bộ đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 có đáp án

Đề số Thời gian làm bài: 120 phút Câu1: (2 điểm) 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a +b b + c c + d d + a + + + Tìm giá trị biểu thức: M= c + d d + a a +b b + c Cho dãy tỉ số nhau: Câu2: (1 điểm) Cho S = abc + bca + cab Chứng minh S số phơng Câu3: (2 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, lúc xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h Biết khoảng cách AB 540 km M trung điểm AB Hỏi sau khởi hành ôtô cách M khoảng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M Câu4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác ã a Chứng minh rằng: BOC = àA + ãABO + ãACO A b Biết ãABO + ãACO = 900 tia BO tia phân giác góc B Chứng minh rằng: Tia CO tia phân giác góc C Câu 5: (1,5điểm) Cho đờng thẳng đờng thẳng song song CMR có đờng thẳng mà góc nhọn chúng không nhỏ 200 Câu 6: (1,5điểm) Khi chơi cá ngựa, thay gieo súc sắc, ta gieo hai súc sắc lúc điểm thấp 2, cao 12 điểm khác 3; 4; ;6 11 Hãy lập bảng tần số khả xuất loại điểm nói trên? Tính tần xuất loại điểm Hết Đề số Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: Tìm số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn: a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =x +8 -x 2 Câu 4: Biết :1 +2 +3 + +10 = 385 Tính tổng : S= 22+ 42+ +202 Câu : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC D a Chứng minh AC=3 AD b Chứng minh ID =1/4BD - Hết -Đề số Thời gian làm bài: 120 phút Câu ( 2đ) Câu (1đ) Câu (2đ) a) A = a b c a+b+c a = = Cho: Chứng minh: = b c d d b+c+d a c b = = Tìm A biết rằng: A = b+c a+b c+a Tìm x Z để A Z tìm giá trị x+3 x2 Câu (2đ) Tìm x, biết: x3 = a) b) A = b) 2x x+3 ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E BC, BH AE, CK AE, (H,K AE) Chứng minh MHK vuông cân Hết -Đề số Thời gian làm : 120 phút Câu : ( điểm) Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4,12 ,a Biết a số tự nhiên Tìm a ? 2 Chứng minh từ tỉ lệ thức a c = ( a,b,c ,d 0, ab, cd) ta suy đợc tỉ b d lệ thức: a) a c = ab cd b) a+b c+d = b d Câu 2: ( điểm) Tìm số nguyên x cho: ( x2 1)( x2 4)( x2 7)(x2 10) < Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| với a ãADC Chứng minh rằng: DB < DC Câu 5: ( điểm ) Tìm GTLN biểu thức: A = x 1004 - x + 1003 Hết Đề số 14 Thời gian : 120 Câu (2 điểm): Tìm x, biết : a 3x +5x = 4x-10 b 3+ 2x + > 13 Câu 2: (3 điểm ) a Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỷ lệ với 1, 2, b Chứng minh rằng: Tổng A=7 +72+73+74+ +74n chia hết cho 400 (n N) Câu : (1điểm )cho hình vẽ , biết + + = 1800 chứng minh Ax// By A x C B y Câu (3 điểm ) Cho tam giác cân ABC, có ãABC =100 Kẻ phân giác góc CAB cắt AB D Chứng minh rằng: AD + DC =AB Câu (1 điểm ) Tính tổng S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .+ (-3)2004 Hết -Đề số 15 Thời gian làm bài: 120 phú Bài 1: (2,5đ) Thực phép tính sau cách hợp lí: Bài 2: (2,5đ) 1 1 1 1 90 72 56 42 30 20 12 Tính giá trị nhỏ biểu thức: A = x + x Bài 3: (4đ) Cho tam giác ABC Gọi H, G,O lần lợt trực tâm , trọng tâm giao điểm đờng trung trực tam giác Chứng minh rằng: a AH lần khoảng cách từ O đến BC b Ba điểm H,G,O thẳng hàng GH = GO Bài 4: (1 đ) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007 - Hết -Đề 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(3đ): Chứng minh A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hết cho 102 Câu 2(3đ): Tìm x, biết: a x + x + = ; b 3x = x + Câu 3(3đ): Cho tam giác ABC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Các đờng trung trực tam giác gặp tai Các đờng cao AD, BE, CF gặp H Gọi I, K, R theo thứ tự trung điểm HA, HB, HC a) C/m H0 IM cắt Q trung điểm đoạn b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) Hãy suy kết tơng tự nh kết câu b Câu 4(1đ): Tìm giá trị x để biểu thức A = 10 - 3|x-5| đạt giá trị lớn - Hết Đề 17 Thời gian: 120 phút Bài 1: (2đ) Cho biểu thức A = a) Tính giá trị A x = x x +3 b) Tìm giá trị x để A = - c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài (3đ) a) Tìm x biết: x = x b) Tính tổng M = + (- 2) + (- 2)2 + +(- 2)2006 c) Cho đa thức: f(x) = 5x3 + 2x4 x2 + 3x2 x3 x4 + 4x3 Chứng tỏ đa thức nghiệm Bài 3.(1đ) Hỏi tam giác ABC tam giác biết góc tam giác tỉ lệ với 1, 2, Bài 4.(3đ) Cho tam giác ABC có góc B 600 Hai tia phân giác AM CN tam giác ABC cắt I a) Tính góc AIC b) Chứng minh IM = IN Bài (1đ) Cho biểu thức A = 2006 x 6x Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Hết 10 a) Góc AIC = 1200 (1đ) b) Lấy H AC cho AH = AN (0,5đ) Từ chứng minh IH = IN = IM (1đ) Bài A=1+ 2000 x AMax x > nhỏ (0,5đ) x = x = Vậy x = thoã mãn điều kiện toán A Max= 2001 (0,5đ) Đáp án đề 22 Câu 1: (2.5đ) 15 a 1 a1 25 20 15 1 = 2 30 50 30 40 = 1 1 a2 : = : = (0.5đ) 20 (0.5đ) 5.9 2.6 210.38.(1 3) = = A = 10 8 + 20 210.38 (1 + 5) b = 0.(21) 33 21 = c3 0,(21) = ; 99 33 c 55 c1 (0.5đ) = 0,3(18) 22 c4 5,1(6) = c2 Câu 2: (2đ) Gọi khối lợng khối 7, 8, lần lợt a, b, c (m3) a + b + c = 912 m3 Số học sinh khối : Theo đề ta có: (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) a b c ; ; 1,2 1,4 1,6 b a b c = = (0.5đ) 3.4,1 1,2 4.1,4 5.1,6 a b c = = = 20 4.1,2 12.1,4 15.1,6 Vậy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3 Nên số HS khối 7, 8, lần lợt là: 80 hs, 240 hs, 300 hs Câu 3: ( 1.5đ): a.Tìm max A (0.5đ) (0.5đ) 107 Ta có: (x + 2)2 (x = 2)2 + Amax= x = -2 (0.75đ) b.Tìm B Do (x 1)2 ; (y + 3)2 B Vậy Bmin= x = y = -3 (0.75đ) Câu 4: (2.5đ) Kẻ CH cắt MB E Ta có EAB cân C E EAB =300 EAM = 200 CEA = MAE = 200 E (0.5đ) Do ACB = 800 ACE = 400 AEC = 1200 10 ( ) (0.5đ) H A Mặt khác: EBC = 200 EBC = 400 CEB = 1200 ( ) (0.5đ) Từ ( ) ( ) AEM = 120 Do EAC = EAM (g.c.g) AC = AM MAC cân A (0.5đ) Và CAM = 400 AMC = 700 (0.5đ) Câu 5: (1.5đ) Giả sử a2 a + b không nguyên tố a2 a + b Cùng chia hết cho số nguyên tố d: a2 chia hết cho d a chia hết cho d a + b chia hết cho d b chia hếta cho d (0.5đ) (a,b) = d trái với giả thiết Vậy (a2,a + b) =1 (0.5đ) M 300 B Đề 23 Câu I : 1) Xác định a, b ,c a b + c 5(a 1) 3(b + 3) 4(c 5) 5a 3b 4c + 20 = = = = = = = 10 12 24 10 12 24 => a = -3 ; b = -11; c = -7 Cách : a b + c = = = t ; sau rút a, b ,c thay vào tìm t =- tìm a,b,c 108 2) Chứng minh Đặt a c = = k => a= kb ; c = kd Thay vào biểu thức : b d 2a 3ab + 5b 2c 3cd + 5d k 3k + k 3k + = = => đpcm + 3k + 3k 2b + 3ab 2d + 3cd Câu II: Tính: 1 1 1 1 1 32 16 + + + ) = + + + = = =>A = 3.5 5.7 97.99 5 97 99 99 99 99 1 1 1 1 1 2) B = = + + + 50 51 = (3) + (32 ) + (33 ) + + (350 ) + (351 ) 3 3 1) Ta có :2A= 2( 1 1 1 1 351 (351 1) + + + + B = => = => B = (352 ) (3 ) (33 ) (3) (351 ) (352 ) 352 4.351 Câu III 2 + 0,(1).3 = + = 10 10 10 10 30 1 12 32 + 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+ 0,(32)= 0,12+ 0,(01).32 = 1000 1000 100 1000 99 1489 = 12375 Ta có : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = Câu IV : Gọi đa thức bậc hai : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1) P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vào (1) ta có -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= => 2b -2+16 = > b= -5 P(3) = => 6a-30 +16 =1 => a = 5 Vậy đa thức cần tìm : P(x) = x( x 1)( x 2) x( x 1) + 2( x 3) + 16 => P(x) = 25 x - x + 12 x + 10 2 Câu V: a) Dễ thấy ADC = ABE ( c-g-c) => DC =BE Vì AE AC; AD AB mặt khác góc ADC = góc ABE => DC Với BE b) Ta có MN // DC MP // BE => MN MP MN = 1 DC = BE =MP; 2 109 Vậy MNP vuông cân M - Đáp án đề 24 Bài 1: a) 3 3 3 + + + 10 11 12 + A = 5 5 5 (0,25đ) + + 10 11 12 1 1 1 + + ữ + ữ 10 11 12 + A= (0,25đ) 1 1 1 + + ữ + ữ 10 11 12 A= 3 + =0 5 b) 4B = + + + 2 (0,25đ) 102 (0,25đ) 3B = 102 Bài 2: a) Ta có 430 = 230.415 (0,25đ) 10 30 11 3.24 = (0,25đ) mà 415 > 311 430 > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 b) = 36 > 29 (0,25đ) 33 > 14 1; 2102 B= (0,25đ) (0,25đ) 36 + 33 > 29 + 14 (0,25đ) Bài 3: Gọi x1, x2 x3 lần lợt số ngày làm việc máy x1 x2 x3 = = (1) (0,25đ) Gọi y1, y2, y3 lần lợt số làm việc máy y1 y2 y3 = = (2) (0,25đ) Gọi z1, z2, z3 lần lợt công suất máy z1 z2 z3 = = 5z1 = 4z2 = 3z3 1 (3) Mà x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25đ) (0,25đ) 110 x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 395 = = = = 15 40 395 Từ (1) (2) (3) 18 15 (0,5đ) x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 Vậy số thóc đội lần lợt 54, 105, 200 (0,25đ) Bài 4: a) EAB =CAD (c.g.c) (0,5đ) ã ã ABM (1) (0,25đ) = ADM (0,25đ) ã ã ã Ta có BMC (0,25đ) = MBD + BDM (góc tam giác) ã ã ã ã ã BMC (0,25đ) = MBA + 60 + BDM = ADM + BDM + 60 = 120 b) Trên DM lấy F cho MF = MB (0,5đ) FBM (0,25đ) DFBAMB (c.g.c) (0,25đ) A D ã ã DFB = AMB = 120 (0,5đ) F Bài 6: Ta có x = f (2) + f ( ) = 1 x = f ( ) + f (2) = 2 47 f (2) = 32 (0,25đ) E M (0,25đ) B C (0,5đ) - đáp án đề 25 Câu a.Nếu x suy x = (thoã mãn) Nếu < suy x = -3 (thoã mãn) b x x y =1 = = y 6 x = y = x = ;hoặc y = x = ; y = x = y = x = ; y = x = ;hoặc y = x = ; y = x = 111 Từ ta có cặp số (x,y) (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6) c Từ 2x = 3y 5x = 7z biến đổi x y z 3x y z x y + z 30 = = = = = = =2 21 14 10 61 89 50 63 89 + 50 15 x = 42; y = 28; z = 20 Câu c A tích 99 số âm 1.3 2.4 5.3 99.101 A = ữ ữ1 ữ = g g ggg ữ 1002 16 100 1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 = g = > A< 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 200 2 d x +1 = x B= x 3+ 4 = 1+ B nguyên x x x U( 4) nguen x x { 4; 25;16;1; 49} Câu Thời gian thực tế nhiều thời gian dự định Gọi vận tốc dự định từ C đến B v1 == 4km/h Vận tốc thực tế từ C đến B V2 = 3km/h V t V 1 Ta có: V = va t = V = 2 (t1 thời gian AB với V1; t2 thời gian CB với V2) t t t t t 15 2 từ t = = = = = 15 t2 = 15 = 60 phút = Vậy quãng đờng CB 3km, AB = 15km Ngời xuất phát từ 11 45 phút (15:4) = Câu e Tam giác AIB = tam giác CID có (IB = ID; góc I1 = góc I2; IA = IC) f Tam giác AID = tam giác CIB (c.g.c) góc B1 = góc D1 BC = AD hay MB =ND tam giác BMI = tam giác DNI (c.g.c) Góc I3 = góc I4 M, I, N thẳng hàng IM = IN Do vậy: I trung điểm MN g Tam giác AIB có góc BAI > 900 góc AIB < 900 góc BIC > 900 h Nếu AC vuông góc với DC AB vuông góc với AC tam giác ABC vuông A Câu P= x + 10 10 10 = 1+ P lớn lớn x x x 112 10 0 x 10 lớn x số nguyên dơng nhỏ x Xét x > 4x=1x=3 10 = 10 Plớn = 11 x - Hớng dẫn chấm đề 26 Bài : a) Tìm x Ta có x + 5x =9 x = 9-5x * 2x x 2x = 9-5x x = 15 không thoã mãn (0,5) * 2x < x< 2x = 9-5x x= thoã mãn Vậy x = (0,5) 1 1 b) Tính (1+2+3+ +90).( 12.34 6.68) : + + + = (0,5) ( 12.34 6.68 = 0) c) Ta có : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 + + 2101 2A A = 2101 (0,5) 101 101 Nh < Vậy A1 Để A = tức 16 +1 25 = ; x = ta có : A = 16 x +1 x =5 x= x= 25 +1 = 4; 25 (1) (1) Bài : E thuộc phân giác ABC nên EN = EC ( tính chất phân giác) suy : tam giác NEC cân ENC = ECN (1) D thuộc phân giác góc CAB nên DC = DM (tính chất phân giác ) suy tam giác MDC cân DMC =DCM ,(2) Ta lại có MDB = DCM +DMC (góc CDM ) = 2DCM Tơng tự ta lại có AEN = 2ECN Mà AEN = ABC (góc có cạnh tơng ứng vuông góc nhọn) MDB = CAB (góc có cạnh tơng ứng vuông góc nhọn ) Tam giác vuông ABC có ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy CAB = ABC = AEN + MDB = ( ECN + MCD ) suy ECN + MCD = 450 Vậy MCN = 900 450 =450 (1,5) Bài : Ta có P = -x2 8x + = - x2 8x 16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do ( x+ 4)2 với x nên ( x +4)2 +21 21 với x Dấu (=) xảy x = -4 Khi P có giá trị lớn 21 hớng dẫn đề 27 Câu 1: (3đ) b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25 suy 2n-1 + 2n+2 = 9.25 suy 2n (1/2 +4) = 25 suy 2n-1 =9 25 suy n-1 = suy n=6 c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5đ 0,5đ 0,5đ 114 3n.10 M10 2n.5 = 2n-1.10 M10 suy 3n.10-2n.5 M10 0,5đ Bài 2: a/ Gọi x, y, z lần lợt số học sinh 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây(x, y, zz+) ta có: 2x=3y = 4z x+y+z =130 0,5đ hay x/12 = y/8 = z/6 mà x+y+z =130 0,5đ suy ra: x=60; y = 40; z=30 -7(4343-1717) b/ -0,7(4343-1717) = 0,5đ10 43 40 10 Ta có: 43 = 43 43 = (43 ) 43 43 tận 433 tận suy 4343 tận 1717 = 1716.17 =(174)4.17 174 có tận suy (174)4 có tận suy 1717 = 1716.17 tận 0,5đ suy 4343 1717 có tận nên 4343-1717 có tận suy 4343-1717 chia hết cho 10 0,5đ 43 17 suy -0,7(43 -17 ) số nguyên Bài 3: 4đ( Học sinh tự vẽ hình) a/ MDB= NEC suy DN=EN 0,5đ b/ MDI= NEI suy IM=IN suy BC cắt MN điểm I trung điểm MN 0,5đ c/ Gọi H chân đờng cao vuông góc kẻ từ A xuống BC ta có AHB= AHC suy HAB=HAC 0,5đ gọi O giao AH với đờng thẳng vuông góc với MN kẻ từ I OAB= OAC (c.g.c) nên OBA = OCA(1) 0,5đ OIM= OIN suy OM=ON 0,5đ suy OBN= OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5đ Từ (1) (2) suy OCA=OCN=90 suy OC AC 0,5đ Vậy điểm O cố định - Đáp án đề 28 Câu 1: (2đ) a a + a = 2a với a (0,25đ) Với a < a + a = (0,25đ) b a - a -Với a a - a = a a = -Với a< a - a = - a - a = - 2a 115 c.3(x 1) - 2x + -Với x + x - Ta có: 3(x 1) x + = 3(x 1) 2(x + 3) = 3x 2x = x (0,5đ) -Với x + < x< - Tacó: 3(x 1) - 2x + = 3(x 1) + 2(x + 3) = 3x + 2x + = 5x + (0,5đ) Câu 2: Tìm x (2đ) a.Tìm x, biết: 5x - - x = x = x + (1) ĐK: x -7 (0,25 đ) x = x + ( 1) x = ( x + ) (0,25 đ) (0,25 đ) Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 b 2x + - 4x < (1,5đ) 2x + < + 4x (1) ĐK: 4x +9 x (0,25đ) (1) ( x + ) < x < x + < x < (t/mĐK) (0,5đ) Câu 3: Gọi chữ số số cần tìm a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18 số phải chia hết cho Vậy (a + b + c ) chia hết cho (1) (0,5đ) Tacó: a + b + c 27 (2) Vì a ; b ; c Từ (1) (2) ta có (a + b + c) nhận giá trị 9, 18, 27 (3) Suy ra: a = ; b = ; c = (0,5đ) Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho vừa chia hết cho chữ số hàng đơn vị phải số chẵn Vậy ssố càn tìm là: 396 ; 963 (0,5đ) -Vẽ hình viết giả thiết, kết luận (0,5đ) -Qua N kẻ NK // AB ta có EN // BK NK = EB EB // NK EN = BK Lại có: AD = BE (gt) 116 AD = NK (1) -Học sinh chứng minh ADM = NKC (gcg) (1đ) DM = KC (1đ) Đáp án đề 29 Bài 1: Ta có: 10A = 102007 + 10 =1+ 2007 2007 10 + 10 + (1) 102008 + 10 =1+ 2008 (2) 2008 10 + 10 + 9 10A > 10B A > B Từ (1) (2) ta thấy : 2007 > 2008 10 + 10 + Tơng tự: 10B = Bài 2:(2điểm) Thực phép tính: ữ ữ ữ 1 A = (1 + 2).2 ữ (1 + 3).3 ữ (1 + 2006)2006 ữ ữ ữ ữ = 2007.2006 10 18 2007.2006 = 10 2006.2007 12 20 2006.2007 (1) Mà: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Từ (1) (2) ta có: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 = = = A= 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 Bài 3:(2điểm) Từ: x 1 x = = y y y Quy đồng mẫu vế phải ta có : = x-2 Do : y(x-2) =8 Để x, y nguyên y x-2 phải ớc Ta có số nguyên tơng ứng cần tìm bảng sau: Y x-2 X 10 -1 -8 -6 -2 -4 -2 4 -4 -2 -8 -1 Bài 4:(2 điểm) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh thứ Vậy có: 117 b + c > a Nhân vế với a >0 ta có: a.b + a.c > a2 (1) Tơng tự ta có : b.c + b.a > b (2) a.c + c.b > c (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta đợc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 ã Bài 5:(3 điểm) Vẽ tia phân giác ABK cắt đờng thẳng CK I A Ta có: VIBC cân nên IB = IC ã ã VBIA = VCIA (ccc) nên BIA = CIA =1200 Do đó: VBIA = VBIK (gcg) BA=BK b) Từ chứng minh ta có: I K ã BAK = 700 B C - Đáp án đề 30 Câu 1: ( điểm ) 1 < với n nên ( 0,2 điểm ) n n 1 1 A< C = + + + + ( 0,2 điểm ) n a Do Mặt khác: C= = 1 1 + + + + ( n 1).( n + 1) ( 0,2 điểm) 1.3 2.4 3.5 1 1 1 1 + + + + ( 0,2 điểm) n n + = + n 3 < = với k = 1,2 n ( 0,25 điểm ) k áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 số ta có: k +1 k + k +1 1.1 k + = < k k k Suy < k +1 + + + + k +1 k +1 < 1+ k k k +1 k +1 k = ( 0,5 điểm ) Lần lợt cho k = 1,2, 3, n n < +3 k 1 (0,5 điểm ) + = 1+ k +1 k k ( k + 1) cộng lại ta đợc n +1 + + n +1 < n + < n + ( 0,5 điểm) n n => [ ] = n Câu (2 điểm ) Gọi , hb ,hc lần lợt độ dài đờng cao tam giác Theo đề ta có: + hb hb + hc hc + 2( + hb + hc ) + hb + hc = = = = 20 10 ( 0,4 điểm ) hc hb = = => : hb : hc = : 2: ( 0,4 điểm ) 1 Mặt khác S = a.ha = bhb = chc ( 0,4 điểm ) 2 a b c = = 1 => (0 , điểm ) hb hc => 1 1 1 => a :b : c = h : h : h = : : = 10 : 15 : (0 ,4 điểm ) a b c Vậy a: b: c = 10 : 10 : Câu 4: ( điểm ) Trên tia Ox lấy A , tia Oy lấy B cho O A = O B = a Ta có: O A + O B = OA + OB = 2a => A A = B B Gọi H K lần lợt hình chiếu Của A B đờng thẳng A B Tam giác HA A = tam giác KB B ( 0,25 điểm ) ( 0,25 điểm ) y 119 ( cạnh huyền, góc nhọn ) => H A = KB, HK = AB Ta chứng minh đợc HK AB (Dấu = A trùng A B trùng B AB AB Vậy AB nhỏ OA = OB = a Câu ( điểm ) Giả sử a + b + c = d Q ( 0,2 điểm ) => a + b = d a => b +b +2 bc = d + a + 2d a => bc = ( d + a b c ) 2d a ( 0,5 điểm ) (0,25 điểm) (0,25 điểm) ( 0,2 điểm ) (0,25điểm ) ( 0,2 điểm) ( ) ( 0,2 điểm) => 4bc = ( d + a b c ) + d2a 4b ( d + a b c ) a ( 0,2 điểm) => d ( d + a b c ) a = ( d + a b c ) + 4d 2a bc * Nếu d ( d + a b c ) # thì: ( a= d + a b c ) + 4d a 4ab số hữu tỉ 4d ( d + a b c ) ( 0,2 điểm) (0,2 5điểm ) ** Nếu d ( d + a b c ) = thì: d =0 d 2+ a-b c = ( 0,25 điểm ) + d = ta có : a+ b+ c =0 => a = b = c = Q (0,25 điểm ) + d 2+ a-b c = từ (1 ) => bc = d a Vì a, b, c, d nên a = Q ( 0,25 điểm ) Vậy a số hữu tỉ Do a,b,c có vai trò nh nên a , b , c số hữu tỉ 120 121