụ 2: (D-2013) Cho số phức z thỏa (1  i)(z  i)  2z  2i Tính môđun của số phức w  z  2z  z2 HD: Tìm z  i  w  1  3i Môđun của w: SHIFT Abs 1  3i  , hiện 10 Vậy w  10 Thử đáp số: Ví dụ: Giải phương trình tập số phức: z  2z   4i Sau đặt z  a  bi  a,b  đáp số z  * Thử đáp số:  4i  thì z̅ = a − bi thay vào phương trình đã cho, biến đổi, giải hệ ẩn a, b ta sẽ Chinh phục tổ hợp, sắc xuất số phức + Thao tác: 2  4i SHIFT STO X : gán z   4i cho biến X 3 X  2Conjg(X)   4i  , hiện Tức đáp số đã đúng + Ý nghĩa thao tác: Conjg(X) X (cũng tức z ), Conjg( xuất hiện nhấn SHIFT 2 Dạng lượng giác của số phức: … Your dreams – Our mission