Chuyên đề thi file word kèm lời giải chi tiết www.dethithpt.com SỞ GD-ĐT TP ĐÀ NẴNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = −x +1 x−2 Câu (1,0 điểm) Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − x + Câu 3: (1,0 điểm) a Tìm số phức z thoả mãn z − (2 + 3i) z = − 9i log 22 x + >2 b Giải bất phương trình log x + π Câu : (1,0 điểm) Tính tích phân I = cos x (e 2sin x + 1)dx ∫ x = −1 + 3t Câu 5: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường d1 : y = + 2t d2 : z = − 2t x y −1 z + = = Chứng minh d1; d2 thuộc mặt phẳng viết phương trình mặt phẳng 1 Câu (1,0 điểm) cos 2a − sin 2a + ,biết tan α = − cos 2a + sin 2a − b Cho tập hợp E = {1,2,3,4,5,6,7} Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số tập hợp E Tính số phần tử tập hợp S Lấy ngẫu nhiên số từ tập S, tìm xác suất để số lấy thiết phải có mặt phẳng a Tính giá trị biểu thức T = Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = 2a, AC = a, hình chiếu S lên mp(ABC) trùng với trung điểm E cạnh AB Đường thẳng SC tạo với mp (ABC) góc 10 Tính theo thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, CE 11 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm F ( ;3) trung điểm cạnh AD, điểm E trung điểm cạnh AB điểm K thuộc cạnh CD cho KD = 3KC Đường thẳng EK có phương trình 19x – 8y – 18 = Tìm toạ độ điểm C hình vuông ABCD biết điểm E có hoành độ nhỏ x − x + 14 < Câu 9: (1,0 điểm) Tìm tất số thực dương x thoả mãn 2 + x − x +1 x Câu 10: (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b +c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P cho tan α = P= (a + b4 )(a + b ) a 4b c + (c4 + b )(c + b ) c 4b a + (a + c )(a + c ) a c 4b -Hết ĐÁP ÁN Câu (1 điểm) - TXĐ: R/{2 } - Sự biến thiên: - Giới hạn tiệm cận: (0,25) Vì lim− y = +∞; lim+ y = −∞ nên tiệm cận đứng đường thẳng x = x →2 x →2 y = −1; lim y = −1 nên tiệm cận ngang đường thẳng y = -1 Vì xlim →−∞ x →+∞ > 0, ∀x ≠ ( x − 1) Bảng biến thiên: 0,25 Đạo hàm y ' = 0,25 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 2) (2; +∞) Đồ thị : 0,25 Đồ thị cắt trục tung điểm (0; −1 ) ; cắt trục hoành điểm (1;0) Đồ thị nhận giao điểm I (2;-1) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Câu Vì x2 – x +1 > 0, nên tập xác định D = R 0,25 2x −1 y'= ; y ' = x = 0,25 2 x2 − x + y = +∞; lim y = +∞ Bảng biến thiên: xlim →−∞ x →+∞ 0,25 Từ bảng biến thiên đồ thị hàm số cho có điểm cực tiểu ( ; ) 2 Câu 3: a Đặt z = x + yi, (x,y ∈ R ) => z = x − yi Từ giả thiết ta có (-x-3y-1) + (-3x +3y+9)i = − x − y − = x + y = −1 0,25 −3 x + y + = x − y = x = y = −1 Kết luận z = 2- i 0,25 0,25 b Điều kiện x > x ≠ (*) Đặt t = log x, bất phương trình cho trở thành −3 < t < −1 t2 + > t +3 t > 1 1 Kết luận: Giao với điều kiện (*) ta có tập nghiệm S = ( ; ) ∪ (8; +∞) Câu 4: 0,25 π π I = ∫ cos xe 2sin x dx + ∫ cos xdx 0 π +) I1 = ∫ cos xe 2sin x dx = π 2sin x e d (2sin x) ∫0 π 2sin x =>I1 = ( e ) = (e − 1) 2 0,25 0,25 π π +)I = ∫ cos xdx = sin x = 0 =>I=I1 + I = e + 2 0,25 0,25 Câu : −1 + 3t 2t = t = 0,25 + Toạ độ giao điểm (nếu có) d1; d2 ứng với t thoả hệ : −1 + 3t = − 2t Từ d1; d2 cắt điểm A(2;3;1); d1;d2 chứa mặt phẳng (0,25) ur uur Kí hiệu (P) mặt phẳng (d1;d2) d1 có vecto phương (VTCP) u1 (3; 2; −2) ; d2 có VTCP u2 (1;1; 2) Mặt r ur uur phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến n = [u1 ; u2 ] = (6; −8;1) 0,25 Phương trình mặt phẳng (P): 6x – 8y + z + 11 = 0,25 Câu 6: cos a − 2sin a cos a + a Ta có T = 0,25 −2 cos a + 2sin a cos a − 2tana + (1 + tan a) Vì tan a =2 nên cos a ≠ , từ T = 0,25 = −2 + tan a b n(S) = A7 = 2520 0,25 Số phần tử tập S có mặt chữ số A6 = 1800 1800 = Xác suất cần tính 0,25 2520 Câu 7: *) Tính VS ABC Trong tam giác vuông AEC, EC = AS + AC = a · ; CE ) = SCE · Có a = (CS 2a · Trong tam giác vuông SEC, SE = EC tan SCE 0,25 = Diện tích tam giác vuông ABC SABC = AB AC = a 2 5a Tính thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC = SE.S ABC = (đvtt) 15 • Tính d(SA;CE) 0,25 Vẽ đường thẳng ∆ qua A song song với CE Kí hiệu (P) mặt phẳng ( ∆ ; SA) Ta có CE // (P) Suy d(SA;CE) = d(E;(P)) (1) Vẽ ED ⊥ ∆ , mà SE ⊥ (ABC)=>SE ⊥ ∆ Do ∆ ⊥ (SED) Suy (SED) ⊥ (P) theo giao tuyến SD 0,25 Vẽ EF ⊥ SD, suy EF ⊥ (P) Từ (1), d(SA; CE) = d(E;(P)) = EF (2) a Có ED = d(A; EC) = Có SE ⊥ (ABC)=>SE ⊥ ED Trong tam giác vuông SED, EF = Từ (2); d(SA;CE) = 13a 13 ED.ES ED + ES = 13a 13 0,25 Câu 8: Gọi I trung điểm CD · · Có tan FEI = tan 45o = tan IEK = · · · · · ) = tan FEI + tan IEK = 0,25 = tan( FEI + IEK Có tan FEK · tan IEK · − tan FEI Hai tam giác vuông DCF BCE nên CE = CF (1) · · · · Suy tam giác CFE cân C Do FEC nên cosFEK < 90o ; mà FEK < FEC > Từ đó: · · cosFEK = 1: + tan FEK = (2) 34 ur Đường thẳng EK có véc tơ pháp tuyến n1 (19; −8) uur 11 Đường thẳng EF có VTPT n2 (a; b), (a + b ≠ 0) qua F ( ;3) 11 11a − 3b = 0(3) Nên có phương trình: a(x − ) + b( y − 3) = ax + by − 2 Từ (2), ur uur | n1.n2 | |19a − 8b | · cos FEK = cos(EF; EK) = ur uur = | n1 | | n2 | 34 17 a + b 497 a − 608ab − 97b = 71a = 97b => a = 97; b = 71 7a = −b => a = −1; b = Với a = 97; b = 71, từ (3) có phương trình đường thẳng EF 97x + 71y - 1493 = 0,25 19 x − y − 18 = 58 199 => E ( ; ) (loại điều kiện xE < Vì E = EF ∩ EK nên toạ độ điểm E thoả hệ pt 1493 17 34 97 x + 71y − = 3) 31 Với a = -1; b = 7, từ (3) có phương trình đường thẳng EF –x + 7y - = 19 x − y − 18 = => E (2; ) (nhận điều kiện xE < 3) Vì E = EF ∩ EK nên toạ độ điểm E thoả hệ pt 31 − x + y − = Gọi toạ độ điểm C(m,n) Từ (1) có 11 CE = CF (2 − m)2 + ( − n) = ( − m) + (3 − n) 2 n = −7 m + 29(4) IC · · · = Có FEI = 450 => tan FEI = tan IEC = IE · · · · · ) = tan FEI + tan IEC = = tan( FEI + IEC Từ tan FEC · tan IEC · − tan FEI Suy · · (5)( Do FEC < 90o => cosFEC > 0) 10 uuur uuur Có EF = ( ; ), EC = (m − 2; n − ) 2 Từ (5) uuur uuur (m − 2) + (n − ) | EF EC | 2 · cosFEC = uuur uuur = | EF | | EC | 10 50 (m − 2) + (n − ) · · cos FEC = 1: + tan FEC = 14m + 2n − 33 = 20[(m − 2) + (n − ) ] m= Thay (4) vào (6) thu gọn ta 2m – 15m + 27 = m = −5 −5 - Với m = thay vào (4) ta n = ; suy C ( ; ) (loại điều kiện F C phải nằm khác phía đối 2 2 với đường thẳng EK) 0,25 -Với m = thay vào (4) ta n = 8, suy C(3;8) (nhận điều kiện F C phải nằm khác phía đường thẳng EK) Câu 9: ĐK:x > Vì + 3 x − x + > 0, ∀x > nên bất phương trình tương đương x − x + 14 x < + x − x + x − x + 14 x − − x − x + < 0,25 (x-1)(x − x + 4) + 6( x − x − x + 1) < (x − 1)(x − 2) + 6( x − 1)( x + 1) x + x x − x + + ( x − x + 1) 0 với x > nên bất phương trình tương đương x -1 < Vì (x − 2) + 2 ÷ x + x x − x + + ( x − x + 1) 0 x < KL: Giao với điều kiện x >0 ta tập nghiệm S = (0;1) 0,25 Câu 10: Có ( a + b )( a + b ) ≥ a + b3 (1) (theo bất đẳng thức (BĐT) B.C.S) ; Đẳng thức xảy a =b Lại có ≤ a 4b 4c = ab abc = 1 ab.3 abc ≤ (ab + 3 abc ) 3 (ab + a + b + c) => a 4b c ≤ (ab + 9)(2) (theo BĐT AM – GM hai số không âm, ba số không âm); Đẳng thức xảy a = b = c = (do a +b + c = 9) 0,25 Từ (a + b )(a + b ) a 4b c Tương tự ta có: (b + c )(b + c ) b4c 4a ≥ 3( ≥ 3( a + b3 )( Do (1);(2)) ab + (c + a )(c + a ) b3 + c3 c3 + a ); ≥ 3( ) 4 bc + ca + cab a + b3 b3 + c c + a => P ≥ 3( + + )(3) ab + bc + ca + a + b3 b + c c + a Đặt Q= + + ab + bc + ca + Bằng phép biến đổi tương đương ta chứng minh ( a + b) ( a + b )3 Với a, b > 0, ab ≤ (4);a + b3 ≥ (5) 0,25 4 ( a + b)3 a + b3 ( a + b)3 ≥ = Từ (6) (do (4) (5)) ab + (a + b) + (a + b) + 36 ( a + b)3 ≥ ( a + b) − 3(7) Ta chứng minh (a + b) + 36 t3 ≥ t − 3(t − 6) ≥ (đúng với t > 0) 0,25 t + 36 Đẳng thức xảy t = a + b = a + b3 Từ (6), (7) có ≥ a + b − 3; Đẳng thức xảy a = b = ab + b3 + c c3 + a3 Một cách tương tự ta chứng minh ≥ b + c − 3; ≥ c + a − 3(8) bc + ca + Từ (7) (8) có Q ≥ 2(a+b+c) – = 2.9 – = Đẳng thức xảy a = b = c = Kết hợp với (3), P ≥ 18 3; đẳng thức xảy a = b = c = 0,25 Thật vậy, đặt t = a + b=>t>0; (7) Kết luận: Giá trị nhỏ P 18 đạt a = b = c =