Bài tập tính trực tiếp khối đa diện

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.. Gọi điểm I thuộc cạnh AB sao cho IA = 2IB và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC là trung điểm của CI.. Tính theo a thể tíc

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi điểm I thuộc cạnh AB sao cho IA = 2IB

và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CI Góc giữa đường thẳng SC và

60 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

Giải:

Gọi H là trung điểm của CI SH (ABC) Suy ra góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC) là

0

60

SCH 

a

2 cos

CI BC BI  BC BI CBI

2 .cos 60

 

Do ABC là tam giác đều cạnh a nên

2 3 4

ABC

a

.

S ABC ABC

Bài 2 Cho hình chóp S ABCD đáy là hình chữ nhật ABCD , có AD2AB; SC2a 5 và SA vuông góc với đáy Biết góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 0

60 Tính thể tích của khối chóp S ABCD theo a

Giải:

Ta có SA(ABCD), suy ra góc tạo bởi SC và mặt đáy (ABCD) là góc SCA600

Khi đó

0

0







Xét tam giác ABC , ta có: AB2BC2 AC2AB24AB25a2AB2a2AB a AD2a

Suy ra S ABCD AB AD a a.2 2a2 Khi đó

3 2

SABCD ABCD

a

TÍNH TRỰC TIẾP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

D

C B

A S

Góc giữa AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

Giải:

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của BC , khi đó A ABC là hình chóp đều ' Suy ra A H' (ABC), suy ra góc tạo bởi AA' và mặt phẳng (ABC) là góc A AH' 600

Tam giác ABC đều cạnh a nên

2 3 4

ABC

a

AM  AH  AM  0

3

3

a

' ' '

ABC A B C ABC

Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD), ABa, ADa 3 Gọi M là trung điểm của BC và góc tạo bởi SM và mặt đáy bằng 0

30 Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD

Giải:

Ta có S ABCD AB AD a2 3

Do SA(ABCD) nên góc tạo bởi SM và mặt phẳng (ABCD) là SMA300

Ta có

2

AC AB AD  aAM         AM 

600

C'

B' A'

C

B A

a 3 a

M

S

A

D

Suy ra 7 0 21

Vậy

3 2

.

S ABCD ABCD

Bài 5 Cho hình hộp ABCD A B C D có ' ' ' ' A ABD' là hình chóp đều, ABAA'a Tính theo a thể tích

khối hộp ABCD A B C D ' ' ' '

Giải:

Gọi H là trọng tâm tam giác ABD

Do A ABD' là hình chóp đều, nên A H' (ABD) hay A H' (ABCD)

Khi đó

2

ABCD ABD

Suy ra

' ' ' '

ABCD A B C D ABCD

Bài 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), biết SD2a 5, SC tạo với đáy (ABCD)

một góc 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD

Giải:

Theo giả thiết SM (ABCD), do đó góc tạo bởi SC

và mặt phẳng (ABCD) là SCM 600

khi đó xét tam giác SMC và SMD ta có:

2

SC

SM MC  SC MD  MC SC MC MC a

0 tan 60 15

a

a

O

D'

C' B'

A'

D H

C B

A

2a 5

600

M A

D S

Xét tam giác MCB , ta có:

2

BC

BM BC MC   BC  a BC aS  a

 

 

Vậy

3 2

S ABCD ABCD

a

Bài 7 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh ' ' ' a , cạnh bên tạo với đáy một

góc 600 Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM Biết rằng hình chiếu của điểm I lên mặt đáy ( ' 'A B C') là trọng tâm G của tam giác A B C Tính theo ' ' ' a thể tích của khối lăng trụ

' ' '

ABC A B C

Giải:

Gọi M' là trung điểm của B C ' '

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên A M' 'AH/ /IGAH( ' 'A B C') (do IG( ' 'A B C')) Suy ra góc tạo bởi AA' và mặt phẳng ( ' 'A B C') là góc AA H' 600

Ta có AIGH là hình chữ nhật , suy ra :

HG AI    A HGM  A H   A H

Do A B C là tam giác đều cạnh a , nên ' ' '

2 ' ' '

3 4

A B C

a S











Khi đó

' ' ' ' ' '

ABC A B C A B C

Bài 8 Cho hình chóp S ABCD có SASBSCa 2 và đáy ABC là tam giác cân Biết BAC1200

và BC2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABC

Giải:

I

C'

B' A'

M

H

C

B A

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , suy ra SH(ABC) (do SASBSC)

Do BAC1200 nên ABC là tam giác cân tại A , suy ra ABC300

tan 30

3

a

Suy ra

2

ABC

AM BC a a a

sin

BAC

Suy ra

2

2

Khi đó

.

S ABC ABC

Bài 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O ; AC2a 3, BD2a Hai mặt phẳng (SAC)

và(SBD) cùng vuông góc với mặt đáy ABCD Biết khoảng cách từ tâm O đến (SAB) bằng 3

4

a

Tính thể tích của khối chóp S ABCD theo a

Giải:

+) Gọi ACBD O Ta có:





SO ABCD

+) Gọi I là hình chiếu vuông góc của O trên AB và H là hình chiếu vuông góc của O trên SI , khi đó:

ABOI và ABSOAB(SOI) ABOH

4

a

d O SAB OH

Vì ABCD là hình thoi nên :

M H C

B A

S

3 2

AC

OA a và

2

BD

OB a

Xét tam giác vuông AOB :

2

OI

Xét tam giác vuông SOI :

a SO

SO OH OI  a  a  a  

ABCD là hình thoi nên : 1 1.2 3.2 2 3 2

ABCD

S  AC BD a a a

V S ABCD. 1 1 .2 3 2

3 ABCD 3 2

a

3

a

Bài 10 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O Hình chiếu ' ' ' vuông góc của A' trên mp(ABC) là O Khoảng cách giữa AA' và BC là a và góc giữa hai mặt phẳng

(ABB A' ') và (ACC A' ') là  Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C theo ' ' ' a

Giải:

+) Gọi I là hình chiếu của A trên BC

và H là hình chiếu của I trên AA'

Khi đó ta có: CB(AIA')

( vì CBAI và CI  A O' )

( ', )

d AA BC IH a

'







'

'





(ABB A' ')(ACC A' ') AA' (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc tạo bởi (ABB A' ') và (ACC A' ') là CHB

+) Trong tam giác HBC có HI vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên HBC cân tại H Khi đó

2

IBIH IHBa 

2

CB IB a 

2

2

2

ABC

a

AI











 







Đặt A O' x Khi đó xét A AI' ta có :

'

3 tan

2

A AI

A O AI





2

2 3 tan

2

a







' ' '

2

ABC A B C ABC





Chú ý: Tam giác ABC đều cạnh a :

2 3 4

ABC

a

2

a

h (các bạn được phép sử dụng luôn kết quả này trong các bài thi)

Giáo viên : Nguyễn Thanh Tùng Nguồn : Hocmai.vn