SKKN - Bài toán quỹ tích

bĐờng trung trực: Tập tất cả các điểm cách hai điểm cố định cho trớc là đờng trung trực của đoạn thẳng nối liền hai điểm này.. f Đờng tròn Apôloniút: Tập hợp các điểm M sao cho tỷ số kho

h ớ n g d ẫ n h ọ c s i n h t ì m l ờ i g i ả i

b à i t o á n q u ỹ t í c h

t r o n g h ì n h h ọ c

A - đặt vấn đề

I - lí do

\ Nâng cao chất lợng giáo dục trong nhà trờng là nhiệm vụ số một và cũng là mục tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên Đặc biệt là chất lợng giáo dục đối với học sinh cuối cấp Bởi vì điều này quyết định đến kết quả thi tốt nghiệp và thi vào tr-ờngTHPT của các em

\ Là một giáo viên tham gia giảng dạy bộ môn toán trờng THCS An Cầu, tôi luôn trăn trở làm thế nào để nâng cao chất lợng bộ môn Tôi cho rằng ngời thầy cần nâng cao chất lợng ngay từ giờ lên lớp , chú trọng đổi mới phơng pháp dạy học, tích cực kiểm tra và theo dõi sát xao việc học tập của học sinh Từ đó ngời thầy uốn ắn , giải đáp vớng mắc cho các em và điều chỉnh phơng pháp giảng dạy sao cho phù hợp nhất Đồng thời ngời thầy thờng xuyên ôn tập , hệ thống kiến thức, phân loại bài tập, hình thành phơng pháp và kỹ năng giải toán cho học sinh

II - phạm vi & đối t ợng áp dụng

\Trong bài viết này tôi xin đề cập đến vấn đề “hớng dẫn học sinh tìm lời

giải bài toán quỹ tích trong hình học ”

\ Đối tợng áp dụng là học sinh khối 8,9 và ôn thi vào lớp 10

\ Để giải một bài toán quỹ tích có nhiều cách xong nói chung có thể quy về hai phơng pháp sau:

+ Phơng pháp sơ cấp + Phơng pháp biến hình ( tịnh tiến, quay, đối xứng, đồng dạng, nghịch đảo )

Xong để phù hợp với trình độ nhận thức và chơng trình môn toán THCS tôi

xin dừng lại ở phơng pháp sơ cấp và đi sâu vào việc hớng dẫn cho các em tìm

ra lời giải

B- Giải quyết vấn đề

I - nhận xét

\ Những bài tìm quỹ tích đòi hỏi học sinh phải có kiến thức và kỹ năng nhất

định Cho nên trong thời gian đầu học sinh học dạng toán này, nếu giáo viên ôn tập theo các bài tập của tài liệu ngay thì nhiều em không có khả năng tiếp thu bài học Bởi các em cha có một hệ thống kiến thức và kỹ năng về dạng toán này \ Muốn học sinh làm đợc các bài tập tìm quỹ tích theo yêu cầu thì trớc hết giáo viên cần chia nhỏ yêu cầu đó thành các phần, các bớc Mỗi phần giáo viên trang

bị kiến thức và kỹ năng phân tích, làm bài cho các em

II- Nội dung

1.

Tổng quát :"tập hợp những điểm có tính chất αα là hình F "

\ Để chứng minh hình F là tập những điểm có tính chất α α(nghĩa là chứng minh tập hợp những điểm thuộc hình F và tập hợp những điểm có tính chất α là hai tập hợp bằng nhau ) ta chứng minh:

Với  M, M(α) α αM(F))

α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α αM(α) α: α" αM αcó tính chất αα α"

α\ αNh vậy, ta chứng minh 2 phần:

a)Phần thuận:

\ Lấy một điểm M bấy kỳ có tính chất α, αchứng minh M thuộc hình ( F ):

M(α) αM(F)) α

b)Phần đảo:

\ Lấy một điểm M’bất kỳ thuộc hình ( F ) , chứng minh M’có tính chất α:

M’ ( F )  M’(α α)

 Chú ý: Đôi khi để đỡ phải vẽ nhiều hình, ở phần đảo ngời ta vẫn lấy điểm

M  ( F ) thay cho M’ ( F ).

2-

a)Đờng tròn: Tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cố định cho trớc một khoảng cho trớc là đờng tròn tâm là điểm cố định cho trớc ấy và bán kính là khoảng cách cho trớc ấy

b)Đờng trung trực: Tập tất cả các điểm cách hai điểm cố định cho trớc là đờng

trung trực của đoạn thẳng nối liền hai điểm này

c)Đờng phân giác: Tập hợp các điểm cách đều hai đờng thẳng c ho trớc là:

\ Hai đờng phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng đó nếu hai đờng thẳng cho trớc cắt nhau

\ Đờng thẳng song song cách đều với hai đờng thẳn cho trớc nếu hai đờng thẳng cho trớc song song

d)Đờng thẳng song song: Tập hợp các điểm cách một đờng thẳng cho trớc một

khoảng cho trớc là hai đờng thẳng song song với đờng thẳng đã cho và cách đ-ờng thẳng đã cho một khoảng đã cho

e)Cung chứa góc: Tập hợp các điểm từ đó nhìn thấy một đoạn thẳng AB cho

tr-ớc dới một góc α cho trtr-ớc là hai cung chứa góc α αvẽ trên đoạn αAB

f) Đờng tròn Apôloniút: Tập hợp các điểm M sao cho tỷ số khoảng cách từ đó

đến hai điểm cố định A, B cho trớc bằng tỷ số k không đổi ( k  1) là đờng tròn

có đờng kính là một đoạn thẳng IJ trong đó I và J là điểm chia trong và chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỷ số k

g) Tổng các bình phơng: Tập hợp các điểm có tổng các bình phơng của hai

khoảng cách từ đó đến hai điểm A và B cho trớc, có giá trị không đổi k2 với k là

độ dài cho trớc là đờng tròn có tâm là trung điểm của AB và bán kính

bằng

2

2k  a với ( a = AB; k 

2

2

a )

h) Hiệu các bình phơng: Tập hợp các điểm mà hiệu các bình phơng của hai

khoảng cách từ đó đến hai điểm A,B cho trớc có một giá trị không đổi k với k là

độ dài cho trớc là một đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng AB tại điểm H sao cho OH =

AB

k

2

2

trong đó O là trung điểm của đoạn thẳng AB.

3

Đoán nhận hình dạng của tập hợp điểm.

\ Mặc dù không phải trình bày vào bài làm xong đây là một bớc khá quan trọng Vì nếu các em làm tốt phần này các em sẽ tìm ra hớng đi đúng cho toàn bài

\ Các bài toán tìm tập hợp điểm thờng cho dới dạng“Tìm tập hợp những điểm có tính chất α”.Nh vậy đòi hỏi ta trớc hết phải dự đoán hình ( F ) , phải tìm là hình gì rồi phải chứng minh M(α) α αM(F))

\Sau αđây là một vài cách đoán nhận:

a)Dựa vào thực nghiệm:

\ Hình dạng : Dựa vào những điều kiện của bài toán, tìm một số phần tử cần thiết ( ít nhất là 3 ) thuộc tập hợp các điểm có tính chất α và căn cứ vào đó mà

đoán nhận hình dạng của tập hợp thuộc loại thẳng hay tròn

Lấy ít nhất 3 điểm, chú ý điểm đặc biệt và điểm bất kỳ đẻ biết sơ bộ về hình dạng

 αVí dụ1

Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính AB Mlà điểm chuyển động trên nửa đ-ờng tròn, H là hình chiếu của M trên AB Trên đoạn thẳng OM lấy N sao cho

ON = MH Tìm tập hợp điểm N

*)Dự đoán : Khi M trùng A hoặc B thì N trùng O

Khi M là điểm chính giữa cung AB

thì N ≡ I và lấy thêm điểm M bất kỳ thuộc nửa

đờng tròn thì có điểm N

Ta thấy O, N, I không thẳng hàng vậy có thể

dự đoán tập hợp phải tìm thuộc loại đờng tròn

đi qua N, I và O

 αVí dụ2

Cho góc xOy = 1V, A là điểm cố định nằm

trong góc đó Điểm B chạy trên ox, điểm C chạy

trên Oy sao cho AB AC Tìm tập hợp hình chiếu

của A trên cạnh BC

*)Dự đoán: BO thì Q thuộc tập hợp phải tìm, CO

thì P thuộc tập hợp phải tìm, khi Δ ABC ở vị trí bất

kỳ thoả mãn điều kiện đầu bài thì hình chiếu của A

là H,cùng P và Q có khả năng thẳng hàng Vậy tập

hợp thuộc loại đờng thẳng đi qua P,Q

b)Dựa vào vị trí

\ Xét liên hệ giữa những phần tử của tập hợp ( chuyển động ) với những phần tử

đã cho ( cố định , không đổi ) để tìm ra đợc những phần tử cố định thuộc tập hợp hoặc những phần tử cố định , không đổi cần thiết để xác định hình chứa tập hợp các điểm có tính chất 

 αVí dụ3

Cho góc xAy B,C lần lợt thay đổi

trên tia Ax, Ay sao cho: AB + AC =1

Tìm tập hợp những giao điểm M của

đờng tròn ngoại tiếp Δ ABC với đờng

thẳng song song với BC đợc kẻ từ A

*)Dự đoán: Dễ thấy A, B1, C1 thuộc tập hợp, trong đó B1Ax sao cho AB1=1,

C1Ay sao cho AC1=1 Vậy tập hợp có thể là đờng tròn đi qua A, B1, C1

 αTóm lại : Vấn đề tìm đợc những phần tử cố định hoặc không đổi liên quan đến tập hợp những điểm đặc trng đang xét và qua những phần tử đó mà tìm toàn bộ tập hợp là nội dung chủ yếu của phơng pháp này

c) Dựa vào xác định số giao điểm của tập hợp những điểm có tính chất đặc tr ng với hình cố định nào đó:

 Trên một đờng thẳng cố định có hai điểm của tập hợp và nếu đờng thẳng

đó không thuộc tập hợp những điểm trên thì nói chung nó thuộc loại đờng tròn.

Đặc biệt nó có thể là hai đờng thẳng đi qua hai điểm ấy.

 αVí dụ4

Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 + MB2 = k2 trong đó A, B cố định còn k là độ dài cho trớc

*)Dự đoán: Ta thấy trên đờng thẳng AB có hai điểm thuộc tập hợp trên và

những điểm còn lại trên đờng thẳng AB không thuộc tập hợp phải tìm Do đó tập hợp đang xét thuộc loại tròn hoặc hai đờng thẳng đi qua hai điểm nói trên  αVí dụ5

Cho 3 điểm A, B, C cố định không thẳng hàng Tìm tập hợp những điểm M sao cho khoảng cách từ B đến AM bằng khoảng cách từ C đến AM

*)Dự đoán: Ta thấy A và trung điểm I của BC thuộc tập hợp này Vậy tập hợp

đang xét có thể là hai đờng thẳng đi qua hai điểm này

 Nếu trên đờng thẳng cố định chỉ có một điểm thuộc trờng hợp đang xét thì tập hợp đó nói chung thuộc loại thẳng hoặc cung tròn.

 αVí dụ6

Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 - MB2 = k2 trong đó A, B cố định

và k là độ dài cho trớc

*)Dự đoán: Ta thấy có một điểm M thuộc đờng thẳng AM có MA2 - MB2 = k2

do đó tập hợp điểm này có thể thuộc loại thẳng

c)Dựa vào tính đối xứng ( trục, tâm ) của tập hợp những điểm đặc trng

\ Thuộc loại thẳng mà có trục đối xứng thì nó vuông góc với trục đối xứng

\ Thuộc loại tròn mà có trục đối xứng thì tâm của nó nằm trên trục đối xứng

α α α α α αVí dụ7

Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 + MB2 = k2 trong đó A, B cố định còn k là độ dài cho trớc

*)Dự đoán: Dễ thấy tập hợp này có 2 trục đối xứng: đthẳng AB và đờng trung

trực của AB Do đó quỹ tích có thể là đtròn ( giao 2 trục đxứng là tâm )

e)Dựa vào các phần tử vô tận

\ Có một điểm vô tận thì tập hợp thể là đờng thẳng hay nửa đờng thẳng

 αVí dụ8

Cho góc xOy Trong góc xOy có một tam giác đều biến thiên mà một đỉnh

là điểm A cố định nằm trên Oy còn đỉnh thứ hai B di động trên Ox Tìm tập hợp

đỉnh thứ ba C

*)Dự đoán: Vì B chạy trên Ox nên B có thể là điểm vô tận, khi đó C cũng là

điểm vô tận Vậy tập hợp có thể là đờng thẳng hay nửa đờng thẳng

\ Không có điểm vô tận thì tập hợp có thể thuộc loại tròn hay đoạn thẳng

\ Nếu đờng thẳng tập hợp có chung với một đờng thẳng cố định Δ một điểm vô tận thì nó song song với Δ

 αVí dụ9

Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AM trong đó A cố định M di động trên một đờng thẳng cho trớc Δ ( không đi qua A )

*)Dự đoán: Dễ thấy tập hợp điểm có chung với đờng thẳng cố định một điểm vô

tận, do tập hợp điểm M có thể song song với Δ

 Chú ý: Thông thờng để dự đoán chi tiết một tập hợp cho bởi một tính chất đặc trng của mỗi điểm, ngời ta phối hợp các phơng pháp trên với nhau.

 αVí dụ10

Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 + MB2 = k2 trong đố A, B là những

điểm cố định và k là độ dài cho trớc

*)Dự đoán: Hình F không có điểm vô tận.

Hình F giao với đờng thẳng AB tại hai điểm

Hình F có trục đối xứng là đờng thẳng AB

Hình F có trục đối xứng là đờng trung trực của AB.

Hình F có tâm đối xứng là trung điểm của AB

 Vậy hình F là đờng tròn tâm là trung điểm của đoạn thẳng AB

4

Các b ớc giải bằng ph ơng pháp sơ cấp .

*)B ớc 1 : Đọc kỹ đầu bài , phân biệt các yếu tố cố định, các yếu tố không đổi( số

đo góc, số đo cung, độ dài đoạn thẳng ), các yếu tố thay đổi( đặc biệt là các

điểm mà ta cần tìm tập hợp)

*)B ớc 2 : Dự đoán tập hợp là gì ? Khi tìm các vị trí của điểm mà ta cần xét tập

hợp , nên xét thêm một số trờng hợp riêng gọi là trờng hợp giới hạn vì việc này không những làm cho việc tìm các vị trí đợc đơn giản mà còn có tác dụng quan trọng là cho cho biết điểm cần xét có thể thay đổi trong giới hạn nào

*)B ớc 3 : Sau khi dự đoán tập hợp có thể là hình gì ? Cần liên hệ đến các tập hợp

cơ bản đã học để nối điểm mà ta cần tìm tập hợp vào những yếu tố thích hợp rồi tìm cách chứng minh mệnh đề thuận Cần chú ý vẽ hình trong trờng hợp tổng quát và nêu giới hạn ( nếu có ) của sự thay đổi của điểm mà ta cần tìm tập hợp

*)B ớc 4: Sau khi chứng minh mệnh đề thuận , cần chứng minh mệnh đề đảo.

Cần chú ý chứng minh trong trờng hợp tổng quát Thông thờng ngời ta lấy M’

F rồi dựng cho M’thoả mãn gần hết tính chất  sau đó chứng minh nó thoả mãn tính chất còn lại

*)B ớc 5: Sau khi chứng minh xong mệnh đề thuận và mệnh đề đảo thì nêu kết

luận về tập hợp

 Chú ý: Trong bài làm học sinh chỉ cần trình bày các bớc 3;4;5.

 αVí dụ11

Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB M là điểm thay đổi trên nửa đờng tròn này Kẻ MH  AB Trên tia OM lấy điểm N sao cho ON= MH Tìm tập hợp

điểm N khi M thay đổi trên nửa đờng tròn này

Giải

*)Thuận.

Lấy I là điểm chính giữa của cung AB

 OI AB

mà MH AB (gt)  MH // OI

Ta có : OI= OM (bkính)

O1= M ( s.l.trong)

ON= MH (gt )

 αΔ ONI= Δ MHO

 N= H= 1v

vậy ONH= 1v

O,I cố định  N( O;

2

OI

)

*) Đảo

Lấy N’( O;

2

OI ) ON’cắt (O) tại M’

Kẻ M’H’ AB Cần cminh ON’= M’H’

Ta có OI= OM’=R (1)

OI AB

M’H’AB  OI // M’H’ O2=M (2)

N’ ( J, IO2 )  N’= 1v ; H’= 1v (3)

Từ (1); (2); (3)

 Δ N’OI= Δ HM’O (c.huyền- g.nhọn)

 ON’= M’H’

5 Chú ý.

 Chú ý 1 : Khi làm một bài toán tìm tập hợp điểm nếu có những phần tính toán chung cho cả hai phần ( thuận và đảo ) thì tiến hành trớc đi đã, sau đó mới tách riêng hai phần (thuận, đảo ) để tránh sự lặp lại

 Chú ý 2 : Khi đa một bài toán tìm tập hợp những điểm M có tính chất  về

trờng hợp tìm tập hợp những điểm M có tính chất  mà tính chất  này là một tính chất đặc trng cơ bản thì việc chứng minh thuận và đảo có thể tiến hành nh sau.

+ Thuận: Giả sử M() trong đó tính chất  của bài toán, thì M() trong

đó  là tính chất đặc trng cơ bản

+ Đảo ta chứng minh rằng nếu M( ) thì M() Và kết luận tập hợp cơ bản đã biết là tập hợp của bài toán Nh vậy trong trờng hợp này việc chứng minh

đảo chỉ cần tiến hành từ tập hợp có tính chất để là tập cơ bản trở đi

 αVí dụ12

Cho 2 điểm cố định A và B Tìm tập hợp tâm đờng tròn đi qua hai điểm cố

định đó

+ Thuận: A (O;R)  OA= R

B (O;R)  OB= R

 OA= OB  O αΔ α( αTrung trực của đoạn AB )

+ Đảo: Lấy O’ Δ α O’A= O’B  A, B  (O’; O’A)

 Chú ý 3: Khi hình F chỉ là một bộ phận của tập hợp điểm cơ bản thì ta tiến hành nh sau:

*)Thuận: M( )  MF

Hạn chế: Tìm F’F sao cho MF thì M(’ )

 MF’

*)Đảo : MF’ M()

 Chú ý 4: Tập hợp phải tìm có thể là hữa hạn điểm( thậm chí ỉ, 1 điểm) có thể là vô hạn điểm ( đờng thẳng, đoạn thẳng, tia, đờng tròn, cung tròn, có thể là một phần mặt phẳng bị giới hạn những đờng trên).

Ví dụ

+ Tập hợp ỉ : Cho hai điểm A, B, tìm những điểm M sao cho tam giác ABM vừa đều, vừa vuông

+ Tập hợp chỉ có 1 điểm: Cho Δ αABC αtìm điểm M tong tam giác sao cho

SMAB= αSMBC= αSMCA

+ Tập hợp gồm các tia và cung tròn: Cho tam giác cân Tìm những điểm nhìn hai cạnh bên những góc bằng nhau

 Chú ý 5: ở những bài tìm tập hợp có chứa tham số hoặc vị trí tơng đối của các điểm và đờng trong đầu bài có nhiều khả năng xảy ra mà cách giải ở mỗi tr-ờng hợp là khác nhau thì khi giải chúng ta phải xét tất cả các trtr-ờng hợp có thể xảy ra.

6

Các ví dụ

Bài toán1 :

Cho đờng thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại O Tìm tập những điểm M mà tổng khoảng cách tới hai đờng thẳng đó có độ dài không đổi d

Giải

*)Thuận

Xét điểm M ở trong góc xOy

MP Ox

MQ Oy

MP+ MQ= d

Ta kẻ đt Δ // Ox và cách Ox

một khoảng d

Đt Δ αcố định cắt Oy tại điểm

cố định M1 và PM kéo dài ở I

Ta có MI  αΔ α(xOx’ )

MI= MQ ( + MP= d )

Nh vậy M cách đều hai đờng Δ và Oy do đó M nằm trên đoạn thẳng M1M2 của

đờng phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng cố định Δ và Oy

*) Đảo

Trên đoạn M1M2 của đờng phân giác tạo bởi Δ và Oy ta lấy một điểm bất kì M’, dựng M’Q’Oy và I’M’P’ αΔ và Ox

Ta có M’I= M’Q’ ( vì M’ nằm trên đờng phân giác của góc M1)

M’P’ + M’I’= d (khoảng cách giữa hai đt Δ và Ox)

 Nh vậy ta có thể kết luận rằng tập hợp M ( trong trờng hợp ta xét góc xOy )

là đoạn M1M2

Tơng tự các trờng hợp M ở trong các góc xOy’, y’Ox’, yOx’ ta đi đến kết luận:

*) Kết luận: Tập hợp M là các cạnh của hình chữ nhật M1M2M3M4

Bài toán 2 :

Cho một đoạn thẳng cố định AB= 2a, a là độ dài đã biết và cho hai nửa đờng thẳng Ax , By cùng vuông góc với AB và cùng ở một phía với AB Một điểm M chuyển động trên tia Ax và một điểm N chuyển động trên tia By sao cho diện tích hình thang AMNB không đổi và bằng 2a2 Từ trung điểm O của AB dựng

OP MN Tìm tập hợp các điểm P

Giải

*)Thuận

Gọi I là trung điểm của MN

IM= IN OI // Ax (1)

OA= OB OI=

2

1

(AM + BN)

SAMNB =

2

1

( AM + BN) AB = OI AB = 2a OI

nhng SAMNB= 2a2 Vậy OI= a

Mặt khác do (1) nên I cố định

Giả thiết suy ra PO MN

 OPI= 1v

O cố định  P ( J,

2

a

) Vì M chạy trên tia Ax, N chạy trên tia By nên P nằm ngoài AIB

Vậy P thuộc cung P1IP2 của đờng tròn ( J,

2

a

)

*) Đảo

Lấy P’ cung P1IP2 ; P’I Ax= M’ ; P’I By = N’ ta chứng minh

SAM’N’B=2a2

Ta có SAM’N’B =

2

1

( AM’ + N’B).AB = IO AB= a.2a= 2a2

*)Kết luận: Vậy tập hợp là cung P1IP2 của đờng tròn ( J,

2

a

) trong đóP1=AI (J)

P2= BI (J)

Bài toán 3:

Cho đờng ( O ) và một dây AB cố định Mlà một điểm tuỳ ý trên cung nhỏ

AB Gọi K là trung điểm của đoạn MB Từ K hạ đờng KP MA Tìm tập hợp P khi M di chuyển trên cung nhỏ AB đã cho

Giải

*) Thuận

AO (O)=C

AC là đờng kính CMAM

mà KPAM  KP// MC

KB =KM

 IC = IB ( I= BC KB)

 I cố định ( vì C, B cố định )

AIP = 1v

AI cố định  P ( J,

2

1

AI ) Mặt khác khi M chạy đến A

thì nó trở thành tiếp tuyến AP1

đối với (O) P1 là giao của tiếp

tuyến tại A của (O) với (J)

Khi đó P1nằm trong phần trong

của góc PAP1

Vậy P nằm trên cung P1B của (J)

*) Đảo

Lấy P’P1B; AP’ (O)= M’; M’B P’I= K’ Ta phải chứng minh:

K’P’AP’ và K’M’ = K’B

Ta có

P’(O,

2

AI

)  P’K’AP’ CM’ // K’I’

M’(O,

2

AI

)  CM’AP’  CI =IB  K’M’ = K’B

*) Kết luận.

Vậy tập hợp P là cung BP1 của đờng tròn đờng kính AI, trong đó IC = IB và C là

điểm đối xứng của A qua tâm O

Bài tập 4.

Cho góc xAy Điểm B, C lần lợt thay đổi trên Ax, Ay sao cho AB + AC = 1

M là điểm thuộc đờng tròn ngoại tiếp Δ αABC và đờng thẳng AM // BC Tìm tập hợp M

Giải

*) Thuận

Trên Ax, Ay lấy P, Q

sao cho AP = AQ =1

Ta có

Tgiác ACBM- hình

thang (AM//BC)và nội tiếp

đờng tròn nên nó là hình

thang cân

 MAC = BMA (1)

và AC =MB Nhng

AB+ AC =1

AB+ BP = 1  AC=BP

nên MB= BP αΔMBP cân ở B

 MPB= BMP (2)

Lại có AP= AQ= 1  APQ = AQP (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

AMB+ BMP+AQP= MAQ +APQ+ APM

 AMP+ AQP= MAQ+ MPQ

Mà AMP+ AQP+ MAQ+ MPQ= 3600 ( tổng 4 góc trong tứ giác lồi)

 MAP+ AQP= 1800  Tứ giác AQPM là tứ giác nội tiếp

 M đtròn ngoại Δ AQP.

Mặt khác M nằm ngoài góc xAy vậy M thuộc PAQ của đờng tròn ngoại

ΔAQP

*) Đảo

Lấy M PAQ; BAP sao cho BMP = APM; đtròn ngoại ΔAMB AQ=C

ta chứng minh BC // AM và AB+ AC =1

M  đtròn ngoại ΔAPQ  AMP + AQP= MAQ+ MPQ (= 2v)

Nhng BMP= BPM ( cdựng) và AQP = APQ ( vì AP = AQ ) nên MAQ = AMB Mặt khác AMBC là tứ giác nội tiếp  ACB = MBC

 AC = MB  MAB= ABC  AM // BC

 AC = MB Mặt khác BMP= BPM  MB= BP nên AC = BP

Nhng AB+ BP = 1 nên AB+ AC =1

*) Kết luận

Vậy quỹ tích điểm M là cung PAQ của đờng tròn ngoại ΔAQP

III- Kết quả thực hiện.

1

Với học sinh

\ Khi cha áp dụng cách ôn tập nh trình bày ở trên tôi nhận thấy nhiều học sinh còn bế tắc, nhìn nhận và định hớng giải cha đúng Trong bài kiểm tra các em còn bỏ lại ý tìm quỹ tích, một vài em có định hớng đúng thì làm thiếu bớc, kỹ năng hạn chế, không biết mình làm đúng hay sai

\ Sau khi áp dụng đề tài các nhợc điểm nêu trên của học sinh đã giảm rất nhiều

Tỷ lệ học sinh hiểu bài, làm bài đợc tăng lên rõ rệt, các em hứng thú và tích cực học hơn

\ Qua việc áp dụng đề tài , bản thân tôi rút ra đợc một số kinh nghiệm nhất

định Đó là giáo viên luôn phải bám sát học sinh tìm hiểu thông tin ng ợc từ phía học sinh để có phơng pháp giảng dạy dễ hiểu nhất Thực tế cho thấy có những vấn đề chủ quan giáo viên cho là đơn giản thì đối với nhiều học sinh tiếp thu lại rất khó khăn Giáo viên cần gần gũi với học sinh , nhiệt tình giảng dạy Từ đó sẽ cảm hoá đợc học trò , các em sẽ mạnh dạn trao đổi ý kiến với giáo viên , hứng thú , tích cực học tập hơn và kính trọng , biết ơn thầy, cô giáo

c- Kết luận

\ Giáo viên cần hệ thống , phân loại bài tập thành từng dạng Mỗi dạng hình thành phơng pháp giải và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Giáo viên cần xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát , từ đơn giản đến phức tạp , đẩm bảo phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh Giáo viên cần chú trọng phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh Từ đó các

em có khả năng nhìn nhận bao quát, toàn diện , định hớng giải toán đúng đắn và nắm kiến thức sâu sắc Làm đợc nh vậy chúng ta đã góp phần nâng cao chất l-ợng giáo dục trong nhà trờngTHCS

\ Bài viết này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định , tôi rất mong sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Ngày 15 tháng 3 năm 2005

ngời viết

Đoàn Tăng Đức