ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP PHÒNG GD&ĐT NINH BÌNH Trêng thcs ninh s¬n Năm học 2011 - 2012 MƠN: TỐN HỌC MÃ KÍ HIỆU T-01-HSG9-11-PGDNB Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm 06 câu, 01 trang) Bài 1.(3,0 điểm) a,Tính: M = + 3+ + 3+ − 3− 1 b, Chøng minh r»ng : Víi mäi x > 1, ta ln có x − ÷ < x ữ x x Bài 2.(4,0®iĨm) x+2 x x −1 + + với x > x ữ: x x −1 x + x +1 − x Cho biĨu thøc: P = a, Rót gọn P b, Tìm x để P = c, So sánh P với 2P Bài 3.(3,5 điểm) a, Giải phơng trình: x + x = x − 8x + 18 b, Cho x, y số thoả mÃn: ( x2 + + x )( ) y2 + + y = HÃy tính giá trị biểu thức: A = x 2011 + y 2011 + Bµi (4,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đờng tròn (O;R) Đờng tròn (O;R) tiếp xúc với cạnh BC, AB, AC lần lợt điểm D, N, M Kẻ đờng kính DI đờng (O;R) Qua I kẻ tiếp tuyến đờng (O;R) cắt AB, AC lần lợt E, F a, Chứng minh EI BD = IF.CD = R2 b, Gäi P lµ trung điểm BC, Q giao điểm AI BC, K trung điểm AD Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng AQ = 2KP Bài 5.(2,5 điểm) a, Cho a, b l hai số thực cho a3 + b3 = Chứng minh < a + b ≤ 1 + + =8 x y z 1 + + Tìm giá trị lớn P = 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z b, Cho x, y, z số dơng thoả mÃn: Bi (3 im): Cho tam giác ABC có cạnh Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho ∠ ABD = ∠ CBE = 200 Gọi M trung điểm BE N điểm cạnh BC BN = BM Tính tổng diện tích hai tam giác BCE tam giác BEN HÕt PHÒNG GD&ĐT NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Trêng thcs ninh s¬n LỚP Năm học 2011 - 2012 MÃ KÍ HIỆU T-HD01- HSG9-11-PGDNB MƠN: TỐN HỌC (Hướng dn chm gm 05 trang) Bài 1.(3,0 điểm) 3+ + a,TÝnh: M = + 3+ − 3− M 3− 3+ 3− = + = Ta cã: 2+ 6+2 2− 6−2 2+ +1 ( = ) 3+ + 2− ( ) −1 3− 3+ 3− 3+ 3− 3+ + = + + = (v× > ) + +1 − −1 + +1 − +1 + − ( 3− 5) + ( 3+ 5) = ( 3+ 5) ( 3− 5) = − + + + + 28 = =7 9−5 0,5 0,25 0,25 1 < x − ÷ (1) ÷ x x 1 1 x − ÷ < x − ÷ ⇔ x − ÷ x + ÷< x − ÷ x + + 1÷ x x x x x x b, Chøng minh : Víi mäi x > 1, ta ln có x − 1 1 ⇔ x + ÷ < x + + 1÷ (vì x > nên x − > 0) x x x 1 Đặt x + = t thỡ x + = t − , ta cã (2) x x ⇔ 2t − 3t − > ⇔ ( t − ) ( 2t + 1) > (3) V× x > nên ( x − 1) > ⇔ x + > 2x ⇔ x + VËy ta cã ®pcm 1,5 ® ⇒M=7 2 0,5 0,5 (2) > hay t > => (3) ®óng x Bài (4,0 điểm) a, Rút gọn P Ta có x+2 x x −1 P= + + với x > x ữ: x x −1 x + x +1 − x 0,25 1,5 0,5 0,25 0,5 1,5® x+2 x ÷ x −1 = + − : x −1 ÷ x −1 x + x +1 ÷ x+2 x ÷ x −1 = + − : x −1 x + x + x + x + x −1 ÷ x + + x x −1 − x + x +1 x −1 x + + x − x − x − x −1 = : = x −1 x −1 x + x +1 x −1 x + x + ( ) ( )( ( = ( )( ) ( x − x +1 ( )( ) x −1 x + x +1 b, Tìm x để P = ) ) ) ( 2 = x −1 x + x +1 )( VËy P = ) x + x +1 0,5 0,5 ( víi x > 0; x ≠ 1) x + x +1 2 = ⇔ x + x +1 = ⇔ x + x − = Nªn P = ⇔ x + x +1 Ta cã P = ⇔ ( x −2 )( ) x + = ⇔ x − = ( v× ⇔ x = ( t/m ®k) VËy víi x = th× P = c, So s¸nh P víi 2P x + > víi mäi x > 0) 0,5 1,25® 0,5 0,25 ( víi x > 0; x ≠ 1) x + x +1 1 Mµ x + x + = x + ÷ + > víi mäi x > 0, 2 > víi mäi x > nªn P = x + x +1 Ta l¹i cã x + x > víi mäi x > ⇒ x + x +1 > 1⇒ ⇒ a3 > –b3 ⇒ a > – b ⇒ a + b > (1) c 0,25® (a – b)2(a + b) ≥ ⇒ (a2 – b2)(a – b) ≥ ⇒ a3 + b3 – ab(a + b) ≥ 0,25® ⇒ a3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇒ 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b) 0,25 ® 3 3 ⇒ 4(a + b ) ≥ (a + b) ⇒ ≥ (a + b) ⇒ a + b ≤ (2) 0,25® Từ (1) (2) ⇒ < a + b ≤ 0,25đ 1 b,(1,25đ) Cho x, y, z số dơng thoả mÃn: + + = x y z 1 + + Tìm giá trị lín nhÊt cđa P = 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Vì x, y, z số dơng, áp dụng bất đẳng thức cô si ta có : 1 1 1 1 1 1 1 = ≤ + + + + = + + ÷(1) ÷≤ 2x + y + z x + y + x + z x + y x + z 16 x y x z 16 x y z DÊu “=” x¶y ⇔ x = y = z = 1 1 1 1 1 1 = ≤ + + + + = + + ÷(2) ÷≤ x + 2y + z x + y + y + z x + y y + z 16 x y y z 16 x y z DÊu “=” x¶y ⇔ x = y = z = 1 1 1 1 1 1 1 = ≤ + + + + = + + ÷(3) ÷≤ x + y + 2z x + z + y + z x + z y + z 16 x z y z 16 x y z DÊu “=” x¶y ⇔ x = y = z = Tõ (1); (2); (3) suy 1 11 1 P= + + ≤ + + ÷ = = 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z x y z 1 ( + + = ) Dấu = xảy ⇔ x = y = z = x y z VËy Pmax = ⇔ x = y = z = Bài 6: Kẻ BI ⊥ AC ⇒ I trung điểm AC Ta có: ∠ ABD = ∠ CBE = 200 ⇒ ∠ DBE = 200 (1) ∆ ADB = ∆ CEB (g–c–g) ⇒ BD = BE ⇒ ∆ BDE cân B ⇒ I trung điểm DE mà BM = BN ∠ MBN = 200 ⇒ ∆ BMN ∆ BDE đồng dạng Vậy SBCE + SBNE = SBCE + SBIE = SBIC = 0,5® A D I E S BM ⇒ BMN = ÷ = S BED BE ⇒ SBNE = 2SBMN = S BDE = SBIE 0,75® M B N C S ABC = Lu ý: 1) Nếu thí sinh làm không nh cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần nh hớng dẫn 2) Điểm toàn không làm tròn HÕt