Giao an so 2 070306

GIÁO ÁN ĐH A2 Số tiết TÊN BÀI GIẢNG: CHƯƠNG II: MA TRẬN (TT) CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC  MỤC ĐÍCH: - Có kó thực phép toán ma trận - Nhận biết ma trận bậc thang - Biết sử dụng phép toán sơ cấp hàng để biến đổi ma trận dạng bậc thang - Biết cách giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss-Jordan - Biết ma trận khả nghòch biết tìm ma trận nghòch đảo ma trận vuông thuật toán Gauss-Jordan Biết cách giải hệ phương trình đại số tuyến tính n phương trình, n ẩn cách sử dụng ma trận nghòch đảo - Hiểu đònh thức ma trận, hiểu vận dụng công thức Laplace để tính đònh thức Nắm tính chất đònh thức TT NỘI DUNG GIẢNG DẠY TG P.PHÁP Bài tập: 13, 15, 17, 23, 28, 30 trang 44, 45, 46 45’ Hướng dẫn giải Phương pháp Gauss-Jordan để giải hệ phương trình đại số tuyến tính 10’ Diễn giải Hệ Phương trình đại số tuyến tính 4.1 a1 x1 + a12 x + + a1n x n = b1 a x + a + + a x = b  21 22 2n n * Dạng:   a m1 x1 + a m x + + a mn x n = bn (1) * Dạng ma trận: AX = B Trong đó: a11 a12 a1n  a a a  21 22 2n  A =      a m1 a m a mn  (2)  x1  x  , X =      xn  b1  b  , B =      bm  A gọi ma trận hệ số, X ma trận ẩn số, B ma trận số Ngoài ta thiết lập ma trận A’ = [A | B] gọi ma trận mở rộng hệ phương trình Các ví dụ 1, trang 27 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 5.3 + Hệ phương trình tuyến tính nhất: b1 = b2 = … = bm = + Nghiện hệ (1) + Hệ phương trình tương thích, ẩn số tự do, ẩn số sở + Hệ phương trình tương đương 10’ Diễn giải Các phép toán sơ cấp hàng ma trận 1) Hoán vò hai hàng Ri ↔ Rj 2) Thay hàng hàng sau nhân với số khác 0: λRi → Ri (λ ≠ 0) 3) Thay hàng hàng cộng với hàng khác sau nhân với số bất kì: λRj + Ri → Ri Ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang tắc 10’ Diễn giải Sử dụng phép toán sơ cấp hàng ta đưa ma trận mở minh họa rộng hệ phương trình tuyến tính dạng bậc thang tắc ma trận mở rộng hệ phương trình tương đương với hệ phương trình cho + Giới thiệu ma trận có dạng bậc thang tắc (GT trang 28) Phương pháp Gauss-Jordan 30’ Diễn giải Để giải hệ phương trình đại số tuyến tính ta dùng phương pháp Hướng dẫn Gauss-Jordan theo bước sau: giải * B1: Thiết lập ma trận mở rộng * B2: Dùng phép toán sơ cấp dòng để đưa ma trận A’ dạng bậc thang tắc A’’ * B3: Giải hệ phương trình với ma trận mở rộng A’’ Ví dụ: 1, 2, trang 29, 30, 31 30’ Diễn giải Ma trận Nghòch đảo Hướng dẫn Đònh nghóa: Cho A∈Mn(|R), A gọi khả nghòch (không suy biến), tồn ma trận B∈Mn(R), cho A.B = BA = In B gọi ma trận nghòch đảo A, kí hiệu A-1, ta có: AA-1 = A-1A = In Nếu A không khả nghòch ta nói A ma trận suy biến Đònh lí: * Nếu A ma trận khả nghòch ma trận nghòch đảo A -1 * (A-1)-1 = A * (A1A2)-1 = A2-1A1-1 * (AT)-1 = (A-1)T [Giáo trình trang 32] Thuật toán Gauss-Jordan để tìm ma trận nghòch đảo ma trận vuông cấp n * B1: Lập ma trận M = [A | In] * B2: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp hàng để biến đổi [A | I n] 5.4 1.1 dạng bậc thang [In| B] * Kết luận: A-1 = B Các ví dụ: 1, 2, trang 34, 35, 36 giáo trình Giải hệ phương trìnhđại số tuyến tính cách sử dụng ma trận nghòch đảo * Đònh lý: Cho hệ phương trình n phương trình, n ẩn số AX = B Nếu A không suy biến phương trình cho có nghiệm X = A-1B (Giáo trình trang 37) * Ví dụ: trang 37 * Bài tập: 73, 74 trang 48; 77, 80 trang 49 45’ Hướng dẫn giải CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC Hoán vò cấp n Hoán vò cấp n * Đònh nghóa 1: Cho X tập hợp có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách 10’ Diễn giải Minh họa xếp n phân( tử X theo thứ tự đònh gọi hoán vò X Ví dụ: X = {a, b, c} Có cách xếp: a b c    a b c  a b c    b c a  , a b c   , a c b  a b c    b a c  , a b c   , c a b  a b c    c b a  Theo ngôn ngữ ánh xạ ta có đònh nghóa sau: * Đònh nghóa 2: Cho X tập hợp có n phần tử, hoán vò cấp n song ánh từ X lên Không tính tổng quát, cách đánh số phần tử; hoán vò cấp n thường viết sau:   3  n  1   σ =  σ (1) σ (2) σ (3)  σ (n)     Chú ý: Nếu X có n phần tử ta có n! hoán vò cấp n X Tập tất hoán vò cấp n kí hiệu Sn Như Sn có phần tử 1.2 Hoán vò chẵn, hoán vò lẻ 10’ Diễn giải a) Nghòch thế: Cho σ ∈ Sn Một cặp phần tử (i, j) gọi nghòch Nếu ta có i < j => σ(i) > σ(j) b) Hoán vò chẵn, hoán vò lẻ: Gọi S(σ) tổng tất nghòch σ * Nếu S(σ) số chẵn, ta nói σ hoán vò chẵn * Nếu S(σ) số lẻ, ta nói σ hoán vò lẻ 1 5  2 5 Ví dụ: Cho σ =  σ có nghòch thế, S(σ) = 4, σ hoán vò chẵn 2.1 Đònh thức: Đònh nghóa: Cho ma trận vuông cấp n (n ≥ 1) 15’ Diễn giải Hướng dẫn tính a11 a12  a1n    a 21 a 22  a n  A=     a a  a  nn   11 12 Đònh thức ma trận A, kí hiệu det A, D(A) |A| xác đònh sau: det A = ∑ (−1) σ S (σ ) ∈S n a1σ (1) a 2σ ( )  a nσ ( n ) (1) (Tổng có dạng n! số hạng) Chẳng hạn: a11 a12   a 21 a 22  *A=  1 2 1 2  σ   2 1 1 2 n = ta có hoán vò σ  Trong có hoán vò lẻ σ2 ; từ (1) ta có: S (σ ) a11 a12 + (−1) S (σ ) a12 a 21 det A = (−1) det A = a11 a 22 − a 12 a 21 a11 a12 a13    * A = a 21 a 22 a 23    a 31 a 32 a 33  n = ta có hoán vò σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6 Trong có hoán vò σ1, σ2, σ3 chẵn, có hoán vò σ4, σ5, σ6 lẻ Từ (1) ta có: S (σ ) a11 a 22 a 33 + (−1) S (σ 0) a12 a 23 a 31 + (−1) S (σ ) a13 a 31 a 23 det A = (−1) 2 (−1) S (σ ) a11 a 22 a 33 + (−1) S (σ 0) a 22 a 31 a13 + (−1) S (σ ) a 33 a 21 a12 => det A = a11 a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 32 a 21 − a11 a 23 a 32 − a 22 a13 a 31 − a 33 a12 a 21 Để dễ nhớ ta dùng qui tắc Sarrus sau: * Tổng tích phần tử đường chéo mang dấu cộng * Tổng tích phần tử đường chéo phụ mang dấu trừ 20’ Diễn giải Tính chất đònh thức Minh họa 1) Ta có D(A) = D(AT) ; D(AB) = D(A) D(B) = D(BA) 2) Nếu đổi chổ hàng (cột) bất bì cho đònh thức đổi dấu Đặc biệt: Nếu ma trận có hàng (2 cột) giống đònh thức 3) Nếu có hàng (cột) đònh thức mà phần tử hàng tổng hai số ta tách đònh thức cho thành tổng hai đònh thức 4) Nếu có hàng (cột) đònh thức mà phần tử tích λ với số ta đưa λ dấu đònh thức 5) Đònh thức không đổi ta cộng vào hàng với hàng khác sau nhân với số Cho ví dụ minh họa Đònh lý Laplace Đònh thức bù, phần bù đại số 4.1 a11 a12  a1n    a 21 a 22  a n  Cho ma trận A =     a a  a  nn   n1 n 15’ * Đònh thức bù phần tử aij, kí hiệu Mij đònh thức ma trận có từ A cách bỏ hàng i, cột j 1    Ví dụ: cho A = 6 4 7    12 = − 14 = −6 M23 = * Phần bù đại số phần tử a ij Kí hiệu Aij số xác đònh sau: Aij = (-1) i+j Mij Ví dụ: A23 = (-1)2+3 M23 = -M23 = Đònh lý Laplacce: 4.2 [ ] Cho A = aij 15’ i =1,n i =1,n Ta có: * det A = * det A = n ∑a j =1 ij Aij (khai triển theo hàng thứ i) ij Aij (khai triển theo cột thứ i) n ∑a i =1 Ví dụ: Giáo trình trang70  TỔNG KẾT: (5 phút) - Ma trận nghòch đảo, thuật toán Gauss để tìm ma trận nghòch đảo, để giải hệ phương trình đại số tuyến tính - Cách tính đònh thức cấp 2, cấp 3, công thức Laplace - Bài tập nhà trang 48, 49, 92, 93 trang 50; 105, 106 trang 51  RÚT KINH NGHIỆM: Ngày tháng năm 2006 Khoa Ngày Tổ môn tháng năm 2006 Giảng viên