Thể tích khối chóp phần 7 đoàn việt hùng

Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là trọng tâm của tam giác ABC.. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặ

Trang 1

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 4 PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH

Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=a BC; =a 3. Cạnh SA vuông góc với đáy Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB, K là trung điểm của SC Tính thể tích khối chóp AHKBC biết

; =60

SB ABC

3

= a

d A SBC

Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 2 Hình chiếu

vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là trọng tâm của tam giác ABC Gọi M là điểm thuộc cạnh SD sao cho

1

;

2

=

SM MD và O là tâm đáy Biết khoảng cách từ O tới mặt phẳng (SBC) bằng 2

3

a

Tính

a) thể tích khối chóp S.ABCD

b) thể tích khối chóp AMCD

c) thể tích khối chóp SABM

Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N Tính thể tích của khối đa diện

MNABCD biết SA = AB = a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mặt phẳng (ABCD) bằng 300

Lời giải:

+) Trong (SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong (SBD) kẻ BG cắt SD tại N

+) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có

2

3

SG

SO = suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD

Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của

SC, SD

S ABD S BCD S ABCD

V =V = V = V

Theo công thức tỷ số thể tích ta có:

.

S ABN

S ABD

V SA SB SN

V = SA SB SD = = ⇒ =

.

S BMN

S ABN

S BCD

V SB SM SN

V = SB SC SD = = ⇒ =

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P7

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn

M N

O

C

B S

G

Trang 2

Từ đó suy ra:

3 8

S ABMN S ABN S BMN

V =V +V = V

3

V = SA dt ABCD ; mà theo giả thiết SA⊥(ABCD) nên góc hợp bởi AN với mp(ABCD) chính là

góc NAD , lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại N, suy ra 0

30

NAD=NDA=

tan 30

SA

AD= =a

V = SA S = a a a = a

Thể tích cần tìm là:

3

MNABCD S ABCD S ABMN

a

V =V −V = −V V = V =

Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với 0

120

=

BAD , BD = a > 0 Cạnh bên

SA vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600 Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chóp

Hướng dẫn giải:

Gọi V, V1 và V2 là thể tích của hình chóp S.ABCD, K.BCD và phần còn lại của hình chóp S.ABCD

Ta có

1

= ABCD = =

BCD

S SA

V S HK HK .

+

=V V = +V = ⇔V =

V

Ví dụ 5*: [ĐVH] Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần Tính

tỉ số thể tích của hai phần đó

Gọi P = MN ∩ SD, Q = BM ∩ AD ⇒ P là trọng tâm ∆SCM, Q là trung điểm của MB

M PQ

DPQCNB MCNB MCNB

• Vì D là trung điểm của MC nên ( d M CNB, ( ))=2d( , (D CNB))

2

DPQCNB

V

Ví dụ 6*: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a, 0

60

=

ABC , chiều cao SO của

hình chóp bằng 3

2

a , trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Gọi M là trung điểm của AD, mặt phẳng (P) chứa BM và song song với SA, cắt SC tại K Tính thể tích khối chóp K.BCDM

Gọi N = BM ∩ AC ⇒ N là trọng tâm của ∆ABD

Kẻ NK // SA (K ∈ SC) Kẻ KI // SO (I ∈ AC) ⇒ KI ⊥ (ABCD) Vậy . D 1 D

3

K BC M BC M

V = KI S

Trang 3

Ta có: ∆SOC ~ ∆KIC ⇒

S

KI CK

SO = C (1), ∆KNC ~ ∆SAC ⇒

S

CK CN

C = CA (2)

Từ (1) và (2) ⇒

1

3

CO CO

KI SO

+ +

a

CM = ⇒S = DM +BC CM = a

K BCDM BC M

a

Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình

chóp Cho AB=a SA; =a 2Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Chứng minh SC⊥(AHK)

và tính thể tích hình chóp OAHK

Lời giải:

BC SA

⊥





⊥

Mà AH ⊥SB⇒ AH ⊥(SBC)⇒ AH ⊥SC

Tương tự ta chứng minh được AK ⊥SC

SC AHK

Gọi M =SO∩HK I, = AM ∩SC

Vì SC ⊥(AHK)⇒SC⊥ AI

Mà AC=SA=a 2⇒I là trung điễm của SA

d O AHK = d C AHK = d S AHK

1

2

OAHK SAHK

Ta có:

2 2

3

HB = AB = ⇒ SB = , tương tự thì ta cũng có 2

3

SK

SD =

SAHK

SABD

V SA SH SK

Mà

V = SA S = a a a= ⇒V =

Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và

SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

Lời giải:

Trang 4

Ta có:

SA SM SB SM a SM

4 4

5

SN

SC =

5 5 25

SAMN

SABC

V SA SM SN

V = SA SB SC = =

16

25

V = V ⇒V =V −V

Mà

3

SBCMN SABC

a

Ví dụ 9: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho

3

a

AM = Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM

Lời giải:

SB ABCD =SBA=

tanSBA SA SA AB tanSBA a 3

AB

3 3

a SM

AM

SA

3

SN SM

MN BC AD

SD SA

Ta có: V SBCNM =V SABM +V SMNC

SABM

SABM SABC SABCD SABC

V SM

SMNC

SMNC SACD SABCD SACD

SBCNM SABM SMNC SABCD SABCD SABCD

V SM SN SC

V SA SD SC

Mà

Ví dụ 10: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B; SA=a 3vuông góc với (ABC) Biết

AB = BC = a Kẻ AH ⊥ SB và AK ⊥SC

Trang 5

a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp S.ABC là các tam giác vuông

b) Tính thể tích khối chóp S.ABC

c) Chứng minh rằng SC⊥(AHK)

d) Tính V S.AHK

Lời giải:

a) Ta có: SA⊥ AB SA, ⊥ AC⇒∆SAB,∆SAC là các

tam giác vuông tại A

Ta có : BC AB BC (SAB) BC SB

BC SA

⊥





⊥

SBC

⇒∆ là tam giác vuông tại B

b) Ta có :

3

a

V = SA S = a a a=

c) Ta có : BC ⊥(SAB)⇒BC ⊥ AH mà AH ⊥SB

AH SBC AH SC

Mà SC ⊥ AK ⇒SC ⊥(AHK)

d) AC= AB2 +BC2 = a2 +a2 =a 2

Ta có:

3

Ta có:

SAHK

SABC

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạch AB = a, các cạch bên SA, SB, SC tạo với đáy một

góc 600 Gọi D là giao điểm của SA với mp (α) qua BC và vuông góc với SA

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC

b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC

Đ /s: a) 1

2

5

; 8

V

V = b)

3

96

a

V =

Bài 2: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạch a, SA = 2a và SA vuông góc (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính V A.BCNM

Đ /s:

3

50

a

V =

Trang 6

Bài 3: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD

lần lượt tại B C D'; '; ' Biết rằng ; ' 2

3

SB

AB a

SB

= =

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp ' 'S A B C D' ' và S.ABCD

b) Tính thể tích của khối chóp ' 'S A B C D ' '

Đ /s: a) 1

2

1

; 3

V

V = b)

3

6 18

a

V =

Bài 4: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của AB và AD (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Đ/s: 1

2

1

3

V

V =

Bài 5: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy là hình vuông tâm O cạch a, có mặt bên tạo với

đáy một góc 600

a) Tính thể tích của tứ giác S.ABCD và tính khoảng cách từ từ O đến (SCD)

b) M là trung điểm của cạnh SB, mặt phẳng (α) qua CD và trung điểm M của SB chia khối chóp thành hai

phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Đ/s:

3

6

a

4

a

d = , 1

2

3 5

V

V =

Bài 6: [ĐVH] Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = a Trên đường thẳng qua C và vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E Tính thể tích khối tứ diện CDEF và tỉ số thể tích giữa CDEF và DABC

Đ/s:

3

.

1 ,

CDEF CDEF

D ABC

V a

V

Bài 7: [ĐVH] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a Lấy các điểm B C '; ' trên AB và AC sao cho

2

=a = a

AB AC Tính thể tích tứ diên AB C D ' '

Đ/s:

3

2

36

= a

V

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	197,03 KB