Bài tập tính trực tiếp khối đa diện

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hình học không gian TÍNH TRỰC TIẾP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi điểm I thuộc cạnh AB cho IA = 2IB hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABC) trung điểm CI Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Giải: Gọi H trung điểm CI  SH  ( ABC ) Suy góc tạo SC mặt phẳng ( ABC ) SCH  600 Ta có BI  a AB  Xét tam giác BCI : 3 CI  BC  BI  2BC.BI cos CBI a 7a a  a     2.a .cos 600  3  CI  a CI a  CH   Xét tam giác SHC ta có: SH  CH tan SCH  Do ABC tam giác cạnh a nên S ABC  a a 21 tan 600  6 a2 1 a 21 a a3 Vậy VS ABC  SH S ABC   3 24 Bài Cho hình chóp S ABCD đáy hình chữ nhật ABCD , có AD  AB ; SC  2a SA vuông góc với đáy Biết góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a S Giải: Ta có SA  ( ABCD) , suy góc tạo SC mặt đáy ( ABCD) góc SCA  600  SA  SC sin SCA  2a 5.sin 600  a 15 Khi   AC  SC cos SCA  2a 5.cos 60  a A D B C Xét tam giác ABC , ta có: AB2  BC  AC  AB2  AB2  5a2  AB2  a2  AB  a  AD  2a 1 2a3 15 Suy S ABCD  AB AD  a.2a  2a Khi VSABCD  SA.S ABCD  a 15.2a  3 Bài Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Điểm A ' cách ba điểm A, B, C Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hình học không gian Góc AA ' mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Giải: A' C' B' 600 A C a H B Gọi H trọng tâm tam giác ABC M trung điểm BC , A ' ABC hình chóp Suy A ' H  ( ABC ) , suy góc tạo AA ' mặt phẳng ( ABC ) góc A ' AH  600 Tam giác ABC cạnh a nên S ABC   A ' H  AH tan A ' AH  a2 a a AM   AH  AM  3 a a a3 tan 600  a Khi VABC A' B 'C '  A ' H S ABC  a  4 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , AB  a , AD  a Gọi M trung điểm BC góc tạo SM mặt đáy 300 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD Giải: S a A D a B M C Ta có S ABCD  AB AD  a Do SA  ( ABCD) nên góc tạo SM mặt phẳng ( ABCD) SMA  300 Ta có AC  AB  AD  2a  AM  Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! AB  AC BC a  4a 3a 7a a      AM  4 Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Suy SA  AM tan SMA  Chuyên đề: Hình học không gian a a 21 tan 600  2 1 a 21 a3 Vậy VS ABCD  SA.SABCD  a  3 2 Bài Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có A ' ABD hình chóp đều, AB  AA '  a Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Giải: B' C' A' D' a A C B a O H D Gọi H trọng tâm tam giác ABD Do A ' ABD hình chóp đều, nên A ' H  ( ABD) hay A ' H  ( ABCD) Tam giác ABD cạnh a nên AO  Khi A ' H  A ' A2  AH  a  a 2 a a  AH  AO   3 3a a a2 a2  S ABCD  2S ABD   a a a3  2 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông, gọi M trung điểm AB Tam giác SAB cân Suy VABCD A' B 'C ' D '  A ' H S ABCD  S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABCD) , biết SD  2a , SC tạo với đáy ( ABCD) góc 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD Giải: S Theo giả thiết SM  ( ABCD) , góc tạo SC 2a mặt phẳng ( ABCD) SCM  600 A Ta có ABCD hình vuông nên MC  MD , M xét tam giác SMC SMD ta có: B SM  MC tan 600  SC  MD2  3MC  SC  MC  MC  D 600 C SC a  SM  MC tan 600  a 15 Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hình học không gian  BC  2 Xét tam giác MCB , ta có: BM  BC  MC     BC  5a  BC  2a  S ABCD  4a   1 a3 15 Vậy VS ABCD  SM SABCD  a 15.4a  3 Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a , cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm BC I trung điểm AM Biết hình chiếu điểm I lên mặt đáy ( A ' B ' C ') trọng tâm G tam giác A ' B ' C ' Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Giải: A C I M B A' H C' G M' B' Gọi M ' trung điểm B ' C ' Gọi H hình chiếu vuông góc A A ' M '  AH / / IG  AH  ( A ' B ' C ') (do IG  ( A ' B ' C ') ) Suy góc tạo AA ' mặt phẳng ( A ' B ' C ') góc AA ' H  600 Ta có AIGH hình chữ nhật , suy : AM A ' M ' A' M ' A' M ' A' M ' A' M ' HG  AI    A ' H  GM '   A' H    A' H  2  a2  S A ' B 'C '   Do A ' B ' C ' tam giác cạnh a , nên  A' M '  a  A' H  a  12 Xét tam giác AA ' H , ta có AH  A ' H tan AA ' H  a a tan 600  12 a a a3 Khi VABC A' B 'C '  AH S A' B 'C '   4 16 Bài Cho hình chóp S ABCD có SA  SB  SC  a đáy ABC tam giác cân Biết BAC  1200 BC  2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABC Giải: Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hình học không gian S A B M H C Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , suy SH  ( ABC ) (do SA  SB  SC ) Do BAC  1200 nên ABC tam giác cân A , suy ABC  300 Gọi M trung điểm BC  BM  a  AM  BM tan 300  Suy S ABC  a 3 AM BC a 3.2a a   3.2 BC Áp dụng định lý sin tam giác ABC ta có: HA  R  sin BAC Suy SH  SA2  HA2  2a   2a 4a 2a   HA  sin120 3 4a a  3 1 a a a3 Khi VS ABC  SH S ABC   3 3 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O ; AC  2a , BD  2a Hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD) vuông góc với mặt đáy ABCD Biết khoảng cách từ tâm O đến ( SAB) a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Giải: ( SAC )  ( ABCD)   +) Gọi AC  BD  O Ta có: ( SBD)  ( ABCD)   SO  ( ABCD) ( SAC )  ( SBD)  SO  +) Gọi I hình chiếu vuông góc O AB H hình chiếu vuông góc O SI , đó: AB  OI AB  SO  AB  (SOI )  AB  OH Mặt khác : OH  SI  OH  (SAB)  d (O, ( SAB))  OH  a Vì ABCD hình thoi nên : Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) OA  Chuyên đề: Hình học không gian AC BD  a OB  a 2 Xét tam giác vuông AOB : OI  OA.OB OA.OB a 3.a a    2 AB OA  OB (a 3)2  a Xét tam giác vuông SOI : 1 16 4 a       SO  2 SO OH OI 3a 3a a 1 ABCD hình thoi nên : S ABCD  AC.BD  2a 3.2a  3a 2 1 a a3  VS ABCD  SO.S ABCD  3a  3 Bài 10 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác nội tiếp đường tròn tâm O Hình chiếu vuông góc A ' mp ( ABC ) O Khoảng cách AA ' BC a góc hai mặt phẳng ( ABB ' A ') ( ACC ' A ')  Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' theo a Giải: +) Gọi I hình chiếu A BC H hình chiếu I AA ' Khi ta có: CB  ( AIA ') ( CB  AI CI  A ' O )  CB  IH mà IH  AA '  d ( AA ', BC )  IH  a  AA '  CB  AA '  (CBH ) +) Ta có   AA '  IH  AA '  CH  (1) Mặt khác  AA '  BH ( ABB ' A ')  ( ACC ' A ')  AA ' (2) Từ (1) (2) suy góc tạo ( ABB ' A ') ( ACC ' A ') CHB   +) Trong tam giác HBC có HI vừa đường cao, vừa trung tuyến nên HBC cân H Khi   Vậy tam giác ABC có cạnh CB  IB  2a tan IB  IH tan IHB  a tan 2      2a tan   2  SABC    3a tan      2a tan 3a tan   AI 2  3a tan  AO    AI  2 3 Đặt A ' O  x Khi xét A ' AI ta có : Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) 2SA ' AI A ' O AI  A ' O AI  IH AA '  AA '   IH a   x tan   Mặt khác: AA '2  A ' O2  AO2  3x tan  x  a tan  A ' O  x  2  VABC A ' B 'C '  A ' O.SABC  3a tan  x 3a tan Chuyên đề: Hình học không gian  3a tan 2  2a3 tan 3 tan   1  3a tan    3 tan  tan  2 Chú ý: Tam giác ABC cạnh a : SABC a2 a h   (các bạn phép sử dụng kết thi) Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Giáo viên : Nguyễn Thanh Tùng Nguồn : Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 Hocmai.vn - Trang | -